精品解析：浙江温州市第二中学2025--2026学年九年级下学期学情自测数学试题

2025学年第二学期九年级开学综合素养检测数学试题卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2025的相反数是（ ） A. B. C. D. 2025 2. 据统计，某日某搜索平台使用解决的问题超过9540000个，数字9540000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由3个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某班有50名学生，某日晨检体温统计如下表： 体温/℃ 36.2 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7 人数 9 10 12 11 7 1 根据上表的信息，关于体温的众数是（ ） A. 12 B. 36.4 C. 9 D. 36.2 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 在直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，为矩形的对角线，于点，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 9. 若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是斜边中点．点在边上，从点出发，运动到点时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过最低点和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 12. 若，则________． 13. 从，0，，3，这五个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率为_________． 14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 15. 《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，则可列方程组________．（结果可以不化简） 16. 如图，在正方形中分割出四个全等三角形与两个正方形，延长交于点，若矩形的面积为，的面积与的面积乘积为，则阴影部分的面积之和用含，的代数式表示为________． 三、填空题（共8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某校开展“数学节”活动，每个学生都参加说题活动．为了解学生的说题水平，从全校学生的说题成绩中随机抽取50名学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：．下面给出了部分统计信息： 说题成绩在组的人数统计表 成绩（分） 81 82 83 84 85 86 87 88 89 人数 2 2 3 0 4 3 1 4 1 根据以上信息解决下列问题： （1）所有抽取学生的说题成绩的中位数是_____分． （2）请估计全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数． 20. 老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线外一点P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线上任取一点C，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再分别以点P，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线，则． （1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由． （2）连接，交点为，若，，求点P到直线的距离． 21. 经测试，在使用快速充电器和普通充电器对某款手机充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象分别为图中的折线段，．根据以上信息，回答下列问题． （1）求线段对应的函数表达式． （2）用充电器给电量仅剩的手机充满电，快速充电器比普通充电器少用几小时？ 22. 如图，在矩形中，，是中点，以点为圆心，长为半径在矩形内画半圆，切半圆于点，与交于点，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 23. 已知关于的二次函数． （1）当时， ①求二次函数的对称轴和顶点坐标． ②当时，该函数的最小值是3，求的值． （2）若抛物线过点，且对于拋物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：． 24. 如图，中，，，点是中点，以为直径作分别交，于点，． （1）求证：点是的中点； （2）连接交于点． ①当点是中点时，求的度数； ②设，，求关于的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期九年级开学综合素养检测数学试题卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2025的相反数是（ ） A. B. C. D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：B． 2. 据统计，某日某搜索平台使用解决的问题超过9540000个，数字9540000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为，n为整数，只需确定a和n的值即可，正确确定a和n是解题关键，n的绝对值等于原数变为a时小数点移动的位数，原数绝对值大于10时n为正数. 【详解】解：∵将9540000转化为的形式时，可得， 满足， 原数小数点向左移动了6位， ∴， 即， 故选：C. 3. 如图是由3个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看所得到的图形即可解答． 【详解】解：它的主视图是： 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，乘法公式逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，正确； D．，故不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，乘法公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 5. 某班有50名学生，某日晨检体温统计如下表： 体温/℃ 36.2 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7 人数 9 10 12 11 7 1 根据上表的信息，关于体温的众数是（ ） A. 12 B. 36.4 C. 9 D. 36.2 【答案】B 【解析】 【分析】36.4出现的次数最多，众数是36.4，众数是数据本身，不是数据出现的次数. 【详解】根据众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的原数据. ∵由表格可得，36.4℃对应的人数最多，即36.4在这组体温数据中出现次数最多， ∴该组体温数据的众数是36.4， 故选：B. 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 7. 在直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意作平面直角坐标系，过点作轴于点，由得，，逆时针旋转后，，与轴夹角变为，即落在轴正半轴，即可得出的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵ ， ∴ ，， 由勾股定理得 ， 又∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， 由旋转的性质得 ，旋转角， ∴ ， ∴ 点在轴正半轴上， ∴ 的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的旋转变换，题目未给出图形，解题时需根据题意画出图形，再结合勾股定理与旋转性质进行分析． 8. 如图，，为矩形的对角线，于点，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】如图，解，求出，再根据矩形的性质可得结论． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， ∴； 又四边形是矩形， ∴． 9. 若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得，，由反比例函数的图象和性质得反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，时，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，时， ∴，， ∴． 10. 如图，在中，是斜边中点．点在边上，从点出发，运动到点时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过最低点和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象可得二次函数对称轴为，由函数图象最低点的坐标可求出可判断C；由二次函数图象的最低点为，可求出，证明是的中位线，可求出可判断D；由勾股定理可得，，得出，从而可判断A、B． 【详解】解：∵函数图象过点和, ∴这两点纵坐标相等， ∴二次函数图象的对称轴为， ∵二次函数图象的最低点为， ∴， 解得；故选C错误； ∴二次函数图象的最低点为，此时，，则， ∵是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴，故选项D错误； 当时，，， ∴， 当时，点与点重合， ∴， ∴， ∴，故选B正确， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴在中，，即，故选项A错误． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验即可得到原方程的解． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得， 解得， 检验：当时，． 因此是原分式方程的解． 13. 从，0，，3，这五个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率为_________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】找出无理数的个数，然后用概率公式直接计算即可． 【详解】无理数有：、， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了概率公式的应用，解题关键是掌握概率公式． 14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 15. 《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，则可列方程组________．（结果可以不化简） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据总人数和总馒头数确定两个等量关系，结合设出的未知数即可列出方程组. 【详解】解：已知大和尚人，小和尚人，总共有个和尚，因此可得第一个方程：. 大和尚每人吃个馒头，个大和尚共吃个馒头；个小和尚吃个馒头，个小和尚共吃个馒头，总共有个馒头，因此可得第二个方程：. 联立两个方程可得方程组. 16. 如图，在正方形中分割出四个全等三角形与两个正方形，延长交于点，若矩形的面积为，的面积与的面积乘积为，则阴影部分的面积之和用含，的代数式表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得出，根据的面积与的面积乘积为，求出，根据矩形的面积为，求出，根据勾股定理得出阴影部分的面积之和即可． 【详解】解：如图， ∵在正方形中分割出四个全等三角形与两个正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积与的面积乘积为， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∴阴影部分的面积之和为： ． 三、填空题（共8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先通分，再进行同分母的加法运算约分后将代入求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 某校开展“数学节”活动，每个学生都参加说题活动．为了解学生的说题水平，从全校学生的说题成绩中随机抽取50名学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：．下面给出了部分统计信息： 说题成绩在组的人数统计表 成绩（分） 81 82 83 84 85 86 87 88 89 人数 2 2 3 0 4 3 1 4 1 根据以上信息解决下列问题： （1）所有抽取学生的说题成绩的中位数是_____分． （2）请估计全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）83 （2）720人 【解析】 【分析】本题考查了统计表和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体等知识点，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）利用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，中位数为第25，26个数据的平均数， 由条形统计图可得第25，26个数据在组， 而， ∴第25，26个数据为，， ∴中位数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（人）， 答：全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数为720人． 20. 老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线外一点P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线上任取一点C，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再分别以点P，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线，则． （1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由． （2）连接，交点为，若，，求点P到直线的距离． 【答案】（1） 解：小亮的作法正确，理由如下： 连接， 由题意可得：， ∴四边形是菱形， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据作图可证明四边形是菱形，则； （2）根据菱形得到对角线互相垂直，对角线互相平分，由勾股定理求出，即可得到，设点P到直线的距离为，然后由面积法得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P到直线的距离为， 则， ∴， ∴点P到直线的距离为． 21. 经测试，在使用快速充电器和普通充电器对某款手机充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象分别为图中的折线段，．根据以上信息，回答下列问题． （1）求线段对应的函数表达式． （2）用充电器给电量仅剩的手机充满电，快速充电器比普通充电器少用几小时？ 【答案】（1）线段对应的函数表达式为 （2）少用小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）由图像分别求出快速充电器和普通充电器需要的时间，作差即可． 【小问1详解】 解：由图可设线段对应的函数表达式为， 代入，得， 解得， ∴线段对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，当时，线段对应的函数， 解得； 当时，对应的点，即快速充电器充满电需要小时； 设线段对应的函数表达式为， 代入，得， 解得， ∴线段对应的函数表达式为； 当时，， 解得； 当时，对应的点，即普通充电器充满电需要小时； 小时； ∴快速充电器比普通充电器少用小时． 22. 如图，在矩形中，，是中点，以点为圆心，长为半径在矩形内画半圆，切半圆于点，与交于点，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、切线的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，证明≌和≌，结合求解即可； （2）证明∽，分别求出和的值，结合勾股定理计算即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图， 由题意知，，， 在和中， ∴≌， ∴， 在和中， ∴≌， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 23. 已知关于的二次函数． （1）当时， ①求二次函数的对称轴和顶点坐标． ②当时，该函数的最小值是3，求的值． （2）若抛物线过点，且对于拋物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：． 【答案】（1）①这个二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ② （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①将代入可求出二次函数解析式，再化成顶点式，即可直接确定对称轴和顶点坐标；②由抛物线开口向上可知，顶点处取最小值2，由时，该函数的最小值是3得函数的最小值在端点处取得，且， 令，得，解得或，结合，确定； （2）由抛物线过点，且对于拋物线上任意一点都有，得抛物线开口向下，，且对称轴为，求出，得到解析式，将，代入解析式，分别表示出和，计算并配方，得到，利用，是不同点得出，因此，从而证明． 【小问1详解】 解：①把代入解析式，得 ， 化为顶点式，得 ， ∴这个二次函数的对称轴为，顶点坐标为； ②二次函数中， ∵， ∴抛物线开口向上，函数有最小值， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴函数最小值为2， ∵时，该函数的最小值是3， ∴函数的最小值在端点处取得，且， 令，则， 解得或， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵抛物线过点，且对于拋物线上任意一点都有， ∴是抛物线的最高点， ∴抛物线开口向下，，且对称轴为， ∴，解得， ∴抛物线解析式为：， ∵点，在抛物线上， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵点，是这条抛物线上不同的两点， ∴，解得， ∴， ∴，即． 【点睛】利用配方法，把二次函数转化为“顶点式”，是快速定位对称轴和顶点的核心技巧；因为顶点处最小值为2，而题目要求最小值为3，说明最小值在区间端点处取得，且；由是最高点可推出且对称轴为，从而求出，确定函数解析式，利用两点坐标，代入函数，得到和的表达式，再通过配方法将转化为完全平方形式，利用平方式的非负性进行证明，注意严格使用题目给出的所有条件，“不同点”意味着，因此． 24. 如图，中，，，点是中点，以为直径作分别交，于点，． （1）求证：点是的中点； （2）连接交于点． ①当点是中点时，求的度数； ②设，，求关于的函数表达式． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，由直角三角形的性质可得，由圆周角定理可得，根据等腰三角形三线合一的性质可证明点是的中点； （2）①连接，，根据垂径定理的逆定理可得，则，结合（1）的结论可得，可计算得，从而求出的度数； ②连接，，过点作的平行线，交于点，设，利用三角函数计算出，，．利用同角三角函数的关系可得，．由平行可判定，从而得到，，同理，则．计算出后消去和，可得关于的函数表达式． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵中，点是中点， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴点是的中点； 【小问2详解】 解：①如图，连接，， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵是的直径， ∴， 在直角中，， ∴； ②如图，连接，，过点作的平行线，交于点，设， 由（1）可得，， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆与三角形的综合题，考查垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的性质，掌握好相关知识是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $