第03讲 弧长、扇形面积的相关计算（专项训练）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第六章 圆 第03讲 弧长、扇形面积的相关计算 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 求弧长（★） 题型02 求扇形面积（★） 题型03 求图形旋转后扫过的面积（★） 题型04 求弓形的面积（★） 题型05 圆锥的相关计算（★） 题型06 圆锥侧面上最短路径问题（★） 题型07 圆锥的实际问题（★） 题型08 不规则图形的面积计算（求和(差)法）（★） 题型09 不规则图形的面积计算（等积转化法）（★） 题型10 不规则图形的面积计算（容斥原理法）（★★） 能力通关 【考点】扇形面积公式、正方形性质、规律探究，重点考查圆心角为90°的扇形面积计算及求和。 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为_______．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积．先求得前三个扇形的面积，找出规律，根据规律求解即可． 【详解】解：根据题意得： 第一个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第二个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第三个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 则第四个扇形，圆心角为，半径为，面积为； ∴经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ， 故答案为：． 【考点】弧长公式、圆的切线性质、矩形性质、等边三角形判定与性质、直角三角形边角关系，侧重扇环与矩形的综合应用及尺寸求解。 2．（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 【答案】(1)， (2)①，②可以，理由见解析③见解析 【分析】（1）设， ，则，利用圆的周长公式和弧长公式解答即可； （2）①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可； ②将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长度，再利用它们与的矩形纸片的长与宽作比较即可； ③设计出能够放置扇环纸片的最小的的矩形纸片即可． 【详解】（1）解：由题意得：的长为，的长为， 设， ，则， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，如图， 则， 四边形为矩形， 四边形，为矩形， ， 由题意得：，，，， 为等边三角形， ，，， ，， ，， ， ． ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，理由： 将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点， 由题意得：，，，， ，，， ， ，， ，， 用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片． ③设的矩形纸片为矩形，，将扇环纸片如图放置，使点在边上，点在边上，点在边上，与边相切于点， 则此时的值最小，若求的范围，则此时的为的最小值． 延长，，延长线交于点，连接，交于点，过点作于点，过点作于点，设交于点， 由题意得：，，，， 与边相切于点， ， ，，四边形为矩形， 四边形，四边形，四边形为矩形， ，，， ，． 求得，的值即可求得的最小值； 由于，解和即可求得结论． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，弧长公式，分类讨论的思想方法，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等边三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【考点】切线的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、圆周角定理、弧长公式，结合摩天轮实际场景考查圆的综合应用及最值相关计算。 3．（2025·山东潍坊·中考真题）图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． (1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； (2)已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） 【答案】(1)米； (2)10分钟；米． 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，弧长公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，，作，垂足为，根据勾股定理得（米），又，所以，因为与相切，所以，可得，所以，（米），从而可得，所以（米）； （）过点作，交于点．延长，交于点，连接，不妨设米，又因为，所以，则（米），然后通过，可得，则，故有最佳观赏风景的时间为（分钟），最后通过弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接，，作，垂足为， 根据题意可知，（米）， 在中，米，， 所以（米）， 因为， 所以， 因为与相切， 所以， 所以， 因为米， 所以， 所以，（米）， 所以， 在中，（米）， 所以，点处的座舱到地面的距离约为米； （2）解：过点作，交于点．延长，交于点，连接，不妨设米， 因为， 所以， 所以（米）， 因为米， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以最佳观赏风景的时间为（分钟）， 所以的长（米）， ∴座舱经过的的长约为米． 【考点】平移作图、旋转作图、勾股定理、弧长公式，重点考查图形变换后的坐标求解及旋转路径（弧长）计算。 4．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）分别描出平移后的点，再顺次连接即可得到，根据点的平移方式即可求解； （2）将点分别绕原点O逆时针旋转得到点，再顺次连接即可，即可写出点的坐标； （3）先由勾股定理求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： ∵， ∴向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到，即； （2）解：如图，即为所求，； （3）解：， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为 【考点】圆的性质、正方形判定与性质、弧长公式、图形旋转，侧重两等圆相交的坐标求解、阴影部分（叶瓣）周长计算及图形变换规律。 5．（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 【答案】(1) (2) (3)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到 【分析】本题考查了圆的性质、平面直角坐标系、旋转： （1）先证明四边形是正方形即可得到坐标； （2）根据，算出圆的周长即可得到叶瓣的周长； （3）利用旋转即可． 【详解】（1）以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点 是正方形 （2）原点，为圆心、以为半径作圆 两个圆是等圆 叶瓣①的周长为： （3）叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到． 题型01 求弧长（★） 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为12cm，而破损处的缺口两端点A，B之间的距离为6cm，则的长为_______cm． 【答案】 【分析】本题主要考查弧长计算公式，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，设圆心为O，过点O作于点C，连接，，先求出，得出，然后求出，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：设圆心为O，连接，过点O作于点C，连接，，如图所示： ∵，O为圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2025·安徽合肥·一模）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆，连接，，作．若劣弧的长为，则______． 【答案】 【分析】先求出中心角，再根据弧长公式求得半径为2，然后解即可． 【详解】解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆圆与正多边形，解直角三角形，中心角的求解，弧长公式，综合性较强，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（2025·甘肃天水·一模）石磨是我国古代的伟大发明之一，最初叫硙（读作wèi），汉朝才叫作磨．其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，点A在中轴线m上运动，点B在以O为圆心，长为半径的圆上运动，且．当点A运动了到点处时，点B按逆时针方向旋转到处，则______． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，根据题意易得：点A移动的距离点B在圆周上经过的弧长，然后进行计算即可，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 4．（2025·四川广元·一模）如图，每个小正方形的边长表示．请按以下要求解答问题， (1)在方格图中画．三个顶点的位置分别是、、； (2)请画出绕点顺时针旋转后的图形，并求出的面积； (3)在以上旋转过程中，求出点经过的路线长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； (3) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的图形绘制、图形的旋转、三角形面积计算、弧长公式，熟练掌握图形旋转的性质和弧长公式是解题的关键． （1）在方格图中找到、、，依次连接三点，得到； （2）按旋转规则画出旋转后的图形，利用旋转不改变图形面积的性质，结合三角形面积公式计算面积； （3）先求点到旋转中心的距离（即弧的半径），再根据弧长公式计算点经过的路线长． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ； （3）解：∵、， ∴ ∴点经过的路线长（弧长）：。 5．（2025·河南南阳·三模）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接． (1)求的值； (2)求的长； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确的理解的几何意义是解题关键． 连接交于，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，将代入中即可求解； 利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据弧长公式求解； 先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【详解】（1）解：如下图所示，连接交于， 四边形是菱形， ，， ， ， 点的坐标是， 将代入到中， 得：， 解得：； （2）解：， 半径为； ， ， ， 由菱形的性质可知，， ， 的长； （3）解：如下图所示， ， ， ， 在菱形中，， ， ， ． 题型02 求扇形面积（★） 6．（2025·陕西西安·模拟预测）玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品．古语有“君子无故，玉不去身”，现在人们也以“温润如玉”来形容谦谦君子．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键． 先求出的长，再根据扇形面积公式，求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 故选：C． 7．（2025·湖北·二模）如图，是的直径，弦于点E，，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、求扇形面积，全等三角形的判定和性质，解题的关键是将阴影部分的面积转化到规则图形中． 根据题意得出，进而得到，最后将图中阴影部分的面积之和转化为扇形的面积，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵是的直径，弦于点E， ∴，即垂直平分， ∴， 又∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 则阴影部分的面积之和为 ． 故选：B． 8．（2025·内蒙古包头·模拟预测）扇文化有着丰富的文化底蕴，一把折扇的尺寸是指扇骨大边的长度，扇肩在折扇上板和下板分界的位置．清代至民国期间最流行的是一种扇肩五五开（九寸约为）的折扇，九寸折扇打开的角度为140度，则山水画的面积为___________ ，扇面的周长为___________ ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积与弧长计算：设圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，则或（其中l为扇形的弧长）．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．根据扇形的面积公式，利用扇面的面积及弧长公式进行计算． 【详解】解：∵扇骨大长边为九寸（九寸约为）的折扇，九寸折扇打开的角度为140度， ∴山水画的面积， 扇面的周长， 故答案为：，． 9．（2025·吉林·模拟预测）如图，在中，，，若进行下列操作：①将绕点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧；②以点C为圆心，线段的长为半径得到弧，则图中阴影部分的面积是________（结果保留）． 【答案】 【分析】此题考查了扇形面积的计算、等腰直角三角形，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 根据题意求出，，，，，再根据阴影部分的面积，然后即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， 根据题意得，，，，， ∴阴影部分的面积 ； 故答案为：； 10．（2025·湖北武汉·三模）如图，线段为直径，点F为上一点交于点E，且，点A为中点． (1)求证：是切线； (2)若点F为靠近点的三等分点，连接交于点，且，求阴影部分面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由题意易得，然后根据平行线的性质可知，进而问题可求证； （2）连接，过点作于点，由题意易得，，则有，，然后可得，进而根据三角函数及扇形面积公式可进行求解． 【详解】（1）证明：连接． 点A为中点， ， 又为直径， ， ∵， 又为半径， 是切线； （2）解：连接，过点作于点． 点为靠近B点的三等分点， ， ， ， 点A为中点， ， 又为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 半径为， ． 【点睛】本题主要考查切线的判定、扇形面积公式、三角函数及圆周角的性质，熟练掌握切线的判定、扇形面积公式、三角函数及圆周角的性质是解题的关键． 题型03 求图形旋转后扫过的面积（★） 11．（2025·河南周口·一模）一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的实际应用，解直角三角形，不规则图形的面积，根据 得出是解题的关键． 连接，过点O作交的延长线于点E，通过解直角三角形求出大圆O的半径，证明，得出 ，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作交的延长线于点E， 由旋转知，经过点O，且， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选A． 12．（2025·广东阳江·模拟预测）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为______．(结果保留) 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，扇形的面积公式．根据题意结合图形可知是解题关键． 根据旋转和解直角三角形，可求出和的长度，再结合图形，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图可知， ∵，是由绕圆心O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ，， ． 故答案为：． 13．（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为___________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理以及扇形的面积．根据“阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积”进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由图可知：阴影部分的面积=扇形的面积的面积-扇形的面积的面积， ∵绕A点逆时针旋转后得到， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积 ； 故答案为：． 14．（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，旋转的性质，含角的直角三角形，掌握不规则图形面积的计算是解题的关键． 由直角三角形的性质求出，的长，由阴影的面积，应用扇形面积计算公式，三角形面积计算公式，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴阴影的面积 ． 故答案为：． 15．（2025·河南·模拟预测）如图1，直线分别交坐标轴于，两点，的中线交轴于点． (1)求直线的解析式． (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转到的位置，求线段所扫过的图形的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、三角形中线的性质以及旋转图形面积的计算，解题的关键是利用坐标轴交点和中线性质确定点坐标来求直线方程，通过旋转性质将线段扫过面积转化为扇形面积差计算． （1）先求直线与坐标轴交点得到、坐标，又根据是的中线，得到点的坐标为．设直线的解析式为，再用待定系数法求直线解析式； （2）设以点为圆心，长为半径的圆，分别交，于点，，由旋转性质知，得到扇形与扇形为全等图形，线段所扫过的图形面积即为与弧所围成的圆环的面积，通过计算得结果． 【详解】（1）解： 与轴交于点A，与轴交于点， 点A的坐标为，． 将代入，得，解得． 点的坐标为． 又是的中线， ，点的坐标为． 设直线的解析式为， 将点的坐标为代入上式，得，解得． 直线的解析式为； （2）解：如图，设以点为圆心，长为半径的圆，分别交，于点，， 由旋转的性质，可知， 扇形与扇形为全等图形． 线段所扫过的图形面积即为与弧所围成的圆环的面积． ，， ， 线段所扫过的图形面积为． 题型04 求弓形的面积（★） 16．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 17．（2025·宁夏中卫·三模）如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于_____（结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，等边三角形的性质，勾股定理，过点A作于H，由等边三角形的性质得到，，则由勾股定理可得，再根据计算求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于H， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 18．（2025·河南濮阳·一模）如图，在的正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）中，的顶点，，均在格点上，请按要求画图：①用尺规作图；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． (1)在图中作出的外接圆的圆心； (2)将图中的圆心标记在图的相应位置并求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析； (2)图见解析，． 【分析】本题考查了网格作图与扇形面积计算，综合运用了三角形外心的性质、勾股定理、扇形面积公式等知识，掌握垂直平分线的作图原理、直角三角形的判定方法以及不规则图形面积的转化技巧是解题的关键． （1）解题时，应选取三角形的任意两条边（如和），分别作出它们的垂直平分线，相交的一点即的外接圆的圆心； （2）先根据勾股定理求出，再根据勾股逆定理证出为直角三角形，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，连接， 由图得，． ∵，即， ∴为直角三角形，， ∴． 19．（2025·河北邢台·三模）某排水口如图1所示，嘉嘉作出示意图如图2，排水管横截面为，水面为，测得为，她查阅资料得知该排水管的内径为（的直径为）．（参考数据：，） (1)水面的最大深度为______． (2)几天后水位上涨，排水管横截面如图3，水面宽度为． ①求水位上涨的高度． ②按规定，排水口水流横截面积（阴影部分）大于排水管横截面积的时需要清淤．请通过计算，判断现在是否需要清淤． 【答案】(1)20 (2)①；②不用清淤 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、弓形面积计算、解直角三角形有关计算，掌握弓形面积计算方法是解题的关键． （1）过点作于点，由垂径定理可得，再利用勾股定理计算出，进而求出，即为所求； （2）①过点作于点，同（1）利用垂径定理和勾股定理求解；②根据，且，可得，再计算出弓形面积，与作差，即可判断是否需要清淤． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，交于点，连接． 由题意得， ， ， 水面的最大深度为． 故答案为：20； （2）①如图2，过点作于点，连接，． 由题意得， ， 水位上涨的高度为． ② ，且， ， ， ， ， ， 不用清淤． 题型05 圆锥的相关计算（★） 20．（2025·云南昆明·三模）将一个圆锥的侧面展开后得到一个扇形，这个扇形的面积为，半径为，这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是求解圆锥的底面半径，根据圆锥的侧面积公式，结合已知条件直接求解底面半径即可. 【详解】解：圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长（即展开后扇形的半径），题目中给出扇形的面积为，母线长，代入公式得： 解得， 因此，圆锥的底面半径为， 故选：D 21．（2025·四川绵阳·三模）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，，，若上面圆锥的侧面积为5，则下面圆锥的侧面积为（   ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质． 先证明为等边三角形得到，再证明为等腰直角三角形得到，再利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于，从而得到下面圆锥的侧面积． 【详解】， 而， ∴为等边三角形， ，， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同， ∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于， ∴下面圆锥的侧面积． 故选：D． 22．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知一个圆锥的母线长，底面半径是，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图，弧长等知识．熟练圆锥侧面展开图的弧长是圆锥底面圆的周长是解题的关键．设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是， 依题意得，， 解得，， 故选：D． 23．（2025·广东中山·模拟预测）2025年春节贺岁档的《哪吒之魔童闹海》中敖丙和哪吒联手对抗黑暗势力时，敖丙用冰之力创造出一个圆锥冰盾．已知该冰盾的高比底面半径r大，同时，哪吒用混天绫围绕这个圆锥体冰盾的底面刚好缠绕一圈进行加固，已知圆锥体冰盾的母线长为．则此时混天绫的长度为________．（保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的母线．设圆锥的底面半径为r米，则高米，母线长米，根据，可得，即可求解． 【详解】解：设圆锥的底面半径为r米，则高米，母线长米． ∵， ∴， 解得：， ∴米． 故答案为： 24．（2025南京模拟）若圆锥的侧面面积为，它的底面半径为，则此圆锥的母线长为___． 【答案】4 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 设圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为l， 根据题意得， 解得， 故答案为：4． 题型06 圆锥侧面上最短路径问题（★） 25．（2025辽宁葫芦岛模拟）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 【答案】(1) (2)20.7 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， ，则， ∴， 如图2， ，作于D，则， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． 26．（2025内蒙古乌兰察布模拟）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 题型07 圆锥的实际问题（★） 27．（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 28．（2025·云南昆明·三模）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______． 【答案】24 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， 解得， ∴母线长是． 故答案为：24． 29．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，先计算底面半径和母线长，然后根据扇形面积公式计算即可．熟知圆锥的侧面是扇形以及扇形的面积计算方法是关键． 【详解】解：∵底面周长为米 ∴底面半径为： 母线长为：米 故粮仓的侧面积为：， 故答案为：． 30．（2025·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用． （1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论； （2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积． 【详解】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系． 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积． ∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为， 圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 31．（2025·广西贺州·中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∴△CDE为等腰直角三角形， ∴CD=DE， 圆柱体内液体的体积为： 圆锥的体积为， 设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm， ∴， ∴， 解得：x=3， 即此时“沙漏”中液体的高度3cm． 故选：B． 【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题． 题型08 不规则图形的面积计算（求和(差)法）（★） 32．（2026·山东·一模）如图（1）是一款带毛刷的扫地机器人，图（2）是其示意图，机身的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，，设工作时毛刷绕点P 旋转形成的圆弧交于点A、B，且点A、P、B在同一直线上，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查求不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数等知识点，正确作出辅助线是作题的关键．连接，，，利用，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， 由题意可知，点是点，，所在圆的圆心． 点A、P、B在同一直线上， 是的直径． ∵， ∴． 的直径为， ， ， ∴是等边三角形， ∴， 故设边上的高为，（）， 则， 即， ， ， ． ∵ ， ∴． 故选：A． 33．（2025·山西运城·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角和弧的关系、扇形的面积公式、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据弧和圆心角的关系可得，即，进而得到，根据直角三角形的性质以及勾股定理可得、、进而得到；在中解直角三角形可得，最后根据求解即可． 【详解】解：如图： ∵在扇形中，，点为的三等分点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ． 故选A． 34．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则图2中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查了求扇形面积，利用扇形面积公式，根据即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 35．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 题型09 不规则图形的面积计算（等积转化法）（★） 36．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，反比例函数的图象与有四个交点，图中阴影部分的面积为，则该圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，圆的性质，扇形面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据反比例函数图象的性质和圆的性质，可得出阴影部分的面积等于的面积的，然后利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据反比例函数图象的性质和圆的性质可得， 阴影部分的面积等于的面积的， 假设的半径为， 则， 解得，（负值已舍去）， 故选：A． 37．（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，，以为直径的与，交于点，，连结，．若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形的面积、圆周角定理、中位线定理，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角得到，点是的中点，从而得出是的中位线，于是，阴影部分的面积转化为扇形的面积，进而求解． 【详解】连接、，如图： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C ． 38．（2025·河南郑州·二模）如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的弧上，扇形的圆心是弧的中点，且扇形绕着点旋转，半径，交于点，半径，交于点，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了扇形的面积求法以及三角形的面积等知识，得出四边形的面积正方形的面积，是解决问题的关键． 根据扇形的面积公式求出面积，再过过点作，作，垂足分别为，然后证明，从而得到中间空白区域的面积等于以 1 为对角线的正方形的面积，从而得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接 两扇形的面积和为：， 过点作，作，垂足分别为， 则四边形是矩形， ∵点是弧的中点， ∴平分， ∴， ∴矩形是正方形， ∵， ∴， 在与中， ， ， ∴中间空白区域面积相当于对角线是 1 的正方形面积， ∴空白区域的面积为：， ∴图中阴影部分的面积两个扇形面积 个空白区域面积， 故选：D． 题型10 不规则图形的面积计算（容斥原理法）（★★） 39．（2025年山西省吕梁市岚县中考二模数学试题）如图1所示是“梦想起航社团”同学设计的社团logo部分图案．图案由分别以等边三角形ABC的顶点A，C为圆心，AB长为半径的两条弧和以AC的中点O为圆心，长为半径的第三条弧组成（如图2）．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积公式，含30度角的直角三角形. 分别求出扇形的面积=扇形的面积=，，半圆的面积=，再根据阴影部分的面积计算即可. 【详解】由题意可知：扇形的面积=扇形的面积=， ∵， ∴，， ∴，半圆的面积=， ∴阴影部分的面积 ， 故选：A. 40．（2025年河南省周口市沈丘县中考二模数学试题）如图，半圆O的直径为4，交半圆O于点C，以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，以点B为圆心，长为半径画弧交于点E，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形中阴影部分的面积，根据“”求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵半圆O的直径为4，交半圆O于点C， ∴，点为的中点， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 41．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆弧；以为圆心，为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别记为、，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据题意和图形，可以分别计算出和的值，然后用即可得到的值，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：如图， 由，， ∴ ， 故选：． 1．（2026·江苏南京·一模）如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)求点到直线的距离． (2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为______． ②当时，求阴影部分面积． (3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___． 【答案】(1)； (2)①或；②； (3) 【分析】本题考查了圆的切线的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积的计算、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，关键是熟练掌握圆的相关性质，结合几何图形的特点，通过作辅助线构造直角三角形或特殊三角形，结合图形的运动变化分析求解． （1）先根据圆心角和半径相等判定为等边三角形，得到的长度和的度数，再结合切线的性质得到，进而求出的度数，最后利用直角三角形中角对的直角边是斜边的一半，求出点到的距离． （2）①分直线在左侧和右侧两种相切的情况，结合切线的性质、平行线的性质得到，分别求出两种情况下旋转的角度，再结合转动速度求出对应的值； ②先根据的值求出的度数，结合平行线和切线的性质得到相关角的度数，再利用垂径定理和直角三角形的性质求出的长度和圆心到的距离，最后用扇形的面积减去的面积，得到阴影部分的面积． （3）通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将的长度转化为与相关的表达式，再根据垂线段最短的性质得到的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即点到直线的距离为； （2）①解：如图，当直线与优弧相切，且直线在的左侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒， ∴，解得； 当直线与优弧相切，且直线在的右侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 此时顺时针旋转的度数为， ∴，解得； 综上，当直线与优弧相切时，的值为或， 故答案为：或； ②解：如图，连接，过点作于点，设l交于点， ∵， ∴， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∵直线， ∴直线， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积； （3）解：如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴为点到直线的垂线段， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，取得最大值， 此时的最大值为， 故答案为：． 2．（2026·河北沧州·一模）如图1，在中，为线段上一点，以为圆心，长为半径的圆与边，分别交于，两点，过点作的切线，交于点． (1)求与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，若为的中点． ①探究与的数量关系，并说明理由； ②连接，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）连接，证明，再由是的切线可得，从而可证明结论； （2）①连接，可得，依据等腰三角形的性质可得结论；②连接，分别证明四边形为菱形，和为等边三角形，为等边三角形可得，再根据可得结论 【详解】（1）如图1，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 又∵是的切线， ∴． ∴． （2）①． 理由：如图2，连接， ∵是的中点， ∴是的直径， ∴． ∵， ∴． ②如图3，连接． ∵为的中点，为的中点， ∴． 又∵，， ∴四边形为菱形． ∴，， ∴和为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形． ∴．点到的距离为 ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积公式，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（2026·广东中山·模拟预测）综合与实践： 左步村，位于广东省中山市南朗镇东部，距南朗街道约2公里，因稻香蛙鸣的田园风光、底蕴深厚的历史人文而驰名湾区，享誉全国．走进村子就可以看到一大片开阔稻田，稻田里古朴的水车正吱吱呀呀的转着，满满的乡村田园气息扑面而来．水车是一种利用水力驱动的机械设备，用于抽水、挽绞、磨面、扇谷等工作．水车广泛应用于农村，特别是在没有电力的地方，水车成为农民的主要能源．水车主要部件包括轮轴、桨叶、轮毂、轮辐，如图1所示．水车的示意图如图2，水车（看成一个圆）的半径是，水面（看成直线）与圆O交于，两点，水车的轴心O到的距离为，水车上均匀分布若干个竹筒，且水车以每秒的速度逆时针转动，如果把一个竹筒看作圆上一点P，从竹筒P刚露出水面开始计时，设运动时间为t秒，（参考数据，，）回答下列问题： (1)点P与圆O的位置关系是： ； (2)求的长以及扇形的面积；（结果保留） (3)当时，求此时点P到直线的距离： (4)若接水槽所在的直线是圆O的切线，且与射线交于点M，，当竹筒P第二次恰好在所在直线上时，求t的值． 【答案】(1)点P在圆O上 (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据题意判断即可得出结果； （2）由勾股定理可得，由垂径定理可得．再证明为等边三角形，得出，再由弧长公式和扇形面积公式计算即可得出结果； （3）连接，过点P作，垂足为D，由题意得，解直角三角形得出，求出， 再解直角三角形得出， 最后再由计算即可得出结果； （4）延长交于点C，则点C为最高点，由题意可得当点P在上，此时点P是切点，连接，则， 解直角三角形得出，，求出， ，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：点P与圆O的位置关系是：点P在圆O上， 故答案为：点P在圆O上； （2）解：∵在中， ， ， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长为，扇形的面积； （3）解：连接，过点P作，垂足为D， 由题意得：， 在中， ，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴5秒后，点P到直线的距离是； （4）解：延长交于点C，则点C为最高点， ∵点P在上，且与相切， ∴当点P在上，此时点P是切点， 连接，则， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由知：， ∴， ， ∴， ∴当竹筒P第二次恰好在所在直线上时，t的值为． 【点睛】本题考查了勾股定理、切线的性质、垂径定理、解直角三角形、弧长公式、扇形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 4．（2026·安徽阜阳·一模）有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点，，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点． (1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； (2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得所对的圆心角为． ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，求裁出的两块木料的面积之和． 【答案】(1)见解析 (2)①裁出的两块木料的周长之和为；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积． （1）连接半径，通过线段的等量代换，得到，通过圆的半径相等，证明，即可通过圆心角相等推出两个弧的长相等； （2）①连接半径，通过半径相等和90°角，借助一线三等角全等模型，通过证明三角形全等，得到线段的数量关系，再通过等量代换将阴影部分的线段之和转化为的长，即可计算得到周长； ②借助①中的关系，求出的长，从而得到半径的长，再通过等量代换，得到和的关系，借助勾股定理列方程求出线段的长，再通过作差法求面积即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，． ，， ， ，， ，即， 又， ， ， ； （2）解：①如图2，连接， 由题意得， ， ，， ， ， ， 又， ， ，， 由图可知，， ， 裁出的两块木料的周长之和为； ②由①可知，， ， ， ， 又， 在中，，即， 解得（负值舍去），， ， 由①知，， 由图可知，阴影部分的面积半圆的面积扇形的面积 ． 5．（2025九年级·江西·专题练习）【课本再现】（1）如图①，PA，PB是的两条切线，切点分别为A，B．图中的PA与PB，与有什么关系？请说明理由． 【知识应用】（2）如图②，PN，PD，DE分别与相切于点A，B，C，且，连接OD，OP，延长PO交于点M，交DE于点E，过点M作交PN于点N． ①求证：MN是的切线； ②当时，求的半径及图中阴影部分的面积． 【答案】（1）．理由见解析（2）①证明见解析②的半径是，图中阴影部分的面积是 【分析】（1）连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案；②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图①，连接和． 和是⊙O的两条切线， ． 又 ， ． （2）①证明： ，，分别与相切于点A，B，C， ∴，分别平分． 又， ， ，即． 又，． 又MN经过半径OM的外端点M， MN是的切线． ②如图②，连接OB，则． ， ， ， ， ． 综上所述，的半径是，图中阴影部分的面积是． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． 6．（2025·山东泰安·三模）如图，在中，，以为直径的分别交边，于点D，F，过点D作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求的长； (3)若，，求图中阴影部分的面积．（直接写出计算的结果） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，由，得，由等边对等角得，，进而可得，所以，由平行线的性质得出，即可证明是的切线； （2）连接，，利用勾股定理及三角函数解，求出，由等腰三角形三线合一得出，再通过证明，推出，根据对应边成比例即可求解； （3）过点O作于点M，连接，构造矩形，设，则，，解求出半径，根据即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，， 为的直径，的半径为3， ，， ， ， 在中，， ， 解得（负值舍去）， 中，，， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点O作于点M，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 设， ，， 在中，， ， 解得， ，即半径为， ，， ． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，不规则图形面积的计算，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线，综合应用上述知识． 1．（2025·山东东营·中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】这道题考查的是圆锥侧面积的计算，首先明确圆锥侧面积公式为 (r为底面半径，l为母线长)，由三视图可知，圆锥的母线长，底面圆的直径等于等边三角形的边长，即底面半径，代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：则所需铁皮面积 故选B 2．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【答案】C 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， 故选：C． 4．（2025·江苏盐城·中考真题）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴是等边三角形． ∴． ∴的长为． 故选：D． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当无限大时，这些“小扇形”可以近似的看成底边长分别为，高为的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积． 请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，，则图中阴影部分面积是__________． 【答案】20 【分析】本题主要考查扇形的定义及面积；设扇形的半径为，则扇形的半径为，先根据，求出，再结合扇形面积，根据，代入计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为，则扇形的半径为， ∵， ∴，即， 解得， ∴扇形的半径为7， ∵扇形面积， ∴， ， ， ∴图中阴影部分面积是20； 故答案为：20． 6．（2025·江苏淮安·中考真题）观察点和观察的图形在同一平面内，我们把以观察点为顶点，包含被观察图形的最小角称为从观察点观察该图形的张角．如图（1），为观察点P观察正方形的张角．如图（2），在正方形所在平面内观察这个正方形，若张角为，则观察点的位置都在图中的圆弧上．如图（3），等边三角形的边长为6，在三角形所在平面内观察这个三角形，若张角为，则所有符合条件的观察点组成的图形周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等边三角形的性质等知识点，难度较大，解题的关键是确定所有符合条件的观察点组成的图形． 先作出符合题意的图形，再根据弧长公式求解整个图形的周长即可． 【详解】解：先作出点关于的对称点，连接，以点为圆心，为半径画圆， 则， ∴， 同理作出圆， ∴点在以为弦的优弧上，如图： 延长交圆于点，当点在劣弧上时，此时不符合题意，如图； ∴点P组成的图形应去掉6段和劣弧一样的弧，如图： 作以点为圆心，为半径的圆与圆交于点，当在劣弧上也符合题意，此时， ∴点也可以在另外两段和劣弧一样的弧，如下图，整个实线图形即为所有符合条件的观察点组成的图形， ∴周长为， 故答案为：． 7．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式．先根据黄金矩形中，且，求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”的长．根据黄金矩形的定义求出的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键． 【详解】解: ∵黄金矩形中，且， ∴， ∵四边形是正方形， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ∴“黄金螺线”的长为， ． 故答案为：． 8．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）由正三角形的性质可得，由平行线的性质可得，求出，可证直线与相切； （2）由圆周角定理得，根据阴影部分的面积等于，即可求解． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 如图，连接， 是正三角形， ， 为正三角形的外接圆的圆心， ∴也是正三角形的内接圆的圆心， 平分， ， ， ， ， 是半径， 直线与相切； （2）解：如图，连接，作于点H， ， ， ． ，， ，， ， ， ． 图中阴影部分的面积为：． 【点睛】本题考查切线的判定，正三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆中弓形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键． 9．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，得到，根据平行线的性质，得到，即可得证； （2）作于点，易得四边形为正方形，解，求出的长，再利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，作于点， 由（1）知：， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 10．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：） (1)求圆心角的度数； (2)求的弧长（结果精确到米）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线的性质，弧长公式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由圆的切线的性质得到，再由直角三角形锐角互余即可求解； （2）先解，设，，再解得到，求出，求出半径，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与所在相切于点， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵直线与所在相切于点， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的弧长为：， 答：的弧长为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 圆 第03讲 弧长、扇形面积的相关计算 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 求弧长（★） 题型02 求扇形面积（★） 题型03 求图形旋转后扫过的面积（★） 题型04 求弓形的面积（★） 题型05 圆锥的相关计算（★） 题型06 圆锥侧面上最短路径问题（★） 题型07 圆锥的实际问题（★） 题型08 不规则图形的面积计算（求和(差)法）（★） 题型09 不规则图形的面积计算（等积转化法）（★） 题型10 不规则图形的面积计算（容斥原理法）（★★） 能力通关 【考点】扇形面积公式、正方形性质、规律探究，重点考查圆心角为90°的扇形面积计算及求和。 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为_______．（结果保留π） 【考点】弧长公式、圆的切线性质、矩形性质、等边三角形判定与性质、直角三角形边角关系，侧重扇环与矩形的综合应用及尺寸求解。 2．（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 【考点】切线的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、圆周角定理、弧长公式，结合摩天轮实际场景考查圆的综合应用及最值相关计算。 3．（2025·山东潍坊·中考真题）图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． (1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； (2)已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） 【考点】平移作图、旋转作图、勾股定理、弧长公式，重点考查图形变换后的坐标求解及旋转路径（弧长）计算。 4．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 【考点】圆的性质、正方形判定与性质、弧长公式、图形旋转，侧重两等圆相交的坐标求解、阴影部分（叶瓣）周长计算及图形变换规律。 5．（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 题型01 求弧长（★） 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为12cm，而破损处的缺口两端点A，B之间的距离为6cm，则的长为_______cm． 2．（2025·安徽合肥·一模）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆，连接，，作．若劣弧的长为，则______． 3．（2025·甘肃天水·一模）石磨是我国古代的伟大发明之一，最初叫硙（读作wèi），汉朝才叫作磨．其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，点A在中轴线m上运动，点B在以O为圆心，长为半径的圆上运动，且．当点A运动了到点处时，点B按逆时针方向旋转到处，则______． 4．（2025·四川广元·一模）如图，每个小正方形的边长表示．请按以下要求解答问题， (1)在方格图中画．三个顶点的位置分别是、、； (2)请画出绕点顺时针旋转后的图形，并求出的面积； (3)在以上旋转过程中，求出点经过的路线长． 5．（2025·河南南阳·三模）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接． (1)求的值； (2)求的长； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 题型02 求扇形面积（★） 6．（2025·陕西西安·模拟预测）玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品．古语有“君子无故，玉不去身”，现在人们也以“温润如玉”来形容谦谦君子．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北·二模）如图，是的直径，弦于点E，，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·内蒙古包头·模拟预测）扇文化有着丰富的文化底蕴，一把折扇的尺寸是指扇骨大边的长度，扇肩在折扇上板和下板分界的位置．清代至民国期间最流行的是一种扇肩五五开（九寸约为）的折扇，九寸折扇打开的角度为140度，则山水画的面积为___________ ，扇面的周长为___________ ． 9．（2025·吉林·模拟预测）如图，在中，，，若进行下列操作：①将绕点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧；②以点C为圆心，线段的长为半径得到弧，则图中阴影部分的面积是________（结果保留）． 10．（2025·湖北武汉·三模）如图，线段为直径，点F为上一点交于点E，且，点A为中点． (1)求证：是切线； (2)若点F为靠近点的三等分点，连接交于点，且，求阴影部分面积． 题型03 求图形旋转后扫过的面积（★） 11．（2025·河南周口·一模）一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·广东阳江·模拟预测）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为______．(结果保留) 13．（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为___________．（结果保留） 14．（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为______． 15．（2025·河南·模拟预测）如图1，直线分别交坐标轴于，两点，的中线交轴于点． (1)求直线的解析式． (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转到的位置，求线段所扫过的图形的面积． 题型04 求弓形的面积（★） 16．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·宁夏中卫·三模）如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于_____（结果保留）． 18．（2025·河南濮阳·一模）如图，在的正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）中，的顶点，，均在格点上，请按要求画图：①用尺规作图；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． (1)在图中作出的外接圆的圆心； (2)将图中的圆心标记在图的相应位置并求图中阴影部分的面积（结果保留）． 19．（2025·河北邢台·三模）某排水口如图1所示，嘉嘉作出示意图如图2，排水管横截面为，水面为，测得为，她查阅资料得知该排水管的内径为（的直径为）．（参考数据：，） (1)水面的最大深度为______． (2)几天后水位上涨，排水管横截面如图3，水面宽度为． ①求水位上涨的高度． ②按规定，排水口水流横截面积（阴影部分）大于排水管横截面积的时需要清淤．请通过计算，判断现在是否需要清淤． 题型05 圆锥的相关计算（★） 20．（2025·云南昆明·三模）将一个圆锥的侧面展开后得到一个扇形，这个扇形的面积为，半径为，这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 21．（2025·四川绵阳·三模）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，，，若上面圆锥的侧面积为5，则下面圆锥的侧面积为（   ） A．10 B． C． D． 22．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知一个圆锥的母线长，底面半径是，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·广东中山·模拟预测）2025年春节贺岁档的《哪吒之魔童闹海》中敖丙和哪吒联手对抗黑暗势力时，敖丙用冰之力创造出一个圆锥冰盾．已知该冰盾的高比底面半径r大，同时，哪吒用混天绫围绕这个圆锥体冰盾的底面刚好缠绕一圈进行加固，已知圆锥体冰盾的母线长为．则此时混天绫的长度为________．（保留） 24．（2025南京模拟）若圆锥的侧面面积为，它的底面半径为，则此圆锥的母线长为___． 题型06 圆锥侧面上最短路径问题（★） 25．（2025辽宁葫芦岛模拟）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 26．（2025内蒙古乌兰察布模拟）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 题型07 圆锥的实际问题（★） 27．（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 28．（2025·云南昆明·三模）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______． 29．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为______．（结果保留） 30．（2025·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 31．（2025·广西贺州·中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（    ） A． B． C． D． 题型08 不规则图形的面积计算（求和(差)法）（★） 32．（2026·山东·一模）如图（1）是一款带毛刷的扫地机器人，图（2）是其示意图，机身的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，，设工作时毛刷绕点P 旋转形成的圆弧交于点A、B，且点A、P、B在同一直线上，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 33．（2025·山西运城·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 34．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则图2中阴影部分的面积为______．（结果保留） 35．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 题型09 不规则图形的面积计算（等积转化法）（★） 36．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，反比例函数的图象与有四个交点，图中阴影部分的面积为，则该圆的半径为（   ） A． B． C． D． 37．（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，，以为直径的与，交于点，，连结，．若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 38．（2025·河南郑州·二模）如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的弧上，扇形的圆心是弧的中点，且扇形绕着点旋转，半径，交于点，半径，交于点，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 题型10 不规则图形的面积计算（容斥原理法）（★★） 39．（2025年山西省吕梁市岚县中考二模数学试题）如图1所示是“梦想起航社团”同学设计的社团logo部分图案．图案由分别以等边三角形ABC的顶点A，C为圆心，AB长为半径的两条弧和以AC的中点O为圆心，长为半径的第三条弧组成（如图2）．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 40．（2025年河南省周口市沈丘县中考二模数学试题）如图，半圆O的直径为4，交半圆O于点C，以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，以点B为圆心，长为半径画弧交于点E，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 41．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆弧；以为圆心，为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别记为、，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（2026·江苏南京·一模）如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)求点到直线的距离． (2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为______． ②当时，求阴影部分面积． (3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___． 2．（2026·河北沧州·一模）如图1，在中，为线段上一点，以为圆心，长为半径的圆与边，分别交于，两点，过点作的切线，交于点． (1)求与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，若为的中点． ①探究与的数量关系，并说明理由； ②连接，若，求阴影部分的面积． 3．（2026·广东中山·模拟预测）综合与实践： 左步村，位于广东省中山市南朗镇东部，距南朗街道约2公里，因稻香蛙鸣的田园风光、底蕴深厚的历史人文而驰名湾区，享誉全国．走进村子就可以看到一大片开阔稻田，稻田里古朴的水车正吱吱呀呀的转着，满满的乡村田园气息扑面而来．水车是一种利用水力驱动的机械设备，用于抽水、挽绞、磨面、扇谷等工作．水车广泛应用于农村，特别是在没有电力的地方，水车成为农民的主要能源．水车主要部件包括轮轴、桨叶、轮毂、轮辐，如图1所示．水车的示意图如图2，水车（看成一个圆）的半径是，水面（看成直线）与圆O交于，两点，水车的轴心O到的距离为，水车上均匀分布若干个竹筒，且水车以每秒的速度逆时针转动，如果把一个竹筒看作圆上一点P，从竹筒P刚露出水面开始计时，设运动时间为t秒，（参考数据，，）回答下列问题： (1)点P与圆O的位置关系是： ； (2)求的长以及扇形的面积；（结果保留） (3)当时，求此时点P到直线的距离： (4)若接水槽所在的直线是圆O的切线，且与射线交于点M，，当竹筒P第二次恰好在所在直线上时，求t的值． 4．（2026·安徽阜阳·一模）有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点，，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点． (1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； (2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得所对的圆心角为． ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，求裁出的两块木料的面积之和． 5．（2025九年级·江西·专题练习）【课本再现】（1）如图①，PA，PB是的两条切线，切点分别为A，B．图中的PA与PB，与有什么关系？请说明理由． 【知识应用】（2）如图②，PN，PD，DE分别与相切于点A，B，C，且，连接OD，OP，延长PO交于点M，交DE于点E，过点M作交PN于点N． ①求证：MN是的切线； ②当时，求的半径及图中阴影部分的面积． 6．（2025·山东泰安·三模）如图，在中，，以为直径的分别交边，于点D，F，过点D作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求的长； (3)若，，求图中阴影部分的面积．（直接写出计算的结果） 1．（2025·山东东营·中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 4．（2025·江苏盐城·中考真题）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当无限大时，这些“小扇形”可以近似的看成底边长分别为，高为的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积． 请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，，则图中阴影部分面积是__________． 6．（2025·江苏淮安·中考真题）观察点和观察的图形在同一平面内，我们把以观察点为顶点，包含被观察图形的最小角称为从观察点观察该图形的张角．如图（1），为观察点P观察正方形的张角．如图（2），在正方形所在平面内观察这个正方形，若张角为，则观察点的位置都在图中的圆弧上．如图（3），等边三角形的边长为6，在三角形所在平面内观察这个三角形，若张角为，则所有符合条件的观察点组成的图形周长为______． 7．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示） 8．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 9．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积． 10．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：） (1)求圆心角的度数； (2)求的弧长（结果精确到米）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $