精品解析：江西上高二中2025-2026学年高三下学期第六次阶段性考试数学试题

高三年级数学月考试卷 2026.3.7 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，则的真子集个数为（ ） A. 4 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的运算法则得到，再根据集合的子集个数运算公式可得答案. 【详解】因为， 所以的真子集个数为（个）． 故选：C 2. 设复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简求值即可. 【详解】由，则. 故选：B 3. 向量，，，若，则实数等于（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，进而可解得实数的值. 【详解】由已知可得， ，所以，，解得. 故选：B. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方和为先求解出，然后由两角差的余弦公式求解出结果. 【详解】∵，∴， ∴． 故选：A. 5. 若正四棱柱与以正方形的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正四棱柱底面边长与圆柱底面半径之比已知，由正四棱柱与圆柱的体积相同，求出正四棱柱与圆柱的高之比，代入侧面积公式计算即可. 【详解】依题意，设正四棱柱的底面边长为，高为， 圆柱的高为，则圆柱的底面半径为， 则有，整理得， 正四棱柱与圆柱的侧面积之比. 故选：B． 6. 已知函数令得数列，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得数列，根据数列为递增数列，联立方程组，即可求得答案. 【详解】 令得数列 且数列为递增数列， 得 解得. 即： 故选：B. 【点睛】本题主要考查了根据递增数列求参数范围问题，解题关键是掌握递增数列的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 7. 函数在上的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先结合“勾函数”的性质求出的取值范围，再结合正弦函数的图象求零点个数. 【详解】令函数，根据“勾函数”的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以当时，， 由，. 只有当时，的值分别对应. 又因在上各有2个解， 所以在上有6个零点. 故选：C 8. 若函数满足对任意，都有，且，则（ ） A. 4032 B. 4036 C. 4039 D. 4042 【答案】C 【解析】 【分析】分别赋值，根据的任意性可得， 令，，得，累加可求. 【详解】令，则， 令，则， 根据的任意性可得， 不妨令，，得， 所以， 故选：C． 二、多选题（共18分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法 B. 分别抛掷两枚质地均匀的硬市，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则有 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项：其中一个学校可能分配到1人、2人或3人；B选项：利用条件概率公式直接进行求解判断；C选项：若随机变量，则；D选项：根据正态分布的对称性进行求解判断. 【详解】A选项：将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有种分配方法，A正确； B选项：，B正确； C选项，若随机变量，则，C正确； D选项，若随机变量，且，则， 所以，D错误； 故选：ABC 10. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 在和上单调递增 C. 当时， D. 有2个极小值点 【答案】BD 【解析】 【分析】由条件结合偶函数的性质求当时的函数解析式，由此判断C，求时，函数的导函数，代入可得，判断A，求函数在区间上的导函数，利用导数与单调性的关系求函数在上的单调区间，结合偶函数性质求函数的单调递增区间判断B，根据函数在区间上的极值情况，结合偶函数性质判断D. 【详解】是定义在上的偶函数，所以， 又当时，， 所以当时，， 当时，， 所以，C错误， 因为当，， 所以当，，故，A错误， 因为当时，， 令可得，或（舍去） 当时，，函数在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在和上单调递增，B正确， 因为函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以当时，是的极小值点，因为是偶函数，所以也是的极小值点，故有2个极小值点，D正确. 故选：BD. 11. 已知正方体的棱长为2，M为的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为 B. 若MN与平面ABCD所成的角为，则N的轨迹为圆 C. 若N到直线与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线 D. 若与AB所成的角为，则N的轨迹为双曲线 【答案】BCD 【解析】 【分析】设MN中点为H，DM中点为Q，连接PQ，计算出PQ可知P的轨迹为圆可判断A；根据已知算出DN，可判断B；根据抛物线定义可判断C；以DA、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，利用向量的夹角公式计算可判断D. 【详解】对于A，设MN中点为H，DM中点为Q，连接HQ，则，且， 如图，若，则所以，，则，所以点H的轨迹是以Q为圆心，半径为的圆，面积，故A错误； 对于B，，，则，所以N轨迹是以D为圆心，半径为的圆，故B正确； 对于C，点N到直线的距离为BN，所以点N到定点B和直线DC的距离相等，且B点不在直线DC上，由抛物线定义可知，N的轨迹是抛物线，故C正确； 对于D，如图，以DA、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设，，，， 所以，，， 化简得，即，所以的轨迹为双曲线，故D正确； 故选： BCD. 三、填空题（共15分） 12. 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质以及二项展开式的通项公式可得答案. 【详解】二项式  的展开式中，只有第六项的二项式系数最大， 二项式系数最大值出现在中间项， 当  为偶数时，最大项为第  项， 因此有 ，解得 ， 展开式的通项公式为： 令 ，解得 ， 代入通项，得系数为： 因此，展开式中  的系数为 . 故答案为： 13. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，双曲线的焦距为8，点关于双曲线的一条渐近线的对称点为点，若，则双曲线的离心率为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题设于B,故OB,即，进而得，故离心率可求 【详解】由题知，2c=8,又点关于双曲线的一条渐近线l的对称点为点连接设于B,故OB,即,则cos故e= 故答案为2 【点睛】本题考查双曲线几何性质，双曲线渐近线，对称性，熟记双曲线的几何性质，准确计算是关键，是中档题 14. 为深入开展宪法宣传工作，提升公民法治素养，某市教育局举办了宪法普法知识答题活动．现有甲、乙两所学校晋级决赛，本次决赛计分规则：参赛学校抢到答题权且作答正确的，每题计1分；未抢到答题权，或抢到答题权但作答错误，均不计分．终止规则：任一参赛学校得分比另一校多2分或五道比赛题目全部答完．已知两校每道题抢到答题权的概率均为，且每所学校答对每道题的概率均为．设活动结束时，两校一共答了道题，则的数学期望为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将“两校一共答了道题”根据得分情况分类，分别求出随机变量的所有可能取值，每一取值分别对应转化为互斥事件的和事件求解概率即可，利用数学期望的公式求解即可． 【详解】甲校在每题中得1分的概率为， 记事件“答完两题后，甲校得2分”， 所以； 依题意，每道题的答题结果有以下3种： 甲校抢到且答对得1分，此时乙校得0分，概率为； 乙校抢到且答对得1分，此时甲校得0分，概率为； 不论哪校抢到都答错，即甲乙两校都得0分，概率为； 两校一共答的题目数的可能取值为， 表示某校前2道得2分，对方得0分； 表示某校前2道得1分，且对方得0分，第3道得1分； 表示前3道得1分，且对方得0分，第4道得1分， 或者前2道得1分，且对方得1分，第3道和第4道共得2分； ， ， ，； 故的分布列列表如下： 所以． 四、解答题（共77分） 15. 在中，内角A、、的对边分别为、、，（是的外接圆半径）. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理直接进行求解即可； （2）根据三角形面积公式、余弦定理，结合（1）的结论分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可知，而， 所以， 又因为，于是或； 【小问2详解】 当时，因为的面积为， 所以， 又因为， 所以 ， 所以的周长为， 当时，因为的面积为， 所以， 又因为， 所以 ， 又因为， 所以此时不构成三角形， 综上所述：的周长为. 16. 已知和为椭圆上两点． （1）求椭圆方程； （2）若过点的直线交于另一点，且的面积为12，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上两点列方程可求出，即可得出椭圆的方程； （2）分直线斜率存在和不存在讨论，当直线斜率存在时，设直线方程，联立方程组，由根与系数的关系得出弦长，再由点到直线距离得出高，求出三角形面积，解方程即可得解． 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以椭圆的方程为：． 【小问2详解】 如图， 当的斜率不存在时，， ，到距离， 此时不满足条件． 当直线斜率存在时，设， 设， 则，消可得， 当时， ，又， 所以， ， 又点到直线的距离， 所以， 整理可得或（无解）， 即， 解得或， 此时代入检验，均满足， 或， 即或． 17. 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，. （1）证明：平面； （2）若，求二面角； （3）若二面角为，求异面直线与所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知侧面底面，得平面，则，又侧面是正三角形，可得，即可的证；. （2）由已知，作出二面角的平面角，证出是直角三角形，则求出二面角的大小； （3）作出二面角的平面角，求出，再利用异面直线所成角的定义得到异面直线与所成角，进而求出其正切值. 【小问1详解】 在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面平面， 得平面，又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 如图，取，中点，连接， 因为底面为矩形，侧面是正三角形， 所以，且且都在面， 所以平面，又，所以平面，面， 所以，所以就是二面角的平面角， 由（1）知平面，因为，所以平面， 面，则，在直角三角形中，， 又正三角形，，则，所以， 所以，即二面角为. 【小问3详解】 如图，在平面内，过点作，垂足为，则， 由侧面底面，交线为，面，得底面， 底面，则， 过作，垂足为，连接， ，平面，则平面， 而平面，因此， 则即为二面角的平面角，其大小为， 在中，，则， 由，得四边形为平行四边形，则， 由，得（或其补角）为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，且．证明： （i）在区间存在唯一的极值点； （ii）对于（i）中的． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负性来讨论函数的单调性，需要对的取值范围进行分类讨论； （2）（i）先求出的表达式，再对求导，根据导数的性质判断在区间上的单调性，进而证明存在唯一的极值点； （ii）根据（i）中得到的极值点的性质，对进行化简，然后通过构造函数并利用导数研究函数单调性来证明. 【小问1详解】 已知函数，其定义域为， 求导得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增. 当时令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 （i）已知，定义域， 当时，单调递减，又因为，所以单调递增， 而也单调递增，故在上单调递增，无极值点； 求导得，设， ， 因为，所以在上为增函数， 而，， 故在上存在一个零点，且时，， 时，，故在上为减函数，在为增函数， 而，，故在上存在唯一一个零点， 且时，即，时，即， 所以在区间上存在唯一的极值点. 所以在区间存在唯一的极值点； （ii）由（i）得，即， 则， 令，， 求导得， 令， 求导得， 整理得 因为，所以，即在上单调递增， 所以， 所以，在上单调递增， 所以， 即. 19. 对于确定的正整数，若存在正整数，使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”． （1）设是公差为的等差数列，若为“阶可分拆数列”，证明：； （2）设函数，记曲线在点处的切线与轴的交点为，，探究数列是否为“阶可分拆数列”，并说明理由； （3）设，若数列为“阶可分拆数列”，求由所有的值组成的集合． 【答案】（1）证明见解析 （2）数列不是“阶可分拆数列”，理由见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式，表示出，由题意建立方程，可得答案； （2）由函数解析式求导，设出切点并写出切线方程，表示出数列，利用余弦和角公式，可得答案； （3）由题意建立方程并化简整理，利用列举检验，可得答案. 【小问1详解】 因为是公差为的等差数列，所以， 所以，． 因为为“阶可分拆数列”，所以，即．化简，得． 【小问2详解】 由，得． 又切点为，，则过该切点的切线方程为 易知当时，．令，整理，得，所以， 所以，． 又， 所以；所以数列不是“阶可分拆数列”． 【小问3详解】 由题意，知对于确定的正整数，存在正整数，使得成立， 即，所以． ①若，则，当时，成立： ②若，则， 当时，， 当时，， 当时，，所以不存在正整数，使得成立； ③若，则，当时，成立； ④若，则， 所以不存在正整数，使得成立． 综上，或3，所以． 【点睛】本题解题的关键在于解决数列问题要善于使用列举法找规律，当题目中给予递推公式时，首先使用赋值法，由第一项开始列举，观察前几项找规律即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级数学月考试卷 2026.3.7 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，则的真子集个数为（ ） A 4 B. 14 C. 15 D. 16 2. 设复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 向量，，，若，则实数等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若正四棱柱与以正方形的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数令得数列，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在上的零点个数为（ ） A 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 若函数满足对任意，都有，且，则（ ） A. 4032 B. 4036 C. 4039 D. 4042 二、多选题（共18分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法 B. 分别抛掷两枚质地均匀的硬市，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则有 C. 若随机变量，则 D 若随机变量，且，则 10. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 在和上单调递增 C. 当时， D. 有2个极小值点 11. 已知正方体的棱长为2，M为的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为 B. 若MN与平面ABCD所成的角为，则N的轨迹为圆 C. 若N到直线与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线 D. 若与AB所成的角为，则N的轨迹为双曲线 三、填空题（共15分） 12. 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是______. 13. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，双曲线的焦距为8，点关于双曲线的一条渐近线的对称点为点，若，则双曲线的离心率为__________． 14. 为深入开展宪法宣传工作，提升公民法治素养，某市教育局举办了宪法普法知识答题活动．现有甲、乙两所学校晋级决赛，本次决赛计分规则：参赛学校抢到答题权且作答正确的，每题计1分；未抢到答题权，或抢到答题权但作答错误，均不计分．终止规则：任一参赛学校得分比另一校多2分或五道比赛题目全部答完．已知两校每道题抢到答题权的概率均为，且每所学校答对每道题的概率均为．设活动结束时，两校一共答了道题，则的数学期望为___________． 四、解答题（共77分） 15. 在中，内角A、、的对边分别为、、，（是的外接圆半径）. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 已知和为椭圆上两点． （1）求椭圆方程； （2）若过点的直线交于另一点，且的面积为12，求直线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，. （1）证明：平面； （2）若，求二面角； （3）若二面角为，求异面直线与所成角的正切值． 18. 已知函数． （1）讨论单调性； （2）设，且．证明： （i）在区间存在唯一极值点； （ii）对于（i）中的． 19. 对于确定的正整数，若存在正整数，使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”． （1）设是公差为的等差数列，若为“阶可分拆数列”，证明：； （2）设函数，记曲线在点处的切线与轴的交点为，，探究数列是否为“阶可分拆数列”，并说明理由； （3）设，若数列为“阶可分拆数列”，求由所有的值组成的集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $