小升初专题强化训练：立体图形（专项训练）-2025-2026学年数学六年级下册人教版

（从课本到奥数）小升初专题强化训练：立体图形-2025-2026学年数学六年级下册人教版 一、选择题 1．一个正方体展开图有6个面，图中给出了5个面（实线部分）。请从①~④（虚线部分）中再选一个面，使展开图能折成正方体。这个面可能是（    ）。 A．①或② B．②或③ C．①或④ D．③或④ 2．把一个表面涂色的正方体木块，平均分成若干个小正方体，如果2面涂色的有24个，那么1面涂色的有（    ）个。 A．36 B．27 C．24 D．8 3．如下图，如果拿走最上层中间位置的小正方体，它的表面积与原来比，（    ）。 A．变大了 B．变小了 C．不变 D．无法比较 4．将一个圆柱的侧面沿高剪开，展开后得到一个正方形，正方形的边长是15.7cm。这个圆柱的表面积是（    ）cm2。 A．31.4 B．39.25 C．246.49 D．285.74 5．冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动。冰球一般是用硬橡胶制成的圆柱体，厚为2.54cm，直径为7.62cm，重156g∼170g。如果将3个这样的冰球拼在一起，表面积比原来减少了（    ）cm²。 A．3.14×（7.62÷2）2×2.54 B．3.14×7.62×4 C．3.14×（7.62÷2）2×4 D．3.14×7.62×6 6．在高28厘米的长方体容器中装满水，平放在桌上，然后将其斜放（如下图所示），水流出了，这时线段长（    ）厘米。 A．8 B．12 C．16 D．20 二、填空题 7．如图，添加一个同样大的积木使它从前面看图形不变（至少一面相接），有( )种添法；使它从上面看到的图形不变，有( )种添法。 8．下图是奇思在院子墙角处搭的一个长方体猫舍。已知搭猫舍共用去2.9米的钢筋，则这个猫舍的宽是( )米，搭这个猫舍至少需要( )平方米塑料网，这个猫舍占地( )平方米，猫舍所占的空间是( )立方米。（靠墙和地的地方不需要材料） 9．如下图，从一个表面积为98平方厘米的长方体上锯下一个正方体，剩下的长方体的表面积是78平方厘米。锯下的正方体的表面积是( )平方厘米。 10．如图①，一个无盖的长方体水箱中盛满水，水深32厘米，将水箱如图②这样倾斜倒出一部分水，此时AB的长度是8厘米，再把水箱放平如图③，这时水箱水的深度是( )厘米。 11．一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如下图），如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了。原来这个物体的体积是( )。 12．如图，把直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，得到的圆锥体积最大是( )cm3。 三、判断题 13．用两张完全相同的长方形纸卷圆柱，卷出的圆柱形状完全相同。( ) 14．有6个长方形面的立体图形一定是长方体。( ) 15．一个长方体的表面积与一个正方体的表面积相等，则它们的体积也一定相等。( ) 16．一个圆锥的底面半径和高相等，过顶点和直径把这个圆锥切开，切面一定是等腰直角三角形。( ) 17．把一块不规则的橡皮泥捏成长方体形状（均为实心），橡皮泥的形状和体积都发生了改变。( ) 四、计算题 18．求下列立体图形的表面积与体积。 （1）                                （2） 19．已知半圆柱的底面直径是10厘米，求下面图形的体积和表面积。 20．求下面图形的表面积。 五、解答题 21．小艾的爸爸买了一个观赏鱼缸，鱼缸内部长40厘米，宽30厘米，高30厘米，放入一个高20厘米，体积为4000立方厘米的假山石后，用水流量为每分钟4立方分米的水管向鱼缸注水，至少需要多少分钟能将假山石淹没？ 22．如图①，一个棱长为6cm的正方体，从前面的中心向后面挖去一个长方体（向后面全部挖空），前面的孔是一个边长为2cm的正方形，图①剩余部分的体积是多少？如果像图②这样从前面和上面的中心各向对面挖一个这样的孔道，那么图②剩余部分的体积是多少？ 23．如下图，一个长方体木块，若从它的下部和上部分别截去一个高为3cm的长方体和一个高为2cm的长方体后，就变成了一个正方体，此时，它的表面积减少了120cm2。原来长方体的体积为多少立方厘米？ 24．为了测量一个空瓶子的容积，学习小组进行了合作研究并记录信息如下。 ①测量出整个瓶子的高度是25cm；②测量出瓶子的圆柱部分的内直径是6cm； ③给瓶子注入一些水，把瓶子正放时，测出水的高度是5cm； ④把瓶盖拧紧，瓶子倒置放平，测量出无水部分圆柱的高度是15cm。 （1）选择信息（    ）可以求出这个瓶子的容积。（填序号） （2）根据选出的信息，求出瓶子的容积。 25．一个圆柱形零件，高10cm，底面直径是8cm，零件的一端有一个圆柱形圆孔，圆孔的直径是4cm，孔深5cm（如下图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（从课本到奥数）小升初专题强化训练：立体图形-2025-2026学年数学六年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C A D C C 1．A 【分析】正方体展开图不能出现“田”字格等会导致折叠时面重叠的结构，需保证各面能合理围合； 添加后，图形结构符合正方体展开图的要求，能折成正方体； 添加后，图形符合正方体展开图的要求，与最上层的小正方形会形成对立面，所以能折成正方体； 添加后，图形会出现面重叠等不符合正方体展开图的问题，不能折成正方体； 添加后，图形结构不符合正方体展开图的要求，最下层的两个面无法与其他面形成对立面，所以不能折成正方体。 【详解】由分析可知只有选择或能折成正方体。 故答案为：A。 【点睛】根据正方体展开图的特征，判断添加、、、中哪个面能构成可折叠的正方体。 2．C 【分析】2面涂色的小正方体位于大正方体的棱上（不包括顶点），正方体有12条棱，用2面涂色的小正方体的个数除以12即可求出每条棱上两面涂色的小正方体个数，再加上2（两端顶点处的小正方体个数）即可求出每条棱被分成的份数；1面涂色的小正方体位于大正方体的面上（不包括棱和顶点），在大正方体每个面的中心区域组成一个边长为（每条棱被分成的份数－2）的正方形，正方体有6个面，所以用（每条棱被分成的份数－2）×（每条棱被分成的份数－2）×6即可求出1面涂色的小正方体有多少个。据此解答。 【详解】每条棱上两面涂色的小正方体个数：24÷12＝2（个） 每条棱被分成的份数：2＋2＝4（份） 1面涂色的小正方体个数为： （4－2）×（4－2）×6 ＝2×2×6 ＝4×6 ＝24（个） 把一个表面涂色的正方体木块，平均分成若干个小正方体，如果2面涂色的有24个，那么1面涂色的有24个。 故答案为：C 【点睛】解答本题的关键是用2面涂色的小正方体的个数除以12再加上2求出每条棱被分成的份数，并理解1面涂色的小正方体在大正方体每个面的中心区域组成一个边长为（每条棱被分成的份数－2）的正方形。 3．A 【分析】根据正方体的表面积的意义，分析减少的面和新增加的面，相互抵消判断表面积的具体增减即可。 【详解】从一个面上挖去一个小正方体，比原来的表面积减少1个面，新增加了5个面，表面积变大了。 故答案为：A 【点睛】本题考查正方体的表面积，解答本题的关键是理解图形的表面积变化情况。 4．D 【分析】根据题意，这个圆柱体沿高剪开后是一个正方形，则说明这个圆柱体的底面周长等于高等于正方形的边长15.7cm，据此可以求出底面圆的半径，底面圆的半径＝底面圆的周长÷2÷，再根据公式圆的面积＝求出底面圆的面积乘2（有上下两个底面），再加侧面面积，侧面面积＝底面周长×高，据此即可求解。 【详解】 （厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 故答案为：D 【点睛】圆柱体沿高展开后是一个正方形，那么就意味着这个圆柱体的底面周长与高相等，以此算出底面半径即可解答此类题。 5．C 【分析】根据题意可知，把3个同样的冰球重叠在一起，表面积比原来减少了4个底面的面积，根据圆的面积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】直径为7.62cm，底面圆的面积为， 把3个同样的冰球重叠在一起，表面积比原来减少了4个底面的面积，即。 故答案为：C 【点睛】此题考查的是理解掌握圆柱表面积的意义及应用，圆的面积公式及应用，关键是熟记公式。 6．C 【分析】由图可知，把这个长方体容器斜放，水流出 ，水流出后的空间可以看作底面积与容器底面积相同，高为 ab的长方体的。假设容器的容积是1立方厘米，那么长方体的容器的底面积是1÷28＝ （平方厘米），则ab的高度就等于流出水的体积除以底面积再乘2。 【详解】假设容器的容积是1立方厘米。 底面积：（平方厘米） 线段ab的长： （厘米） 因此线段ab的长为16厘米。 故答案为：C 【点睛】本题考查长方体容积的应用，此题解答关键是将容器的容积设为“1立方厘米”，先用分数表示容器的底面积，进而求出线段ab的长。 7． 6 4 【分析】从前面看，上面1行1个小正方形居左，下面1行3个小正方形，要使从前面看图形不变，新增的积木可以放在：底层3个小正方体的正后方（每个小正方体后面各1种，共3种）；底层3个小正方体的正前方（每个小正方体前面各1种，共3种）。 总共：3＋3＝6（种） 从上面看，上面1行1个小正方形，下面1行3个小正方形，有4个小正方体，每个小正方体的上方都可以添加1个正方体，因此有4种添加方法。 【详解】根据分析：添加一个同样大的积木使它从前面看图形不变（至少一面相接），有6种添加方法；使它从上面看到的图形不变，有4种添加方法。 8． 0.7 2.74 0.84 0.84 【分析】猫舍靠墙角搭建，钢筋只围一条长、一条宽和一条高，用总长度减去长和高就能求出宽；塑料网不靠墙和地面，只需算出前面（长×高）、侧面（宽×高）和顶面（长×宽）三个面的面积和，占地面积用长乘宽计算，所占空间用长×宽×高求出体积。 【详解】宽：2.9－1.2－1＝0.7（米） 塑料网面积：1.2×1＋0.7×1＋1.2×0.7－ ＝1.2＋0.7＋0.84 ＝2.74（平方米） 占地面积：1.2×0.7＝0.84（平方米） 所占空间：1.2×0.7×1＝0.84（立方米） 9．30 【分析】先求出长方体锯下正方体后减少的表面积，而减少的部分是正方体的4个侧面，因此用减少的面积除以4得到正方体一个面的面积，最后用一个面的面积乘6，求出锯下的正方体的表面积。 【详解】（98－78）÷4×6 ＝20÷4×6 ＝5×6 ＝30（平方厘米） 10．20 【分析】设长方体水箱的长是a厘米、宽是b厘米，长方体水箱中盛满水，水深32厘米，说明长方体水箱的高是32厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高求出长方体水箱的体积，由图②可知，A点到长方体水箱顶端的距离是32－8＝24厘米，图②中两个空白部分可以拼成一个长是a厘米、宽是b厘米、高是24厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高求出拼成的长方体的体积，再除以2就是图③空白部分的体积，用长方体水箱的体积减去空白部分的体积就是水的体积，用有水部分长方体的体积除以长方体的底面积就是这时水箱水的深度。 【详解】解：设长方体水箱的长是a厘米、宽是b厘米。 a×b×32＝32ab（立方厘米） a×b×（32－8）÷2 ＝ab×24÷2 ＝24ab÷2 ＝12ab（立方厘米） 32ab－12ab＝20ab（立方厘米） 20ab÷（ab）＝20（厘米） 所以这时水箱水的深度是20厘米。 【点睛】设长方体水箱的长是a厘米、宽是b厘米，明确图②中两个空白部分可以拼成一个长是a厘米、宽是b厘米、高是24厘米的长方体是解题的关键。 11．200.96 【详解】根据题意可知∶如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了50.24平方厘米，表面积增加了两个底面的面积，由此可以求出底面积，再根据圆柱的体积公式：V＝sh，圆锥的体积公式：V＝sh，把数据分别代入公式求出它们的体积和即可。 【解答】解：50.24÷2＝25.12（平方厘米） 25.12×6＋×25.12×（12﹣6） ＝150.72＋×25.12×6 ＝150.72＋50.24 ＝200.96（立方厘米） 则原来这个物体的体积是200.96立方厘米。 【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 12．50.24 【分析】先确定直角三角形的两条直角边长度：在直角三角形中直角边小于斜边，所以直角边是3厘米和4厘米，再分别以两条直角边为轴旋转得到两个圆锥，根据圆锥体积公式：，计算两个圆锥的体积，比较后得出最大体积；据此解答。 【详解】当以3cm直角边为轴旋转时，得到的圆锥的高为3cm ，底面半径为另一条直角边4cm，圆锥的体积为：      （cm） 当以4cm直角边为轴旋转时，得到的圆锥的高为4cm ，底面半径为另一条直角边3cm， 圆锥体积为：       （cm） 把直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，得到的圆锥体积最大是50.24cm3。 【点睛】本题是考查将一个简单图形旋转一定的度数变成圆锥，意在训练学生的观察能力和空间想象能力。 13．× 【分析】用两张完全相同的长方形纸卷圆柱时，卷法可能不同（沿长边卷或沿宽边卷）。如果卷法不同，卷出的圆柱高度和底面直径会不同，因此形状不一定完全相同。 【详解】两张完全相同的长方形纸，假设长均为9厘米，宽均为6厘米。若一张纸沿长边卷，则圆柱的高为6厘米，底面周长为9厘米；若另一张纸沿宽边卷，则圆柱的高为9厘米，底面周长为6厘米。由于长方形的长和宽数值可能不相等，因此两个圆柱的高度和底面直径不同，形状不完全相同。故该说法错误。 故答案为：× 【点睛】理解长方形纸卷成圆柱，纸的大小影响圆柱的形状，宽的纸卷出的圆柱更大，窄的纸卷出的圆柱更小，是解题的关键。 14．× 【分析】根据立体图形的特征，长方体有6个面，每个面都是长方形或正方形（正方形是特殊的长方形）。但是六棱柱满足有6个长方形面，还有2个六边形面，不符合长方体的定义，据此解答。 【详解】由分析可知，有6个长方形面的立体图形一定是长方体。原题说法错误。 故答案为：× 15．× 【分析】已知长方体和正方体的表面积相等，可以用假设的方法，假设二者的表面积为一个具体数值，通过表面积公式求得正方体的棱长，和长方体的长宽高，这里长方体的长宽高会有多种情况，取其中一种，算得长方体的体积若和正方体体积不相等即可。 【详解】假设长方体和正方体的表面积均为24平方厘米。 则正方体的棱长为：24÷12＝2（厘米） 此时正方体的体积为：2×2×2＝8（立方厘米） 长方体的长、宽、高可以分别为1厘米，2厘米，厘米， 此时长方体的体积为：1×2×＝（立方厘米） 和正方体体积不相等。 故答案为：× 【点睛】此题一定要熟练掌握正方体和长方体的表面积、体积公式，并且会用假设的思想去解题，针对此判断题，只要提出一个反例，就可推翻题目中的判断。 16．√ 【分析】圆锥纵切面是一个三角形，三角形的底是圆锥底面直径，三角形高是圆锥的高，如果圆锥的底面半径和高相等，纵切面如图，切面是一个等腰直角三角形。 【详解】根据分析，一个圆锥的底面半径和高相等，过顶点和直径把这个圆锥切开，切面一定是等腰直角三角形，说法正确。 故答案为：√ 【点睛】关键是熟悉圆锥特征，想清楚纵切面和圆锥之间的关系。 17．× 【分析】根据长方体的特征和长方体体积的计算方法，由题意知：把一块不规则的橡皮泥捏成长方体形状（均为实心），橡皮泥的形状改变了，体积没有发生改变。 【详解】把一块不规则的橡皮泥捏成长方体形状（均为实心），橡皮泥的形状改变了，体积没有发生改变。 故答案是：× 【点睛】能理解把不规则物体捏成长方体（均为实心），形状改变了，体积没有改变，是解决此题的关键。 18．（1）324cm2；360cm3 （2）30m2；6m3 【分析】（1）根据长方体表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2，体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 （2）组合图形的表面积＝正方体表面积－长方体上下面的面积＋长方体的侧面积，其中长方体上下面是2个边长为1m的正方形，长方体的侧面是4个相同的长为2m、宽为1m的长方形；根据正方体的表面积公式S＝6a2，正方形的面积公式S＝a2，长方形的面积公式S＝ab；代入数据计算求解； 组合图形的体积＝正方体的体积－长方体的体积；根据正方体的体积公式V＝a3，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 【详解】（1）表面积： （12×6＋12×5＋6×5）×2 ＝（72＋60＋30）×2 ＝162×2 ＝324（cm2） 体积： 12×6×5＝360（cm3） 长方体的表面积是324cm2，体积是360cm3。 （2）表面积： 2×2×6－1×1×2＋2×1×4 ＝24－2＋8 ＝30（m2） 体积： 2×2×2－1×1×2 ＝8－2 ＝6（m3） 组合图形的表面积是30m2，体积是6m3。 19．7822.5立方厘米；2792.5平方厘米 【分析】“”“”，图形的体积＝长方体的体积－半圆柱的体积；“”“”，先用长方体5个面的面积减去圆柱底面圆的面积，计算出图形前面、后面、左面、右面、下面5个面的面积，再用两个小长方形的面积加上半圆柱的侧面积，计算出图形上面的面积，最后相加求和，据此解答。 【详解】体积：30×20×15－3.14×（10÷2）2×30÷2 ＝30×20×15－3.14×25×30÷2 ＝600×15－78.5×30÷2 ＝9000－2355÷2 ＝9000－1177.5 ＝7822.5（立方厘米） 表面积：20×30＋（20×15＋30×15）×2－3.14×（10÷2）2 ＝20×30＋（300＋450）×2－3.14×25 ＝20×30＋750×2－3.14×25 ＝600＋1500－78.5 ＝2100－78.5 ＝2021.5（平方厘米） （20－10）×30＋3.14×10×30÷2 ＝10×30＋3.14×10×30÷2 ＝300＋31.4×30÷2 ＝300＋942÷2 ＝300＋471 ＝771（平方厘米） 2021.5＋771＝2792.5（平方厘米） 答：图形的体积是7822.5立方厘米，表面积是2792.5平方厘米。 20．307.72cm2 【分析】观察图形可知，小圆柱和大圆柱有重合的部分，把小圆柱的上底面向下平移，补给大圆柱的上底面；这样大圆柱的表面积是侧面积和2个底面积之和，而小圆柱只需计算侧面积即可；所以组合图形的表面积＝大圆柱的侧面积＋大圆柱的2个底面积＋小圆柱的侧面积；根据公式S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】3.14×10×3＋3.14×（10÷2）2×2＋3.14×6×3 ＝3.14×30＋3.14×25×2＋3.14×18 ＝94.2＋157＋56.52 ＝307.72（cm2） 图形的表面积是307.72cm2。 21． 5分钟 【分析】假山石高20厘米，所以水位要达到20厘米才能将其完全淹没，根据“长方体体积＝长×宽×高”可得此时鱼缸内20厘米高的空间总体积为40×30×20＝24000立方厘米； 因为假山石本身占了一部分体积，所以实际需要注入的水量是总体积减去假山石的体积（4000立方厘米），即24000－4000＝20000立方厘米； 根据“1立方分米＝1000立方厘米”，将立方厘米换算成立方分米，20000立方厘米＝20立方分米； 水管流量为每分钟4立方分米，用需水量除以水管每分钟的流量，即可得到注水所需的时间。据此解答。 【详解】40×30×20 ＝1200×20 ＝24000（立方厘米） 24000－4000＝20000（立方厘米） 20000立方厘米＝20立方分米 20÷4＝5（分钟） 答：至少需要5分钟能将假山石淹没。 【点睛】水位必须达到假山石的高度（20厘米）才能将其完全淹没，而不是注满整个鱼缸；因为假山石已经占据了一部分空间，所以计算需要注入的水量时，必须用“水位到20厘米时的总体积”减去“假山石的体积”。 22．192立方厘米；176立方厘米 【分析】题图①中挖掉的是一个宽和高为2cm、长为6cm的长方体，用正方体的体积减去挖掉的长方体的体积即可。求题图②中剩余部分的体积，可以先计算两条孔道的体积，每条孔道的体积都是（cm³），两条孔道的体积之和是（cm³）。但两条孔道相交的地方是一个体积为（cm³）的正方体，且这个正方体总共被计算了2次，实际只计算1次就可以，因此两条孔道的实际总体积为（cm³）。最后用正方体的体积减去两条孔道的实际总体积即可。 【详解】 （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：图①剩余部分的体积是192立方厘米；图②剩余部分的体积是176立方厘米。 【点睛】本题需利用正方体和长方体的体积公式，通过正方体体积减去挖去部分的体积来求解剩余部分体积。 23．396立方厘米 【分析】根据题意，截去上下两部分后，表面积减少的部分是4个以原来长方体底面边长和（）厘米为边的相同长方形的面积之和。所以用减少的表面积除以截去的高，得到底面周长，因为底面是正方形，再根据正方形的周长＝边长×4，求出底面边长，即是正方体的棱长，长方体原来的高等于上下部截去的高度的和与正方体的棱长之和，最后利用长方体的体积公式求出原来长方体的体积，据此解答。 【详解】底面周长：（厘米） 底面边长：（厘米） 原来的高：（厘米） 原来的体积：（立方厘米） 答：原来长方体的体积为396立方厘米。 【点睛】理解表面积减少的部分是4个以原来长方体底面边长和（）厘米为边的相同长方形的面积之和，由此求出正方体的棱长，是解题的关键。 24．（1）②③④ （2）565.2mL 【分析】（1）因为瓶子无论正放、还是倒放，瓶子里水的体积不变，这个瓶子的容积相当于底面直径是6厘米，高是厘米的圆柱的容积； （2）根据圆柱的体积（容积）公式：，把数据代入公式解答。 【详解】（1）根据分析得：选择信息②③④可以求出这个瓶子的容积。 （2） （cm） 565.2cm＝565.2mL 答：瓶子的容积565.2mL。 【点睛】此题主要考查圆柱的体积（容积）公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式，注意：体积单位与容积单位之间的换算。 25．414.48平方厘米 【分析】将圆孔的底面平移到大圆柱的孔处，接触空气的面积包括完整的大圆柱的表面积和小圆柱的侧面积，据此根据圆柱的表面积和侧面积公式列式解答即可。 【详解】 （平方厘米） 答：一共要涂414.48平方厘米。 【点睛】圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $