精品解析：北京十一晋元中学2025-2026学年七年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年北京十一晋元中学七年级（上）期末 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图是某几何体的视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 球 C. 三棱柱 D. 长方体 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则x的值不可能是（ ） A. B. C. D. 0 4. 春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》表现亮眼，仅大年初一当日的观影人次约为980万人，据相关数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》平均票价为每张50元，据此计算电影《哪吒之魔童闹海》的大年初一当日的电影票总收入用科学记数法表示约为（ ）元． A. B. C. D. 5. 如图所示，直线l与直线、相交，，若是的2倍，则大小为（ ） A. B. C. D. 6. 下列方程变形中，正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知表示有理数，的点在数轴上的位置如图所示，下列式子计算结果最小的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列图中，两个量和成反比例关系的是（ ） A. 线段总长为1 B. 圆柱体积为1 C. 三角形面积为1 D. 长方体体积为1 9. 整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语灯光通信是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“”表示亮红灯，“”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定： 根据约定的规则，下列说法正确的有（ ） ①“”表示字母； ②若要表示个英文字母，需要盏灯； ③先后发出“”、“”、“”、“”表示“”的缩写“”． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 写出一个关于x的三次二项式，使得它的三次项系数为2，则这个三次二项式为____________ ． 12. 关于的一元一次方程的解是，则的值是______． 13. 已知，则的补角大小为_________________． 14. 如图，，垂足为O，直线经过点，则_______． 15. 将4个如图1所示的长为x、宽为的小矩形按照图2的方式不重叠地摆放在大矩形中，，大矩形中未被覆盖的两部分分别记为和 （1）图形的周长=___________ （用含x，y的式子表示）； （2）图形和的周长之和=____________ 16. 如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒个单位和每秒个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒． （1）当时，______________ ； （2）若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则______________ ． 三、解答题：本题共10小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2） 18. 解方程： （1）； （2） 19. 先化简，再求值：，其中， 20. 如图，已知直线k和直线k外三点A、B、C，请按下列要求画图： （1）画线段； （2）画射线； （3）在射线上取一点D，使得； （4）在直线k上确定点E，使得最小． 21. 把下列的推理过程补充完整，并在括号内填上推理的依据： 如图，已知，，平分，证明：． 解：∵平分， ∴＝∠______， ∵， ∴， ∴____________（____________）， ∴（______）， ∵， ∴， ∴（______）． 22. 如图，点O是的中点，点C在线段上，且，若，求线段的长． 23. 列方程解下列问题：十一晋元中学拟定于年月日举办“智启未来数创无限”主题数学文化节，需要准备九连环、华容道、魔方三种数学玩具共个作为奖励每种玩具都要有，其中华容道单价比九连环的单价贵元，买个华容道和个九连环共需要元． （1）九连环和华容道的单价分别是多少元？ （2）若某超市的魔方有两种类型，学校只能从中选择一种类型．价格如表： 魔方类型 正阶魔方 异形魔方 单价 元 元 若学校用元去购买这三种数学玩具，且九连环和魔方的数量是相同的，应该选择哪种类型的魔方比较合适？购买方案是什么？请说明理由． 24. 我们规定一种新运算：，例如： 请根据上述规定回答下列问题． （1）则______； （2）若，求x的值； （3）已知关于x的方程的解和关于y的方程的解互为相反数，直接写出a的值． 25. 设，，若满足或，则称和互为“半余角”． （1）已知是角平分线，且和互为“半余角”，则______度； （2）如图1，若，，且和互为“半余角”，求的度数； （3）如图2，，是一条射线，作和的角分线，若和互为“半余角”，直接写出的所有可能值． 26. 已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： （1）【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． （2）【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． （3）深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北京十一晋元中学七年级（上）期末 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图是某几何体的视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 球 C. 三棱柱 D. 长方体 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图和左视图都是高度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案． 【详解】解：∵几何体的主视图和左视图都是高度相等的长方形， 故该几何体是一个柱体， 又∵俯视图是一个圆形， 故该几何体是一个圆柱， 故选A． 【点睛】题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，去括号，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类项与去括号的运算法则，逐一验证各选项的正确性，即可求解． 【详解】解： A、和不是同类项，不能合并，则选项A错误，不符合题目要求； B、和为同类项，相减后为0，则选项B正确，符合题目要求； C、，则选项C错误，不符合题目要求； D、，则选项D错误，不符合题目要求． 故选：B． 3. 已知，则x的值不可能是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值得到，再根据各选项的值即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 各个选项中只有不在这个范围内， 故选：A． 4. 春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》表现亮眼，仅大年初一当日的观影人次约为980万人，据相关数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》平均票价为每张50元，据此计算电影《哪吒之魔童闹海》的大年初一当日的电影票总收入用科学记数法表示约为（ ）元． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：总收入为元． 5. 如图所示，直线l与直线、相交，，若是的2倍，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等，得出，再根据，求出即可． 【详解】解：如图所示， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 6. 下列方程的变形中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对选项A，∵，移项，得，与选项变形不符，∴A错误； 对选项B，∵，去括号，得，与选项变形不符，∴B错误； 对选项C，∵，等式两边同时除以，得，与选项变形不符，∴C错误； 对选项D，∵，等式两边同时乘去分母，得，变形正确，∴D正确． 7. 已知表示有理数，的点在数轴上的位置如图所示，下列式子计算结果最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴判断式子的符号，有理数大小比较，有理数加法、减法、法乘的运算法则；由数轴知，再根据加减乘的法则判断出四个选项的符号及算式作比较，即可作出判断． 【详解】解：由数轴知，， 则，， 因为，，且， 所以； 故最小的是； 故选：D． 8. 下列图中，两个量和成反比例关系的是（ ） A. 线段总长为1 B. 圆柱体积为1 C. 三角形面积为1 D. 长方体体积为1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例关系，根据两个量的乘积一定时，两个量成反比例关系进行判断即可． 【详解】解：A、，和为定值，不是反比例关系，不符合题意； B、，和成反比例关系，不符合题意； C、，和成反比例关系，符合题意； D、，和成反比例关系，不符合题意； 故选：C． 9. 整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设先安排x人工作，则x人工作2小时完成的工作量为： 再增加3人和他们一起做4小时，完成的工作量为： 利用两部分工作量之和等于1，从而可得答案. 【详解】解：设先安排x人工作，则 故选D 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“工程问题中，各部分的工作量之和等于1”列方程是解本题的关键. 10. 正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语灯光通信是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“”表示亮红灯，“”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定： 根据约定的规则，下列说法正确的有（ ） ①“”表示字母； ②若要表示个英文字母，需要盏灯； ③先后发出“”、“”、“”、“”表示“”的缩写“”． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，表示二进制中的，表示二进制中的，转化为二进制，然后根据二进制转化为十进制，进行解题即可． 【详解】解：由题意可得，表示二进制中，表示二进制中的， ∴表示二进制的数为， ∴表示十进制的数为，在字母表中第个字母为， ∴表示字母；故①正确； ∵， ， ， ， ， ∴用二进制表示为， ∴要表示个英文字母需要盏灯，故②错误； 由题意可得，表示二进制为，转化为十进制为；在字母表中第个字母为， ∴表示字母；由题意可得， 表示字母；表示字母； 表示二进制为，转化为十进制为；在字母表中第个字母为， ∴表示字母； ∴③错误； 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 写出一个关于x的三次二项式，使得它的三次项系数为2，则这个三次二项式为____________ ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：由题意得满足条件的多项式可以为．（答案不唯一） 12. 关于的一元一次方程的解是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程，得，求解即可，掌握一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：， 故答案为：． 13. 已知，则的补角大小为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据补角的性质即可求解． 【详解】解：的补角大小为． 14. 如图，，垂足为O，直线经过点，则_______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，解决本题的关键是熟练掌握对顶角相等的性质，垂线的定义． 利用对顶角相等的性质，垂线的定义计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案：40． 15. 将4个如图1所示的长为x、宽为的小矩形按照图2的方式不重叠地摆放在大矩形中，，大矩形中未被覆盖的两部分分别记为和 （1）图形的周长=___________ （用含x，y的式子表示）； （2）图形和的周长之和=____________ 【答案】 ①. ②. 16 【解析】 【分析】（1）由图形可得图形的周长为，将其计算即可； （2）由图形可得图形的周长为，将其计算后再与中所得结果相加即可． 【详解】解：（1）图形的周长， 故答案为：； （2）图形的周长为， 则， 即图形和的周长之和． 16. 如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒个单位和每秒个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒． （1）当时，______________ ； （2）若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则______________ ． 【答案】 ①. ②. 或0 【解析】 【分析】（1）根据移动的时间，求出移动后点，点P在数轴上所表示的数，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）用含有的代数式表示移动后点，点，点P所表示的数，进而得到，，，由的值与无关求出的值． 【详解】解：（1）点原点，、为数轴上两点，，且， ，， 数轴上点所表示的数为，点所表示的数为， 当时，点点对应的数为，点点对应的数为， ， 故答案为：； （2）设移动的时间为，则移动后点所表示的数为，点所表示的数为，点所表示的数为， ，，， 当时，， 若的值与的取值无关， 则， 解得：， 当时，， 若的值与的取值无关， 则， 解得：； 故答案为：或0． 三、解答题：本题共10小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）0 （2）15 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 19. 先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【解析】 【分析】将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式． 20. 如图，已知直线k和直线k外三点A、B、C，请按下列要求画图： （1）画线段； （2）画射线； （3）在射线上取一点D，使得； （4）在直线k上确定点E，使得最小． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析； （4）见解析． 【解析】 【分析】（1）连接点A，B，即可； （2）根据射线的定义，作图即可； （3）在的延长线上截取，即可； （4）连接交直线k于点E，即可． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求； 小问2详解】 解：如图，射线即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点D即为所求； 【小问4详解】 解：如图，点E即为所求． 【点睛】本题考查了射线、线段的定义，线段最短等知识，熟悉相关知识点是解题关键． 21. 把下列的推理过程补充完整，并在括号内填上推理的依据： 如图，已知，，平分，证明：． 解：∵平分， ∴＝∠______， ∵， ∴， ∴____________（____________）， ∴（______）， ∵， ∴， ∴（______）． 【答案】；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，等角或同角的补角相等，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据角平分线的定义得出，可得，根据平行线的性质得出，根据同角的补角相等，得出，根据平行线的判定定理即可得出． 【详解】解：∵平分， ∴＝， ∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 22. 如图，点O是的中点，点C在线段上，且，若，求线段的长． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，正确理清线段之间的关系是解题的关键．先根据线段中点的定义求出的长，再根据即可求出的长． 【详解】解：∵点O是的中点，， ∴， ∵， ∴． 23. 列方程解下列问题：十一晋元中学拟定于年月日举办“智启未来数创无限”主题数学文化节，需要准备九连环、华容道、魔方三种数学玩具共个作为奖励每种玩具都要有，其中华容道的单价比九连环的单价贵元，买个华容道和个九连环共需要元． （1）九连环和华容道的单价分别是多少元？ （2）若某超市的魔方有两种类型，学校只能从中选择一种类型．价格如表： 魔方类型 正阶魔方 异形魔方 单价 元 元 若学校用元去购买这三种数学玩具，且九连环和魔方的数量是相同的，应该选择哪种类型的魔方比较合适？购买方案是什么？请说明理由． 【答案】（1）九连环的单价是元，华容道的单价是元 （2）应该选择购买异形魔方比较合适，购买方案是购买九连环个，华容道个，异形魔方个 ，见解析 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． (1)设九连环的单价是元，则华容道的单价是元，根据买个华容道和个九连环共需要元列方程可解得答案； (2)设购买九连环和魔方的数量都是个，则可购买华容道个，分两种情况列方程可得答案． 【小问1详解】 解：设九连环的单价是元，则华容道的单价是元， 买个华容道和个九连环共需要元， ， 解得：， ， 答：九连环的单价是元，华容道的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买九连环和魔方的数量都是个，则可购买华容道个， 若购买正阶魔方，则， 解得：， 即购买九连环和魔方个，这与购买九连环、华容道、魔方三种数学玩具共个不符合； 若购买异形魔方，则， 解得：， ， 购买九连环个，华容道个，异形魔方个符合题意； 答：应该选择购买异形魔方比较合适，购买方案是购买九连环个，华容道个，异形魔方40个． 24. 我们规定一种新运算：，例如： 请根据上述规定回答下列问题． （1）则______； （2）若，求x的值； （3）已知关于x的方程的解和关于y的方程的解互为相反数，直接写出a的值． 【答案】（1） （2）或1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义列式即可解答； （2）先根据新定义将方程化为：或，再解方程即可； （3）分别解两个方程，根据解互相反数，列等式即可解答． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， 当时，可化为 ， ， ； 当时，可化为， ， ， ； 综上，或1； 【小问3详解】 解：，解得， ， ， ， ， ， 关于x的方程的解和关于y的方程的解互为相反数， ， 25. 设，，若满足或，则称和互为“半余角”． （1）已知是的角平分线，且和互为“半余角”，则______度； （2）如图1，若，，且和互为“半余角”，求的度数； （3）如图2，，是一条射线，作和的角分线，若和互为“半余角”，直接写出的所有可能值． 【答案】（1）120 （2）或 （3）的值为或或 【解析】 【分析】（1）由角平分线得，代入“半余角”两种情况，均解得，故； （2）代入验证“半余角”，仅有解，再分在内、外，得或； （3）设，，由平分，平分，得，，分当点D在直线上面，时，，当点D在直线上面，时，，当点D在直线下面，时，，当点D在直线下面，时，，根据与互为“半余角”，有当时，当时，解答． 【小问1详解】 解：已知平分， ∴，且 根据“半余角”定义，有两种情况： 当， 代入， 得， 解得， 则； 当， 代入， 得， 解得， 则 【小问2详解】 解：已知，， 分两种“半余角”情况讨论： 当时： 则， 解得，舍去； 当时： 则， 解得． 再根据的位置分两种子情况： 若在内部， 则； 若在外部， 则． ∴综上的度数为或． 【小问3详解】 解：设，， ∵平分，平分， ∴，， 当点D在直线上面，时，， 由， 得， ∴， ∴， ∵与互为“半余角”， ∴当时， 则， 解得， 则； 当时， ∴， 解得， ∴； 当点D在直线上面，时，， , 当时， 则， 结合， 解得， 则，舍去． 当时， ∴， 解得， ∴，舍去； 当点D在直线下面，时，， , ， 当时， 则， 则， 当时， ∴， 解得，舍去； 当点D在直线下面，时，， , ， 当时， 则， 则，舍去， 当时， ∴， 解得，舍去； 综上：的值为：或或． 26. 已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： （1）【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． （2）【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． （3）【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 【答案】（1）① ， ；② （2）①；② （3）4或0或 【解析】 【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）根据题意，求出m和k的值即可解决问题． 【小问1详解】 解：①由题意知， ， ②因为，，，，…， 所以 【小问2详解】 解：①因为 则当时， ②当时，， 则原方程为， 整理得，， 因为此方程有无数个解， 所以 【小问3详解】 解：由题意知， 原多项式为 因为n为大于3的正整数， 所以是一个二项式． 因为该多项式是关于x，y的五次三项式， 所以或 当，即时，要使该多项式为五次的， 则， 解得或， 经检验，都符合题意， 所以或； 当，即时，要使该多项式为五次的， 则或， 由得，或， 经检验，都符合题意， 所以或0； 由得，或， 时，该多项式为九次三项式，故舍去； 当时，符合题意， 则， 综上所述，的值为4或0或 【点睛】能根据题意得出是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $