6．2平面向量的运算（12大题型）训练-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版必修第二册）

6.2平面向量的运算 目录 01基础题型归纳. 2 题型一：向量加法法则… 2 题型二：向量加法运算律的应用3 题型三：向量加法的实际应用3 题型四：向量的减法运算.4 题型五：向量减法法则的应用… 5 题型六：向量的线性运算…。 6 题型七：用已知向量表示其他向量… 6 题型八：向量共线的判定及应用 .7 题型九：三点共线问题及结论应用… .7 题型十：向量数量积的求解… .8 题型十一：向量的模与夹角计算… .8 题型十二：向量垂直问题的判定与应用… .9 02重难点拓展… 10 1/13 01 基础题型归纳 题型一：向量加法法则 1.如图，已知向量a,五，求作向量a+. a ， 6 (1) (2) (3) 2.如图，已知三个向量a,b,c,试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a+b+c· a 3.如图，已知下列各组向量a,五，求作a+b a (1) (2) 6 (3) d 2/13 题型二：向量加法运算律的应用 4.化简 (1)0A+BC+AB+CD+DO: (2EF DE FA 5.化简下列各式： (1)(AB-CD)-(AC-BD) 2AB+DA+BD-BC-CA. 6.如图所示，点D,E,F分别为ABC的三边AB,BC,CA的中点 求证： D (1)AB+BE=AC+CE: E4+FB+DC=0. 题型三：向量加法的实际应用 3/13 7.某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60走了450m到达C点，最后又改 变方向，向东走了200m到达D点.(1cm表示100m) (I)作出向量AB、BC、CD; (2)求DA. 8.一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40km到 达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置 9.在静水中船的速度是40m/min，水流的速度是20m/min.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对 岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？ 题型四：向量的减法运算 10.如图，在各小题中，已知a,b,分别求作ā-b. d b (1) (2) (3) 11.如图，己知向量a,五，c,求作向量a-b-c· 个6 a 4/13 12.如图，己知向量a和向量五，用三角形法则作出a-b+a b 题型五：向量减法法则的应用 13.化简下列各式： (1)(AB+MB)+(-OB-MO): 2AB -AD-DC: (3)(AB-CD)-(AC-BD); (4)0A-OD+AD; (⑤)AB+DA+BD-BC-CA 14.在ABC中，若A8=a,AC=6. (1)若P、Q是线段BC的三等分点，求证：AP+AQ=a+b; a若R、Q、S是线段BC的四等分点，求证：AP+40:否-a+可： (3)如果A、A、A、、An-1是线段BC的n(n≥3)等分点，你能得到什么结论？不必证明.（已知 1+2+3+…+n n(n+) 2 5/13 15.化简(1)(AB-CD)-(AC-BD) (2)0A-OD+AD: (3)AB+DA+BD-BC-CA. 题型六：向量的线性运算 16.化简：(x+y)(a+b)-(x-y)(2a+b). 17.化简引4a-3列+5-6a-例 18.已知向量a,万，未知向量元，乎，向量a,五，元，满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,求向量 元，下. 题型七：用已知向量表示其他向量 19.在平行四边形ABCD中，E为边AB的中点，设AB=a,AD=b,则CE=() A.号a+i B.-6 c.a-6 D.a+6 20.△0AB,点P在边AB上，AB=3P,设0A=a,0B=b,则OP() 1+26 A.3a+3 C. 3 6/13 21.在ABC中，D为BC中点，=CD,A0=B+4C,若D=2P+40,则久=() 3 A.月 B c. 1 D.5 题型八：向量共线的判定及应用 22.设e,g,是两个不共线的向量，已知AB=2e+ke,CB=巴+3e,CD=2e-6，若三点A,B,D共 线，则k的值为() A.-8 B.8 C.6 D.-6 23.己知点A,B,C是直线1上相异的三点，0为直线1外一点，且20A=30B+10C,则1的值是() A.-1 B.1 c D. 24.已知向量a、b不共线，且c=xa+b,d=a+(2x-1b,若乙与a共线，则实数x的值为() A.1 c1碳 D度号 题型九：三点共线问题及结论应用 25.如图，在等腰梯形ABCD中，ABI1DC,AB=2BC=2CD=2DA,M为线段BC中点，AM与BD交 于点N, D M (I)用AB和AD表示AM; (2)求1Aw1 INMI 26,在△4BC中，亚=EC,D-号B,线段CD交BE于点G,且4G-A亚+uD,求+的值。 B 7/13 27.如图，在ABC中，BD=2DC B H (I)若E是BD的中点，试用AB和AC表示AE: (②)若G是AD上一点，且AG=2GD,过点G的直线交AB于点F,交AC于点H若AF=AB,AF=4AC, 其中2，4均为正实数，求入+4的最小值 题型十：向量数量积的求解 28.已知向量a、6,其中=2，ā在方向上的投影向量是五，则a6= 29.在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=3,点E是AB的中点，点F满足BF=2FC,且DF=√3， 则EF.DF=一 30.已知ABC满足AB=3,BC=6,LABC=60°，M,N为直线BC上的动点，且SAwN=35,则 AM.AN的最小值为 题型十一：向量的模与夹角计算 31.(1)已知单位向量与e,夹角为，且a=e+e,6=g-2g,求a与的夹角， 3 (2)已知ā=√2，b=3,ā-b=√7，求a与五夹角的余弦值 32.已知ld=l,5l=2,且(a+b小3a-b=l. (①)求向量ā与的夹角0： (2)求3a+2b 8/13 33.己知平面向量a=5,=2,且(2a-3b)(2a+b)=4 (1)求2a-的值： (2)求向量a与a-26夹角的余弦值. 题型十二：向量垂直问题的判定与应用 34.已知=3，=4，且a与6不共线.若向量ā+k5与a-柘互相垂直，则k 35.已知向量a与6不共线，且a(a+)=2,园=1，若(2a-)1(2a+,则i-(a-)= 36.在ABC中，已知AB=2,AC=4,G,O分别是ABC的重心和外心，则GO.BC= 9/13 02 重难点拓展 1.(25-26高三上湖北期末)已知向量ā，6满足=2.6在a止的投彩向量是a,则2a-的最小值为水) A.5 B.4 C.3 D.2 2。(25,26高三上安微宣城期末)已如非零向量a6的夹角为子，若a在Z让的投影向量为0，且 (a+2b小a=6,则a=() A.5 B.2 C.3 D.25 3.在平行四边形ABCD中，下列关系式不正确的是() A.AC=AB+AD B.DB=AB-AD C.ACP+DB P=2(4BP+ADP) D.AC=4B+AD 4.(多选题)（多选）在ABC中，D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点，点G为ABC的重心，则下列结 论中正确的是() A.AB-BC=CA B.AG=AB+AC到 C.AF+BD+CE=0 D.G4+GB+GC=0 5.(多选题)(25-26高一下·广东揭阳·月考)物理中位移的合成是向量加法的几何基础，例如：在ABC中， D为线段BC中点（如左图），在封闭回路ABD中，AD=AB+BD;在封闭回路ACD中，AD=AC+CD: 将两式相加，由于BD和CD互为相反向量，其和为0，整理可得4D-A8+4C).类比这个过程，在右 图的四边形ABCD中，E、F分别为线段AD、BC中点，则() B D A.F=丽+Dc) B.EF-(4C+DB) 10/136.2平面向量的运算 目录 01基础题型归纳 .2 题型一：向量加法法则… 2 题型二：向量加法运算律的应用3 题型三：向量加法的实际应用.4 题型四：向量的减法运算.6 题型五：向量减法法则的应用. 7 题型六：向量的线性运算… .9 题型七：用已知向量表示其他向量… .9 题型八：向量共线的判定及应用 .11 题型九：三点共线问题及结论应用… .11 题型十：向量数量积的求解… 14 题型十一：向量的模与夹角计算… .15 题型十二：向量垂直问题的判定与应用… .17 02重难点拓展。 19 1/27 01 基础题型归纳 题型一：向量加法法则 1.如图，已知向量a,乃，求作向量a十. 方， (1) (2) (3) 【解析】(1)作0A=a,AB=b,则0B=a+b,如图(1). (2)作0A=a,AB=b,则OB=a+b,如图(2). (3)作0A=a,AB=b,则0B=a+b,如图(3). A 0 a A B 图(1) 图(2) 图(3) 2.如图，已知三个向量a,五，c,试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a+b+c· b 【解析】利用三角形法则作a+b+c,如图①所示，作OA=a,以A为起点，作AB=b, 再以B为起点，作BC=c,则OC=OB+BC=OA+AB+BC=a+b+c, 利用平行四边形法则作a+b+c,如图②所示，作OA=a,OB=b,0C=c, 以OA,OB为邻边作O4DB,则OD=a+b, 再以0D,OC为邻边作cODC,则OE=OD+OC=a+b+c. 2/27 E B D atb 0 a 图① 图② 3.如图，已知下列各组向量乙，五，求作a+b (1) (2) 6 (3) ④ 【解析】(1)将的起点移至的终点，即可得a+b,如下图： a+b a b (2)将的起点移至的终点，即可得a+b,如下图： i可 a+b (3)以G,为顶点作平行四边形，应用平行四边形法则可得a+b,如下图： a+b (4)将的起点移至的终点，应用三角形法则可得ā+b,如下图： 题型二：向量加法运算律的应用 4.化简 (1)0A+BC+AB+CD+DO; (2EF DE FA 【解析】(1)OA+BC+AB+CD+D0=OA+AB+BC+CD+D0=d (EF+DE+FA=(DE+EF)+FA=DA 3/27 5.化简下列各式： (1)(4B-CD)-(AC-BD) (2)AB+DA+BD-BC-CA. 【解析】(1)(AB-CD)-(AC-BD) =AB-CD-AC+BD =AB+BD+DC-AC =AC-AC=0 (2)AB+DA+BD-BC-CA =AB+BD+DA+AC+CB =0+AB=4B 6.如图所示，点D,E,F分别为ABC的三边AB,BC,CA的中点. 求证： A B (1)AB+BE=AC+CE EA+FB+DC=0 【解析】(1)证明：由向量加法的三角形法则， 因为AB+BE=AE,AC+CE=AE,所以AB+BE=AC+CE (2)证明：由向量加法的平行四边形法则， 因为EA=EF+ED,FB=FE+FD,DC=DF+DE, 所以EA+FB+DC=EF+ED+FE+FD+DF+DE =(EF+FE)+(ED+DE)+(FD+DF)=0+0+0=0 题型三：向量加法的实际应用 7.某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60走了450m到达C点，最后又改变 方向，向东走了200m到达D点.(1cm表示100m) (1)作出向量AB、BC、CD: (2)求DA. 【解析】(1)如图所示 4/27 D B (2)由CD=-AB,得四边形ABCD为平行四边形， 所以DA=CB=450m 8.一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40km到达地，再由s地沿正北方向飞行40km到达 (地，求此时直升飞机与地的相对位置 【解析】如图所示， 北 B A D 东 设AB,BC分别是直升飞机的位移，则AC表示两次位移的合位移，即AC=AB+BC 在Rt△ABD中，DB=20km,AD=205km 在R△4D中，|Ad-AD+DC=403km,∠CAD60, 即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地40√3km处 9.在静水中船的速度是40m/min,水流的速度是20m/min.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达 对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？ 【解析】设B表示水流的速度，AC表示船实际航行的速度，AD表示船行驶的速度， 上游 下游 A >B 则四边形ABCD为平行四边形 5/27 所以AB=DC,DCA=90°， 因为∠DCA=90°，于是AC=AD2-1CDP=V√402-202=20√5， 所以DAC=30°，∠DAB=120°， 故船的航行方向与水流方向成120°，船的实际航速为20√m/min 题型四：向量的减法运算 10.如图，在各小题中，已知ā，b,分别求作ā-b. (1) (2) (3) 【解析】将ā，b的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，BA=a-b, 6 d A B← a-b 2 o a a-b a-b (1) (2) (3) 11.如图，已知向量a,6,c,求作向量a-b-c. a 》 【解析】在平面内任取一点(，作向量OA=ā，OB=b,则向量BA=a-b, 再作向量BC=c,则向量CA=a-b-c,即CA为所求作向量 a-b-c B b O a 12.如图，己知向量C和向量E,用三角形法则作出a-b+a 6/27 a 【解析】作法：作向量OA=a,向量OB=b,则向量BA=a-b, 如图所示，作向量AC=a,则BC=a-b+a B 题型五：向量减法法则的应用 13.化简下列各式： (1)(AB+MB)+(-OB-MO); AB-AD-DC: (3)(AB-CD)-(AC-BD); (4)0A-OD+AD; (5)AB+DA+BD-BC-CA 【解析】(1)法一：原式=AB+MB+BO+OM=(AB+BO)+(OM+MB)=AO+OB=AB: 法二：原式=AB+MB+BO+OM=AB+(MB+BO)+OM=AB+MO+OM=AB+0=AB; (2)法一：原式=DB-DC=CB 法二：原式=AB-(AD+DC)=AB-AC=CB (3)方法一：(AB-CD)-(AC-BD)=AB-AC-CD+BD=AB+BD+DC+CA=AD+DA=0; 方法二：(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=AB-AC-CD+BD=CB-CD+BD=DB+BD=0: (4)0A-OD+AD=DA+AD=0 (5)AB+DA+BD-BC-CA=AB+DA+AC+BD-BC=AB+DC+CD=AB 14.在ABC中，若AB=a,Ac=方. (I)若P、Q是线段BC的三等分点，求证：AP+A0=a+b: 2老八Q、8是线段c的四等分点求证：办，0：否-+列： (3)如果A1、A2、A、、An1是线段BC的n(n≥3)等分点，你能得到什么结论？不必证明.（已知 7/27 1+2+3+…+n= n(n+1) 2 【解析】(I)当P、Q是线段BC的三等分点时，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC, 连接AD,交BC于O点，连接PD、QD,如图所示， 则B+AC=AD,因为OB=OC,BP=CQ=BC,所以OP=PO且OA=OD, 所以四边形APDQ是平行四边形，所以AP+A0=AD=AB+AC=a+, B D 0 (2)当P、Q、S是线段BC的四等分点时，如图所示，则Q是BC的中点， 所以P+0+否=(B+0)=a+可 2 3)轴论：44++++-”2a+列 15.化简(1)(AB-CD)-(AC-BD) (2)04-OD+AD: (3)AB+DA+BD-BC-CA. 【解析】(1)方法一（统一成加法）：(AB-CD)-(AC-BD)=AB-AC-CD+BD =AB+BD+DC+CA=AD+DA=0 方法二（利用OA-OB=BA):(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD =AB-AC-CD+BD=CB-CD+BD=DB+BD=0 (2)OA-OD+AD=DA+AD=0. (3)AB+DA+BD-BC-CA=AB+DA+AC+BD-BC =AB+DC+CD=AB 题型六：向量的线性运算 16.化简：(x+y)(a+b)-(x-y)(2a+b). 8/27 【解析】原式=[x+)-2(x-y)a+[(x+y)-(c-y)]b =(3y-x)a+2b 17.化简4a-+-6@-70例 【解折】引4a-网+5-6a-7网例] -引-5+6-0+到 =0-引++ - 18.已知向量G,五，未知向量x,,向量(，五，，满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,求向量x, 解析】由3x-20,待号-3y0,而-4x+3 2 1 3 31 因此2X=2a+b,解得x=3a+2b,y=2-2a=4a+3动， 所以x=3a+2b,y=4a+3b. 题型七：用已知向量表示其他向量 19.在平行四边形ABCD中，L为边B的中点，设AB=ā，AD=b,则CE=() A. 0-6 C. 1 D.2a+6 【答案】B 【解折1正-历+死=-而-号西=-6 故选：B 0 A E B 20.△OAB,点P在边AB上，AB=3AP,设0A=a,OB=万，则OP(） B. 9/27 12第 c.3a3 D. 【答案】B P 【解析】 依题意，0p-01:40-01+4B-0a+o8-0网-oa+05-号a+6 答案：B 21.在BC中，D为BC中点，=AD,40=名B+AC,若AD=2+2A0,则元=（) 3 A. B c.4 1 D. 【答案】A 【解折1因0-号孤+4C,则引0-网-c-@.即20-0c, 则BO=1BC, 因D为Bc中点，则D0=0-D-写8c-C=aC, 6 因0-号+0.则（而-刑-0-而，年m-00 则而-0c,则：0,0mccc, 因0=0D,D为Bc申点，则T:00,即-C-C0,得元=号 故选：A 题型八：向量共线的判定及应用 10/27