考点04 三元一次方程组（6大题型）（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

考点04 三元一次方程组 考点一：三元一次方程组的定义 1.三元一次方程概念：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方 程。 2.由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 考点二：三元一次方程组的解 使三元一次方程组中三个方程左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解。 考点三：解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。 考点四：解三元一次方程组的一般步骤 1.消元：（1）利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到一个二元一次方程组。（2）再选择另外两个方程，通过同样的方法消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程。 2. 求解二元一次方程组： 3求出第三个未知数：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值。 考点五：三元一次方程组实际应用 解决实际问题时，通常需要根据问题中的等量关系列出三元一次方程组，然后求解方程组得到问题的答案。 题型一：三元一次方程（组）的定义 ． （1）认为三个方程含不同未知数也能组成方程组； （2）误将非一次方程纳入方程组； （3）系数是分数、负数没关系，只要未知数次数是1，就是三元一次方程． 【典例精讲】（2025春•遵化市期中）下列是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024春•鼓楼区期末）下列方程中，属于三元一次方程的是（　　） A．π+x+y＝6 B．xy+y+z＝6 C．x+2y+3z＝9 D．3x+2y﹣4z＝4x+2y﹣2z 【变式训练2】（2024秋•荔城区校级期末）若（m+2）x+y|m+1|+z＝4是关于x，y，z的三元一次方程，则m＝　　 ． 题型二：三元一次方程组的解 ． （1）只满足一个方程，就当成解，代入一个方程对了，就说是解； （2）解是一对数，不是一个数． 【典例精讲】（2025春•沈丘县期末）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024春•岫岩县期中）下列四组数值中，是方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024秋•碧江区 期末）已知是方程组的解，则a+b+c的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 题型三：解三元一次方程组 （1）观察整理 把三个方程写成标准形式； （2）消去一个未知数 任选两个方程，通过加减消元或代入消元，消掉同一个未知数，得到一个只含两个未知数的新方程①。 再换两个方程，消掉同一个未知数，得到新方程②。此时得到一个二元一次方程组； （3）解二元一次方程组 解新得到的二元方程组，求出两个未知数； （4）回代求第三个未知数 把求出的两个数代入最简单的原方程，求出第三个未知数； （5）检验 把三个数代入三个原方程，验证是否都成立. （1）消元要认准同一个未知数，两次消元必须消同一个字母，不然得不到二元方程组，解不下去； （2）消元优先选系数简单的； （3）移项一定要变号，移项最容易错，正变负、负变正，千万不能忘； （4）乘遍每一项，别漏乘常数项，方程两边同乘一个数时，左边、右边、每一项都要乘，常数项最容易漏. 【典例精讲】（2025春•邯郸期中）三元一次方程组消去未知数c后，所得二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024春•梁平区期末）解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（　　） A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③ 【变式训练2】（2024春•道县校级月考）三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】（2025春•桂阳县月考）解方程组： 题型四：整体思想 （1）观察三个方程，找能合并成整体的式子； （2）把整体设成一个新字母（也可以不设，直接当成整体算）； （3） 先求出整体的值； （4）再回代求每个未知数． （1）三个方程相加时算错和； （2）相减时减反了； （3）只求出整体，不回代求单个未知数； （4）移项、去括号、相减时正负号看错； （5）不会判断什么时候用整体思想． 【典例精讲】（2025秋•冷水江市期末）已知，则x+y+z的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练1】（2025春•泉州期末）若方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式训练2】（2025春•东阳市月考）【数学问题】解方程组． 【思路分析】小明观察后发现可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． （1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． （2）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组． 【变式训练3】（2025春•千阳县月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组，时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，解得y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得：2x+5×（﹣1）＝3，解得x＝4，所以，方程组的解为． 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： （1）解方程组； （2）已知x，y，z满足试求z的值． 题型五：新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． （1）直接把新符号当成普通加、减、乘、除，题目定义什么规则，就严格按规则代，不能想当然； （2）代入时顺序搞反； （3）有括号时，不先算括号里，有括号必须先算括号内，再算外面； （4）多步运算跳步，新定义一定要一步一步写，不能心算． 【典例精讲】（2025秋•山西期末）阅读与思考请仔细阅读并完成相应任务． 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务 关于“复数”的研究报告 智慧小组 研究对象：复数 研究思路：类比，按“概念﹣﹣性质﹣﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣﹣猜想﹣﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】如果一个数的平方等于﹣1．记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a、b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如：计算：（2+i）+（3﹣4i）＝5﹣3i． 【特例研究】根据商解方程的定义，i3＝　 ． 任务： （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容． （2）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题： 已知：（x+y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x、y为实数），求x、y的值． 【变式训练1】（2025春•上城区月考）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．请根据上述思想解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，分别求5x+y和x+3y的值； （2）对于实数x、y，定义新运算；x*y＝ax+by+c其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知2*3＝12，3*5＝16，求a+b+c的值． 题型六：实际应用问题 （1） 先找三个未知量，题目一般会出现三个相关的量，直接设：x、y、z； （2）找三个等量关系（列三个方程）； （3）选方法解方程． （1）设未知数不写清楚； （2）找不全三个等量关系； （3）单位不统一； （4）“比、是、占、多、少”搞反； （5）列方程时数量与单价搞混． 【典例精讲】（2024秋•福田区校级期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛． 例：当多项式x2+3x+5的值为7时，求多项式3x2+9x﹣2的值． 解：因为x2+3x+5＝7，所以x2+3x＝2． 所以3x2+9x﹣2＝3（x2+3x）﹣2＝3×2﹣2＝4． 请根据阅读材料，解决下列问题： （1）把（x﹣y）2看成一个整体，化简3（x﹣y）2﹣7（x﹣y）2+2（x﹣y）2的结果是 　 ； （2）已知x2+3x﹣2＝0．求x2（5x2+15x）+30x﹣2044的值； （3）《九章算术》是中国古典数学著作，其中有一个问题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗．上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何．”原文意思为：优质稻子3捆，普通稻子2捆，劣质稻子1捆，能碾39斗米；优质稻子2捆，普通稻子3捆，劣质稻子1捆，能碾34斗米；优质稻子1捆，普通稻子2捆，劣质稻子3捆能碾26斗米．我们假设优质稻子每捆能碾米a斗，普通稻子每捆能碾米b斗，劣质稻子每捆能碾米c斗．请你运用“整体思想”，求出优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾多少斗米？ 【变式训练1】【阅读理解】 在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求x+y+z的值． 解：①×2得：6x+4y+2z＝8③ ②﹣③得：x+y+z＝2 ∴x+y+z的值为2． 【类比迁移】（1）已知，求3x+4y+5z的值； 【实际应用】（2）马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元．通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，请问比原价购买节省了多少钱？ 1．（2024春•射洪市期末）下列四组数值中，（　　）是方程组的解． A． B． C． D． 2．（2025春•凉山州期末）若实数x，y，z满足，则x+y+6z＝（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．不能确定值 3．（2024春•南安市期中）解方程组时，要使解法较为简便，应（　　） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 4．（2025春•昆明校级期中）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；求a，b，c的值为（　　） A．a＝﹣2，b＝3，c＝﹣5 B．a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5 C．a＝﹣5，b＝﹣2，c＝3 D．a＝﹣5，b＝3，c＝﹣2 5．（2024秋•怀化期末）已知方程组，则x+y+z的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2024•吴兴区校级四模）对于有理数x、y定义一种运算“□”：x□y＝ax+by+c，其中a、b、c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知3□5＝15，4□7＝28，则1□1的值为（　　） A．﹣1 B．﹣11 C．1 D．11 7．（2025春•宝山区校级期末）三元一次方程组的解为　 　 ． 8．（2025春•邗江区校级月考）小川同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组解不出x、y、z的具体数值，但可以解出x+y+z的值为　 　． 9．（2024春•叙州区校级期中）若|x﹣2y+1|+|z+y﹣5|+|x﹣z﹣3|＝0，则x+y+z＝ 　 　 ． 10．（2025春•遂宁期末）在等式y＝ax2+bx+c中，若x＝0，y＝﹣3；若x＝1，y＝0；若x＝﹣1，y＝0；若x＝2，y＝　 　 ． 11．（2023秋•固原期末）已知：，且3a+2b﹣4c＝9，则a+b+c的值等于 　 　 ． 12．（2024秋•北京期中）数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为a，b，c且a＞b＞c，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏，某小组按照此方式玩了5次游戏，他们将部分数据记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 a a 31 乙 a c 19 丙 a c 15 由此推断a的值为 　 　 ． 13．（2025春•南海区月考）三元一次方程x+2y+3z＝100的非负整数解个数有　 　 个． 14．（2025秋•明水县期末）解方程组： （1）； （2）． 15．（2024秋•奉贤区期末）解方程组：． 16．（2025春•平舆县期末）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组． 解：把②代入①得，x+2×1＝3，解得x＝1． 把x＝1代入②得y＝0， 所以方程组的解为． （2）已知，求x+y+z的值． 解：①+②，得10x+10y+10z＝40，③ ③÷10，得x+y+z＝4． [类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若，求x+y+z的值． 17．（2015春•仁寿县月考）一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？ 18．（2025春•通州区期末）小明在解方程组时发现，可以将①+②得：5x﹣5y＝10③，将③÷5得：x﹣y＝2④，将④×2得：2x﹣2y＝4⑤，用⑤﹣①得：y＝1，②﹣⑤得：x＝3，∴方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． （1）已知关于x、y的方程组，则方程组的解是 　 　 ． （2）已知关于x，y，z的方程组，则x+y+z＝　 　 ，方程组的解是 　 　 ． （3）对于有理数x，y定义一种新的运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式的右边是有理数的运算，若3*5＝16，4*7＝23，求1*1的值． 19．（2024春•岷县校级月考）阅读材料： 已知方程组，求x+y+z的值． 解法一：由原方程组，得． ②﹣①，得x＝3﹣2y．③ 把③代入①，得2（3﹣2y）+z＝8﹣3y， z＝2+y． 所以x+y+z＝（3﹣2y）+y+（2+y）＝5． 解法二：将原方程组整理得， ②﹣①，得x+2y＝3 ③ 把③代入①，得x+y+z＝5． 请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求x﹣2y+z的值． 20．（2024春•夹江县期末）【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法 例1：解方程组 解：由①得y＝7﹣x③ 将③代入②得3x+7﹣x＝17 解得x＝5 将x＝5代入③，得y＝2 所以 小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试： （1）如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组 　　 ． （2）求解出上述x、y、z的值． 21．（2025春•泰州校级月考）对于两个正数a，b（a≠1），定义一种新的运算，记作（a，b），即：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：34＝81，则（3，81）＝4． （1）根据上述运算填空：（2，4）＝　 　；（2，8）＝　 　 ：（2，32）＝　 　 ． （2）先观察（2，4），（2，8）与（2，32）的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：（a，m）+（a，n）＝　 　 ，并证明你发现的结论； （3）如图①，正方形ABCD的边长为m，小正方形CGFE的边长为n，若（a，m）+（a，n）＝（a，p），（2，m+n）＝4，（2，p）＝3．求图中阴影部分的面积． （4）如图②，四边形ABED，CGHD是长方形纸条，AD＝CD＝m，CG＝n，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形HFED沿着DE翻折得到长方形DEMN，若（a，m）＝（b，n）＝2，长方形ABMN的面积是15，AN＝5，a+b＝3，求（a﹣b）2的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点04 三元一次方程组 考点一：三元一次方程组的定义 1.三元一次方程概念：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方 程。 2.由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 考点二：三元一次方程组的解 使三元一次方程组中三个方程左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解。 考点三：解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。 考点四：解三元一次方程组的一般步骤 1.消元：（1）利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到一个二元一次方程组。（2）再选择另外两个方程，通过同样的方法消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程。 2. 求解二元一次方程组： 3求出第三个未知数：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值。 考点五：三元一次方程组实际应用 解决实际问题时，通常需要根据问题中的等量关系列出三元一次方程组，然后求解方程组得到问题的答案。 题型一：三元一次方程（组）的定义 ． （1）认为三个方程含不同未知数也能组成方程组； （2）误将非一次方程纳入方程组； （3）系数是分数、负数没关系，只要未知数次数是1，就是三元一次方程． 【典例精讲】（2025春•遵化市期中）下列是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一次，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组；利用三元一次方程组的定义逐项判断即可得到答案． 【解答】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2， 故A选项中方程组不是三元一次方程组； 对于B选项，第一个方程中分母含有未知数， 故B选项中方程组不是三元一次方程组； 对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3， 故C选项中的方程组不是三元一次方程组； 对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次， 故D选项中的方程组是三元一次方程组． 故选D． 【变式训练1】（2024春•鼓楼区期末）下列方程中，属于三元一次方程的是（　　） A．π+x+y＝6 B．xy+y+z＝6 C．x+2y+3z＝9 D．3x+2y﹣4z＝4x+2y﹣2z 【分析】含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可． 【解答】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意； C、是三元一次方程，符合题意； D、方程化简为：﹣x﹣2z＝0，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意． 故选：C． 【变式训练2】（2024秋•荔城区校级期末）若（m+2）x+y|m+1|+z＝4是关于x，y，z的三元一次方程，则m＝　　 ． 【分析】由于（m+2）x+y|m+1|+z＝4是三元一次方程，可知指数为1，各未知数系数不为0． 【解答】解：∵（m+2）x+y|m+1|+z＝4是关于x，y，z的三元一次方程， 可得：m+2≠0，|m+1|＝1， 所以解得：m＝0， 故答案为：0 题型二：三元一次方程组的解 ． （1）只满足一个方程，就当成解，代入一个方程对了，就说是解； （2）解是一对数，不是一个数． 【典例精讲】（2025春•沈丘县期末）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】由③﹣①可得y＝﹣5，再把y＝﹣5代入②可得z＝﹣11，然后把z＝﹣11代入①，即可求解． 【解答】解：， 根据消元法可知由方程③﹣方程①得y＝﹣5， 把y＝﹣5代入②得z﹣2×（﹣5）＝﹣1， 解得z＝﹣11， 把z＝﹣11代入①得x﹣（﹣11）＝4， 解得x＝﹣7， ∴． 故选：C． 【变式训练1】（2024春•岫岩县期中）下列四组数值中，是方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答． 【解答】解：， ①+②得： 3x+y＝1④， ①+③得： 4x+y＝2⑤， ⑤﹣④得： x＝1， 把x＝1代入④中， 3+y＝1， 解得：y＝﹣2， 把x＝1，y＝﹣2代入①中， 1﹣4+z＝0， 解得：z＝3， ∴原方程组的解为：， 故选：D． 【变式训练2】（2024秋•碧江区 期末）已知是方程组的解，则a+b+c的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【分析】由题意，可将x，y及z的值代入方程组得到关于a，b，c的方程组，将方程组中三个方程左右两边相加，变形后即可求出a+b+c的值． 【解答】解：由题意将代入方程组得： ， ①+②+③得：a+2b+2b+3c+c+3a＝2+3+7， 即4a+4b+4c＝4（a+b+c）＝12， 则a+b+c＝3． 故选：A． 题型三：解三元一次方程组 （1）观察整理 把三个方程写成标准形式； （2）消去一个未知数 任选两个方程，通过加减消元或代入消元，消掉同一个未知数，得到一个只含两个未知数的新方程①。 再换两个方程，消掉同一个未知数，得到新方程②。此时得到一个二元一次方程组； （3）解二元一次方程组 解新得到的二元方程组，求出两个未知数； （4）回代求第三个未知数 把求出的两个数代入最简单的原方程，求出第三个未知数； （5）检验 把三个数代入三个原方程，验证是否都成立. （1）消元要认准同一个未知数，两次消元必须消同一个字母，不然得不到二元方程组，解不下去； （2）消元优先选系数简单的； （3）移项一定要变号，移项最容易错，正变负、负变正，千万不能忘； （4）乘遍每一项，别漏乘常数项，方程两边同乘一个数时，左边、右边、每一项都要乘，常数项最容易漏. 【典例精讲】（2025春•邯郸期中）三元一次方程组消去未知数c后，所得二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】先消去未知数c可得，从而可得答案． 【解答】解：， ②﹣③得：3a+3b＝3即a+b＝1， ③×3+①得：5a﹣2b＝19， ∴， 故选：A． 【变式训练1】（2024春•梁平区期末）解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（　　） A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③ 【分析】观察z的系数，利用加减消元法消去z即可． 【解答】解：解三元一次方程组，如果消掉未知数z， 则应对方程组变形为②﹣①，②﹣③． 故选：C． 【变式训练2】（2024春•道县校级月考）三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据解三元一次方程组的方法可以解答本题． 【解答】解： ①﹣③得，4x+3y＝2， ③×4+②得：7x+5y＝3， ∴三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是， 故选：A． 【变式训练3】（2025春•桂阳县月考）解方程组： 【分析】①+②得出5x+2y＝16④，③+②得出3x+4y＝18⑤，由④和⑤组成一个二元一次方程组，求出x、y的值，再求出z即可． 【解答】解：， ①+②，得5x+2y＝16④， ③+②，得3x+4y＝18⑤， 由④和⑤组成一个二元一次方程组， 解得：， 把代入①，得6﹣3+z＝4， 解得：z＝1， 所以原方程组的解是． 题型四：整体思想 （1）观察三个方程，找能合并成整体的式子； （2）把整体设成一个新字母（也可以不设，直接当成整体算）； （3） 先求出整体的值； （4）再回代求每个未知数． （1）三个方程相加时算错和； （2）相减时减反了； （3）只求出整体，不回代求单个未知数； （4）移项、去括号、相减时正负号看错； （5）不会判断什么时候用整体思想． 【典例精讲】（2025秋•冷水江市期末）已知，则x+y+z的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】利用整体思想，把三个方程相加，得2（x+y+z）＝2+3+7＝12，解得x+y+z＝6，解答即可． 【解答】解：三个方程相加得2（x+y+z）＝12， 解得x+y+z＝6． 【变式训练1】（2025春•泉州期末）若方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【分析】将三个方程相加并两边同时除以2可求得x+y+z的值，然后将3k﹣x﹣y﹣z＝6变形后代入数值解关于k的方程即可． 【解答】解：已知方程组， 将三个方程相加可得2x+2y+2z＝18， 则x+y+z＝9， ∵方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6， ∴3k＝6+x+y+z＝6+9＝15， ∴k＝5， 故选：C． 【变式训练2】（2025春•东阳市月考）【数学问题】解方程组． 【思路分析】小明观察后发现可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． （1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． （2）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组． 【分析】（1）把①代入②，求出x的值，再把x的值代入①，求出y的值； （2）先把①代入③，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a的值代入①，求出b的值，即可． 【解答】解：（1）按照小明的思路，完成解方程组的过程如下： ， 把①代入②，得5x﹣2×2＝6， ∴x＝2， 把x＝2代入①得：2+y＝2， ∴y＝0， ∴； （2）， 把①代入③得：3+c＝0， ∴c＝﹣3， 把c＝﹣3代入②得：5a﹣9＝1， ∴a＝2， 把a＝2代入①得：2+b＝3， ∴b＝1， ∴． 【变式训练3】（2025春•千阳县月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组，时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，解得y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得：2x+5×（﹣1）＝3，解得x＝4，所以，方程组的解为． 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： （1）解方程组； （2）已知x，y，z满足试求z的值． 【分析】（1）方程组利用“整体代换”思想求出解即可； （2）方程组两方程变形后，利用“整体代换”思路求出z的值即可． 【解答】解：（1）， 由②得3（2x﹣3y）﹣2y＝9③， 把方程①代入③得，3×5﹣2y＝9， 解得：y＝3， 把y＝3代入①得，x＝7， 所以方程组的解为：； （2）， 由②知x+4y＝19﹣z③， 由①可变形为3×（x+4y）﹣2z＝47， 将③代入①得3×（19﹣z）﹣2z＝47， 解得：z＝2． 题型五：新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． （1）直接把新符号当成普通加、减、乘、除，题目定义什么规则，就严格按规则代，不能想当然； （2）代入时顺序搞反； （3）有括号时，不先算括号里，有括号必须先算括号内，再算外面； （4）多步运算跳步，新定义一定要一步一步写，不能心算． 【典例精讲】（2025秋•山西期末）阅读与思考请仔细阅读并完成相应任务． 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务 关于“复数”的研究报告 智慧小组 研究对象：复数 研究思路：类比，按“概念﹣﹣性质﹣﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣﹣猜想﹣﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】如果一个数的平方等于﹣1．记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a、b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如：计算：（2+i）+（3﹣4i）＝5﹣3i． 【特例研究】根据商解方程的定义，i3＝　 ． 任务： （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容． （2）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题： 已知：（x+y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x、y为实数），求x、y的值． 【分析】（1）逆用同底数幂乘法计算即可； （2）根据两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，得到关于x、y的二元一次方程组，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意，得i2＝﹣1， ∴i3＝i2•i＝﹣i． 故答案为：﹣i； （2）根据题意可知，， 解得：， ∴x的值为2，y的值为﹣3． 【变式训练1】（2025春•上城区月考）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．请根据上述思想解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，分别求5x+y和x+3y的值； （2）对于实数x、y，定义新运算；x*y＝ax+by+c其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知2*3＝12，3*5＝16，求a+b+c的值． 【分析】（1）将两个方程分别相加，相减后即可求得答案； （2）根据题意列得方程组为，用①×2﹣②即可求得答案． 【解答】解：（1）已知二元一次方程组， ①+②得：5x+y＝11， ①﹣②得：x+3y＝5； （2）根据题意列得方程组为， ①×2﹣②得：a+b+c＝8． 题型六：实际应用问题 （1） 先找三个未知量，题目一般会出现三个相关的量，直接设：x、y、z； （2）找三个等量关系（列三个方程）； （3）选方法解方程． （1）设未知数不写清楚； （2）找不全三个等量关系； （3）单位不统一； （4）“比、是、占、多、少”搞反； （5）列方程时数量与单价搞混． 【典例精讲】（2024秋•福田区校级期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛． 例：当多项式x2+3x+5的值为7时，求多项式3x2+9x﹣2的值． 解：因为x2+3x+5＝7，所以x2+3x＝2． 所以3x2+9x﹣2＝3（x2+3x）﹣2＝3×2﹣2＝4． 请根据阅读材料，解决下列问题： （1）把（x﹣y）2看成一个整体，化简3（x﹣y）2﹣7（x﹣y）2+2（x﹣y）2的结果是 　 ； （2）已知x2+3x﹣2＝0．求x2（5x2+15x）+30x﹣2044的值； （3）《九章算术》是中国古典数学著作，其中有一个问题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗．上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何．”原文意思为：优质稻子3捆，普通稻子2捆，劣质稻子1捆，能碾39斗米；优质稻子2捆，普通稻子3捆，劣质稻子1捆，能碾34斗米；优质稻子1捆，普通稻子2捆，劣质稻子3捆能碾26斗米．我们假设优质稻子每捆能碾米a斗，普通稻子每捆能碾米b斗，劣质稻子每捆能碾米c斗．请你运用“整体思想”，求出优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾多少斗米？ 【分析】（1）把（x﹣y）2看成一个整体，合并同类项即可； （2）由已知等式求出x2+3x的值，原式变形后整体代入计算即可求出值； （3）根据题意列出三元一次方程组，利用整体代入法求出优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾的米即可． 【解答】解：（1）3（x﹣y）2﹣7（x﹣y）2+2（x﹣y）2 ＝（3﹣7+2）（x﹣y）2 ＝﹣2（x﹣y）2； 故答案为：﹣2（x﹣y）2； （2）因为x2+3x﹣2＝0， 所以x2+3x＝2， x2（5x2+15x）+30x﹣2044 ＝x2×5×（x2+3x）+30x﹣2044 ＝x2×5×2+30x﹣2044 ＝10x2+30x﹣2044 ＝10（x2+3x）﹣2044 ＝10×2﹣2044 ＝﹣2024； （3）根据题意得： ①×4+②﹣③得：13a+9b+2c＝39×4+34﹣26＝164， 则优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾164斗米． 【变式训练1】【阅读理解】 在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求x+y+z的值． 解：①×2得：6x+4y+2z＝8③ ②﹣③得：x+y+z＝2 ∴x+y+z的值为2． 【类比迁移】（1）已知，求3x+4y+5z的值； 【实际应用】（2）马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元．通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，请问比原价购买节省了多少钱？ 【分析】（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，求出按照原价80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔花费总数，即可求出节省的钱数． 【解答】解：（1）， ①+②得：6x+8y+10z＝36， 则3x+4y+5z＝18； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元， 根据题意得：40x+20y+4z＝488， ∴80x+40y+8z＝488×2＝976， 976﹣732＝244（元）， 则比原价购买节省了244元钱． 1．（2024春•射洪市期末）下列四组数值中，（　　）是方程组的解． A． B． C． D． 【分析】①+③得出4a＝﹣4，求出a的值，②+③得出5a﹣2b＝﹣9，代入后求出b，即可求出答案． 【解答】解： ①+③得：4a＝﹣4， 解得：a＝﹣1， ②+③得：5a﹣2b＝﹣9④， 把a＝﹣1代入④得：﹣5﹣2b＝﹣9， 解得：b＝2， 把a＝﹣1，b＝2代入①得：﹣1+2+c＝0， 解得：c＝﹣1， 故原方程组的解为， 故选：B． 2．（2025春•凉山州期末）若实数x，y，z满足，则x+y+6z＝（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．不能确定值 【分析】把z看作已知数表示出方程组的解，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：， ①﹣②得：y＝﹣z﹣2， 把y＝﹣z﹣2代入①得：x+z+2＝1﹣4z， 解得：x＝﹣1﹣5z， 把x＝﹣1﹣5z，y＝﹣z﹣2代入得：x+y+6z＝﹣1﹣5z﹣z﹣2+6z＝﹣3． 故选：A． 3．（2024春•南安市期中）解方程组时，要使解法较为简便，应（　　） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 【分析】根据第一个方程缺少未知数y，所以利用第二个，第三个方程消去y，解方程组比较简单． 【解答】解：第二个，第三个方程消去y，把三元方程组转化为二元方程组，比较简单． 故选：B． 4．（2025春•昆明校级期中）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；求a，b，c的值为（　　） A．a＝﹣2，b＝3，c＝﹣5 B．a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5 C．a＝﹣5，b＝﹣2，c＝3 D．a＝﹣5，b＝3，c＝﹣2 【分析】根据题意，列出方程组进行求解即可． 【解答】解：∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3； ∴， 解得：； 故选：B． 5．（2024秋•怀化期末）已知方程组，则x+y+z的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】把三个方程相加，进行计算即可解答． 【解答】解：， ①+②+③得： 2x+2y+2z＝3+（﹣6）+9， ∴x+y+z＝3， 故选：A． 6．（2024•吴兴区校级四模）对于有理数x、y定义一种运算“□”：x□y＝ax+by+c，其中a、b、c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知3□5＝15，4□7＝28，则1□1的值为（　　） A．﹣1 B．﹣11 C．1 D．11 【分析】先由运算的定义，写出3□5＝15，4□7＝28，得到关于a、b、c的方程组，用含c的代数式表示出a、b．代入2□2求出值． 【解答】解：∵3□5＝3a+5b+c＝15，4□7＝4a+7b+c＝28， ∴， 解这个方程组，得 ， 所以1□1＝a+b+c＝13﹣2b+b+b﹣24＝﹣11． 故选：B． 7．（2025春•宝山区校级期末）三元一次方程组的解为　　 ． 【分析】利用整体的思想进行计算，即可解答． 【解答】解：， ①+②+③得：2x+2y+2z＝8， 解得：x+y+z＝4④， ④﹣①得：z＝﹣1， ④﹣②得：x＝3， ④﹣③得：y＝2， ∴原方程组的解为：， 故答案为：． 8．（2025春•邗江区校级月考）小川同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组解不出x、y、z的具体数值，但可以解出x+y+z的值为　4　 ． 【分析】方程组的两式相加后，再利用等式的性质可得结论． 【解答】解：， ①+②，得5x+5y+5z＝20， ∴x+y+z＝4． 故答案为：4． 9．（2024春•叙州区校级期中）若|x﹣2y+1|+|z+y﹣5|+|x﹣z﹣3|＝0，则x+y+z＝ 　10　 ． 【分析】根据非负数的性质可得，解方程组求出x、y、z的值即可求解． 【解答】解：∵|x﹣2y+1|+|z+y﹣5|+|x﹣z﹣3|＝0， ∴， 解得， ∴x+y+z＝5+3+2＝10， 故答案为：10． 10．（2025春•遂宁期末）在等式y＝ax2+bx+c中，若x＝0，y＝﹣3；若x＝1，y＝0；若x＝﹣1，y＝0；若x＝2，y＝　9　 ． 【分析】先运用待定系数法求函数解析式，然后将x＝2代入求y的值即可． 【解答】解：根据待定系数法可得： ， 解得， ∴y＝3x2﹣3， 当x＝2时，y＝3x2﹣3＝9． 故答案为：9． 11．（2023秋•固原期末）已知：，且3a+2b﹣4c＝9，则a+b+c的值等于 　﹣15　 ． 【分析】先设比例系数为k，代入3a+2b﹣4c＝9，转化为关于k的一元一次方程解答． 【解答】解：设k， 则a＝3k，b＝5k，c＝7k， 代入3a+2b﹣4c＝9， 得9k+10k﹣28k＝9， 解得：k＝﹣1， ∴a＝﹣3，b＝﹣5，c＝﹣7， 于是a+b+c＝﹣3﹣5﹣7＝﹣15． 故本题答案为：﹣15． 12．（2024秋•北京期中）数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为a，b，c且a＞b＞c，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏，某小组按照此方式玩了5次游戏，他们将部分数据记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 a a 31 乙 a c 19 丙 a c 15 由此推断a的值为 　7或9　 ． 【分析】根据题意，每次发三张卡片，上面有正整数a，b，c，且a＞b＞c，结合表格中已记录的，补全其他卡片，得到三元一次方程组，解方程组，得到结果． 【解答】解：根据表格可判断，第四次时丙拿卡片b， 甲总分最大，故第五次时，甲拿卡片a，乙拿卡片b， 以此类推，第一次时，乙拿卡片b，丙拿卡片c， 第二次时，甲拿卡片b，丙拿卡片c， 第三次时，甲拿卡片b，乙拿卡片c，或甲拿卡片c，乙拿卡片b， ∴或， 解得：或， ∴a的值为7或9． 故答案为：7或9． 13．（2025春•南海区月考）三元一次方程x+2y+3z＝100的非负整数解个数有　884　 个． 【分析】当z＝0时，x+2y＝100，有51个非负整数解；当z＝1时，x+2y＝97，共有49个非负整数解；当z＝2时，x+2y＝94，有48个非负整数解；当z＝3时，有46个非负整数解；当z＝4时，x+2y＝88，有45个非负整数解......当z＝33时，x+2y＝1，有1个非负整数解；再列式计算可得答案． 【解答】解：当z＝0时，x+2y＝100，y可以分别取0，1，2...50，一共有51个非负整数解； 当z＝1时，x+2y＝97，y可以分别取0，1，2...48，一共有49个非负整数解； 当z＝2时，x+2y＝94，y可以分别取0，1，2...47，一共有48个非负整数解； 当z＝3时，x+2y＝91，y可以分别取0，1，2...45，一共有46个非负整数解； 当z＝4时，x+2y＝88，y可以分别取0，1，2...44，一共有45个非负整数解； .....． 当z＝30时，x+2y＝10，y可以分别取0，1，2，3，4，5，一共有6个非负整数解； 当z＝31时，x+2y＝7，y可以分别取0，1，2，3，一共有4个非负整数解； 当z＝32时，x+2y＝4，y可以分别取0，1，2，一共有3个非负整数解； 当z＝33时，x+2y＝1，y可以取0，一共有1个非负整数解； ∵51+49+48+46+45+...+6+4+3+1 ＝（51+50+49+48+47+46+45+...+6+5+4+3+2+1）﹣（50+47+44+...+5+2） ＝884， ∴方程x+2y+3z＝100的非负整数解个数有884个； 故答案为：884． 14．（2025秋•明水县期末）解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）先把方程组整理为，再利用加减消元法解方程组即可； （2）先消去未知数z，得到4x+3y＝17④，5x+y＝13⑤，再利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：整理得：， ①+②得：x＝5， ②﹣①得：， ∴方程组的解为：． （2）， ①+②得：4x+3y＝17④ ①+③得：5x+y＝13⑤⑤×3﹣④得：x＝2， 把x＝2代入⑤得：y＝3， 把x＝2，y＝3代入③得：z＝1， ∴方程组的解为：． 15．（2024秋•奉贤区期末）解方程组：． 【分析】解题思路是通过消元法，先消去一个未知数，将三元方程组转化为二元方程组，再进一步求解． 【解答】解：， ①﹣②： （4a+2b+c）﹣（a﹣b+c）＝6﹣0， 3a+3b＝6， a+b＝2④， ③﹣②得 （9a+3b+c）﹣（a﹣b+c）＝0﹣0， 8a+4b＝0， 2a+b＝0⑤， ⑤﹣④得：（2a+b）﹣（a+b）＝0﹣2 ∴解得a＝﹣2， 把a＝﹣2代入④， ﹣2+b＝2， ∴b＝4， 把a＝﹣2，b＝4代入②， ﹣2﹣4+c＝0， ∴c＝6， ∴a＝﹣2，b＝4，c＝6． 16．（2025春•平舆县期末）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组． 解：把②代入①得，x+2×1＝3，解得x＝1． 把x＝1代入②得y＝0， 所以方程组的解为． （2）已知，求x+y+z的值． 解：①+②，得10x+10y+10z＝40，③ ③÷10，得x+y+z＝4． [类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若，求x+y+z的值． 【分析】（1）利用（1）的解题思路，进行计算即可解答； （2）利用（2）的解题思路，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， 把②代入①得：3×2+4＝2a， 解得：a＝5， 把a＝5代入②得：5﹣b＝2， 解得：b＝3， ∴原方程组的解为：； （2）， ①﹣②得：4x+4y+4z＝4， ∴x+y+z＝1， ∴x+y+z的值为1． 17．（2015春•仁寿县月考）一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？ 【分析】设1瓶小包x元，1瓶中包y元，1瓶大包z元，根据题意得出方程组，求出方程组的解即可． 【解答】解：设1瓶小包x元，1瓶中包y元，1瓶大包z元， 根据题意得： 解得：， 答：1瓶小包1.6元，1瓶中包3元，1瓶大包5元 18．（2025春•通州区期末）小明在解方程组时发现，可以将①+②得：5x﹣5y＝10③，将③÷5得：x﹣y＝2④，将④×2得：2x﹣2y＝4⑤，用⑤﹣①得：y＝1，②﹣⑤得：x＝3，∴方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． （1）已知关于x、y的方程组，则方程组的解是 　　 ． （2）已知关于x，y，z的方程组，则x+y+z＝ 　2　 ，方程组的解是 　　 ． （3）对于有理数x，y定义一种新的运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式的右边是有理数的运算，若3*5＝16，4*7＝23，求1*1的值． 【分析】（1）仿照题例，利用“凑整消元法”，求解即可； （2）组内三式相加，利用等式的性质求出x+y+z的值，与组中各等式相减得结论； （3）先利用新定义运算得三元一次方程组，再利用“凑整消元法”与整体的思想方法得结论． 【解答】解：（1）， ①+②，得29x+29y+87， ∴x+y＝3③． ①﹣③×15，得x＝6， ②﹣③×13，得y＝﹣3． ∴方程组的解为 ． .故答案为： ． （2）， ①+②+③，得2x+2y+2z＝4， ∴x+y+z＝2④． ④﹣①，得z＝﹣6， ④﹣②，得x＝5， ④﹣③，得y＝3． ∴原方程组的解为 ． 故答案为：2， ． （3）∵3*5＝16，4*7＝23， ∴， .②﹣①，得a+2b＝7③， ①+②，得7a+12b+2c＝39④， ④﹣③×6，得a+2c＝﹣3⑤， ③+⑤，得2a+2b+2c＝4． ∴a+b+c＝2． ∴1*1＝a+b+c＝2． 19．（2024春•岷县校级月考）阅读材料： 已知方程组，求x+y+z的值． 解法一：由原方程组，得． ②﹣①，得x＝3﹣2y．③ 把③代入①，得2（3﹣2y）+z＝8﹣3y， z＝2+y． 所以x+y+z＝（3﹣2y）+y+（2+y）＝5． 解法二：将原方程组整理得， ②﹣①，得x+2y＝3 ③ 把③代入①，得x+y+z＝5． 请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求x﹣2y+z的值． 【分析】利用解法一，利用含z的代数式分别表示出x，y，然后代入原式计算即可． 【解答】解：， 由①得：x＝5z+1③， 将③代入②得：3（5z+1）﹣7y+6z＝10， 整理得：7y＝21z﹣7， 则y＝3z﹣1， x﹣2y+z ＝5z+1﹣2（3z﹣1）+z ＝5z+1﹣6z+2+z ＝3． 20．（2024春•夹江县期末）【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法 例1：解方程组 解：由①得y＝7﹣x③ 将③代入②得3x+7﹣x＝17 解得x＝5 将x＝5代入③，得y＝2 所以 小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试： （1）如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组 　　 ． （2）求解出上述x、y、z的值． 【分析】（1）根据相对的两个面上的式子的值相等列方程组即可； （2）利用代入消元法求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：， 故答案为：； （2）， 由①得z＝x﹣3④， 将②和④代入③得5﹣（x﹣3）＝2 x﹣5+1， 解得x＝4， 将x＝4代入①、②得：4﹣z＝3，y＝8﹣5＝3， ∴z＝1，y＝3， ∴． 21．（2025春•泰州校级月考）对于两个正数a，b（a≠1），定义一种新的运算，记作（a，b），即：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：34＝81，则（3，81）＝4． （1）根据上述运算填空：（2，4）＝　2　 ；（2，8）＝　3　 ：（2，32）＝　5　 ． （2）先观察（2，4），（2，8）与（2，32）的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：（a，m）+（a，n）＝　（a，mn）　 ，并证明你发现的结论； （3）如图①，正方形ABCD的边长为m，小正方形CGFE的边长为n，若（a，m）+（a，n）＝（a，p），（2，m+n）＝4，（2，p）＝3．求图中阴影部分的面积． （4）如图②，四边形ABED，CGHD是长方形纸条，AD＝CD＝m，CG＝n，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形HFED沿着DE翻折得到长方形DEMN，若（a，m）＝（b，n）＝2，长方形ABMN的面积是15，AN＝5，a+b＝3，求（a﹣b）2的值． 【分析】（1）根据如果ac＝b，那么（a，b）＝c，据此计算即可； （2）由（2，4）+（2，8）＝（2，32）＝（2，4×8）得（a，m）+（a，n）＝（a，mn）； （3）由（a，m）+（a，n）＝（a，p）得到mn＝p，由（2，m+n）＝4得到m+n＝24＝16，由（2，p）＝3得到p＝23＝8，最后根据图中阴影部分的面积为计算即可； （4）由（a，m）＝（b，n）＝2得到a2＝m，b2＝n，由图可得：矩形ABMN的面积是（m+n）（m﹣n）＝15，AN＝m+n＝5，解得，即可得到a＝±2，b＝±1，再根据a+b＝3，得到a＝2，b＝1，代入求值即可． 【解答】解：（1）∵22＝4， ∴（2，4）＝2； ∵23＝8， ∴（2，8）＝3； ∵25＝32， ∴（2，32）＝5； 故答案为：2，3，5； （2）∵（2，4）＝2，（2，8）＝3，（2，32）＝5，2+3＝5，4×8＝32， ∴（2，4）+（2，8）＝（2，32）＝（2，4×8）， ∴（a，m）+（a，n）＝（a，mn）， 故答案为：（a，mn）； （3）∵（a，m）+（a，n）＝（a，p）， ∴由（2）可得mn＝p， ∵（2，m+n）＝4， ∴m+n＝24＝16， ∵（2，p）＝3， ∴p＝23＝8， ∴mn＝p＝8， ∵正方形ABCD的边长为m，小正方形CGFE的边长为n， ∴图中阴影部分的面积为； （4）四边形ABED，CGHD是长方形纸条，AD＝CD＝m，CG＝n，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形HFED沿着DE翻折得到长方形DEMN， ∵（a，m）＝（b，n）＝2， ∴a2＝m，b2＝n， 由图可得：矩形ABMN的面积是（m+n）（m﹣n）＝15，AN＝m+n＝5， ∴， 解得， ∴a2＝4，b2＝1， ∴a＝±2，b＝±1， ∵a+b＝3， ∴a＝2，b＝1， ∴（a﹣b）2＝（2﹣1）2＝1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $