精品解析：辽宁鞍山市华育学校2025-2026学年八年级下学期阶段学情自测数学试题

数学试卷 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质. 根据分式的基本性质，逐项判断变形是否正确. 【详解】解：A：，变形正确； B：时，，即变形并非恒成立，变形错误； C：，变形错误； D：且时，，即变形并非恒成立，变形错误； 故选：A． 2. 某孢子体的孢蒴直径约为0.0000084m，将数据0.0000084用科学记数法表示为，则n的值是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将小数写成的形式，其中，n为负整数，n的绝对值与小数点移动的位数相同，即可得出答案． 【详解】解：，则． 3. 下列因式分解的结果中不含因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数3，再利用平方差公式分解因式即可判断A；提取公因式即可判断B；利用十字相乘法分解因式即可判断C；利用完全平方公式分解因式即可判断D． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在中，点D是上的点，，将沿翻折得到，若，则等于（ ） A. 20° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得，再根据三角形的内角和定理求出，进而求出，然后根据翻折的性质得，最后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 根据翻折的性质得， ∴． 5. 如图，△ABC是等边三角形，AB=12，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 12 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先设BD=x，则CD=20-x，根据△ABC是等边三角形，得出∠B=∠C=60°，再利用三角函数求出BE和CF的长，即可得出BE+CF的值． 【详解】设BD=x，则CD=20-x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°． ∴BE=cos60°•BD= ， 同理可得，CF= ， ∴BE+CF= ． 故选A． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，及锐角三角函数的知识，难度不大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神． 6. 如图，，点D，E分别在上，补充下列一个条件后，不能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据三角形全等的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、∵，，，根据即可证明． B、∵，，，根据即可证明． C、∵，∴，∵，，根据即可证明． D、∵，，，不能判定． 故选：D． 7. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 8. 如图，在中，，，平分，点是的中点，过点作的垂线与的延长线相交于点，则下列结论中正确的个数；；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】由，，得，由平分得，所以，则，而，所以，可证明，得，可判断正确；由，可判断正确；求得，可证明，可判断错误；由，且，推导出，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，平分， ，， ， ， ， 点是的中点， ， ， 交的延长线于点， ， ， 在和中， ， ， ，故正确； ，， ，故正确； ，， ， 不是等腰直角三角形， ，故错误； ， ， ， ，故正确； 故选：C． 【点睛】此题考查直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 二、填空题（每空2分，共16分） 9. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 10. （x2﹣mx+6）（4x﹣2）的积中不含x的二次项，则m的值是 ___． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式的法则将已知代数式化简，再令二次项系数为0，即可求得的值． 【详解】（x2﹣mx+6）（4x﹣2） 不含x的二次项， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项的定义，正确的计算是解题的关键． 11. 若是一个完全平方式，则m的值为________ 【答案】5或-7 【解析】 【详解】由(x±3) ²=x²±6x+9， ∴−(m+1)=±6 解得：m=5或−7 故答案为5或−7． 12. 当_____时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件，根据分子等于零且分母不等于零求解即可． 【详解】解：由题意得：，且 ． 解得 ． ． 13. 中，，上的高为，，则顶角___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半,等边三角形的性质与判定；根据为锐角三角形和钝角三角形两种情况分类讨论解答即可． 【详解】解：当为锐角三角形时，如图1：取的中点，连接 ∴， ， ∴ ，， ， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ； 当为钝角三角形时，如图2：取的中点，连接 同理可得， ， 综上所述，或． 故答案为：或． 14. 如图，在中，，平分，点E在的延长线上，，若，则的度数为_________． 【答案】##52度 【解析】 【分析】先延长至F，使，连接，再说明，并根据“边角边”证明，可得，然后根据等边对等角得，接下来根据三角形外角的性质得，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：延长至F，使，连接， ∵， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴． 在中，， ∴， 解得． 15. 如图，是等边三角形，点，分别是，的中点，点是线段上任意一点，若，则最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质确定满足条件的P点． 连接交于点，连接，，根据两点之间线段最短，得出、、在同一直线上时，最小，即最小，根据等边三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点，连接，， ∵为等边三角形的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴、、在同一直线上时，最小，即最小， ∵是的中点，是等边三角形， ∵，, ∴的最小值为， 故答案为：． 16. 如图，是等边三角形，边长为10，点D在延长线上，且，动点E从点A出发，沿着射线运动，连接，将线段绕点D逆时针旋转60°得到线段，连接．当时，则线段的长为_________． 【答案】7或3 【解析】 【分析】分两种情况：当点E在线段上时，作，先说明是等边三角形可得，再结合旋转的性质说明，可得，然后得出，接下来求出，则此题可解；当点E在线段的延长线上时，作，交的延长线于点H，同理可得，根据全等三角形的对应边相等得出，进而求出，，再根据得出答案． 【详解】解：当点E在线段上时，过点D作交的延长线于点G，如图所示， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 将线段绕点D逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴； 当点E在线段的延长线上时，过点D作，交的延长下于点H，如图所示， 同理可得， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∴． 综上所述，的长为7或3． 三、解答题 17. （1）计算：． （2）简便计算： （3）解分式方程：． （4）先化简，再求值．，从中选取合适的整数代入求值． 【答案】（1）；（2）；（3）原分式方程无解；（4）化简结果为，当时，原式为 【解析】 【分析】（1）利用乘法公式计算即可； （2）利用乘法公式简便计算即可； （3）去分母，化成整式方程，求得整式方程的解，经检验即可求解； （4）根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，把的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）， 去分母得， 去括号得， 解得， 将代入，得， ∴原分式方程无解； （4） ， 由题意得：，2，4， 当时，原式． 18. 如图，在中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）)先根据垂直的定义可得和都是直角三角形，再利用定理证明三角形全等即可； （2）根据证明，得到再利用直角三角形的两锐角互余得出． 【小问1详解】 ， ． 又，， ； 【小问2详解】 为中点， ． ，， ， ． 由（1）得， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 19. 在平面直角坐标系中，点，点，点，且a、b满足． （1）点A坐标为_________，点B坐标为_________，是_________三角形． （2）如图，过点A作射线l（射线l与边有交点），过点B作于点D，过点C作于点E，过点E作于点F交y轴于点G． ①求证：； ②求点G的坐标． 【答案】（1）是等腰直角三角形 （2）①证明见解析 ② 【解析】 【分析】（1），先根据完全平方公式和绝对值的非负性得出，即可得出点A，B的坐标 ，进而得出，再根据等角对等边得出答案； （2），①根据垂直定义说明，再根据“角角边”证明，可得结论；②，先根据可得。即可说明，再说明，然后根据“角边角”证明，可得，则此题可解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则， 解得， ∴点点． ∵点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 ①证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 根据以下素材，完成后面的任务． 问题情境 素材1 “随州的出路在环境，未来靠环境．”为整体提升城市环境，助力支点建设，2025年随州城区进行了较大规模的道路改造． 素材2 甲、乙两工程队各承包了一段500米的道路改造工程，已知乙每天可完成的工程比甲多5米，两工程队同时开始施工，当甲还有100米没有完成时，乙刚完成全部工程． 素材3 后来，两工程队又承包了新的道路改造工程，甲比乙少承包了100米，乙承包了600米，他们的施工效率均保持不变，且仍然同时开始施工． 问题解决 任务1 求甲、乙两工程队每天各可完成多少米道路改造？ 任务2 通过计算说明：第二次承包的道路改造工程，甲、乙两工程队是否可同时完工？ 任务3 对于第二次承包的道路改造工程，应该如何调整其中一人的施工效率才能使两人同时完工？请通过计算给出所有的调整方案． 【答案】任务1：甲、乙两工程队每天分别可完成20米、25米的道路改造；任务2：甲、乙两工程队仍然不能同时完工；任务3：将甲的施工效率增加米/天或将乙的施工效率减少1米/天才能使两工程队同时完工 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： 任务1：设甲每天施工x米，则乙每天施工米，根据题意，列出方程，即可求解； 任务2：分别求出甲、乙两队完工所需要的时间，即可求解； 任务3：方案1：将甲的施工效率增加a米/天，方案2：将乙的施工效率减少b米/天，根据两种方案，分别列出方程，求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：任务1：设甲每天施工x米，则乙每天施工米，根据题意，得： 解方程得． 经检验是方程的解，且符合题意， 所以． 答：甲、乙两工程队每天分别可完成20米、25米的道路改造． 任务2：甲、乙两工程队仍然不能同时完工． 甲需要的时间为：（天）， 乙需要的时间为：（天）， 所以甲比乙完成工程的时间多1天． 任务3：方案1：将甲的施工效率增加a米/天，则 ， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 方案2：将乙的施工效率减少b米/天，则 ， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 综上所述，将甲的施工效率增加米/天或将乙的施工效率减少1米/天才能使两工程队同时完工． 21. 数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式：图1： ；图2： ． 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式，，之间的等量关系． 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为41，求的面积． 【知识迁移】 （4）若，则 ．（直接写出结果） 【答案】（1）；；（2）；（3）10；（4）13 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）图1中的阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积，也等于两个边长分别为a、b的正方形的面积之和加上两个长为a，宽为b的长方形的面积，据此可得图1揭示的公式；图2中的阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积，也等于边长为的正方形的面积减去2个长为a，宽为b的长方形的面积，再加上一个边长为b的正方形的面积，据此可得图2揭示的公式； （2）图3中的阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积，也等于边长为的正方形的面积减去四个长为a，宽为b的长方形的面积，据此可得图2揭示的公式； （3）设，则有，然后根据完全平方公式可进行求解； （4）由题意易得，然后根据整体思想及完全平方公式可进行求解． 【详解】解：（1）由图1可知满足的乘法公式为；由图2可知满足的乘法公式为； 故答案为：，； （2）根据图形可知：图中阴影部分的面积为或者， ∴满足的关系式为； （3）设， ∵ ∴， ∴， ∵两正方形的面积和为41，即， ∴， ∴， ∴； （4）∵， ∴ ∵， ∴； 故答案为：13． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 某孢子体的孢蒴直径约为0.0000084m，将数据0.0000084用科学记数法表示为，则n的值是（ ） A. 6 B. C. D. 3. 下列因式分解的结果中不含因式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点D是上的点，，将沿翻折得到，若，则等于（ ） A. 20° B. 30° C. 35° D. 40° 5. 如图，△ABC是等边三角形，AB=12，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 12 D. 8 6. 如图，，点D，E分别在上，补充下列一个条件后，不能判断的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，平分，点是的中点，过点作的垂线与的延长线相交于点，则下列结论中正确的个数；；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每空2分，共16分） 9. 因式分解：_________． 10. （x2﹣mx+6）（4x﹣2）的积中不含x的二次项，则m的值是 ___． 11. 若是一个完全平方式，则m的值为________ 12. 当_____时，分式的值为0． 13. 中，，上的高为，，则顶角___________． 14. 如图，在中，，平分，点E在的延长线上，，若，则的度数为_________． 15. 如图，是等边三角形，点，分别是，的中点，点是线段上任意一点，若，则最小值是______． 16. 如图，是等边三角形，边长为10，点D在延长线上，且，动点E从点A出发，沿着射线运动，连接，将线段绕点D逆时针旋转60°得到线段，连接．当时，则线段的长为_________． 三、解答题 17. （1）计算：． （2）简便计算： （3）解分式方程：． （4）先化简，再求值．，从中选取合适的整数代入求值． 18. 如图，在中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．求证： （1）； （2）． 19. 在平面直角坐标系中，点，点，点，且a、b满足． （1）点A坐标为_________，点B坐标为_________，是_________三角形． （2）如图，过点A作射线l（射线l与边有交点），过点B作于点D，过点C作于点E，过点E作于点F交y轴于点G． ①求证：； ②求点G的坐标． 20. 根据以下素材，完成后面的任务． 问题情境 素材1 “随州的出路在环境，未来靠环境．”为整体提升城市环境，助力支点建设，2025年随州城区进行了较大规模的道路改造． 素材2 甲、乙两工程队各承包了一段500米的道路改造工程，已知乙每天可完成的工程比甲多5米，两工程队同时开始施工，当甲还有100米没有完成时，乙刚完成全部工程． 素材3 后来，两工程队又承包了新的道路改造工程，甲比乙少承包了100米，乙承包了600米，他们的施工效率均保持不变，且仍然同时开始施工． 问题解决 任务1 求甲、乙两工程队每天各可完成多少米道路改造？ 任务2 通过计算说明：第二次承包的道路改造工程，甲、乙两工程队是否可同时完工？ 任务3 对于第二次承包的道路改造工程，应该如何调整其中一人的施工效率才能使两人同时完工？请通过计算给出所有的调整方案． 21. 数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式：图1： ；图2： ． 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式，，之间的等量关系． 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为41，求的面积． 【知识迁移】 （4）若，则 ．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $