学易金卷：高一数学下学期第一次月考卷02【天津专用，测试范围：人教A版必修第二册第6～7章平面向量+复数】

■■■■ ■■■ ■■■■ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 姓 名： 答题卡 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 n 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5. 正确填涂■ 选择题（每小题4分，共40分) 1[A][B][C[D] 5[A[B][C][D] 9[A[B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][CD] 7[A[B][C][D] 4[A][B][C[D] 8[A[B][C][D] 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 12. 爵 13 1 14 5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第七章。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，则等于（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D．3 3．下列说法错误的是（  ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 4．在中，，则边的长为（    ） A． B． C． D．1 5．已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 6．在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 7．已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ） A． B． C． D．2 8．在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．在平行四边形中，分别在边上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的有（   ） ①若为的垂心，，则； ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为； ③若为锐角三角形且外心为P，且，则； ④若，则动点的轨迹经过的外心． A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．为虚数单位，___________． 12．在中，角所对的边分别为，若，则__________. 13．已知向量，，在方向上的投影向量坐标是______． 14．已知等边的边长为1，点D，E分别为，的中点，连接并延长到点F，使得.设，，以，为基底表示向量______；的值为______. 15．在四边形中，，，，为中点．若，则的最大值为________． 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 17．（1）计算： （2）已知复数.求|z|； （3）设复数，其中所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围. 18．在锐角中，角的对边分别为，且 (1)求; (2)若,求; (3)若求的值. 19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若. （i）求的值： （ii）求的值. 20．已知向量，设 (1)求函数的周期和单调区间； (2)在中，角所对的边分别为.若，，，求的面积 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 全解析 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第七章。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知向量，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意. 故选：A 2．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】若，则， 因此可得，解得. 故选：D 3．下列说法错误的是（  ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 【答案】C 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，是单位向量，则，故B正确； 对于C，若，有方向不能比较大小，故C错误； 对于D，两个相同的向量长度相等，方向相同，故D正确. 故选：C. 4．在中，，则边的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因，则， 由正弦定理，，则. 故选：B. 5．已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 6．在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【详解】由余弦定理可得，则. 故选：A. 7．已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ）. A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 8．在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即，， ，，，， ，三点共线，则. ， 当且仅当，即时，等号成立，因此，的最小值为. 故选：B. 9．在平行四边形中，分别在边上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作，交于点，    ，，， ，， . 故选：C. 10．已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的有（   ） ①若为的垂心，，则； ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为； ③若为锐角三角形且外心为P，且，则； ④若，则动点的轨迹经过的外心． A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【详解】对于①，若为的垂心，则，又， 所以，①正确； 对于②，取的中点，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系如图，      则，设， 则，， 故， 故当时，取得最小值为，②错误； 对于③，因，则， 即， 如图，设为的中点，则，故，则三点共线，      又因是的外心，所以垂直平分，所以，③正确； 对于④，由题意，， 则 ，则， 如图，设是的中点，则，故， 即，故，即动点的轨迹经过的外心，④正确.      故选：D 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分 11．为虚数单位，___________． 【答案】1 【详解】， ， 故答案为：1. 12．在中，角所对的边分别为，若，则__________. 【答案】 【详解】因为，故可得； 因为，故可得； 将代入中，得，解得, 由余弦定理可得. 又因为，故可得. 故答案为：. 13．已知向量，，在方向上的投影向量坐标是______． 【答案】 【详解】∵，，∴， ∵，， 设向量，的夹角为，∴． 则在方向上的投影向量是． 故答案为： 14．已知等边的边长为1，点D，E分别为，的中点，连接并延长到点F，使得.设，，以，为基底表示向量______；的值为______. 【答案】 【详解】因为点D，E分别为，的中点，所以，又， 所以， 所以， ， 故答案为：；． 15．在四边形中，，，，为中点．若，则的最大值为________． 【答案】 【详解】因为是中点，，，得， 在四边形中，令，，由，得，， 由，得， 在中，由余弦定理得，， 即，当且仅当时取等号， 由，得，， 因此 ， 当且仅当时，两个等号同时成立， 所以的最大值为． 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 【答案】(1)-2 (2) (3)，且． 【详解】（1），B，P三点共线，． ，，，． （2），，． （3）若是锐角，则，且，不共线． ，，， 且，解得，且． 17．（1）计算： （2）已知复数.求|z|； （3）设复数，其中所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围. 【答案】（1），（2），（3）. 【详解】（1）； （2）； （3）由题意，解得. 18．在锐角中，角的对边分别为，且 (1)求; (2)若,求; (3)若求的值. 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】（1）由于，所以，由得， 所以，且三角形为锐角三角形，所以． （2）由余弦定理有， 解得或（舍），故． （3）由，三角形为锐角三角形,可得， ． 所以． 19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若. （i）求的值： （ii）求的值. 【答案】(1)6 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由正弦定理及， 得 （2）（i）由余弦定理有， （ii）因为，所以， 从而， 则， 20．已知向量，设 (1)求函数的周期和单调区间； (2)在中，角所对的边分别为.若，，，求的面积. 【答案】(1)周期为，单调递增区间为， 单调递减区间为 (2) 【详解】（1） ， 则周期为， 令，得， 令，得， 故的单调递增区间为， 单调递减区间为 （2），则， 因，则，则，即， ，，在中利用余弦定理可得，解得（负值舍去）， 则的面积为. 试卷第2页，共11页 试卷第2页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [ A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 4 分，共 2 0 分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． __________________ __ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三 、解答题（共 60 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 16．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 7．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（16分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B A A D B C D 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．1 12． 13． 14． 15． 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分） (1)-2 (2) (3)，且． 【详解】（1），B，P三点共线，． ，，，． （2），，． （3）若是锐角，则，且，不共线． ，，， 且，解得，且. 17．（10分） （1），（2），（3）. 【详解】（1）； （2）； （3）由题意，解得． 18．（10分） (1) (2) (3)． 【详解】（1）由于，所以，由得， 所以，且三角形为锐角三角形，所以． （2）由余弦定理有， 解得或（舍），故． （3）由，三角形为锐角三角形,可得， ． 所以． 19．（15分） (1) (2) (3)． 【详解】（1）由于，所以，由得， 所以，且三角形为锐角三角形，所以． （2）由余弦定理有， 解得或（舍），故． （3）由，三角形为锐角三角形,可得， ． 所以. 20．（15分） (1)周期为，单调递增区间为， 单调递减区间为 (2) 【详解】（1） ， 则周期为， 令，得， 令，得， 故的单调递增区间为， 单调递减区间为 （2），则， 因，则，则，即， ，，在中利用余弦定理可得，解得（负值舍去）， 则的面积为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第七章。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，则等于（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D．3 3．下列说法错误的是（  ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 4．在中，，则边的长为（    ） A． B． C． D．1 5．已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 6．在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 7．已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ） A． B． C． D．2 8．在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．在平行四边形中，分别在边上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的有（   ） ①若为的垂心，，则； ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为； ③若为锐角三角形且外心为P，且，则； ④若，则动点的轨迹经过的外心． A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．为虚数单位，___________． 12．在中，角所对的边分别为，若，则__________. 13．已知向量，，在方向上的投影向量坐标是______． 14．已知等边的边长为1，点D，E分别为，的中点，连接并延长到点F，使得.设，，以，为基底表示向量______；的值为______. 15．在四边形中，，，，为中点．若，则的最大值为________． 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 17．（1）计算： （2）已知复数.求|z|； （3）设复数，其中所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围. 18．在锐角中，角的对边分别为，且 (1)求; (2)若,求; (3)若求的值. 19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若. （i）求的值： （ii）求的值. 20．已知向量，设 (1)求函数的周期和单调区间； (2)在中，角所对的边分别为.若，，，求的面积 第 2 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $