微专题：对平面向量的理解之“平面向量的应用题”讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

【原卷版】 【对平面向量的理解】之“平面向量应用题” 平面向量应用题是利用向量的线性运算、数量积、平行与垂直等性质解决几何、物理、实际问题的题型，是连接代数与几何的桥梁。 常见题型有三类：一是平面几何问题，用向量证明线段平行、垂直，求长度、夹角，把几何推理转化为向量计算；二是物理应用，处理力、速度、位移的合成与分解，用向量加减法求合力、合速度；三是实际场景，如航行、测量、路径规划，建立坐标系后用向量表示位置与方向。 解题关键是建系、设向量、套公式：先将图形或实际情境转化为向量模型，再用向量运算求解，最后还原结论。它能简化复杂的几何证明和物理分析，突出数形结合，是高中数学必考重点，重在理解向量的工具性。 【本章教材目录】 第8章 平面向量 8.1 向量的概念和线性运算 8.2 向量的数量积 8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律 8.3 向量的坐标表示 8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示 8.4 向量的应用 【本章内容提要】 1、平面向量的基本概念 （1）向量：既有大小又有方向的量，常用、等记号表示. （2）向量的模：向量的大小，向量的模记为. （3）零向量：其模为，方向任意. （4）单位向量：模为的向量；非零向量的单位向量是. （5）平行向量：方向相同或相反的向量. （6）相等向量：方向相同、模相等的向量. （7）负向量：方向相反、模相等的向量. 2、向量的线性运算 （1）平面向量的加法、减法：运用平行四边形法则或三角形法则. （2）减去一个向量等于加上它的负向量． （3）实数与平面向量的乘法：实数与向量的乘积，记作. （4）设、、是平面上的任意向量，、 向量的加法满足如下运算律：交换律：；结合律：. 实数与向量的乘法对向量加减法满足分配律：；；. 3. 向量的投影与数量积 （1）向量的夹角：向量与的夹角记为，其值. （2）向量的投影：向量在非零向量方向上的投影是如下的向量：. 其中，系数称为向量在向量方向上的数量投影. （3）向量与的数量积定义为：. （4）向量的数量积满足交换律，并且是线性的（即对向量的加减满足分配律，且可与实数的乘法交换）. 4、平面向量基本定理与向量的坐标表示 （1）平面向量基本定理：给定平面上两个不平行的向量，则该平面内的任意向量都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合，也就是说，平面上任意两个不平行的向量都组成了一个基. （2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，把向量的起点放到坐标原点，向量就直接用它的终点坐标表示，称为向量的坐标表示，这样，向量就可写成坐标轴正方向上的单位向量、的线性组合. （3）给定平面上两点与，则. 5、坐标表示下的向量运算 设向量，，则 （1）. （2）. （3），. （4）. 6、向量的夹角、平行与垂直 设向量，，则 （1）. （2）（）或（）. （3）. 7、向量的应用 要体会如何从各种有关的问题中抽象出相应的向量问题，并用所掌握的向量方法解决这个向量问题，从而使原问题得以解决. 题型1 利用平面向量解决平面几何问题 用向量证明平行、垂直、中点、共线，或求边长、夹角。 例1、用向量法证明三角形的中位线定理． 【提示】 【证明】 【说明】 例2、用向量法证明三角形的三条中线交于一点． 【提示】 【证明】 【说明】 题型2 利用平面向量的运算表示相关向量 例3、我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（     ） A． B． C． D． 例4、数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 题型3 依据平面向量的运算求参数值 例5、古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响.如图是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗.在正八边形中，若，则（     ） A． B． C． D．3 例6、已知点为所在平面上的一点，且，其中为实数，若点落在的内部（不含边界），则的取值范围是(　 　) A． B． C． D． 题型4 平面向量的跨学科交汇 例7、冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（    ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 例8、蒽，是一种含三个环的稠环芳烃，化学式为，蒽的三个环的中心在一条直线上，蒽是菲的同分异构体，其分子结构图如图1所示（由三个正六边形组成），将蒽的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，设，则 题型5 利用平面向量解决航行问题 例9、有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(     )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 例10、（2025年高考全国一卷数学试题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 题型6平面向量与物理学科的交汇 例11、物体受到三个力的作用，，，合力，则第三个力的大小为________（单位：牛顿）. 例12、在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（     ） A． B．当时， C．当角越大时，用力越省 D．当时， 题型7 有关平面向量的新定义拓展 例13、定义：，其中为向量与的夹角，若，，则等于_____. 例14、设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题： （1）若向量，，求的值； （2）若向量，试探求的值与向量的坐标的关系. 题型8 平面向量与传统文化的交融 例15、窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如下图所示其外框是边长为4的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为2，点P在圆O上运动，则的最小值为______. 例16、折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上，则的最小值是__________． 题型9 平面向量的实际应用 例17、某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点. （1）已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值； （2）设向与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为，甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？ 例18、解决本节开始时的问题：在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，），若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则，，的大小分别是多少？ 题型10 利用平面向量推导数学定理与公式 例19、（1）叙述正弦定理； （2）用向量法证明正弦定理（以锐角三角形为例）； （3）类比上述方法，解决以下问题： 如图，直线l与的边AB，AC分别相交于D，E， 设， 试用向量的方法探究与的边角之间的等量关系． 例20、（1）利用向量有关知识与方法证明两角差的余弦公式：； （2）由推导两角和的正弦公式． 题型11 平面向量推与其他数学知识的综合 例21、已知向量，若，则的最小值为（    ） A．7 B． C． D． 例22、在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． （1）设，用含有的式子表示； （2）设，求的最小值； （3）求的最小值． 平面向量应用题的核心是数形结合、化归运算，解题思路清晰固定。首先建立坐标系，将点、线段、力、位移等转化为向量坐标，把几何或实际问题代数化。其次合理设向量，用已知条件表示未知向量，优先利用平行、共线、垂直关系简化表达式。 然后进行向量运算：平行用坐标成比例，垂直用数量积为 0，求长度用模长公式，求夹角用数量积公式，力与位移合成用加减运算。遇到几何证明题，可通过向量相等、共线判断平行、中点、共线；物理题重点做矢量分解与合成。 解题时先转化、再运算、后还原。注意单位统一、坐标规范、运算准确，避免符号错误。掌握这套方法，可快速解决几何证明、长度夹角、力学、航行等各类向量应用题，是高中数学高效得分的关键。 1．长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（    ） A． B． C． D． 2．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力 =(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(1，1)移动到点B(6，11)，则对冰球所做的功为（    ） A．-210 B．210 C．-270 D．270 3．一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（     ） A． B． C． D． 4．在中，若，则（     ） A．是正三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形 D．形状无法确定 5．在中，是边上的点，满足，在线段上（不含端点），且，则的最小值为 6．延长线段到点，使得，点在线段上运动，点直线，满足，则的取值范围是 7．已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为 8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则    9．已知向量满足，且，则 10．定义：，其中为向量与的夹角，若，则 11．直角坐标系中，已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，且和的夹角为锐角，求的取值范围. 12．（1）请你用文字语言和符号语言两种形式叙述余弦定理； （2）请你用向量法证明余弦定理. 【解析版】 【对平面向量的理解】之“平面向量应用题” 平面向量应用题是利用向量的线性运算、数量积、平行与垂直等性质解决几何、物理、实际问题的题型，是连接代数与几何的桥梁。 常见题型有三类：一是平面几何问题，用向量证明线段平行、垂直，求长度、夹角，把几何推理转化为向量计算；二是物理应用，处理力、速度、位移的合成与分解，用向量加减法求合力、合速度；三是实际场景，如航行、测量、路径规划，建立坐标系后用向量表示位置与方向。 解题关键是建系、设向量、套公式：先将图形或实际情境转化为向量模型，再用向量运算求解，最后还原结论。它能简化复杂的几何证明和物理分析，突出数形结合，是高中数学必考重点，重在理解向量的工具性。 【本章教材目录】 第8章 平面向量 8.1 向量的概念和线性运算 8.2 向量的数量积 8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律 8.3 向量的坐标表示 8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示 8.4 向量的应用 【本章内容提要】 1、平面向量的基本概念 （1）向量：既有大小又有方向的量，常用、等记号表示. （2）向量的模：向量的大小，向量的模记为. （3）零向量：其模为，方向任意. （4）单位向量：模为的向量；非零向量的单位向量是. （5）平行向量：方向相同或相反的向量. （6）相等向量：方向相同、模相等的向量. （7）负向量：方向相反、模相等的向量. 2、向量的线性运算 （1）平面向量的加法、减法：运用平行四边形法则或三角形法则. （2）减去一个向量等于加上它的负向量． （3）实数与平面向量的乘法：实数与向量的乘积，记作. （4）设、、是平面上的任意向量，、 向量的加法满足如下运算律：交换律：；结合律：. 实数与向量的乘法对向量加减法满足分配律：；；. 3. 向量的投影与数量积 （1）向量的夹角：向量与的夹角记为，其值. （2）向量的投影：向量在非零向量方向上的投影是如下的向量：. 其中，系数称为向量在向量方向上的数量投影. （3）向量与的数量积定义为：. （4）向量的数量积满足交换律，并且是线性的（即对向量的加减满足分配律，且可与实数的乘法交换）. 4、平面向量基本定理与向量的坐标表示 （1）平面向量基本定理：给定平面上两个不平行的向量，则该平面内的任意向量都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合，也就是说，平面上任意两个不平行的向量都组成了一个基. （2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，把向量的起点放到坐标原点，向量就直接用它的终点坐标表示，称为向量的坐标表示，这样，向量就可写成坐标轴正方向上的单位向量、的线性组合. （3）给定平面上两点与，则. 5、坐标表示下的向量运算 设向量，，则 （1）. （2）. （3），. （4）. 6、向量的夹角、平行与垂直 设向量，，则 （1）. （2）（）或（）. （3）. 7、向量的应用 要体会如何从各种有关的问题中抽象出相应的向量问题，并用所掌握的向量方法解决这个向量问题，从而使原问题得以解决. 题型1 利用平面向量解决平面几何问题 用向量证明平行、垂直、中点、共线，或求边长、夹角。 例1、用向量法证明三角形的中位线定理． 【提示】由条件结合向量的线性运算法则证明，结合向量数乘运算的定义证明结论. 【证明】因为，分别是，的中点， 所以，， 所以． 又与不在同一条直线上， 因此，，且． 【说明】本题考查了平面向量在几何中的应用； 例2、用向量法证明三角形的三条中线交于一点． 【提示】如图，设，，D，E，F分别为三边的中点，则，，．设与相交于点，且，， 得出，即．同理可得，故点，重合，即，，相交于一点，故三角形的三条中线交于一点． 【证明】如图，设，，D，E，F分别为三边的中点， 则，，．设与相交于点， 且，，则． 因为． 所以解得，即． 再设与相交于点，同理可得， 故点，重合，即，，相交于一点，故三角形的三条中线交于一点． 【说明】本题考查了三角形的心的向量表示与用平面向量的线性表示与运算证明集合问题； 题型2 利用平面向量的运算表示相关向量 例3、我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（     ） A． B． C． D． 【提示】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答. 【答案】A； 【解析】依题意，， 于是， 所以. 故选：A； 【说明】本题考查了向量加法法则的几何应用、用基底表示向量； 例4、数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【提示】根据三点共线和长度关系可知AB正误；利用向量的线性运算可表示出，知CD正误； 【答案】D； 【解析】    依次位于同一条直线上， 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，， ，，A错误，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D. 【说明】本题考查了向量的线性运算的几何应用； 题型3 依据平面向量的运算求参数值 例5、古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响.如图是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗.在正八边形中，若，则（     ） A． B． C． D．3 【提示】如图，连接，作于点，作于点，由正八边形的特征可得，从而可将用表示出来，再结合已知即可得解； 【答案】C； 【解析】如图，连接，作于点，作于点， 由正八边形的特征可得，， 故， 所以， 则， 又因， 所以， 所以. 故选：C. 【说明】本题考查了利用平面向量基本定理求参数； 例6、已知点为所在平面上的一点，且，其中为实数，若点落在的内部（不含边界），则的取值范围是(　 　) A． B． C． D． 【提示】延长交于，设()， ，求出，根据平面向量基本定理得到，根据可求出. 【答案】D； 【解析】如图，延长交于， 设()， ， 则， 所以，， 又∵， 所以，，所以， 因为，所以，所以， 所以. 故选：D； 【说明】本题考查了平面向量基本定理的应用； 题型4 平面向量的跨学科交汇 例7、冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（    ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 【提示】由平面向量数量积的定义结合辅助角公式化简，即可得出答案； 【答案】D； 【解析】由题，可得，又， ，其中， 当且仅当，时，取得最大值5. 故选：D. 【说明】本题考查了平面向量数量积的坐标表示、功、动量的计算、辅助角公式； 例8、蒽，是一种含三个环的稠环芳烃，化学式为，蒽的三个环的中心在一条直线上，蒽是菲的同分异构体，其分子结构图如图1所示（由三个正六边形组成），将蒽的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，设，则 【提示】建立适当平面直角坐标系，用坐标法求向量的数量积； 【答案】； 【解析】以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 则， 所以. 故答案为：； 【说明】本题考查了数量积的坐标表示； 题型5 利用平面向量解决航行问题 例9、有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(     )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 【提示】作出示意图，将船速分解到沿河岸方向和垂直于河岸方向，与水流速度对比即可得到合速度(实际速度)； 【答案】A； 【解析】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度． 设为渡口在对岸对应的点，则， 在中，∵，∴， ∴E和重合，． ∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 故选：A. 【说明】本题考查了利用平面向量解决航行问题中的速度、位移的合成； 例10、（2025年高考全国一卷数学试题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【提示】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论； 【答案】A； 【解析】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 【说明】本题考查了向量坐标的线性运算解决几何问题、坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示； 题型6平面向量与物理学科的交汇 例11、物体受到三个力的作用，，，合力，则第三个力的大小为________（单位：牛顿）. 【提示】根据题意设第三个力为,根据向量的加法列等式,求出,即得向量, 再根据求模公式算出力的大小； 【答案】； 【解析】因为物体受到三个力的作用. ,,合力. 设第三个力为 即 故答案为： 【说明】本题考查了平面向量与物理学科力的合成的交汇；本题的本质是考查了向量的加法运算和向量求模； 例12、在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（     ） A． B．当时， C．当角越大时，用力越省 D．当时， 【提示】根据题意可得，则，再根据各个选项分析即可得出答案； 【答案】B； 【解析】根据题意可得：， 则， 当时，，故A错误； 当时，，及，故B正确； ，因为在上递减， 又因行李包所受的重力为不变，所以当角越大时，用力越大，故C错误； 当时，即，解得， 又因，所以，故D错误. 故选：B. 【说明】本题主要考查了已知数量积求模、力的合成 题型7 有关平面向量的新定义拓展 例13、定义：，其中为向量与的夹角，若，，则等于_____. 【提示】由平面向量的数量积可求得，进而可得，根据的定义运算求解； 【答案】6； 【解析】设向量与的夹角为，则， 注意到，则， 可得， 故. 故答案为：6； 【说明】本题考查了平面向量新定义、向量夹角的计算 例14、设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题： （1）若向量，，求的值； （2）若向量，试探求的值与向量的坐标的关系. 【提示】（1）由求得，再利用定义运算“”计算即得； （2）设出，根据向量的数量积求得，再利用定义运算“”计算即得. 【答案】（1）2；（2）； 【解析】（1）由已知，得，由，可得， 又，所以，，； （2）， 所以，， 所以，， 又因为，， 所以，， 所以，. 【说明】本题考查了用定义求向量的数量积、向量夹角的计算、数量积的坐标表示、向量新定义 题型8 平面向量与传统文化的交融 例15、窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如下图所示其外框是边长为4的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为2，点P在圆O上运动，则的最小值为______. 【提示】建立平面直角坐标系，写出点的坐标和向量的坐标，利用向量数量积的坐标运算求解即可. 【答案】； 【解析】以该正六边形的中心O为坐标原点，以为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 则， 因为点P在半径为2的圆O上运动，所以设， 所以 因此， 当时等号成立，即最小值为. 故答案为：. 【说明】本题考查了向量与几何最值、数量积的坐标表示； 例16、折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上，则的最小值是__________． 【提示】若为中点，由、，应用向量数量积的运算律化简得，根据位置关系求最小值； 【答案】； 【解析】如下图，， 若为中点，且，则， 则， 要使其最小，只需共线，   此时，由图知此时. 故答案为：； 【说明】本题考查了数量积的运算律、向量与几何最值、向量加法法则的几何应用； 题型9 平面向量的实际应用 例17、某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点. （1）已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值； （2）设向与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为，甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？ 【提示】（1）利用余弦定理和基本不等式可求答案； （2）利用余弦定理求出，结合二次函数得出的最大值，根据的关系可得答案. 【答案】（1）；（2）分米. 【解析】（1）设两颗粒子在点相撞，在中， 由余弦定理得，即， ，， 即，，当且仅当时，等号成立， 所以两颗粒子运动路程和的最大值为； （2）过作，垂足为，设， 因为甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍，所以， 由余弦定理可得， ，，， ， 当即时，即取得最大值， 易知恒成立， ， 的长度至少为分米，才能确保对任意的，总可以通过调整乙粒子的释放角度，使两颗粒子成功碰撞. 【说明】本题考查了求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值； 例18、解决本节开始时的问题：在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，），若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则，，的大小分别是多少？ 【提示】由题可得，且，，两两之间的夹角均为，，然后利用数量积的运算律及数量积的定义即得； 【答案】牛； 【解析】由题可知，且，，两两之间的夹角均为， 又，（为重力加速度） ∴， ∴， ∴（牛）， 即，，的大小都是牛. 【说明】本题考查了已知模求数量积、数量积的运算律、力的合成、已知数量积求模； 题型10 利用平面向量推导数学定理与公式 例19、（1）叙述正弦定理； （2）用向量法证明正弦定理（以锐角三角形为例）； （3）类比上述方法，解决以下问题： 如图，直线l与的边AB，AC分别相交于D，E， 设， 试用向量的方法探究与的边角之间的等量关系． 【提示】（1）叙述正弦定理. （2）利用向量法证明正弦定理. （3）由，取的方向向量，利用探索与的边角之间的等量关系. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】（1）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 即 （2）如图，在锐角中，过点A作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为 因为，所以 由分配律，得 即， 也即． 所以 同理，过点C作与垂直的单位向量， 可得 因此 （3）如图，在中，． 设单位向量． 于是，即 过点D作BC的平行线，则 而 故． 所以 当为零角、直角、钝角时，仍然成立. 【说明】本题考查了数量积的运算律、正弦定理及辨析； 例20、（1）利用向量有关知识与方法证明两角差的余弦公式：； （2）由推导两角和的正弦公式． 【提示】（1）利用向量的数量积公式计算可得答案； （2）由利用两角和的余弦展开式计算可得答案. 【答案】（1） 证明见解析；（2）答案见解析 ． 【解析】（1）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心， 作一单位圆，再以原点为顶点，轴非负半轴为始边分别作角 ． 设它们的终边分别交单位圆于点， 即有两单位向量，它们的所成角是， 根据向量数量积的性质得：       ① 又根据向量数量积的坐标运算得：     ② 由①②得       （2） 即有.  【说明】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、数量积的坐标表示、诱导公式五、六、用定义求向量的数量积 题型11 平面向量推与其他数学知识的综合 例21、已知向量，若，则的最小值为（    ） A．7 B． C． D． 【提示】利用数量积的坐标运算得到，再利用基本不等式中“1”的妙用可得答案. 【答案】B； 【解析】因为向量， 若，可得，即， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B； 【说明】本题考查了数量积的坐标表示与函数最值的交汇； 例22、在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． （1）设，用含有的式子表示； （2）设，求的最小值； （3）求的最小值． 【提示】(1)由平面向量的线性运算求解； (2)由 ，得，则，由基本不等式求解； (3) ，即可求解． 【解析】（1）解：如图所示：   ； （2）因为，，由(１)得， 得， 由， 得， 则， 因为，所以， 则， 等号成立时，，得， 故的最小值为； （3）因为，所以， 则 ， 因为，所以当时，取得最小值为． 【说明】本题考查了已知数量积求模、基本不等式“1”的妙用求最值、已知模求数量积； 平面向量应用题的核心是数形结合、化归运算，解题思路清晰固定。首先建立坐标系，将点、线段、力、位移等转化为向量坐标，把几何或实际问题代数化。其次合理设向量，用已知条件表示未知向量，优先利用平行、共线、垂直关系简化表达式。 然后进行向量运算：平行用坐标成比例，垂直用数量积为 0，求长度用模长公式，求夹角用数量积公式，力与位移合成用加减运算。遇到几何证明题，可通过向量相等、共线判断平行、中点、共线；物理题重点做矢量分解与合成。 解题时先转化、再运算、后还原。注意单位统一、坐标规范、运算准确，避免符号错误。掌握这套方法，可快速解决几何证明、长度夹角、力学、航行等各类向量应用题，是高中数学高效得分的关键。 1．长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知， 则， 因为，， 即， 所以.故A，C，D错误. 故选：B. 2．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力 =(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(1，1)移动到点B(6，11)，则对冰球所做的功为（    ） A．-210 B．210 C．-270 D．270 【答案】D 【解析】由题意得=(5，10)，故力对冰球所做的功为·=5×6+24×10=270． 故选：D. 3．一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图： 船的实际过河速度为：.即. 又，即. 所以， 所以， 所以. 即水流速度为：. 故选：B 4．在中，若，则（     ） A．是正三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形 D．形状无法确定 【答案】C 【解析】设为中点，则，，即， ，是的中垂线，为等腰三角形. 故选：. 5．在中，是边上的点，满足，在线段上（不含端点），且，则的最小值为 【答案】 【解析】因为是边上的点，满足，则， 所以，， 因为在线段上（不含端点），则存在实数，使得， 所以，， 又因为，且、不共线，则，故，      因为，则，， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 6．延长线段到点，使得，点在线段上运动，点直线，满足，则的取值范围是 【答案】 【解析】设，，由平面向量三点共线定理可知，将其化为，则可将表示成关于的二次函数，结合，则可求得其取值范围. 【详解】不妨设，， 则， ， ，，， 则， . 7．已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为 【答案】 【解析】由题意：，，， 所以. 8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则    【答案】 【解析】因为,所以,, 所以...①,...②， 由①+②得：，即.    9．已知向量满足，且，则 【答案】 【解析】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 10．定义：，其中为向量与的夹角，若，则 【答案】8 【解析】试题分析：由得，，所以，由新定义得选. 11．直角坐标系中，已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，且和的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1)1；(2) 【解析】（1）因为，，且，所以. 因为，所以，故. （2）因为，所以，又， 所以，. 因为和的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得. 又，即， 所以的取值范围是. 12．（1）请你用文字语言和符号语言两种形式叙述余弦定理； （2）请你用向量法证明余弦定理. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.   符号语言：                               在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 ，，； （2）法一 ：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 如图设那么   ， 所以，同理得，； 法二： 已知△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则， ， 即   同理可证， 第11页，共38页 学科网（北京）股份有限公司 $