6．2平面向量的运算（思维导图+7大知识点+12大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版必修第二册）

本讲义聚焦平面向量的运算核心知识点，系统梳理向量加法（三角形法则、平行四边形法则）、减法、数乘向量、共线条件、数量积及其性质运算律，形成从基础运算到性质应用的递进式学习支架。 资料含思维导图构建知识网络，题型归纳设12类题型及变式，通过实际应用案例（如飞机飞行方向问题）培养数学眼光的几何直观、数学思维的推理能力，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

6．2平面向量的运算 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一：向量的加法运算 5 知识点二：向量的三角形不等式 6 知识点三：向量的减法 6 知识点四：数乘向量 6 知识点五：向量共线的条件 7 知识点六：平面向量的数量积 8 知识点七：向量数量积的性质与运算律 9 04 题型归纳，举一反三 10 题型一：向量加法法则 10 题型二：向量加法运算律的应用 12 题型三：向量加法的实际应用 13 题型四：向量的减法运算 15 题型五：向量减法法则的应用 17 题型六：向量的线性运算 18 题型七：用已知向量表示其他向量 20 题型八：向量共线的判定及应用 22 题型九：三点共线问题及结论应用 23 题型十：向量数量积的求解 27 题型十一：向量的模与夹角计算 28 题型十二：向量垂直问题的判定与应用 30 知识点一：向量的加法运算 1、定义：向量的加法是将两个向量的对应分量相加，或通过几何方法(平行四边形法则、 三角形法则)合成一个新向量. 2、运算法则： (1)交换律： (2)结合律： (3)零向量： 3、几何意义： (1)三角形法则：将第二个向量的起点与第一个向量的终点相连，和向量从第一个向量的起点指向第二个向量的终点. (2)平行四边形法则：以两个向量为邻边作平行四边形，和向量为对角线. 4、多个向量相加： 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点 为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和. 知识点二：向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 （1）当不共线时，； （2）当同向且共线时，同向，则； （3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 知识点三：向量的减法 1、向量的减法 （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量． （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 2、几何意义： (1)将减向量的终点指向被减向量的终点，差向量由减向量的起点指向被减向量的起点. (2)在坐标系中，直接对应分量相减. 3、性质： (1)非交换性：(除非) (2)与加法的关系： 知识点四：数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 知识点五：向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 知识点六：平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 3、平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 知识点七：向量数量积的性质与运算律 1、核心性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． （1） （2） （3）当与同向时，；当与反向时，．特别的或 （4） （5） 2、向量数量积的运算律 （1）交换律： （2）数乘结合律： （3）分配律： 题型一：向量加法法则 【例1】如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【解析】（1）作法：在平面内任意取一点，作，，则，如图所示． （2）在平面内任意取一点，作，，，则，如图所示． 【变式1-1】已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【解析】（1）如图，即为所求. （2）如图，即为所求. （3）如图，即为所求. （4）如图，即为所求. 【变式1-2】已知、，用向量加法的平行四边形法则作出. 【解析】在平面内任取点，作向量，， 以线段为一组邻边作，连接， 则， 所以即为所作的向量. 【变式1-3】已知、，用向量加法的三角形法则作出.    【解析】在平面内任取点，作，作，以起点，为终点作向量， 于是， 所以即为所作向量. 题型二：向量加法运算律的应用 【例2】如图，点分别为的三边的中点.求证：    (1)； (2). 【解析】（1）由向量加法的三角形法则， （2）由向量加法的平行四边形法则， 【变式2-1】化简或计算： (1)； (2)． 【解析】（1）． （2）． 【变式2-2】化简： (1)． (2)． 【解析】（1）. （2）. 【变式2-3】化简下列各式: (1) (2) 【解析】（1）原式. （2）原式 题型三：向量加法的实际应用 【例3】一架执行任务的飞机从A地按北偏西的方向飞行后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地东偏北的方向处，且A，C两地相距，求飞机从B地到C地飞行的方向及B，C间的距离． 【解析】如图所示，，，， 所以．， 因为，且A地在B地的东偏南的方向处， 可知C地在B地的东偏南的方向处． 故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南，B，C两地间的距离为． 【变式3-1】在水流速度为的河中，如果要使船以的速度与河岸成直角横渡，求船的航行速度的大小与方向． 【解析】如图所示．设，． 在中，． 又，所以． 所以船的实际航行速度大小为，与水流的方向成角． 【变式3-2】一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位移． 【解析】（1）向量，，，，如图所示： （2）由题意知．所以，且， 则四边形ABCD为平行四边形． 所以， 则B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”． 【变式3-3】甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东的方向将球传给机器人乙，然后机器人乙按南偏东的方向将球传给机器人丙，机器人丙再按西南方向传给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小． 【解析】根据题意画出示意图如图，用、、、分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置， 则球的位移为，故球的最终位移为， 依题意知为正三角形，故． 又因为，，所以， 所以为等腰直角三角形，所以． 题型四：向量的减法运算 【例4】如图所示，已知向量、、、，求作向量，． 【解析】如图所示，在平面内任取一点，作，，， 则，． 【变式4-1】如图所示，已知向量，，，求作向量. 【解析】在平面内任取一点O，作，，， 由向量加法的平行四边形法则得； 由向量的减法法则得， 所以就是所要求作的向量，如图： 【变式4-2】如图，已知向量，求作向量． 【解析】作图如下． 【变式4-3】如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【解析】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则． （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则． 题型五：向量减法法则的应用 【例5】化简下列各式： (1)； (2). 【解析】（1）法一：原式 法二：原式; （2）法一：原式. 法二：原式. 【变式5-1】化简： (1)； (2). 【解析】（1）由向量的线性运算法则， 可得. （2）由向量的运算法则，可得. 【变式5-2】设是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）根据向量的运算法则，可得. （2）根据向量的运算法则， 可得. （3）根据向量的运算法则， 可得. 【变式5-3】化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 【解析】（1）. （2） . （3） . 题型六：向量的线性运算 【例6】（1）化简 （2）； （3）设向量，，求． 【解析】（1）原式 ； （2）原式； （3）由所求式 ， 因，， 则所求式 . 【变式6-1】已知其中，为已知向量，求，. 【解析】已知，由②得， 代入①，得，所以， 即，得， . 【变式6-2】化简：． 【解析】原式． 【变式6-3】设，是未知向量，，为已知向量． (1)解方程； (2)解方程组. 【解析】（1）原方程可变为．即，则． （2）把第一个方程的左、右两边乘以，可得， 然后与第二个方程相减，得， 从而． 代入原来第二个方程得． 即 题型七：用已知向量表示其他向量 【例7】已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 . 【变式7-1】在所在的平面内，，关于的对称点是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在所在的平面内， 所以，， 又因为关于的对称点是， 所以是中点，， 所以. 【变式7-2】如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 【变式7-3】在中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设交于， 因为，， 所以，， 则, 故选：A 题型八：向量共线的判定及应用 【例8】已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【解析】A：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； B：，因为，所以本选项三点共线； C：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； D：由上可知：，，因为，且平面向量不共线， 显然不存在实数，使得，因此本选项三点不共线， 故选：B 【变式8-1】若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（   ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【解析】对A，， 则共线，又因为有公共点，则A、B、D三点共线，故A正确； 对B，因为，故不共线，则A、B、C三点不共线，故B错误； 对C，因为，故不共线，则B、C、D三点不共线，故C错误； 对D，，因为， 故不共线，则A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 【变式8-2】已知向量不共线，且，则下列一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 则不存在任何，使得，所以不共线，A选项错误； 则不存在任何，使得，所以不共线，B选项错误； 由向量的加法原理知． 则有，又与有公共点，所以三点共线，C选项正确； ，则不存在任何，使得，所以不共线，D选项错误． 故选：C． 【变式8-3】已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项，设，即，故，无解，三点不共线，A错误； B选项，设，即，故，无解， 三点不共线，B错误； C选项，， 设，即，故，无解， 三点不共线，C错误； D选项，， 由于，故三点共线，D正确. 故选：D 题型九：三点共线问题及结论应用 【例9】在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，． (1)试用，表示向量； (2)在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 【解析】（1）设，、M、B三点共线， ∴存在非零实数k使得， ， ，解得①， 又、M、A三点共线，∴存在非零实数t使得． ． 又，，解得②． 由①②解得，， ； （2）由（1）知， 、M、E三点共线， ∴存在非零实数h使得， ，所以 消去h得，． 【变式9-1】在中，过重心的直线交边于点，交边于点，，，求证：． 【解析】解法1：设，， 因为，， 所以，， 因为的重心，则， 因为三点共线，则存在，使得，即， 即， 所以，整理得，即， 两边同除以得． 解法2： 因为，， 所以，， 因为为的重心，所以， 因为三点共线，所以，得． 【变式9-2】如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，．设，，，．    (1)化简：； (2)求证：为定值； 【解析】（1）因为是的中点，所以， 又是的中点，所以， 所以. （2）由题，可得，， ， 因为三点共线，所以， 所以. 【变式9-3】如图在直角中，，，，点为平面中一点． (1)若，请用和来表示． (2)若，求和的面积之比． 【解析】（1）由题得，，． （2）延长交于点，如图所示， 设，则由，得， 由三点共线，可得，解得， 则，得，即， 所以． 题型十：向量数量积的求解 【例10】已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 【答案】 【解析】由题意如图所示： 由，， 因为，所以， 所以 ， 故答案为：. 【变式10-1】若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________. 【答案】4 【解析】∵向量在向量上的投影向量为， ∴， ∴，，则， ∴. 故答案为：4 【变式10-2】已知，，且与的夹角，则向量在向量上的投影向量的长度为________． 【答案】 【解析】由已知，，， 所以向量在向量上的投影向量的长度为． 故答案为：. 【变式10-3】已知为单位圆的内接等边三角形，为边的中点，则____． 【答案】/0.25 【解析】 由正三角形性质可知， 为等边三角形的重心， 则 ，故 ，， 所以 ． 故答案为： 题型十一：向量的模与夹角计算 【例11】已知． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与的夹角为． 【解析】（1）若，则与的夹角为0或． 所以或． （2）因为 ， 所以． （3）若，则，即， 所以， 即，所以， 又，所以． 【变式11-1】已知． (1)求 (2)求． 【解析】（1）由，得， 所以. （2）由（1）得， 因此， 而，所以. 【变式11-2】已知，，与的夹角为，求使与的夹角为锐角的实数的取值范围． 【解析】因为，，与的夹角为，则， 所以， 令可得，解得． 当与同向时，设． 由已知、不共线，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 【变式11-3】如图，半圆的直径，C是半圆上的一点，D，E分别是，上的点，且，，． (1)求证：； (2)求； (3)求向量与向量夹角的余弦值． 【解析】（1）证明：因为，，所以，又，， 所以，所以是直角三角形，． 因为为直径，所以． 所以，故． （2）因为，所以， 所以，即， 解得，即． （3）向量与向量的夹角即向量与向量的夹角，而， 所以向量与向量夹角的余弦值为． 题型十二：向量垂直问题的判定与应用 【例12】已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数=____. 【答案】 【解析】由题可知， 因为，所以， 即，解得. 故答案为：. 【变式12-1】已知向量，的夹角为，，，若，则_____________． 【答案】/ 【解析】因为向量，的夹角为，，， . ， ， 解得． 故答案为：. 【变式12-2】设为单位向量，且，与的夹角为，则的值为___________． 【答案】4 【解析】因为，所以，所以， 又因为为单位向量，与的夹角为， 所以， 故答案为：4． 【变式12-3】已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________． 【答案】4 【解析】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6．2平面向量的运算 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：向量的加法运算 4 知识点二：向量的三角形不等式 5 知识点三：向量的减法 5 知识点四：数乘向量 5 知识点五：向量共线的条件 6 知识点六：平面向量的数量积 7 知识点七：向量数量积的性质与运算律 8 04 题型归纳，举一反三 9 题型一：向量加法法则 9 题型二：向量加法运算律的应用 10 题型三：向量加法的实际应用 11 题型四：向量的减法运算 12 题型五：向量减法法则的应用 13 题型六：向量的线性运算 14 题型七：用已知向量表示其他向量 15 题型八：向量共线的判定及应用 15 题型九：三点共线问题及结论应用 16 题型十：向量数量积的求解 17 题型十一：向量的模与夹角计算 18 题型十二：向量垂直问题的判定与应用 19 知识点一：向量的加法运算 1、定义：向量的加法是将两个向量的对应分量相加，或通过几何方法(平行四边形法则、 三角形法则)合成一个新向量. 2、运算法则： (1)交换律： (2)结合律： (3)零向量： 3、几何意义： (1)三角形法则：将第二个向量的起点与第一个向量的终点相连，和向量从第一个向量的起点指向第二个向量的终点. (2)平行四边形法则：以两个向量为邻边作平行四边形，和向量为对角线. 4、多个向量相加： 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点 为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和. 知识点二：向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 （1）当不共线时，； （2）当同向且共线时，同向，则； （3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 知识点三：向量的减法 1、向量的减法 （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量． （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 2、几何意义： (1)将减向量的终点指向被减向量的终点，差向量由减向量的起点指向被减向量的起点. (2)在坐标系中，直接对应分量相减. 3、性质： (1)非交换性：(除非) (2)与加法的关系： 知识点四：数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 知识点五：向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 知识点六：平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 3、平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 知识点七：向量数量积的性质与运算律 1、核心性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． （1） （2） （3）当与同向时，；当与反向时，．特别的或 （4） （5） 2、向量数量积的运算律 （1）交换律： （2）数乘结合律： （3）分配律： 题型一：向量加法法则 【例1】如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【变式1-1】已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【变式1-2】已知、，用向量加法的平行四边形法则作出. 【变式1-3】已知、，用向量加法的三角形法则作出.    题型二：向量加法运算律的应用 【例2】如图，点分别为的三边的中点.求证：    (1)； (2). 【变式2-1】化简或计算： (1)； (2)． 【变式2-2】化简： (1)． (2)． 【变式2-3】化简下列各式: (1) (2) 题型三：向量加法的实际应用 【例3】一架执行任务的飞机从A地按北偏西的方向飞行后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地东偏北的方向处，且A，C两地相距，求飞机从B地到C地飞行的方向及B，C间的距离． 【变式3-1】在水流速度为的河中，如果要使船以的速度与河岸成直角横渡，求船的航行速度的大小与方向． 【变式3-2】一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位移． 【变式3-3】甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东的方向将球传给机器人乙，然后机器人乙按南偏东的方向将球传给机器人丙，机器人丙再按西南方向传给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小． 题型四：向量的减法运算 【例4】如图所示，已知向量、、、，求作向量，． 【变式4-1】如图所示，已知向量，，，求作向量. 【变式4-2】如图，已知向量，求作向量． 【变式4-3】如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 题型五：向量减法法则的应用 【例5】化简下列各式： (1)； (2). 【变式5-1】化简： (1)； (2). 【变式5-2】设是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【变式5-3】化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 题型六：向量的线性运算 【例6】（1）化简 （2）； （3）设向量，，求． 【变式6-1】已知其中，为已知向量，求，. 【变式6-2】化简：． 【变式6-3】设，是未知向量，，为已知向量． (1)解方程； (2)解方程组. 题型七：用已知向量表示其他向量 【例7】已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】在所在的平面内，，关于的对称点是，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】在中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 题型八：向量共线的判定及应用 【例8】已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【变式8-1】若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（   ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【变式8-2】已知向量不共线，且，则下列一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 题型九：三点共线问题及结论应用 【例9】在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，． (1)试用，表示向量； (2)在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 【变式9-1】在中，过重心的直线交边于点，交边于点，，，求证：． 【变式9-2】如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，．设，，，．    (1)化简：； (2)求证：为定值； 【变式9-3】如图在直角中，，，，点为平面中一点． (1)若，请用和来表示． (2)若，求和的面积之比． 题型十：向量数量积的求解 【例10】已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 【变式10-1】若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________. 【变式10-2】已知，，且与的夹角，则向量在向量上的投影向量的长度为________． 【变式10-3】已知为单位圆的内接等边三角形，为边的中点，则____． 题型十一：向量的模与夹角计算 【例11】已知． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与的夹角为． 【变式11-1】已知． (1)求 (2)求． 【变式11-2】已知，，与的夹角为，求使与的夹角为锐角的实数的取值范围． 【变式11-3】如图，半圆的直径，C是半圆上的一点，D，E分别是，上的点，且，，． (1)求证：； (2)求； (3)求向量与向量夹角的余弦值． 题型十二：向量垂直问题的判定与应用 【例12】已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数=____. 【变式12-1】已知向量，的夹角为，，，若，则_____________． 【变式12-2】设为单位向量，且，与的夹角为，则的值为___________． 【变式12-3】已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $