6.4.1 平面几何中的向量方法同步作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.1 平面几何中的向量方法 【基础巩固】 1．已知四边形中，，，，则四边形一定是（ ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【解析】由，则且，即四边形是平行四边形， 又，，则为等边三角形，所以四边形是菱形. 故选：D 2．如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（ ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得， 所以①， 因为，设其夹角为，所以， 又，所以， 所以①，所以. 故选：D. 3．已知中，，，则此三角形为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】如下图所示： 设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 4．如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 . 故选：D． 5．（多选）已知平面向量为非零向量，且满足，则（ ） A．夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【解析】由， 若，且在以为圆心，1为半径的圆上，如下图示， 由图，当与圆相切时，即最大，最小显然为0， 所以，A对； 当为圆与轴的交点时取得最值，结合图易知，B对； 如图，若轴，由， 显然在圆与轴的两个交点之间运动（含交点），故，而， 所以的取值范围是，C错； 如图，若是中点，则，则， 显然中点轨迹是以为圆心，为半径的圆上运动，则， 所以，D对. 故选：ABD. 6．已知向量满足，则_____. 【答案】 【解析】如图： 设，，作平行四边形，则，， 因为，即，所以平行四边形为矩形. 又，所以.所以. 故答案为： 7．在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为______. 【答案】 【解析】如图，以D点为原点，取AC中点为F，以DF所在直线为x轴， 以过D点，垂直于DF直线为y轴，建立直角坐标系. 又 则. 过C，A两点作DB垂线，垂足为G，H，则. 又注意到，则.设，则， 则. 注意到B，E，D三点共线，则，则. 又 ， 则或，又由图可得，则. 则. 故答案为： 8．已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 【答案】见解析 【解析】(1)由，则， 又，即，则. (2)，四边形为矩形，． 设C点坐标为，则， ，解得，故点坐标为， 由于，故， 又，设与的夹角为，则， ， 所以矩形的两条对角线所成的锐角的正切值为． 【能力拓展】 9．已知，是单位向量，且．若平面向量满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，得，设向量、的夹角为θ， 因为，所以，故． 以O为原点，以方向为x轴正方向建立平面直角坐标系， 使的起点与O重合，终点在第一象限，则，， 设，则，故， 所以，故．故选：B 10．设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】令，如下图示，即为线段的长度， 由对任意，的最小值为，即，而， 显然时，线段最短，此时， 所以，又，故或. 故选：C. 11．如图，是三个边长为1的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有5个不同的点，设，则________． 【答案】 【解析】由是三个边长为1的等边三角形， 所以为等腰三角形，，， 所以，， 延长交于点，如下图示，易知， 所以，故， 所以 ，所以.故答案为： 【素养提升】 12．如图所示，在中，，，，，． (1)求的值． (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)若是内一点，且满足，求的最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)， ， ． (2)设， ， ， ，， ，解得， ∴存在一点，使得，． (3)，∴， ， ，， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为． 第3页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.1 平面几何中的向量方法 【基础巩固】 1．已知四边形中，，，，则四边形一定是（ ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 2．如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（ ） A．15 B． C． D． 3．已知中，，，则此三角形为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 4．如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知平面向量为非零向量，且满足，则（ ） A．夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 6．已知向量满足，则_____. 7．在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为______. 8．已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 【能力拓展】 9．已知，是单位向量，且．若平面向量满足，则的值为（ ） 10．设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（ ） A． B． C．或 D．或 11．如图，是三个边长为1的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有5个不同的点，设，则________． 【素养提升】 12．如图所示，在中，，，，，． (1)求的值． (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)若是内一点，且满足，求的最小值． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $