第三章机械波之振动加强点和减弱点以及个数的判断方法 专项训练-2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

振动加强点和减弱点以及个数的判断方法 一、判断两种方法 1.条件判断法： (1)加强点：同相，Δx＝2k·，其中k＝0，1，2… ②减弱点：同相，Δx＝(2k+1)，其中k＝0，1，2… ③若反相(步调相反)，则上述结论相反 2.现象判断法： (1)加强点：总是波峰与波峰(或波谷与波谷)相遇 (2)减弱点：若总是波峰与波谷相遇，则为减弱点 二、典型例题 例题1、水面上存在两频率相同振幅均为1cm的两个波源a和b，它们之间的距离为14m（e点位于ab连线的中点处）。两波源从t=0时刻开始同时从平衡位置向上振动，t=4.5s时，水面上第一次观察到如图所示的分布（实线代表波峰，虚线代表波谷）。下列说法正确的是（　　） A．波的传播速度为2m/s B．图中所标c点和d点为振动加强点 C．t=4.5s时，e点处质点刚好经过平衡位置向上振动 D．从t=0到t=4.5s的时间内，e点处质点通过的路程为2cm 针对训练1、图为水面上两列频率相同的波在某时刻的叠加情况，以波源为圆心的两组同心圆弧分别表示同一时刻两列波的波峰（实线）和波谷（虚线），两波源振幅均为，下列说法正确的是（　　） A．再过半个周期，质点B振动加强 B．再过半个周期，质点D运动到A处 C．B、C水平方向连线的中点是减弱点 D．质点A在该时刻的位移大小为，再过四分之一个周期，A的位移为0，且A的振动方向垂直水面向下 例题2、在某一均匀介质中有两个机械波源a、b，相距7m，如图所示为两个波源a、b同时开始做简谐运动的振动图像，波源a、b发出的两列波相向传播，波速均为2m/s。下列说法正确的是（　　）： A．两列波频率均为2Hz B．两列波相遇叠加不会发生干涉 C．两列波相遇叠加，在两个波源连线中点振幅为1cm D．两列波相遇叠加，在两个波源连线上有3个点振幅为3cm 针对训练2、如图所示，x轴上x=6m和x=-6m处有两个波源，在t=0时刻同时开始振动，在同一介质中产生两列振幅不同的简谐横波，t=6s时的波形图如图所示。足够长时间后两波源之间（不包含波源）振动加强点的个数为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 三、培优提升练习 1．如图所示，在矩形中，、，C点为AB边的中点，在、处有两个振源，振动方程分别为、，已知两振源产生的两列波在该介质中的传播速度为。则下列说法正确的是（　　） A．A点振幅为 B．B点为振动减弱点 C．C点的振幅为 D．的时间内，C点通过的路程为 2．如图，S1、S2是两个频率相同的波源，它们发出的两列简谐横波在空间相遇，图中虚线和实线分别代表某时刻这两列波的波谷和波峰。对于图中的四个点A、B、C和D，振动始终加强的点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图为一“环腔式”消声器的原理图，可以对高速气流产生的噪声进行降噪。波长为λ的声波沿水平管道自左侧入口进入后分成上下两部分，分别通过通道①、②继续向前传播，在右侧汇聚后噪声减弱，下列说法正确的是（　　） A．该消声器是利用波的漫反射原理设计的 B．该消声器对所有频率的声波均能起到降噪效果 C．上下两束波的路程和满足时，降噪效果最好 D．上下两束波的路程和满足时，降噪效果最好 4．在均匀介质中，两波源分别位于和处，产生的简谐横波沿轴相向传播，波速均为。时刻两波源同时开始振动，且振动方程均为，下列说法正确的是（　　） A．两波源的起振方向都沿轴负方向 B．时，两列波的第一个波峰在处相遇 C．0~10s内，处的质点运动的路程为8cm D．形成稳定干涉图样后，轴上两波源间（不含波源）有10个振动加强点 5．如图所示，分别位于纸面内直角三角形的三个顶点上，是两列波的波源，时同时开始垂直纸面做简谐运动，其振动表达式均为，产生的两列波在同一种均匀介质中沿纸面传播。已知两波源产生的两列简谐波传到点的时间差是，则两列波的波长和线段上振动加强点的个数分别为（    ） A．，5 B．2m，7 C．1m，5 D．1m，7 6．甲、乙两列简谐横波在同种均匀介质中分别沿x轴正方向、负方向传播，波速均为1m/s，某时刻两列波的部分波形如图，此时P、Q两质点刚好开始振动。下列说法正确的是（　　） A．以处的质点开始振动时刻作为计时起点，该质点的振动方程为 B．两列波叠加后，PQ（包括P、Q）之间振幅为12cm的点有5个 C．从图示时刻开始计时，时处的质点正处在平衡位置向y轴负方向运动 D．处的质点从图示时刻开始经过3s通过的路程是24cm 7．如图1所示，在均匀介质中A、B两点处有两波源，其中，，这两波源的频率、振动方向、步调均一致，两波源的振动图像如图2所示，产生的简谐横波在某一平面内传播，时简谐横波B传播到实线圆面处。在该平面内，还存在M、N、P、Q四点，如图3所示，其中，，MN=4m，则时，MNPQ连接的边框上的振动加强点个数正确的是（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 8．如图所示，是同一种介质中的两个振动情况完全一样的相干波源，它们振动的频率为，振动方向垂直于直角所在的平面，在介质中形成的机械波的波速为。在中，，，取，下列说法正确的是（　　） A．的中点为振动加强点 B．点为振动减弱点 C．上有4个振动加强点 D．上有2个振动减弱点 9．如图所示，在平面介质上有一个等腰三角形ABC，O是BC的中点，相距的B、C两处各有一个做简谐运动的波源，两波源的振动情况完全相同，产生的机械波波长均为。除两波源外，下列说法正确的是（  ） A．三角形三条边上共有10个振动加强点 B．AB边上的振动加强点到B点的最小距离为 C．AB边上的振动减弱点到AO边的最小距离为 D．若增大三角形的底角，三条边上的振动加强点个数不变 10．如图所示，直径为2.5m的圆上有两个做简谐运动的波源、，两波源的振动情况完全相同，在介质中产生的简谐波的波长均为1m，和AB是圆的两个互相垂直的直径，除两波源外，下列说法正确的是（    ）    A．圆上有6个振动减弱点 B．圆上有10个振动加强点 C．波源到圆上最近的振动加强点的距离为0.5m D．圆上的振动减弱点到A点的最小距离为 11．在平静水面上建立x轴，俯视图如图所示。分别位于和的两波源A、B起振方向相反，时刻同时从各自的平衡位置开始以10Hz的频率、4cm的振幅上下振动，在水面上形成两列简谐横波。图中虚线为两列波到达的位置，此时处的质点处于平衡位置且向上振动。下列说法正确的是（     ） A．两列波的传播速度为1m/s B．波源B起振方向向下 C．原点处的质点起振方向向下 D．AB的中点到两波源距离相等，为振动加强点 12．同一均匀介质中坐标分别为和的两个振源、，从时刻开始振动，产生的机械波相向传播，时的波形如图所示。下列说法正确的是（　　） A．两列波在该介质中的周期为2s B．两列波在该介质中的波速为1m/s C．处的质点是振动减弱点 D．处的质点是振动加强点 13．如图甲所示，在同一水平面内（俯视图），A 、B 是两个波源，介质中的 P 点离 A 点的距 离为 10m ，离 B 点的距离为 8m 。两波源均从 t=0 时刻开始振动，规定竖直向上为位移的正 方向，波源 A 振动图像如图乙所示，波源 B 振动图像如图丙所示，两列波在介质中的波速均为 v=1m/s 。则下列说法正确的是 （    ） A．t=8s 时 P 点开始振动 B．P 点的起振方向向上 C．P 点是振动减弱点 D．在 0~ 12s 内，P 点运动的路程为 30cm 14．在处的波源产生一列沿轴负方向传播的简谐横波，在处的波源产生一列沿轴正方向传播的简谐横波。时刻两波源开始振动，时两列简谐波同时传到点，波形图分别如图中实线和虚线所示，则下列说法正确的是（　　） A．两列波的波速大小均为 B．再经过，平衡位置在处的质点位移为 C．两列波叠加稳定后，在间共有个振动加强点 D．平衡位置在处的质点，在前内运动的路程为 15．如图所示，在同一均匀介质中有S1和S2两个波原，这两个波源的频率、振动方向均相同，且振动的步调完全一致，S1与S2之间相距4m，若S1、S2振动频率均为5Hz，两列波的波速均为10 m/s，B点为S1和S2连线的中点，今以B点为圆心，以R=BS1为半径画圆。求： （1）该波的波长； （2）在S1、S2连线上振动加强的点个数； （3）在该圆周上（S1和S2两波源除外）的振动加强个数。 16．一振动片以频率做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上、两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。如图，是水面上的一点，、、三点间的距离均为。 (1)若从振动片起振到点开始振动用时为，求水波的波长； (2)若的中点是振幅极大的点，且、间还有两个振幅极大的点，求水波的波长。 17．如图甲所示处于xOy水平面内的水槽中放有一个挡板，挡板上开有小孔A、B，A、B两点与波源s的距离分别为3m、4m，波源s在垂直于xOy水平面的z轴方向上的振动图像如图乙所示。我们可以把水波简化看作简谐波，已知水波的波长。求： (1)求波速v； (2)从波源振动开始计时，在时间内，小孔A处的质点通过的路程（不计B处的振动对A处的影响）； (3)在挡板前方15m处的水面上有一点C，直线AC与挡板垂直，AB距离为4m，请计算说明AC线段上振动加强点（除A点外）的个数。 18．两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别和处，两列波的波速均为0.4m/s，波源的振幅均为2cm。图为时刻两列波的图像，此刻平衡位置在和的P、Q两质点刚开始振动。质点M的平衡位置处于处。 (1)经过多长时间质点M第一次到达波峰？ (2)质点M第一次到达波峰时，质点M运动的路程s及在该时刻的位移y为多少？ (3)经过足够长的时间后，两波源之间（不包含两波源）振动加强的质点有几个？平衡位置坐标分别是多少？ 19．如图甲所示，均匀介质中两波源O、M分别位于x轴上xO=0、xM=6m处，两波源都沿y轴方向振动，振动图像分别如图乙、丙所示。已知两波的传播速度均为15m/s，求∶ (1)这两列波的波长λ； (2)两波源之间振动加强点的个数。 20．如图所示，P、Q是同一介质中相距20m的两个波源，t=0时刻波源Q从平衡位置开始做振幅为A、频率f=25Hz的简谐运动，时波源P从平衡位置开始做振幅为A、频率f=25Hz的简谐运动，两波源产生的简谐横波同时到达与波源P相距15m的O点，OP⊥PQ，质点O开始做振幅为2A的简谐运动。求： (1)该简谐波在介质中的传播速度； (2)两波源P、Q连线上（P、Q两点除外）振动加强点的个数。 21．如图所示，x轴上有两个波源。位置坐标分别为-6m、6m，两个波源形成的简谐横波已沿x轴稳定传播，波速均为1m/s，形成了稳定的干涉。从某时刻开始，波源的振动方程为，波源的振动方程为，x轴上A点的位置坐标为0.5m，求： (1)这两列波的波长和加强点的振幅； (2)2s内A点振动半个周期的路程； (3)两波源连线上加强点的坐标。 22．如图所示，在均匀介质中，位于和处的两波源和沿y轴方向不断振动，在x轴上形成两列振幅均为4cm、波速均为2m/s的相向传播的简谐横波，时刻的波形如图所示。请回答下列问题： （1）求0~5s内，处的质点运动的路程； （2）形成稳定的干涉图样后，求x轴上两波源间（不含波源）振动加强点的个数，并写出两波源间（不含波源）所有振动加强点的横坐标。 试卷第10页，共11页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 振动加强点和减弱点以及个数的判断方法参考答案 二、典型例题 例题1、A 【详解】A．由图可知 解得 t=0时刻开始波源从平衡位置向上振动，从t=0到t=4.5s的时间内波传播的距离为 波的传播速度为 故A正确； B．图中所标c点和d点到两波源的距离差为 所以为振动减弱点，故B错误； C．由 所以 t=4.5s时，波传播到e点从平衡位置向上振动，振动的时间为 波的周期 由，可知t=4.5s时，e点处质点刚好经过平衡位置向下振动，故C错误； D．两列波传到e点后，e点振动加强，振幅为2A，因此从t=0到t=4.5s的时间内，e点处质点通过的路程为 故D错误。 故选A。 针对训练1、D 【详解】A．干涉图样是稳定存在的，此刻质点B、C是振动减弱的点，之后也始终处于振动减弱的状态。故A错误； B．由题图可知，再过半个周期，质点D在正向最大位移处，不会随波迁移。故B错误； C．由干涉图样知，A、D竖直连线是加强区，B、C连线中点应该在加强区。故C错误； D．质点A处是波峰与波峰相遇，此时位移为，再过四分之一个周期，A从波峰向下振动到平衡位置，位移为0。故正确。 故选D。 例题2、C 【详解】A．由图可知两列波的周期 两列波的频率 故A错误； B．因为两列波的频率相同，所以两列波相遇叠加会产生干涉。故B错误； C．由图可知两列波的振动步调相反，在两个波源连线中点距两列波的距离相等，所以此处为减弱点，所以振幅大小为 故C正确； D．由题意可得两列波的波长 因为两列波的振动步调相反，所以在两个波源连线上距两波源距离差为半波长奇数倍的为加强点，振幅为3cm。分别距其中一个波源、两位置时，距离差为，是加强点；分别距其中一个波源、两位置时，距离差为，是加强点，所以在两个波源连线上有4个点振幅为3cm。故D错误。 故选C。 针对训练2、B 【详解】当质点到两波源的波程差满足，其中k为偶数时，该点为加强点； 两列波的波长均为4m，可知平衡位置在、、、、的5个质点为振动加强点。 故选B。 三、培优提升练习 1．A 【详解】AB．由题意两列波的周期都为 故两列波的波长均为 结合几何知识可知A点到两波源的距离差为 根据题意两波源的相位差为 故A点为振动加强点，振幅为；由对称性可知B点也为振动加强点，故A正确，B错误； CD．C点到两波源的距离差为零，故为振动减弱点，始终处于平衡位置，振幅为0，故的时间内，C点通过的路程为0，故CD错误。 故选A。 2．C 【详解】由题意可知两列波将形成稳定的干涉，图中A点处波峰与波峰相遇，B点处波峰与波谷相遇，C点处波谷与波谷相遇，D点处波峰与波谷相遇，所以振动始终加强的点为A、C点，振动始终减弱的点为B、D点。故选C。 3．C 【详解】A．该消声器是利用声波干涉原理设计，故A错误； BCD．根据波的叠加原理可知，该消声器对于路程差为 的声波降噪效果良好，但不符合上述条件的声波降噪效果较差，甚至不能起到降噪效果，故而并非对所有波长或频率的声波均有效，故BD错误，C正确。 故选C。 4．C 【详解】A．由振动方程知，波源的起振方向都沿轴正方向，故A错误； B．简谐横波的周期为 左波源的第一个波峰到达的时刻是 右波源的第一个波峰到达的时刻是 故B错误； C．简谐横波的波长为 0~4.5s内，处的质点不振动，4.5s~5.5s内，左波源的振动传播到处，质点运动的路程为 5.5s~10s内，两波源的振动都传播到处，由于 质点为振动减弱点，振幅为0，其运动的路程为0，因此，0~10s内，处的质点运动的路程为8cm，故C正确； D．设振动加强点的坐标为，两波源振动同步，振动加强点满足波程差 （n＝0，1，2，3…） 其中 解得 、、、、0、2、4、6、8 故轴上两波源间（不含波源）有9个振动加强点，故D错误。 故选C。 5．A 【详解】由两波源振动规律可知两列波的周期为 M、P两波源产生的两列简谐波传到N点的时间差为1s，则有 解得 则波长为 由几何关系可知 当M、P间的点与M、P的距离差等于波长的整数倍时，该点为振动加强点，设该点到M、P点的距离为x，则有 解得，，，， 故当M、P两点所在的直线共有5个点为振动加强点。 故选A。 6．D 【详解】B．由波形图可知两列波的波长均为2m，而波速都为1m/s，由 由 得 两列波叠加后，（包括）之间振幅为的点有3个，故B错误； A．以处的质点开始振动时刻作为计时起点，该点起振方向向上，根据以上分析可知，该点振幅 所以，该质点的振动方程为 故A错误； C．时，波传播的距离 左侧原点处的波形传到该位置，右侧x=8cm处质点的波形传到该位置，左侧引起振动向上，右侧引起振动向下，根据叠加可知，时处的质点正处在平衡位置向y轴正方向运动，故C错误； D．左侧波传到处需要时间 右侧波传到处需要时间 都传到该点时，该点振动减弱，所以从图示时刻开始经过3s通过的路程是 故D正确。 故选D。 7．B 【详解】由图1可知，5s内机械波的传播距离为5m，则机械波的传播速度为 由图2可知，波源的振动周期为4s，根据 解得机械波的波长为 时，两列波在该平面内传播的范围为半径为8m的圆，其中两波叠加的部分如图所示    由几何关系可知A到a、c间距为8m，B到a、c间距也为8m。发生干涉的部分与MNPQ连接的边框交点仅有4个，分别计算两列波的波源到这四个点的波程差 ，，， 可知波程差为波长的整数倍，所以这四个点均为振动加强点，因此MNPQ边框上有4个振动加强点。 故选B。 8．AD 【详解】A．根据题意可知，由于的中点到两振源的距离相等，且是同一种介质中的两个振动情况完全一样的相干波源，则的中点为振动加强点，故A正确； B．根据题意，由几何关系可得 ， 又有 则有 可知，点即不是加强点，也不是减弱点，故B错误； C．根据题意，设为上一点，则有 可知，当的值为、、、、、、时，为振动加强点，共7个加强点，故C错误； D．根据题意，设为上一点，则有 可知，当的值为、时，为振动减弱点，共2个减弱点，故D正确。 故选AD。 9．AD 【详解】A．两波源的振动情况完全相同，振动加强点距离波源B、C距离差 其中 ，1，2 为一系列双曲线。因为 故 ，1，2 当时为BC中垂线，点O、A为加强点；当，时为双曲线，如图中实线，实线与ABC三边有8个交点，即还有8个加强点，因此，三条边上总共10个加强点，故A正确； B．振动加强点中，当时AO左侧双曲线与BC交于P点，如图 得 而AB边上距离B点最近的加强点点，它们之间的距离 故B错误； C．振动减弱点距离波源B、C距离差 其中 ，1，2 为一系列双曲线，如图中虚线，时距AO边最近（图中紧靠AO的两虚线），AO左侧虚线与BC交点Q 得 故此双曲线与AB交点（减弱点）与AO距离大于，故C错误； D．若增大三角形的底角，加强点（中垂线AO和图中实线）与三边交点个数不变，即三条边上的振动加强个数不变，故D正确。 故选AD。 10．BD 【详解】AB．两波源的振动情况完全相同，到波源距离等于的点为加强点，设直径上加强点到的距离为，则 ， 解得 所以直径上有5个加强点，当当等于零时，加强区与AB直线重合，当为正整数时，加强点构成一系列双曲线，由图像对称性可知，圆上有10个振动加强点，因为振动加强区和减弱区交替出现，所以圆上至少有8个振动减弱点，故A错误，B正确； C．设圆上与波源最近的振动加强点为P，则其到的距离比到距离大，即有 由几何知识可知为圆的一条非直径的弦，所以 代入数据可知 故C错误； D．以圆心为坐标原点，直线为x轴，BA直线为y轴，建立直角坐标系，圆方程为 圆上到点的距离最小的振动减弱点所在双曲线方程为 其中 ， 解得双曲线与圆在第一象限的交点M坐标为M，则 即圆上的振动减弱点到A点的最小距离为，故D正确。 故选BD。 11．AC 【详解】A．虚线为两列波到达的位置，两列波均传播0.3m，则波速为 故A正确； B．处的质点在处于平衡位置且向上振动，只有波源B传播到此处的距离为0.2s，则时间满足 = 可知处的质点起振后经过一个周期的振动向上，则起振方向向上，故波源B起振方向向上，故B错误； C．波源A、B起振方向相反，则波源A的起振方向向下，原点处的质点离波源的距离为0.2m，离波源B的距离较远，则波源A形成的波先传到此处，故原点处的质点起振方向与A的起振方向相同向下，故C正确； D．AB的中点到两波源距离相等，路程差为0，满足半波长的零倍，而波源A、B起振方向相反，则中点为振动减弱点，故D错误。 故选AC。 12．AC 【详解】A．由图可知 两列波的周期，故A正确； B．两列波在介质中的传播速率 故B错误； CD．两波源、起振方向相同，处的质点满足 是振动减弱点； 处的质点满足 是振动减弱点，故C正确，D错误。 故选AC。 13．AD 【详解】AB．由图可知，波的周期为4s，则波长为 由于P点离A点的距离为10m，离B点的距离为8m，即经过8s质点P开始振动，起振方向与B的起振方向相同，即P点的起振方向向下，故A正确，B错误； C．根据 因两个波源反向振动，因此P点应为振动的加强点，故C错误； D．8s时P开始振动，即0~8s内P点运动的路程为0，8s~10s内运动路程为10cm，10~12s内运动的路程为20cm，所以在0~12s内，P点运动的路程为30cm，故D正确。 故选AD。 14．ACD 【详解】A．两列波在0.3s内传播的距离为0.6m，则波速 故A正确； B．由图0.3s内传播，则 解得 再经过0.1s两列波相向传播了 左侧波-0.4m的振动形式传到-0.2m处，右侧波0m的振动形式传播到-0.2m处，叠加后-0.2m处的位移为0，故B错误； C．两列波相位相同，振动步调一致，故中点处是振动加强点，在两列波的连线上相邻加强点间的距离为 则是振动加强点，故C正确； D．左侧波传到处需要时间为，右侧波传到处需要时间为，故在内处的质点振动路程为0；内右侧波使质点振动半个周期后回到平衡位置向上振动，振动路程为 则处的质点到左右两波源的路程差为 是半个波长的奇数倍，是振动减弱点，叠加后的振幅为 则内两列波叠加后振动路程为10cm，则前0.5s内运动的总路程为s=0+40cm+10cm=50cm 故D正确。 故选ACD。 15．（1）2m；（2）3；（3）6 【详解】（1）该波的波长为 （2）S1、S2连线上任选一点A，则点A到S1和S2的波程差满足 即 根据干涉加强的条件有 则 又因为k取整数，所以k=－1、0、1，即在S1、S2连线上有3个振动加强点。 （3）如图所示，A、B、C为S1、S2连线的振动加强点，过A、B、C三点作三条加强线（表示三个加强区域）交于圆周上A1、A2、B1、B2、C1、C2六个点，显然这六个点也为振动加强点，故圆周上共有6个振动加强点。 16．(1) (2) 【详解】（1）依题意有， 得水波的波长为 （2）由、间有两个振幅极大的点可知 由几何关系可知， 联立求解得 17．(1)1m/s；(2)360cm；(3)见解析 【详解】（1）通过图像可知，水波的振动周期为，可知水波的波速为 （2）则水波从波源传播到A点所需时间为 故在t＝12s时间内，小孔A处的质点振动的时间为＝9s＝4.5T 故小孔A处的质点通过的路程sA＝4.5×4A=18A＝360cm （3）设线段上P点为振动加强点，则满足 整理得 根据几何关系可知 根据几何关系可知 即 因为距离等于4米，，则 解得n存在两个解或 由几何关系可知，AC上的点，越靠近C点，波程差越小，故分析最靠近C点的加强点是否满足距离关系即可，设较远点为，对应，则同理满足 解得 故有2个加强点。 18．(1)1.5s；(2)12cm；4cm；(3)7个，，，，，，， 【详解】（1）M第一次到达波峰的时间 （2）质点M与两波源的距离相等，两波源的波峰同时到达M，故M点为振动加强点，振幅为 可知质点M第一次到达波峰时，M点的位移为4cm； 由图可知波长 则周期 P点的振动传播到M点的时间 起振方向为从平衡位置向下。 M从开始振动到第一次到达波峰经历的时间 质点M第一次到达波峰时，质点M运动的路程 （3）两波源间振动最强的点到两波源的距离应该等于半波长的偶数倍，即（-0.2m<x<1.2m）（n=0，1，2……） 解得，，，，，， 共7个振动加强点。 19．(1)；(2)4个 【详解】（1）由题图乙、丙可以看出两列波的周期相等，有 解得。 （2）两列波叠加，将出现干涉现象，由题图可知，两列波振动步调相反，到O、M两点之间的距离差为半波长的奇数倍时为振动加强点，有、、、共4个振动加强点。 20．(1) (2)两波源振动同步调时，振动加强点的有9个；两波源振动反步调时，振动加强点的有9个 【详解】（1）之间距离 该简谐波在介质中的传播速度，则 解得 （2）由 得 若两波源振动同步调，振动加强点的位置到两波源的波程差等于波长的整数倍，即 当时 当时 当时 当时 当时 振动加强点的有9个。 若两波源振动反步调，振动加强点的位置到两波源的波程差等于半个波长的奇数倍，即 当时 当时 当时 当时 当时 振动加强点的有9个。 21．(1)，；(2)40cm；(3)、、、、、 【详解】（1）根据振动方程可得周期为 可得波长为 两列波动的振幅均为，故加强点的振幅为 （2）零时刻，波源相位不同，不便于判断振动加强或者减弱的情况，假设在左侧，坐标为处有一同向波源，右侧坐标为7.5m处有一同向波源，如图所示 此刻两波源均处于波峰位置，则两波源平衡位置的中点A点必然为振动的加强点，因此2s内A点振动半个周期的路程为40cm （3）设加强点坐标为，则波源连线间，加强点到两个波源的路程差应该满足 可得 可得， ， ， ， ， ， 因此，连线上加强点的坐标，从左向右依次为、、、、、 22．（1）；（2）见解析 【详解】（1）根据上下坡法可知波源的起振方向沿y轴负方向。由图可知两列波的波长为，波的周期为 左侧的波传播至处的时间为 右侧的波传播至处的时间为 可知0~内，处的质点振动的时间为 0~内，处的质点振动的路程为 两列波一起振动了，即，且处的质点为振动加强点，故时，处的质点振动的路程为 故0~5s内，处的质点运动的路程为 （2）由图可知波源的起振方向沿y轴正方向，波源的起振方向沿y轴负方向，但波源比波源早起振半个周期，故在波源S1起振后，二者的步调相同，设振动加强点的坐标为x，根据振动加强公式有 满足条件的振动加强点有 x轴上两波源间（不含波源）振动加强点的个数为9个。 $