精品解析：黑龙江省绥化市2025～2026学年度第二学期高二入学检测数学试题

2025~2026学年度第二学期高二入学检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 一组样本数据10，12，12，18，19，22，31，35，41，50的分位数是（ ） A. 31 B. 33 C. 34 D. 35 2. 已知，，则满足方程的解的个数为（ ） A. B. C. D. 3. 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（ ） A. B. C. D. 4. 直线，，若，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 5. 在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ） A 5 B. C. 10 D. 6. 甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 从1，2，3，…，29，30，中选三个不同的数，，，且满足的数组的对数为（ ） A. 120 B. 210 C. 420 D. 105 8. 已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则（ ） A. 1或-4 B. -1或4 C. -7或3 D. -3或7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 午子山景区，又称“午子山风景名胜区”，简称“午子山”，亦名“武子山”或“母子山”，是国家AAAA级旅游景区，位于陕西省汉中市西乡县堰口镇堰口社区，总面积约27平方千米，始建于西汉．午子山景区是集自然山水风光、珍稀植物、茶园、果园、田园风光、堰上古镇、宗教文化活动等于一体的旅游风景名胜区，为道教活动圣地和陕南道教活动中心，素有“汉南胜景区、陕南小华山、陕南小武当”之美称，是观光旅游、宗教朝拜的圣地．为更好地提升旅游品质，午子山景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．判断下列说法正确的是（ ） A. B. 工作人员所选取100人中在的人数为3人 C. 工作人员采用按分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，则在中抽取2人，在中抽取4人 D. 按分层抽样的方法从评分在的两组中抽取的6人中再抽两人，则选取的2人评分分别在和内各1人的概率为 10. 设为两个事件，且，下列说法正确的有（ ） A 若互斥，则 B. 若互斥，则 C. 若独立，则 D. 若独立，则 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为C的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 双曲线C的渐近线方程为 C. 过点M且与双曲线C只有一个公共点的直线有1条 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则______. 13. 已知书架的第一层随机摆放了1本语文书，2本不同的数学书，3本不同的英语书.现从中抽取2本书，则在已经确定第一本抽取的是语文书的条件下，第二本抽取的是数学书的概率为__________． 14. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，观察向上的点数，则点数之差的最大值为4的概率是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某机构为了调查平衡力的好坏与心脏病风险是否有关联（无法单脚站立10秒者，被认为平衡力差，反之，被认为平衡力好），随机邀请了1000名平衡力好和1000名平衡力差的人作为研究对象，在跟踪了这2000人在10年内的健康情况后，统计数据，得到受试者中患心脏病的频率为12.5%，平衡力差的人中患心脏病的频率是平衡力好的人中患心脏病的频率的1.5倍. （1）根据题中信息，完成下面列联表； 单位：人 平衡力 心脏病 合计 未患心脏病 患心脏病 平衡力好 平衡力差 合计 （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断平衡力的好坏与心脏病风险有关联？ 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 已知圆，过作直线圆交于点． （1）求证：是定值； （2）若点．求的值． 17. 六盘水红心猕猴桃因富含维生素C及K、Ca、Mg等多种矿物质和18种氨基酸，被誉为“维C之王”．某果农通过不断学习猕猴桃先进种植技术，2017年至2023年的年利润y与年份代号x的统计数据如下表（已知该果农的年利润与年份代号之间呈线性相关关系）． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号x 1 2 3 4 5 6 7 年利润y（单位：千元） 29 33 36 44 48 52 59 （1）求y关于x线性回归方程，并预测该果农2024年的年利润； （2）当某年利润的实际值大于该年利润的估计值时，该年为甲级利润年，否则为乙级利润年．现从2019年至2023年这5年中随机抽取3年，求恰有1年为甲级利润年的概率． 参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，并计算得：，，． 18. 为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从同一年两地区的空气质量指数(AQI)数据中随机抽取相同20天的观测数据，形成20个有序数对分别为同一天两地的空气质量指数)，如下图所示： 根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级： 空气质量指数AQI (0，100) [100，200) [200，300) 空气质量状况 优良 轻中度污染 重度污染 （1）任取此年中的一天，试估计A地区在这一天空气质量等级为“优良”的概率； （2）任取此年中的三天，用样本的频率估计总体的概率，设X 表示这三天中A地区空气质量等级为“优良”的天数.求X 的分布列及数学期望； （3）从抽取的20天中随机抽取3天，求其中至少有一天两地空气质量等级均为“优良”的概率. 19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线焦点为，是抛物线上第一象限的点，且到的距离比到直线的距离小1，直线与交于、两点． （1）求抛物线的方程； （2）证明以为直径的圆过一个定点，并求出定点坐标； （3）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期高二入学检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 一组样本数据10，12，12，18，19，22，31，35，41，50的分位数是（ ） A. 31 B. 33 C. 34 D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】题中的样本数据已经按照从小到大的顺序进行排列，因此直接根据分位数的定义和计算方法求解即可. 【详解】依题意，该组样本数据已经按照从小到大的顺序进行排列，且该组样本共10个数据，， 算得小数，向下取整，因此取第8个数作为分位数，即分位数为35. 故选：D. 2. 已知，，则满足方程的解的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，又，结合分步乘法计数原理求结论. 【详解】由题设，得， 又，其中都为质数， 所以， 因为x，，所以可能为，，， 所以的取值个数为， 方程的整数解的个数为． 故选：B． 3. 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求值. 【详解】设1包糖果的质量为，则， 所以， 又， 所以. 故选：D 4. 直线，，若，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行可得方程，解方程即可. 【详解】由已知， 则， 解得或， 当时，，，与重合，不成立； 当时，，，，成立； 综上所述， 故选：B. 5. 在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式定理可得展开式通项为，即可求含项的二项式系数. 【详解】解：由题设，， ∴当时，. ∴含项的二项式系数. 故选：A. 6. 甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据古典概型得出一轮游戏中，甲得3分、1分、0分的概率.进而求出三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的概率，以及事件三轮比赛中，事件甲乙均有得3分的概率.即可根据条件概率公式，计算得出答案. 【详解】用分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果， 因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含个等可能的基本事件. 其中，甲得3分，即包含的基本事件有，共15个，概率为. 同理可得，甲每轮得0分的概率也是，得1分的概率为. 所以每一轮甲得分低于3分的概率为． 设事件A表示甲至少有一轮比赛得3分，事件表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分. 则，. 事件可分三类情形： ①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为； ②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为； ③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为. 所以， 所以. 故选：B． 7. 从1，2，3，…，29，30，中选三个不同的数，，，且满足的数组的对数为（ ） A. 120 B. 210 C. 420 D. 105 【答案】C 【解析】 【分析】由，知，必须同奇偶，结合排列问题和分类加法计数原理计算即可求解. 【详解】由，知，必须同奇或同偶， 若，都为奇数，则有种选法； 若，都为偶数，则有种选法； 由分类加法计数原理知，满足题意的数对共有种. 故选：C. 8. 已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则（ ） A. 1或-4 B. -1或4 C. -7或3 D. -3或7 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】由题可知，解得或7． 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 午子山景区，又称“午子山风景名胜区”，简称“午子山”，亦名“武子山”或“母子山”，是国家AAAA级旅游景区，位于陕西省汉中市西乡县堰口镇堰口社区，总面积约27平方千米，始建于西汉．午子山景区是集自然山水风光、珍稀植物、茶园、果园、田园风光、堰上古镇、宗教文化活动等于一体的旅游风景名胜区，为道教活动圣地和陕南道教活动中心，素有“汉南胜景区、陕南小华山、陕南小武当”之美称，是观光旅游、宗教朝拜的圣地．为更好地提升旅游品质，午子山景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．判断下列说法正确的是（ ） A. B. 工作人员所选取的100人中在的人数为3人 C. 工作人员采用按分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，则在中抽取2人，在中抽取4人 D. 按分层抽样的方法从评分在的两组中抽取的6人中再抽两人，则选取的2人评分分别在和内各1人的概率为 【答案】ACD 【解析】 【详解】根据题意可得，解得，故A正确； 因为的频率为0.3，所以工作人员所选取的100人中在的人数为30人， 故B错误； 因为的两组的频率之比为， 所以工作人员采用按分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人， 则在中抽取2人，在中抽取4人，故C正确； 因为在中抽取2人，在中抽取4人， 所以再从这6人中抽2人，则选取的2人评分分别在和内各1人的概率为，故D正确． 10. 设为两个事件，且，下列说法正确的有（ ） A. 若互斥，则 B. 若互斥，则 C. 若独立，则 D. 若独立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件的积事件以及和事件的概率公式判断A、B；根据独立事件的乘法公式以及和事件的概率公式判断C、D. 【详解】对于A，若互斥，则，A错误； 对于B，若互斥，则，B正确； 对于C，若独立，则，C正确； 对于D，若独立，则，D正确， 故选：BCD 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为C的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 双曲线C的渐近线方程为 C. 过点M且与双曲线C只有一个公共点的直线有1条 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据双曲线定义分析判断；对于B：根据双曲线方程求得，即可求解渐近线方程；对于C：根据直线与双曲线的位置关系以及渐近线的性质分析判断；对于D：可知在双曲线的渐近线上方，结合双曲线定义分析判断. 【详解】由双曲线C的方程可知：，且焦点在x轴上， 则，双曲线的渐近线方程为，故B正确； 对于选项A：由双曲线定义可得，故A正确； 对于选项C：当过M的直线与双曲线相切时，有两条直线与双曲线只有一个公共点； 当过M的直线与渐近线平行时，也有两条直线与双曲线只有一个公共点， 所以过M点且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误； 对于选项D：由选项A可得：， 因为在双曲线的渐近线上方， 则， 当且仅当M，P，三点共线时，取得等号，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据二项分布的期望公式求出n，然后利用二项分布的方差公式求出，进而利用方差的性质求解即可. 【详解】因为，所以，所以，所以， 又，所以. 故答案为： 13. 已知书架的第一层随机摆放了1本语文书，2本不同的数学书，3本不同的英语书.现从中抽取2本书，则在已经确定第一本抽取的是语文书的条件下，第二本抽取的是数学书的概率为__________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率. 【详解】依题意，抽取第二本书有5个不同结果，第二本抽取是数学书有2个结果， 所以所求概率为. 故答案为： 14. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，观察向上的点数，则点数之差的最大值为4的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】分最大点数5，最小点数为1，或者最大点数为6，最小点数为2两种情况讨论，根据计数原理列出所有情况，结合古典概型求出概率即可. 【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次共有种情况， 若点数之差的最大值为4，则最大点数为5，最小点数为1，或者最大点数为6，最小点数为2， 若个数为，则有3种情况；若个数为，则有3种情况； 若个数为或或，则有种情况， 故最大点数为5、最小点数为1时，共有种． 当最大点数为6，最小点数为2时， 若个数为，则有3种情况；若个数为，则有3种情况； 若个数为或或，则有种情况， 故最大点数为6、最小点数为2时，共有种， 综上，点数之差的最大值为4的概率为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某机构为了调查平衡力的好坏与心脏病风险是否有关联（无法单脚站立10秒者，被认为平衡力差，反之，被认为平衡力好），随机邀请了1000名平衡力好和1000名平衡力差的人作为研究对象，在跟踪了这2000人在10年内的健康情况后，统计数据，得到受试者中患心脏病的频率为12.5%，平衡力差的人中患心脏病的频率是平衡力好的人中患心脏病的频率的1.5倍. （1）根据题中信息，完成下面列联表； 单位：人 平衡力 心脏病 合计 未患心脏病 患心脏病 平衡力好 平衡力差 合计 （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断平衡力的好坏与心脏病风险有关联？ 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）答案见解析 （2）认为平衡力的好坏与心脏病风险有关联 【解析】 分析】（1）由题意计算填写可得； （2）由卡方的计算可得. 【小问1详解】 列联表如下． 单位：人 平衡力 心脏病 合计 未患心脏病 患心脏病 平衡力好 900 100 1000 平衡力差 850 150 1000 合计 1750 250 2000 【小问2详解】零假设为：平衡力的好坏与心脏病风险没有关联． 根据列联表中的数据，经计算得到． 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为平衡力的好坏与心脏病风险有关联． 16. 已知圆，过作直线圆交于点． （1）求证：是定值； （2）若点．求的值． 【答案】（1）为定值，证明见解析 （2）-1 【解析】 【分析】（1）易知当直线的斜率不存在时；当直线的斜率存在时，设直线方程和，联立圆方程，利用韦达定理表示，结合平面向量的坐标表示化简计算即可求解； （2）根据两点表示可得，由（1）知，计算化简即可求解. 【小问1详解】 若直线的斜率不存在，则， 则，所以； 若直线的斜率存在，设， ，消去，得， ，又， 所以. 综上，为定值. 【小问2详解】 易知直线的斜率存在，由（1）知， 所以，得， 由，得， 所以. 17. 六盘水红心猕猴桃因富含维生素C及K、Ca、Mg等多种矿物质和18种氨基酸，被誉为“维C之王”．某果农通过不断学习猕猴桃先进种植技术，2017年至2023年的年利润y与年份代号x的统计数据如下表（已知该果农的年利润与年份代号之间呈线性相关关系）． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号x 1 2 3 4 5 6 7 年利润y（单位：千元） 29 33 36 44 48 52 59 （1）求y关于x的线性回归方程，并预测该果农2024年的年利润； （2）当某年利润的实际值大于该年利润的估计值时，该年为甲级利润年，否则为乙级利润年．现从2019年至2023年这5年中随机抽取3年，求恰有1年为甲级利润年的概率． 参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，并计算得：，，． 【答案】（1）；63千元 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，然后利用公式求出和，得到线性回归方程，再将代入计算预测即可； （2）先求出2019年至2023年的年利润的估计值，得到这5年中甲级利润年的有2年，乙级利润年的有3年，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 根据表中的数列，计算可得， ， 所以，故， 所以关于的线性回归方程为， 当时，（千元）， 所以该果农2024年的年利润预测值为63千元. 【小问2详解】 由（1）可知2019年至2023年的年利润的估计值分别为38，43，48，53，58（单位：千元）， 其中实际利润大于相应的估计值的有2年， 故这5年中甲级利润年的有2年，乙级利润年的有3年， 所以从2019年至2023年这5年中随机抽取3年，恰有1年为甲级利润年的概率为． 18. 为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从同一年两地区的空气质量指数(AQI)数据中随机抽取相同20天的观测数据，形成20个有序数对分别为同一天两地的空气质量指数)，如下图所示： 根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级： 空气质量指数AQI (0，100) [100，200) [200，300) 空气质量状况 优良 轻中度污染 重度污染 （1）任取此年中的一天，试估计A地区在这一天空气质量等级为“优良”的概率； （2）任取此年中的三天，用样本的频率估计总体的概率，设X 表示这三天中A地区空气质量等级为“优良”的天数.求X 的分布列及数学期望； （3）从抽取的20天中随机抽取3天，求其中至少有一天两地空气质量等级均为“优良”的概率. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）由题意计算出从地区选出的20天中随机选出一天的空气质量状况为“优良”的频率，即可估计得解； （2）由题意，易得，利用二项分布概率公式计算即得分布列和期望； （3）由题，在抽取的20天中，两地空气质量等级均为“优良”的有13天，利用对立事件的概率公式求解即可. 小问1详解】 从地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为 ， 估计地区当年(365天)的空气质量状况“优良”的概率为0.75. 【小问2详解】 由题意，， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 【小问3详解】 由图知，在抽取的20天中，两地空气质量等级均为“优良”的有13天， 至少有一天两地空气质量等级均为“优良”的对立事件是3天没有任何一天两地空气质量等级均为“优良”， 所以从抽取的20天中随机抽取3天，至少有一天两地空气质量等级均为“优良”的概率 . 所以至少有一天两地空气质量等级均为“优良”的概率为. 19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，是抛物线上第一象限的点，且到的距离比到直线的距离小1，直线与交于、两点． （1）求抛物线的方程； （2）证明以为直径的圆过一个定点，并求出定点坐标； （3）若，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，到的距离与到直线的距离相等，可得其准线，求出p值，即可得答案； （2）将直线与抛物线联立，根据韦达定理，可得，表达式，进而可得，表达式，设出以为直径的圆的方程，代入化简，可得圆的方程，分析即可得答案； （3）根据数量积公式，可得，根据条件，可得、、、四点共圆，且为直径，所以，求出直线的方程，可得G点坐标，由，可得P、Q点坐标，根据夹角公式，可得，又，即可得证. 【小问1详解】 由题意，到的距离与到直线的距离相等， 所以准线，即，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 证明：联立，可得，， 设、，则，， 以为直径的圆的方程为， 且，， 则， ， 代入圆方程得，该圆方程过原点，坐标为. 【小问3详解】 证明：由对称性不妨设在第一象限，则有，，，、. 则，所以，即， 延长交轴于点，连接， 由，可知， 又因为，则可得， 所以、、、四点共圆，且为直径，所以， 直线的方程为，令，则. 由，得，即， 且，化简可得，且， 即可得，解得，，故，，， 则，， 所以，又， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $