精品解析：广东湛江市麻章区湛江市博雅学校2025-2026学年八年级下学期学情调研和收心测试

湛江博雅学校新学期学情调研和收心测试 八年级数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一张正方形卡片，则卡片上的式子是分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义“形如，A、B都是整式且中含有字母的式子叫分式”逐项判断即可求解． 【详解】解：选项A：，分母中没有未知数，故不是分式，不符合题意； 选项B：，分母为，是常数，故分母中没有未知数，故不是分式，不符合题意； 选项C：，分母中含有未知数，故是分式，符合题意； 选项D：，分母中没有未知数，故不是分式，不符合题意； 故选C． 3. 下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据能用平方差公式因式分解的多项式需要满足：多项式为两项，两项都可写成平方的形式，且两项符号相反，据此判断各选项即可. 【详解】解：A、，两项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解，该选项错误； B、中不是平方项，只能提取公因式分解，不符合要求，该选项错误； C、，是两个平方项且符号相反，可以用平方差公式分解为，符合要求，该选项正确； D、是三项多项式，不符合要求，不能用平方差公式分解，该选项错误． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘除法法则逐一判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 5. 数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是和全等．请思考：所用的判定定理是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等． 【详解】解：由题意知，， 在和中， ， ． 故选：C 6. 如图，在中，，平分，交于点D．，，则点D到的距离是（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，含30度角的直角三角形，角平分线，点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 过点D作于点E，先求出，推导出，则，即可解答． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ，， ∴， ∵平分，交 于点D， ∴， ∴， ∴点D到的距离是4． 故选：A． 7. 下列选项中，对任意的整数n，能整除的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式展开，再去括号，合并同类项，简化给定表达式为，分析其整除性质． 【详解】解：原式 对于任意整数n，总能被4整除， 故选：B． 8. 如图，，点B为上一点．以点A为圆心、任意长为半径画弧，交于点E，交于点D．再分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点F．作射线，在上取点G，连接，过点G作，垂足为点C．若，则的长可能为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，角平分线的性质及其尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，由作图可知平分，则，即可得到，由角平分线的性质得到点G到的距离等于的长，即为3，则的长大于3，据此可得答案． 【详解】解：由作图可知平分， ∴， 在中，（所对直角边是斜边一半）， 由角平分线的性质可得点G到的距离等于的长，即为3， ∵点B在上运动， ∴的长大于3， ∵， ∴长可能为， 故选：A． 9. 有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（ ） A. 方案一：√、方案二：√ B. 方案一：×、方案二：× C. 方案一：×、方案二：√ D. 方案一：√、方案二：× 【答案】D 【解析】 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 10. 如图，等腰的面积为，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交边于点，点D为边的中点，点M为直线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂与零指数幂的运算，掌握知识点是解题的关键． 依据负整数指数幂、零指数幂的运算法则分别计算各项，再进行加法运算即可． 【详解】解：． 故答案为：10． 12. 分解因式：________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式5，再利用平方差公式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹花有非常高的观赏价值，某品种的牡丹花粉直径约为0.0000354米，则数据0.0000354用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 14. 如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是______． 【答案】AB=DC 【解析】 【分析】根据直角三角形全等的判定定理HL即可推出答案． 【详解】解：添加条件是AB=CD． 理由是：∵∠A=∠D=90，AB=CD，BC=BC， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， 故答案为：AB=CD． 15. 已知关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 解分式方程，用含的代数式表示，根据方程有整数解求出的所有值，再去掉产生增根的的值，再求出满足条件的所有整数的和即可． 【详解】解：原方程化为， 去分母得， 整理得， 解得 ∵方程有整数解， ∴为整数，且， ∴为的约数，即 ∴ 当时，，为增根，舍去， ∴满足条件的整数为， 和为， 故答案为：． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得： 去括号得：， 解得：， 检验：当时，最简公分母， ∴原方程的解是． 17. 如图，，点，在上，且，连接，，，，． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，证明即可； （2）根据平行线的判定，证明即可． 【小问1详解】 证明：， ， 即． ， ． ， ． ， ． 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：，理由： 由（1）知：， ． 在和中， ， ， ， ． 18. 完成下面题目： （1）请用直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）已知在中，的平分线也是边上的高，请判断是不是等腰三角形，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析 （2）是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的作图方法作图即可； （2）根据条件证明，可得到的形状． 【小问1详解】 如图，射线即为所求， 【小问2详解】 是等腰三角形， 理由如下：是的平分线， ， 是边上的高， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据负指数幂求得x的值，再根据分式的混合运算法则化简，然后将x的值代入计算即可． 【详解】解：， ． 当时，原式． 【点睛】掌握以及分式的混合运算法则是解题的关键． 20. 已知关于的分式方程无解，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母求出，再根据无解的条件求解即可 【详解】解：原方程化为， 方程两边同时乘以，得， 解方程，得， 该分式方程无解， ，即， ． 【点睛】分式无解问题重点是根据最简公分母为求解． 21. “如果你有时间，你一定要来一趟岳阳，吹吹洞庭湖的晚风，逛逛灯火璀璨的汴河街，看看啃笋打盹的熊猫”，节假日里，岳阳这座城市吸引了国内外很多游客，岳阳中华大熊猫苑游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱．国庆期间，熊猫苑某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品的数量相同，每件款文创产品的进价比款文创产品的进价多元． （1）求，两款文创产品每件的进价； （2）根据市场需求，该商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，求款文创产品最多购进多少件？ 【答案】（1）款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元 （2）件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式、分式方程是解题的关键； （1）设款文创产品每件的进价是元，则款文创产品每件的进价是元；根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件；根据题意列出不等式，求得整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：设款文创产品每件的进价是元，则款文创产品每件的进价是元， 由题意得：， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意 元 答：款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元 【小问2详解】 设购进件种文创产品，则购进件种文创产品，由题意得： 解得： 答：最多可以购进件种文创产品． 五、解答题（22小题13分，23小题14分，共27分） 22. 【教材原题】 （1）通过第章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 如图①可以得到的公式为_____； 如图②可以得到的公式为_____； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为_____； 【结论应用】 （3）①若，则_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （4）如图④，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____． 【答案】（1），；（2）；（3），；（4） 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式与图形面积等知识点，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）直接根据图形列出等式即可解答； （2）根据（1）的结论作差即可解答； （3）①由，得，即可求解，②令，则，根据题意可知，代入，即可求解； （4）由，两边平方再化简，可得，根据图形可知阴影部分的面积为两个正方形面积的一半，即，代入，即可求解． 【详解】（1）解：由①可得， 由②可得， 故答案为：，； （2），， ， 即， 故答案为：； （3）解：①， ， 故答案为：； ②令， 则， ， ； 由（2）可知， 则． （4）解：根据题意可知， ， ， 根据图形可知阴影部分的面积为两个正方形面积的一半，故阴影部分的面积为， 故答案为：． 23. 在平面直角坐标系中，点、分别在、轴上，且，，点、，且、满足． （1）如图1，则________，________，点的坐标为________； （2）如图2，若点在轴的正半轴上，且满足，于点，交于点，求证：； （3）在（2）条件下，请同学们探究线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1），2， （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性可得的值；过点作轴于点，根据定理证出，再根据全等三角形的性质可得，，由此即可得出点的坐标； （2）连接，先根据角的和差可得，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （3）先根据可得，，从而可得，再根据可得，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ，， ，， ，， ，， 如图，过点作轴于点， ，， ，， ． 在和中，， ， ，， ， 点的坐标为， 故答案为：，2；． 【小问2详解】 证明：如图，连接， ，， ， 又， ， ， ， 在和中，， ， ，， 又轴， ， ， ， 又， ， ， ， 在和中，， ， ， ． 【小问3详解】 解：线段、、之间的数量关系为． 证明如下：由（2）已证：， ，， ， 由（2）已证：， ， 又， ． 【点睛】本题考查了点坐标与图形、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，较难的是题（2），正确找出两组全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江博雅学校新学期学情调研和收心测试 八年级数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一张正方形卡片，则卡片上的式子是分式的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是和全等．请思考：所用的判定定理是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，平分，交于点D．，，则点D到的距离是（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 6 7. 下列选项中，对任意的整数n，能整除的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，，点B为上一点．以点A为圆心、任意长为半径画弧，交于点E，交于点D．再分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点F．作射线，在上取点G，连接，过点G作，垂足为点C．若，则的长可能为（ ） A. B. 2 C. D. 1 9. 有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（ ） A. 方案一：√、方案二：√ B. 方案一：×、方案二：× C. 方案一：×、方案二：√ D. 方案一：√、方案二：× 10. 如图，等腰的面积为，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交边于点，点D为边的中点，点M为直线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 6 D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 分解因式：________________． 13. 唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹花有非常高的观赏价值，某品种的牡丹花粉直径约为0.0000354米，则数据0.0000354用科学记数法表示为_______． 14. 如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是______． 15. 已知关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为________ ． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 解分式方程： 17. 如图，，点，在上，且，连接，，，，． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 18. 完成下面题目： （1）请用直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）已知在中，的平分线也是边上的高，请判断是不是等腰三角形，并说明理由． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知关于的分式方程无解，求的值． 21. “如果你有时间，你一定要来一趟岳阳，吹吹洞庭湖的晚风，逛逛灯火璀璨的汴河街，看看啃笋打盹的熊猫”，节假日里，岳阳这座城市吸引了国内外很多游客，岳阳中华大熊猫苑游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱．国庆期间，熊猫苑某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品的数量相同，每件款文创产品的进价比款文创产品的进价多元． （1）求，两款文创产品每件的进价； （2）根据市场需求，该商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，求款文创产品最多购进多少件？ 五、解答题（22小题13分，23小题14分，共27分） 22. 【教材原题】 （1）通过第章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 如图①可以得到的公式为_____； 如图②可以得到的公式为_____； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为_____； 【结论应用】 （3）①若，则_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （4）如图④，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____． 23. 在平面直角坐标系中，点、分别在、轴上，且，，点、，且、满足． （1）如图1，则________，________，点的坐标为________； （2）如图2，若点在轴的正半轴上，且满足，于点，交于点，求证：； （3）在（2）条件下，请同学们探究线段、、之间的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $