6.3.1 二项式定理同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.1 二项式定理 【基础巩固】 1．在的展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 令，得，所以. 故选：A. 2．在二项式的展开式中，有理项共（ ）项 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】二项式展开式的通项为：. 当分别取时，是整数，为有理项，所以共有项. 它们分别是： 故选：B. 3．的展开式中常数项为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 展开式的通项为:，.不存在的值使得，所以的展开式中没有常数项； 当且仅当时，的展开式可取到常数项，则的常数项为.综上所述：的展开式中常数项为. 故选：D. 4．的展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 这个展开式中从第项开始就不会出现，即只在前项出现， 所以的系数为. 故选：D. 5．（多选）对于，下列判断正确的是（ ） A．对任意，展开式中有常数项 B．存在，使得展开式中有常数项 C．对任意，展开式中不含项 D．存在，使得展开式中含项 【答案】BD 【解析】的展开式的通项为， 令，得，即当是的整数倍时，有常数项，故A错误，B正确； 令，取，此时展开式中含项，故C错误，D正确. 故选：BD. 6．的展开式中的系数为________（用数字作答）. 【答案】 【解析】的通项公式为， 令，则，则系数为. 故答案为：. 7．在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】由二项式的展开式的通项为， 可得展开式的第四项为，因为二项展开式的第四项为常数项，所以，解得.该常数项为. 故答案为： 8．已知在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值； (2)求展开式中有理项的个数，并指明是展开式的第几项． 【答案】见解析 【解析】(1)已知二项展开式的通项． 因为第项为常数项，所以当时，，解得． (2)要使，只需为偶数，由于，，故，共个， 因此有理项分别为第、、、、、项． 【能力拓展】 9．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由二项式定理得， 又 因为是整数，所以被除得余数为.即，因，即，而其它选项均不具备此结论，故的可能值为. 故选：A. 10．如图是第14届国际数学教育大会的会标，会标中“”的下方展示的是八卦中的四卦——，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制数是，正是会议最初计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，换算后十进制数的末尾数字是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由进位制的换算方法可知，八进制数换算成十进制数为． 根据二项式定理，可得 ， 因为是的倍数， 所以换算后十进制数的末尾数字为的末尾数字，由， 可得末尾数字为． 故选：B． 11．在的展开式中按的升幂排列的第项是__________． 【答案】 【解析】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，由题知，所求的项为项， 又的二项展开式的通项公式为， 的二项展开式的通项公式为， 故所求为， 故答案为：. 【素养提升】 12．某同学在研究二项式定理的时候发现：其中为的系数，它具有好多性质，如：①;②;③；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题: (1)计算：；(请用数字作答) (2)若，且，证明：； (3)设数列，，，…，是公差不为的等差数列，证明：对任意的，函数是关于的一次函数. 【答案】见解析. 【解析】(1)原式 . (2)显然，而， 因此， 则. 所以原命题成立. (3)设等差数列，，，…，的公差为，， 则 . 所以对任意的，是关于的一次函数. 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.1 二项式定理 【基础巩固】 1．在的展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 2．在二项式的展开式中，有理项共（ ）项 A． B． C． D． 3．的展开式中常数项为（ ） A． B． C． D． 4．的展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）对于，下列判断正确的是（ ） A．对任意，展开式中有常数项 B．存在，使得展开式中有常数项 C．对任意，展开式中不含项 D．存在，使得展开式中含项 6．的展开式中的系数为________（用数字作答）. 7．在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为______.（用数字作答） 8．已知在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值； (2)求展开式中有理项的个数，并指明是展开式的第几项． 【能力拓展】 9．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 10．如图是第14届国际数学教育大会的会标，会标中“”的下方展示的是八卦中的四卦——，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制数是，正是会议最初计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，换算后十进制数的末尾数字是（ ） A． B． C． D． 11．在的展开式中按的升幂排列的第项是__________． 【素养提升】 12．某同学在研究二项式定理的时候发现：其中为的系数，它具有好多性质，如：①;②;③；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题: (1)计算：；(请用数字作答) (2)若，且，证明：； (3)设数列，，，…，是公差不为的等差数列，证明：对任意的，函数是关于的一次函数. 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $