精品解析：广东广州市第七十五中学2025-2026学年高一上学期第二次阶段性测试数学试卷

广州市第七十五中学 2025学年第一学期高一年级第二次阶段性测试数学试卷 命题人：李开松 审稿人：王永春 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过特殊角三角函数值即可求解. 【详解】. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考察函数的定义域和值域，以及集合的运算，直接求解即可. 【详解】由题可知，，所以 故选：D. 3. 下列四个命题中正确的是（     ） A. B. 是定义域上的减函数 C. 和表示同一个函数 D. 幂函数的图象都过点 【答案】D 【解析】 【分析】由空集的概念可判断A，由减函数的概念可判断B，由两函数的定义域可判断C，由幂函数的性质可判断D. 【详解】A，不含任何元素，所以，故A错误； B，的减区间是和，但不能说在定义域上是减函数，故B错误； C，的定义域为，而的定义域是，所以两个函数不是同一函数故C错误； D，根据幂函数的性质可知，幂函数都过点，故D正确. 故选：D 4. ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数关系求解即得. 【详解】由，得是第二象限角， 则，， 所以. 故选：A 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，， 所以. 6. 已知sin＝，则cos＝（ ） A. B. － C. D. － 【答案】B 【解析】 【分析】首先将，再利用诱导公式计算的值即可. 【详解】由题意知，. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系以及完全平方公式化简即可求解. 【详解】已知，两边平方可得， 即； 因为， 所以，解得. 则. 故选：C. 8. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数的图象，对于A：直接观察即可；对于B：根据图象得到，，进一步计算求解；对于C：通过求解；对于D：令，求出的根，代入，继续根据图象可求根的个数. 【详解】因为， 当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 作出函数的图象如下： 对于A：关于x的方程有四个不同的根， 即函数与的图象有4个交点，由图象可得，故A错误； 对于B：由图象知，所以，且， 所以， 又由， 所以，故B错误； 对于C：知，即，解得，故C正确； 对于D：对于函数，令，则， 即，因为，，， 可得， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 综合得函数有个零点，故D错误. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角函数符号、扇形面积与弧长公式、终边角集合表示以及二次函数单调性，判断各选项的正确性. 【详解】选项A：已知，因此，弧度满足，故弧度为第二象限角，即， 弧度满足，故弧度为第二象限角，即，正数与负数相乘结果为负，即，选项A错误； 选项B：扇形面积公式：（为圆心角弧度数，为半径），代入，，则，解得， 扇形弧长公式：，代入，，则，选项B正确； 选项C：直线即，过第二、四象限， 在内，终边在上的角为：， 因此终边落在上的角的集合为：， 也可写成：， 而可以拆成：终边在直线上，和：终边在直线上， 即该集合表示终边在或上的所有角，与真正只落在上的集合不相等，选项C错误； 选项D：函数是开口向上，对称轴为的二次函数， 函数在上单调递减，说明区间需在对称轴左侧，即：，解得，选项D正确. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 关于x的不等式的解集，则不等式的解集为 B. 幂函数对于，都有，则 C. 函数的单调递减区间是 D. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】逐一验证每个选项的条件，利用一元二次不等式解集与系数的关系、幂函数定义与奇偶性、复合函数单调性（定义域优先）、分段函数单调性（各段递增断点衔接）来判断对错. 【详解】选项A：已知不等式的解集为，可得：， 的两根为，， 由韦达定理：，， 代入 ，得：， 两边除以不等号反向：， 因式分解：，解得，选项A正确； 选项B：依据幂函数定义可知系数，解得或， 因为即为偶函数， 当时，指数，，是偶函数； 当时，指数，，是奇函数（舍去），选项B正确； 选项C：函数需先求定义域：或， 内层函数开口向上，对称轴为，在上单调递减； 外层函数是增函数， 根据“同增异减”，的递减区间为内层递减区间与定义域的交集：，选项C错误； 选项D：分段函数在上单调递增，需满足各段分别递增： 当时，一次函数斜率，当时，和均为增函数， 故该段自然递增， 在处，左值右值：，化简得：， 综合得：，选项D正确. 11. 函数为奇函数，函数（ ） A. 实数的值的值为2 B. 函数为上的单调递增函数 C. 不等式的解集为 D. 若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，对于B，利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性；对于C，利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可；对于D，分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】对于A，对任意的，， 所以，的定义域为且函数为奇函数， 所以，则， 因为， 所以是奇函数，符合题意，故成立，故A错误； 对于B，由（1），则，是定义域上的增函数，证明如下： 对任意的、且，则， 由可得， 故函数为上的增函数，故B正确； 对于C，因为函数是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由可得， 根据B项，可得，可得，即， 因为，则，解得，即原不等式的解集为，故C正确； 对于D，因为函数，显然，所以有 可得，则，则， 因为 ， 令，当时，， 设，所以，， 于是当时，， 对，总，使得成立， 故函数的值域为函数在上的值域的子集，即， 所以有，解得，即实数的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 已知角的终边经过点，若角与的终边关于x轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可求出，再结合点的对称性可求出，最后根据诱导公式可求解. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 又角与终边关于x轴对称， 所以角的终边经过点，所以. 所以. 13. 已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】通过指数运算求出，进而根据常数代换和基本不等式即可求解. 【详解】由得，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 14. 有人喜欢喝茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是，环境温度是，那么t分钟后茶水的温度（单位：℃）可由公式求得．现有刚泡好的茶水温度是，放在室温的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是．则的值为______；经验表明，当室温为时，该种茶刚泡好的茶水温度，自然冷却至时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置______分钟才能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1；参考值：，） 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】先根据指对数转化求出，再根据所得解析式可求茶水需放置的时间. 【详解】由题意得，代入可得， 整理得，取对数得． 由题意得 令，可得， 解得分钟． 四、解答题 15. 已知函数的定义域为集合A，集合． （1）求集合； （2）设集合，若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域化简集合，解指数不等式化简集合，再利用并集的定义求解. （2）由（1）及交集的结果，结合集合的包含关系求解. 【小问1详解】 由函数有意义，得，解得，则， 解不等式，得，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 当时，，即，满足，因此； 当时，，解得， 所以实数m的取值范围是. 16. （1）求值：①； ②． （2）已知，求的值． 【答案】（1）①84；②0；（2） 【解析】 【分析】（1）由幂的运算法则计算①，由对数的运算法则及换底公式计算②； （2）应用诱导公式化简已知和待求值式，并代入已知条件求解. 【详解】（1）① ② ． （2）∵，∴ ∴，∴且， ∴原式． 17. 已知． （1）求函数的对称轴和对称中心； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）若函数在区间的值域为，求实数a的取值范围． 【答案】（1）函数的对称轴为直线，对称中心为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定函数的最小正周期，求出，然后利用整体代换法可求对称轴和对称中心公式求出即可. （2）根据正弦函数单调性求解即可. （3）根据正弦函数的值域和图象进行求解即可. 【小问1详解】 令，得. 所以函数的对称轴为直线； 令，得. 所以函数对称中心为. 【小问2详解】 令，解得. 又，所以函数的单调递增区间为，. 【小问3详解】 因为，所以， 因为函数在区间上的值域为， 所以在区间上的值域为， 在区间上值域为， 所以结合正弦函数的图象可得，解得. 所以实数的取值范围为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数．当时，，且图象过点与点. （Ⅰ）求实数的值，并求函数的解析式； （Ⅱ）若关于的方程有两个不同的实数解，请写出实数的取值范围； （Ⅲ）解关于的不等式，写出解集. 【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）(Ⅲ）. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）首先根据题意，采用待定系数法确定当时，函数的关系式，再根据函数为奇函数，确定其在时的函数关系式，最后将整个定义域范围上的函数关系式写成分段函数的形式；（Ⅱ）分和两种情况讨论的取值范围，当时,当时,,要是方程有两个不同的实数解应满足，且；（Ⅲ）解不等式，应分为两种情况或解不等式. 试题解析：（Ⅰ），， 又，当时， 2分 当时，， ，， 即 4分 6分[ （Ⅱ）当时,当时,, 要是方程有两个不同的实数解应满足且， 所以 10分 （Ⅲ）①，， 13分 ②，， 综上：解集为 16分 考点：1、待定系数法；2、函数的奇偶性；3、解不等式. 19. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为的上界.已知函数. （1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否有上界，请说明理由； （2）若，函数在是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围； （3）已知为正整数，当时，是否存在整数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)答案见解析；(2).(3). 【解析】 【详解】试题分析：（I）当时，，易知在上单调递减，所以，所以不存在常数，使得成立；（II）根据题意 ，由题可知，在上恒成立．令，∴题意等价于在上恒成立．在上恒成立．．设试题，然后利用单调性分别求出最大值和最小值，求出参数的范围；（III）当时，，∴题意等价于对任意的恒成立．∵当为正奇数时，；当为正偶数时，， ∴．然后求出的值. 试题解析：解：（I）当时，， 易知在上单调递减，∴． ∴在上的值域为． ∴不存在常数，使得成立， ∴在上没有上界． （II） 由题意知，在上恒成立． 令， ∴题意等价于在上恒成立． 在上恒成立． ． 设易知在上递减． 令，有 ∴在上递增． ∴，． ∴实数的取值范围是． （III）当时，， ∴题意等价于对任意的恒成立． ∵当为正奇数时，；当为正偶数时，， ∴． ∴当，即时，不存在满足题意的； 当，即时，存在满足题意，且． ∵为正整数，∴． 此时，，∵为整数，∴． 考点：求函数值域、根据函数恒成立求参数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第七十五中学 2025学年第一学期高一年级第二次阶段性测试数学试卷 命题人：李开松 审稿人：王永春 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题 1 （ ） A. B. C. D. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个命题中正确的是（     ） A. B. 是定义域上的减函数 C. 和表示同一个函数 D. 幂函数图象都过点 4. ，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知sin＝，则cos＝（ ） A. B. － C. D. － 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是 10. 下列说法正确有（ ） A. 关于x的不等式的解集，则不等式的解集为 B. 幂函数对于，都有，则 C. 函数的单调递减区间是 D. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 11. 函数为奇函数，函数（ ） A. 实数的值的值为2 B. 函数为上的单调递增函数 C. 不等式的解集为 D. 若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 三、填空题 12. 已知角终边经过点，若角与的终边关于x轴对称，则______． 13. 已知，，且，则最小值为__________． 14. 有人喜欢喝茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是，环境温度是，那么t分钟后茶水的温度（单位：℃）可由公式求得．现有刚泡好的茶水温度是，放在室温的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是．则的值为______；经验表明，当室温为时，该种茶刚泡好的茶水温度，自然冷却至时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置______分钟才能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1；参考值：，） 四、解答题 15. 已知函数的定义域为集合A，集合． （1）求集合； （2）设集合，若，求实数m的取值范围． 16. （1）求值：①； ②． （2）已知，求的值． 17. 已知． （1）求函数的对称轴和对称中心； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）若函数在区间的值域为，求实数a的取值范围． 18. 已知函数是定义在上的奇函数．当时，，且图象过点与点. （Ⅰ）求实数的值，并求函数的解析式； （Ⅱ）若关于的方程有两个不同的实数解，请写出实数的取值范围； （Ⅲ）解关于的不等式，写出解集. 19. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为的上界.已知函数. （1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否有上界，请说明理由； （2）若，函数在是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围； （3）已知为正整数，当时，是否存在整数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $