三次多项式函数图象及性质 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

nullnull 回忆一下 从已学知识看，导数可以研究哪些问题？ 1) 物理量变化率计算（速度、加速度等） 2) 求曲线切线斜率，研究切线相关问题 3) 分析函数的单调性（一阶导数正负），函数图象变化快慢（凹凸性） 4) 分析函数的极值（一阶导数等0）、最值，研究最优化问题 一元三次函数的图象与性质 选择性必修二P99 探究：一元三次函数 的图象与性质 分析： 需要对a的符号，判别式△进行讨论 a >0 a <0 f (x)图象 f ′(x)图象 Δ>0 Δ≤0 Δ>0 Δ≤0 f (x)单调性 f (x)极值 单增区间:(-∞, x1)和(x2,+∞); 单减区间:(x1,x2) x1 x2 x1 x2 单增区间:(-∞, +∞); 无减区间 单增区间:(x1,x2) 单减区间:(-∞, x1)和(x2,+∞); 无增区间 单减区间:(-∞, +∞); x0 x0 极大值f(x1) 极小值f(x2) 极大值f(x2) 极小值f(x1) 无极值 无极值 必修一P89 一元三次函数对称中心 任何一元三次函数 都有对称中心 的点 为对称中心 例1．(多选)(2022·全国Ⅰ卷)已知函数f (x)＝x3－x＋1，则(　　) A．f (x)有两个极值点 B．f (x)有三个零点 C．点(0，1)是曲线y＝f (x)的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f (x)的切线 √ √ f ′(x)＝3x2－1， 令f ′(x)＞0，得x＞或x＜－，令f ′(x)＜0，得－＜x＜， f (x)在上单调递减，在上单调递增， x＝±是极值点，故A正确； 令f ′′ (x)＝6x2=0，得x=0， f (0)=1，故C正确 小试牛刀 9 AD 变式1． B 变式2． 分析：f（x）有两个极值点，且极大值为正，极小值为负 题号 变式3．方程x3－6x2＋9x＋m＝0恰有三个不等的实根，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－4) B．(－4，0) C．(－∞，－4)∪(0，＋∞) D．(0，＋∞) √ 分析：设f（x） ＝ x3－6x2＋9x，即－ m＝ f（x）有三个不等实根，数形结合可得 例2．已知函数f (x)＝x3+3ax2＋bx+a2在x＝-1 处有极值为0，求a、b的值 典例精析 f ′(x0)=0是f (x)在x= x0处取极值的充分不必要条件 典例精析 例3: 设a≠0，若x=a是函数 的极大值点，则( ) A. B. C. D. 若a<0，则a>2b-a，得a>b 分析： ，f ′(a)=0 若a>0，则a<2b-a ，得a<b 则a(a-b)<0 D 例4. 已知在1，2]上是增函数，求正数的取值范围 典例精析 分析：等价于在上≥0恒成立。 变式1.函数在内存在单调减区间，求的取值范围。 分析：等价于在上0有解。 变式2.函数在内不单调，求的取值范围。 分析：等价于有解。 归纳总结 借助导数分析 数形结合分析 一元三次函数 图像和性质（对称、单调） 零点个数的讨论 三次方程韦达定理 课后作业 1. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c， f(x)在x=0处取得极值，并且在单调区间[0, 2]和[4, 5]上具有相反的单调性. (1) 求实数b的值； (2) 求实数a的取值范围. 2. 若函数f(x)=x3-3x-k 在R上只有一个零点，求常数 k 的取值范围. 3. 已知函数 （a, b是实数，且a>1）在区间[- 1, 1]上的最大值为1，最小值为-2，求函数f(x)的解析式. 对于函数，定义：设为函数f(x)的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.” 请你将这一发现视为条件，已知函数，则它的对称中心为 ； . （2024新高考2卷第11题 ）设函数，则（ ） 当时，有三个零点 当时，是的极大值点 存在，使得为曲线的对称轴 存在，使得点为曲线的对称中心 A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项， ，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，三次多项式函数没有对称轴，C选项错误 D选项，任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. （2023全国乙卷） 函数存在3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. $