6.3平面向量基本定理及坐标表示讲义（4知识点 5题型）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3 平面向量基本定理及坐标表示（4知识点+5题型） 知识点一：平面向量基本定理 如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使得．我们把不共线的向量｛、｝叫做表示这个平面内所有向量的一组基底． 知识点二：平面向量的正交分解及坐标表示 （1）平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解． （2）平面向量的坐标表示 ①正交基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底． ②平面向量坐标表示：对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标． 其中：=(1，0)，=(0，1)，=(0，0). （3）向量与坐标的关系 设＝xi＋yi，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y)． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 知识点三：平面向量线性运算的坐标表示 （1）两个向量和（差）的坐标表示 已知非零向量 则： （2）向量数乘的坐标表示 知识点四：平面向量数量积的几何与坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 题型一：平面向量基底的选择-作为基底的两个向量不共线 例1．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A．和 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】判断出哪个选项的两个向量共线即可. 【详解】对于C，共线，不能作为基底， 对于ABD，两组向量都不共线， 故选：C. 变式1-1．下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断两个平面向量能否构成平面的基底，只需判断它们是否共线即可，不共线才能作为平面的基底. 【详解】能作为平面内的基底，须使两向量与不平行， 若，则， 故只需判断选项中的两向量的坐标是否满足即得. 对于A选项，因，∴与不平行，故A项正确； 对于B选项，，∴与不平行，故B项正确； 对于C选项，，∴与不平行，故C项正确； 对于D选项，，∴，故D项错误. 故选：D. 变式1-2．（多选题）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】对于A，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于B，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于C，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于D，明显不存在实数使，则不共线，可以作为平面向量的基底. 故选：ABC. 题型二：平面向量基本定理应用及线性运算①选择合适的两个向量作为基底向量来表示其他向量②利用平面向量的加减法和数乘向量用基底来表示所求向量。 例2．在中，，若，线段与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中线性质得出，再由平面向量线性运算即可求得结果. 【详解】如下图所示：    由可得分别为的中点， 由中线性质可得， 又，所以， 因此. 故选：B 变式2-1．在中，点在直线上，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据画出及点D的位置，再由向量的线性运算即可由表示出. 【详解】因为， 所以    故选：A. 变式2-2．在等腰梯形中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何图形，结合向量的线性运算求解即得. 【详解】在等腰梯形中，，，，则有， 所以. 故选：A 题型三：平面向量数量积的坐标表示及向量共线、垂直的坐标 例3．已知平面向量，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量坐标的数乘和减法运算直接求解即可 【详解】. 故选：A 变式3-1．平面向量，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及模的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 变式3-2．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的坐标，再利用向量模的坐标表示计算即得. 【详解】向量，则， 所以. 故选：A 变式3-3．已知向量，若，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算与共线向量的坐标表示求解即得. 【详解】向量，则， 由，得，解得， 所以实数的值为1. 故选：A 变式3-4．已知平面向量，．若，则（    ） A．或1 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示结合向量垂直分析求解. 【详解】因为，，则，， 又因为，则，解得或， 且，所以． 故选：B． 变式3-5．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量是 【答案】BCD 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算逐项判断. 【详解】对于A：，故A错误. 对于B：，因为，所以，故B正确； 对于C：，则，故C正确； 对于D：在上的投影向量是，故D正确. 故选：BCD. 变式3-6．已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：B 变式3-7．已知平面向量，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】首先求出、的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故选：A 题型四：向量坐标运算的几何应用 ①首先选择合适位置建立直角坐标系②根据点坐标求向量坐标③根据几何关系写出向量关系求解 例4．在直角坐标系中，向量，，，，其中，，. (1)若 ，，三点共线，求实数的值； (2)若四边形为菱形，求的值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据 ，，三点共线，可得共线，根据向量共线的坐标表示列式计算，可得答案； （2）根据菱形的性质，结合向量模以及向量的线性运算，列出方程，求得m的值，即可求得答案. 【详解】（1）由已知得，， 因为 ，，三点共线，共线， 所以； （2）,, 由四边形为菱形得，即， 即①， 由菱形得, 将代入①，解得， 所以. 变式4-1．已知平行四边形中，． (1)求点D的坐标； (2)设向量与夹角为，求的值； (3)求平行四边形的面积． 【答案】(1)(2)(3)6 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，由此求得答案； （2）根据向量的夹角公式没即可求得答案； （3）根据平行四边形的面积，结合三角形面积公式，求得答案. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 设点D的坐标为， 所以,所以,即点D的坐标． （2），，，， 所以． （3）因为，所以， 所以平行四边形的面积为： . 题型六：范围与最值 例5．在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为(    ) A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】用和表示，根据E、O、F三点共线可得，利用和基本不等式可求的最小值，再根据的最小值为3即可求出t的值． 【详解】， ∵E、O、F三点共线，∴， ∵m>0，n>0，t>0， ∴， 当且仅当时取等号， ∴． 故选：B． 变式5-1．如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正八边形的边长为4，求出外接圆的半径和内切圆的半径，再根据平面向量的数量积求出的最小值和最大值，即可得出结果 【详解】正八边形中，， 所以，， 连接，过点作，交、于点、，交于点， 设， 中，由余弦定理得，， △OAF中，， 所以，解得， ，解得， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最小值为， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最大值为， 因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是． 故选：A． 巩固练习 一、单选题 1．已知向量，，若与共线，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先求得的坐标，再根据向量与共线求解. 【详解】已知向量,,所以， 因为与共线，所以，解得：. 故选：C 2．已知向量，，若与反向共线，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标运算，求得参数，再结合向量线性运算的坐标运算求模长即可. 【详解】根据题意可得：，解得或； 当时，与共线同向，故舍去； 当时，，， . 故选：C. 3．设向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据坐标进行向量的计算，分别计算出对应的坐标和模长，再根据向量的夹角公式代入即可. 【详解】由题意知， ， ． 故选：B 4．在中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加减、数乘的几何意义用表示出即可. 【详解】因为， 所以， 又，所以， 所以. 故选：C 5．已知向量，则“或”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【分析】根据与的夹角为钝角，由且与不共线求得t的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线， 即或且， 所以“或”是“与的夹角为钝角”必要不充分条件， 故选：B. 6．在中，点是的中点，点分的比为与相交于，设，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解. 【详解】   由题意三点共线，所以存在，使得， 同理三点共线，所以存在，使得， 由平面向量基本定理可得，解得， 所以. 故选：C. 7．如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，再利用与共线，与共线，求出点的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式进行求解即可. 【详解】 以为坐标原点，，所在方向分别为轴和轴建立平面直角坐标系， 则，，，，，设， ，，，， 与共线，设，，即， 与共线，设，，即， ，解得，， ， ，， ，， ， . 故选：A. 8．如图，在△ABC中，点P在边BC上，且，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若，，则实数的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合向量的运算可得，然后由三点共线得，可得答案. 【详解】由题意知：， 又，，即， 由三点共线，可得，即. 故选：B. 二、多选题 9．已知，则（    ） A．若，则存在唯一的实数p，q，使得 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】首先根据选项，分别代入，再根据向量坐标公式，即可判断选项. 【详解】A：当时，不共线，所以可以作为一组基向量， 由平面向量基本定理得，存在唯一的实数p，q使得，所以A正确； B：若，则， 所以不成立，所以B错误； C：若，则， 所以，所以C正确； D：若，则， 所以在上的投影向量为，所以D正确． 故选：ACD 10．下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】判断两个平面向量能否构成平面的基底，只需判断它们是否共线即可，不共线才能作为平面的基底. 【详解】能作为平面内的基底，须使两向量与不平行，若，则， 故只需判断选项中的两向量的坐标是否满足即得. 对于A选项，因，∴与不平行，故A项正确； 对于B选项，，∴与不平行，故B项正确； 对于C选项，，∴与不平行，故C项正确； 对于D选项，，∴，故D项错误. 故选：ABC. 11．下列命题正确的是（   ） A．若，则存在唯一实数使得 B．“”是“”的必要不充分条件 C．不同向的向量不能比较大小，同向共线的也不可以 D．若点为的重心，则 【答案】BCD 【分析】根据向量共线定理，向量的概念，向量的线性运算对选项逐一判断即可. 【详解】对于A选项：若,则不成立； 对于B选项：，若方向不同，则不成立，反之，若，则他们大小和方向均相同，所以，正确； 对于C选项：向量的两个要素：方向和大小，其中方向不能比较大小，所以向量不能比较大小，正确； 对于D选项：如图，点为的重心，则延长分别与相交于三点,所以分别为中点,且,所以,成立. 故选:BCD. 三、填空题 12．若向量，满足，，，则______． 【答案】 【分析】根据题设，由平面向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】由，有，即，得， 又，得． 故答案为：. 13．向量，若存在实数，使得，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】对给定向量等式两边平方，借助一元二次方程有实根求出的取值范围即得. 【详解】向量，由两边平方，得， 整理得， 依题意，关于的方程有实根，显然，否则， 则，即，解得或， 由，得，因此，， 所以的取值范围是. 故答案为： 14．已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】由题意不妨设，则，所以设，然后利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量均为单位向量，且，所以不妨设， 设，因为，所以， 则设， 所以，， 所以 ， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 三、解答题 15．如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中． (1)求的值；(2)求面积的最小值，并指出相应的的值． 【答案】(1) (2)时，取得最小值． 【分析】（1）由正三角形的中心的性质，有，又三点共线，所以； （2）面积表示为的函数，通过换元和基本不等式，求最小值. 【详解】（1）延长交与，由是正三角形的中心，得为的中点， 则， 由，，得， 又三点共线，所以，即． （2）是边长为1的正三角形，则， ． 由，则， ，，解得， ． 设，则， 则，当且仅当，即时取等号， 所以当，即时，取得最小值． 【点睛】方法点睛： 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．求算式的限值范围，根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 16．已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【答案】(1)答案见解析 (2)地在地的东南方向，距地 【分析】（1）根据向量的定义即可求解， （2）根据三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）由题意，作出向量，，，，如图所示．    （2）依题意知，为正三角形，所以． 又因为，， 所以为等腰直角三角形，则，， 所以地在地的东南方向，距地． 17．已知向量，的夹角为，且满足，. (1)求向量在向量上的投影数量； (2)若向量与向量共线，求k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据数量积的定义求出，然后求出，最后带入投影数量公式进行计算即可； （2）由共线设，再根据平面向量基本定理列方程求解. 【详解】（1）因为，，且向量与的夹角为， 所以， 所以. 所以向量在向量上的投影数量为 （2）若向量与向量共线，则存在实数，使， 所以，解得. 18．如图，在中，，，且，，是和的交点． (1)用，表示，． (2)证明：． (3)证明：是线段的中点． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由，可得，再由，求出； （2）利用数量积运算求解； （3）由三点共线与三点共线，进行求解判断. 【详解】（1）因为，所以，则． 因为，所以， 则． （2）证明：由（1）可得 ． 因为，，所以，则． （3）证明：因为三点共线， 所以． 因为三点共线，所以， 则，解得，即， 故是线段的中点． 19．，是夹角为的单位向量，设． (1)计算的大小； (2)设向量，若与共线，求实数m的值； (3)是否存在实数n，使得与向量垂直，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在，. 【分析】（1）利用数量积的定义及运算律求解. （2）利用共线向量定理列式求解. （3）假定存在，利用垂直关系的向量表示，数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）由，是夹角为的单位向量，得，而， 因此. （2）向量与共线，则，所以. （3）假定存在实数n，使得与向量垂直，则， 即，解得， 所以存在实数n，使得与向量垂直，. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 重点知识梳理 1．向量（）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 . 2．平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝ .我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 3．平面向量的正交分解及坐标表示 （1）平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. （2）线性运算的坐标表示 文字叙述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和. 若＝（x1,y1），＝（x2,y2），则＝ . 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差. 若＝（x1,y1），＝（x2,y2），则＝ . 两点构 成的向 量坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 若A（x1,y1），B（x2,y2），则＝ . 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 若＝（x,y），λ∈R，则＝ .   （3）平面向量共线的坐标表示：设＝（x1,y1），＝（x2,y2），其中b≠0，向量共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 4．向量的数量积 （1）向量数量积的定义 ①向量的夹角：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作＝，＝（如图所示），则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量与的夹角. ②向量的平行与垂直：当θ＝0时，与同向；当θ＝π时，与反向；如果与的夹角是，我们说与垂直，记作⊥. ③向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量||||cosθ叫做向量与的数量积（或内积），记作·，即·＝||||cosθ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. （2）向量的投影 ①定义：如图，设，是两个非零向量，，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，则向量在向量上的投影向量是||cosθ. （3）向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 ①·＝·＝||cosθ. ②⊥⇔·＝0. ③当与同向时，·＝||||；当与反向时，·＝－||||.特别地，·＝||2或||＝. ④|·|≤||||. （4）向量数量积运算的运算律对于向量，，和实数λ，有 ①·＝·；②（λ）·＝λ（·）＝·（λ）；③（＋）·＝·＋·. （5）数量积的坐标表示 表示已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 5. 平面几何中的向量方法 （1）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系. （2）常用充要条件 ①G为△ABC重心的一个充要条件：＋＋＝0； ②O为△ABC外心的一个充要条件：＝＝； ③P为△ABC垂心的一个充要条件：·＝·＝·. 题型一、平面向量基底的选择----作为基底要求两个向量不共线 例1．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A．和 B．与 C．与 D．与 变式1-1．下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．（多选题）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 题型二、平面向量基本定理应用及线性运算 ①选择合适的两个向量作为基底向量来表示其他向量；②利用平面向量的加减法和数乘向量用基底来表示所求向量 例2．在中，，若，线段与交于点，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1在中，点在直线上，且满足，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．在等腰梯形中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型三、平面向量数量积的坐标表示及向量共线、垂直的坐标 例3．已知平面向量，，则等于（　　） A． B． C． D． 变式3-1．平面向量，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 变式3-2．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 变式3-3．已知向量，若，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 变式3-4．已知平面向量，．若，则（    ） A．或1 B． C．1 D． 变式3-5（多选题）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量是 变式3-6．已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 变式3-7．已知平面向量，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 题型四、向量坐标运算的几何应用 例4．在直角坐标系中，向量，，，，其中，，. (1)若 ，，三点共线，求实数的值； (2)若四边形为菱形，求 变式4-1．已知平行四边形中，． (1)求点D的坐标； (2)设向量与夹角为，求的值； (3)求平行四边形的面积． 题型五：范围与最值 例5．在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为(    ) A．2 B．3 C． D． 变式5-1．如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 巩固练习 一、单选题 1．已知向量，，若与共线，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 2．已知向量，，若与反向共线，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 3．设向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．在中，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，则“或”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 6．在中，点是的中点，点分的比为与相交于，设，则向量（    ） A． B． C． D． 7．如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，点P在边BC上，且，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若，，则实数的值是（    ）   A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，则（    ） A．若，则存在唯一的实数p，q，使得 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 10．下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（    ） A． B． C． D． 11．下列命题正确的是（   ） A．若，则存在唯一实数使得 B．“”是“”的必要不充分条件 C．不同向的向量不能比较大小，同向共线的也不可以 三、填空题 12．若向量，满足，，，则______． 13．向量，若存在实数，使得，则的取值范围是______ 14．已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为______． 三、解答题 15．如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中． (1)求的值；(2)求面积的最小值，并指出相应的的值． 16．已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 17．已知向量，的夹角为，且满足，. (1)求向量在向量上的投影数量； (2)若向量与向量共线，求k的值. 18．如图，在中，，，且，，是和的交点． (1)用，表示，． (2)证明：． (3)证明：是线段的中点． 19．，是夹角为的单位向量，设． (1)计算的大小； (2)设向量，若与共线，求实数m的值； (3)是否存在实数n，使得与向量垂直，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $