专题8.1 平方根（5大知识点+ 11大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦“平方根”核心知识点，系统梳理算术平方根与平方根的概念、性质及区别联系，涵盖算术平方根的估算方法、小数点移位规律和特殊根式性质，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料以分层题型设计为特色，基础题巩固概念辨析与计算，培优题强化估算、规律探究等能力，压轴题融入跨学科情境。通过夹逼法估算培养抽象能力，双重非负性应用发展推理意识，实际问题解决提升模型意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题8.1 平方根 知识点1：算术平方根的概念与性质 1.概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根；规定：的算术平方根是。 2.表示方法：非负数的算术平方根记为，读作“根号”，称为被开方数。 3.核心性质：双重非负性，即被开方数，算术平方根。 4.特殊值：算术平方根等于它本身的数是和 知识点2：平方根的概念与性质 1.概念：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根（也叫二次方根）。 2.表示方法：非负数的平方根记为，读作“正、负根号”。 3.性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数； 的平方根是； 负数没有平方根。 4.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 知识点3：算术平方根与平方根的区别与联系 类别 算术平方根 平方根 定义 正数的正的平方根 数的所有平方根 个数 1个（非负） 2个（正数，互为相反数）/0个（0） 表示 取值 非负数 一正一负（正数）、0（0） 联系 1.平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个； 2.只有非负数才有算术平方根和平方根； 3.的算术平方根和平方根都是 知识点4：算术平方根的估算与小数点规律 1.估算方法：夹逼法，找到与被开方数最接近的两个完全平方数，确定算术平方根的整数范围，再逐步细化小数部分。 2.小数点移位规律：被开方数的小数点每向右/左移动两位，其算术平方根的小数点相应向右/左移动一位。 示例：，则，。 知识点5：两类特殊根式的性质 （）：算术平方根的平方等于被开方数； ：一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 【基础必考题型】 【题型1】算术平方根的概念辨析与计算 1.核心知识点 算术平方根的定义与表示方法 算术平方根的非负性 2.解题方法技巧 判定算术平方根：先确认被开方数为非负数，再找正的平方等于该数的数； 带分数计算先化为假分数，小数计算先化为分数，再求算术平方根。 【例题1】.（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）下列说法正确的有（  ） ①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-1】.（25-26八年级上·江西吉安·期末）16的平方根是（   ） A． B．4 C．-4 D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·上海宝山·期末）的平方根是_____ 【变式题1-3】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）的平方根是（    ） A． B． C． D． 【题型2】平方根的概念辨析与书写 1.核心知识点 平方根的定义与表示方法 平方根的性质（正数有两个相反数的平方根） 2.解题方法技巧 书写平方根时必须加“”，如“的平方根是”表示为； 辨析时紧扣“负数无平方根、0的平方根是0、正数有两个平方根”。 【例题2】.（25-26八年级上·江苏·期末）若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 【变式题2-1】.（2024·辽宁盘锦·三模）4的算术平方根是（    ） A．2 B． C．16 D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）计算：_______． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【题型3】利用平方根的性质求字母值 1.核心知识点 正数的两个平方根互为相反数 平方根的存在条件（被开方数非负） 2.解题方法技巧 若一个正数的两个平方根为和，则，列方程求解字母； 若式子有平方根，则被开方数，解不等式确定字母取值范围。 【例题3】.（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（   ） A．8 B．3 C．4 D．6 【变式题3-1】.（26-27八年级上·陕西西安·期末）一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为_____ ． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 【变式题3-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）若一个正数的两个平方根是和，则___________． 【题型4】开平方运算与简单方程求解 1.核心知识点 开平方与平方的逆运算 平方根的定义 2.解题方法技巧 解形如的方程，直接开平方得； 解形如的方程，先将括号部分看作整体开平方，再解一元一次方程。 【例题4】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）解方程：． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江苏南京·月考）解方程 (1)； (2)． 【变式题4-2】.（22-23七年级下·内蒙古阿拉善·期中）解方程 【变式题4-3】.（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）解方程： 【培优高频题型】 【题型5】算术平方根的双重非负性应用 1.核心知识点 且 非负数的和为0，则每个非负数均为0 2.解题方法技巧 常见非负数组合：，则、、； 若两个算术平方根的被开方数互为相反数，则被开方数均为0，如有意义，则。 【例题5】.（23-24八年级下·北京·期中）若，则_____，_____． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·广西桂林·月考）已知．求： (1)a、b、c的值 (2)求的值 【变式题5-2】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若实数x，y满足：，则的值为___． 【变式题5-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）已知与互为相反数，求的值． 【题型6】算术平方根的估算与大小比较 1.核心知识点 夹逼法估算算术平方根 算术平方根的单调性（被开方数越大，算术平方根越大） 2.解题方法技巧 估算：找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定算术平方根的范围； 比较大小：正数比较可同时平方，如比较和，只需比较和。 【例题6】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）数据30的算术平方根（    ） A．在4~5之间 B．在5~6之间 C．在6~7之间 D．在7~8之间 【变式题6-1】.（25-26九年级下·重庆渝北·开学考试）若为正整数，且满足，则________． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·北京延庆·期末）已知．若为整数且，则的值为（   ） A．35 B．34 C．33 D．32 【变式题6-3】.（25-26八年级上·北京顺义·期中）下表中是给定部分x的值，对应的值： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【题型7】特殊根式与的化简 1.核心知识点 的去绝对值法则 2.解题方法技巧 化简：直接去掉根号和平方，注意验证； 化简：先化为绝对值，再根据的正负去绝对值。 【例题7】.（25-26八年级上·北京延庆·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江苏徐州·期末）化简___________． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·安徽亳州·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题7-3】.（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则的值为（   ） A． B． C．25 D．5 【题型8】平方根的实际情境应用 1.核心知识点 算术平方根的计算 正方形面积与边长的关系 2.解题方法技巧 几何情境：正方形边长，长方形面积问题先设未知数，再结合算术平方根求解； 生活情境：如场地建设、拼图问题，先根据题意列算术平方根算式，再计算并验证是否符合实际要求。 【例题8】.（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为___________． 【变式题8-1】.（2024·广东·模拟预测）如图，将长和宽分别为2和1的长方形剪开，拼成一个正方形，下列说法正确的是（　　） A．面积不变，周长变小 B．面积不变，周长变大 C．面积变小，周长不变 D．面积变大，周长变小 【变式题8-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）某小区要扩大绿化带的面积，已知原绿化带的形状是一个边长为的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，则扩大后绿化带的边长为________． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·全国·期末）【问题】两个正方形的边长分别是1，2，剪一剪，并拼成一个大的正方形． 【理解问题、拟定计划】 （1）拼成的大正方形的边长为 ． （2）借助方格纸，在方格纸中进行剪拼． 【实施计划】 （1）摆：如图1，在方格纸中，画出边长分别是1，2的两个正方形． （2）剪：如图2，沿线段，线段剪开． （3）拼：如图3，将直角三角形平移到直角三角形的位置，将直角三角形平移到直角三角形的位置，则得到要求的正方形． 【反思】请仿照以上方法，解决以下问题： （1）借助方格纸，把边长为2和3的两个小正方形，剪拼成一个大正方形． （2）把边长为a和b的两个正方形，剪拼成一个大正方形，则剪拼成的大正方形的边长为 ． 【压轴素养题型】 【题型9】算术平方根的小数点规律探究与应用 1.核心知识点 被开方数与算术平方根的小数点移位规律 规律的逆向推导 2.解题方法技巧 正向：被开方数小数点移两位，算术平方根移一位； 逆向：已知算术平方根的小数点移动，反推被开方数的移动，如，已知，则。 【例题9】.（25-26八年级上·山东菏泽·期末）已知，如果，那么的值是（   ） A． B．2360 C．23600 D．236 【变式题9-1】.（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）填写表格： a 0.0016 0.16 16 1600 0.04 0.4 从中观察得出被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·广东·月考）已知，，那么的值约为__________ ．（结果精确到0.01） 【变式题9-3】.（2024七年级下·广东佛山·竞赛）先填写下表，通过观察后再回答问题． ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 100 10000 1000000 100000000 ．．． ．．． (1)被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． (2)已知：，你能求出的值吗？ (3)试比较与的大小． 【题型10】算术平方根的规律探究题（等式/数式规律） 1.核心知识点 算术平方根的计算 数字与等式的规律归纳 2.解题方法技巧 观察等式左右两边的数字特征，找到变与不变的量； 用正整数表示规律，再代入验证，如。 【例题10】.（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）观察下列等式，请解答下列问题： ； ； ； …… (1)请用正整数表示第个等式：________； (2)根据以上规律，计算 【变式题10-1】.（25-26八年级上·四川宜宾·月考）阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·河南驻马店·月考）问题情境：学习《实数》之后，在数学活动课上，王老师出示了一组有规律的算式．仔细观察下列算式，并探求规律： ，，，， 实践探究： (1)按照此规律，①计算：_____； ②第个式子是_____（用含的式子表示，且为整数）； (2)计算：． 【变式题10-3】.（19-20七年级下·安徽亳州·期末）先观察下列等式，再解答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证； (2)根据上面的规律，可得______； (3)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数），并加以验证． 右边． 【题型11】跨学科融合题 1.核心知识点 算术平方根的计算 跨学科公式的应用 2.解题方法技巧 物理情境：如电流热量公式，已知、、求（），则； 科学情境：如自由下落公式，求下落时间，则，结合估算求近似值。 【例题11】.（24-25七年级下·云南临沧·期中）电流通过导体产生的热量Q（单位：焦）跟电流，（单位：安）的二次方成正比，跟导体的电阻R（单位：欧姆）成正比，跟通电时间t（单位：秒）成正比．这个规律叫作焦耳定律，用代数式表示为． (1)在代数式中，当安，欧姆，秒，求Q的值； (2)电流通过一根电阻为50欧姆的电阻丝，20秒钟内产生的热量为4000焦，通过电阻丝的电流是多少安？ 【变式题11-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻R（单位：）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．若导线电阻为，时间导线产生的热量为，则电流的值是多少? 【变式题11-2】.（2024·福建厦门·二模）我国清代数学家戴煦在《对数简法》中给出了求正数的算术平方根的公式：设被开方数为x，常数a（a为整数）和r满足，，则，用该公式求87的算术平方根，则公式中的_____， ______． 【变式题11-3】.（24-25七年级下·山西吕梁·期末）小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系． 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间； 实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间． 已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来表示． (1)请利用公式，求的值． (2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”小悦说：“你一定是记录错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由． 易错点 1.混淆算术平方根与平方根的表示，如将“9的平方根”写成，忽略“”； 2.忽略算术平方根的双重非负性，如直接求解，未发现被开方数矛盾； 3.化简时直接得，忘记考虑为负数的情况，如； 4.估算算术平方根时，错误确定相邻完全平方数，如认为在3和4之间（实际在4和5之间）； 5.求解平方根方程时，漏掉负根，如解时，只写，忽略。 重点 1.掌握算术平方根和平方根的定义、表示方法及性质，能准确区分二者的异同； 2.熟练运用算术平方根的双重非负性解决求值问题，掌握“非负数和为0”的解题模型； 3.会用开平方运算求解简单的平方根方程，掌握的求解步骤； 4.掌握算术平方根的估算方法（夹逼法）和小数点移位规律，能进行简单的规律应用； 5.能运用平方根的知识解决几何、生活中的实际问题，实现数学与实际的结合。 难点 1.算术平方根双重非负性的综合应用，尤其是多个非负数组合的求值问题； 2.化简时的绝对值处理，结合数轴判断字母正负的根式化简； 3.平方根的分类讨论问题，如一个数的两个平方根可能相等（0）或互为相反数（正数）的情况； 4.算术平方根的规律探究题，能从具体等式中归纳出一般规律，并能用字母表示； 5.跨学科和创新情境题的转化，能将物理、新定义等非数学情境转化为平方根的计算问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．若一个数的平方根是，则这个数是（   ） A．5 B．25 C． D． 2．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 4．伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度（米）与下降的时间（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有（   ）（精确到1秒） A．14秒 B．16秒 C．13秒 D．15秒 5．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若，为实数，且满足，则________ ． 7．若一个正数的平方根为和，则代数式的值为__． 8．已知，则___________ 9．一个正数的平方根是与，则这个正数的算术平方根是______． 10．的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 三、解答题 11．已知是64的平方根，且，求的值． 12．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．已知正数m的两个平方根分别为和．求a的值和m的值． 14．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为___________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长是宽的2倍，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 15．（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 平方根 知识点1：算术平方根的概念与性质 1.概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根；规定：的算术平方根是。 2.表示方法：非负数的算术平方根记为，读作“根号”，称为被开方数。 3.核心性质：双重非负性，即被开方数，算术平方根。 4.特殊值：算术平方根等于它本身的数是和 知识点2：平方根的概念与性质 1.概念：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根（也叫二次方根）。 2.表示方法：非负数的平方根记为，读作“正、负根号”。 3.性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数； 的平方根是； 负数没有平方根。 4.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 知识点3：算术平方根与平方根的区别与联系 类别 算术平方根 平方根 定义 正数的正的平方根 数的所有平方根 个数 1个（非负） 2个（正数，互为相反数）/0个（0） 表示 取值 非负数 一正一负（正数）、0（0） 联系 1.平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个； 2.只有非负数才有算术平方根和平方根； 3.的算术平方根和平方根都是 知识点4：算术平方根的估算与小数点规律 1.估算方法：夹逼法，找到与被开方数最接近的两个完全平方数，确定算术平方根的整数范围，再逐步细化小数部分。 2.小数点移位规律：被开方数的小数点每向右/左移动两位，其算术平方根的小数点相应向右/左移动一位。 示例：，则，。 知识点5：两类特殊根式的性质 （）：算术平方根的平方等于被开方数； ：一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 【基础必考题型】 【题型1】算术平方根的概念辨析与计算 1.核心知识点 算术平方根的定义与表示方法 算术平方根的非负性 2.解题方法技巧 判定算术平方根：先确认被开方数为非负数，再找正的平方等于该数的数； 带分数计算先化为假分数，小数计算先化为分数，再求算术平方根。 【例题1】.（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）下列说法正确的有（  ） ①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根概念的运用．如果，则是的平方根．若，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫的算术平方根；若，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．分别根据平方根和算术平方根的概念即可判断． 【详解】解：根据平方根概念可知：①负数没有算术平方根，故错误； ②反例：0的算术平方根是0，故错误； ③当时，的算术平方根是，故错误； ④的算术平方根是4，故错误； ⑤算术平方根不可能是负数，故正确． 所以正确的有⑤，共1个． 故选：A． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·江西吉安·期末）16的平方根是（   ） A． B．4 C．-4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根概念理解，求一个数的平方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据平方根的定义，一个数的平方根是平方后等于该数的数． 【详解】解：∵ ， ∴ 16的平方根是， 故选：A． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·上海宝山·期末）的平方根是_____ 【答案】 【分析】题目主要考查求一个数的算术平方根和平方根，熟练掌握是解题关键． 先计算的值，再根据平方根的定义求解该值的平方根． 【详解】解：， ∵， 的平方根是， 即的平方根是， 故答案为：． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正数的平方根有两个且互为相反数，根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 【题型2】平方根的概念辨析与书写 1.核心知识点 平方根的定义与表示方法 平方根的性质（正数有两个相反数的平方根） 2.解题方法技巧 书写平方根时必须加“”，如“的平方根是”表示为； 辨析时紧扣“负数无平方根、0的平方根是0、正数有两个平方根”。 【例题2】.（25-26八年级上·江苏·期末）若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 【答案】± 【分析】本题考查了算术平方根和平方根． 根据“算术平方根是指一个正数的正的平方根”即可求解． 【详解】解：∵一个正数的算术平方根是， ∴这个正数是， 故这个正数的平方根是． 故答案为：． 【变式题2-1】.（2024·辽宁盘锦·三模）4的算术平方根是（    ） A．2 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的定义，需明确算术平方根为非负数，根据定义即可求解． 【详解】解：依题意，4的算术平方根是2， 故选：A 【变式题2-2】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根．利用二次根式商的算术平方根的性质即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．规定：0的算术平方根是0．根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故选：A． 【题型3】利用平方根的性质求字母值 1.核心知识点 正数的两个平方根互为相反数 平方根的存在条件（被开方数非负） 2.解题方法技巧 若一个正数的两个平方根为和，则，列方程求解字母； 若式子有平方根，则被开方数，解不等式确定字母取值范围。 【例题3】.（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（   ） A．8 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题利用正数的平方根的性质解题，即正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算的算术平方根即可得到答案． 【详解】∵ 正数的两个平方根互为相反数. ∴ 解得 则9的算术平方根是3． 【变式题3-1】.（26-27八年级上·陕西西安·期末）一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为_____ ． 【答案】1 【分析】根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数列式计算． 【详解】解：由题意得：， ∴． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的计算，利用正数的两个不同的平方根互为相反数的性质，先求出a的值，再计算m的值． 【详解】解：正数的两个不同的平方根是与， ∴， 解得， 将代入，得， ∵是该平方根的平方， ∴． 故选：D． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）若一个正数的两个平方根是和，则___________． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，根据平方根的性质列出方程是解题关键． 利用一个正数的两个平方根互为相反数这一性质列方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴，即， 解得． 故答案为：． 【题型4】开平方运算与简单方程求解 1.核心知识点 开平方与平方的逆运算 平方根的定义 2.解题方法技巧 解形如的方程，直接开平方得； 解形如的方程，先将括号部分看作整体开平方，再解一元一次方程。 【例题4】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江苏南京·月考）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了平方根解方程． （1）先移项合并同类项，再两边同时除以2，开平方求解即可； （2）先计算算术平方根，再开平方求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：或； （2）解：， ， ， ， ， 解得：或． 【变式题4-2】.（22-23七年级下·内蒙古阿拉善·期中）解方程 【答案】， 【分析】此题主要考查了利用平方根解方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式，然后利用平方根求解即可． 【详解】解： ， ， ， ∴，． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，掌握平方根的定义是解题的关键； 根据平方根的定义求解即可. 【详解】解：因为， 所以或， 解得：或. 【培优高频题型】 【题型5】算术平方根的双重非负性应用 1.核心知识点 且 非负数的和为0，则每个非负数均为0 2.解题方法技巧 常见非负数组合：，则、、； 若两个算术平方根的被开方数互为相反数，则被开方数均为0，如有意义，则。 【例题5】.（23-24八年级下·北京·期中）若，则_____，_____． 【答案】 【分析】根据算术平方根与绝对值的非负性，两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0，据此列方程求解和的值． 【详解】解：因为算术平方根，绝对值，且， ∴，即，解得； ，即，解得． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·广西桂林·月考）已知．求： (1)a、b、c的值 (2)求的值 【答案】(1)，，； (2)49 【分析】本题考查了绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性、代数式求值，掌握绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性是正确解题的关键． （1）根据绝对值、偶次幂以及算术平方根的非负性进行计算即可； （2）将，，的值代入计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若实数x，y满足：，则的值为___． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值，利用非负数的性质，绝对值和算术平方根均为非负数，它们的和为零时，每个部分必须为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，且 ， ∴，， 解得，， 因此， 故答案为：2 【变式题5-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为根据互为相反数的两个数的和等于列出方程，再根据非负数的性质解答． 【详解】解：与互为相反数， ， ， 解得： ． 【题型6】算术平方根的估算与大小比较 1.核心知识点 夹逼法估算算术平方根 算术平方根的单调性（被开方数越大，算术平方根越大） 2.解题方法技巧 估算：找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定算术平方根的范围； 比较大小：正数比较可同时平方，如比较和，只需比较和。 【例题6】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）数据30的算术平方根（    ） A．在4~5之间 B．在5~6之间 C．在6~7之间 D．在7~8之间 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算，通过寻找与30相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质确定其范围. 【详解】解：∵， ∴数据30的算术平方根在5~6之间. 【变式题6-1】.（25-26九年级下·重庆渝北·开学考试）若为正整数，且满足，则________． 【答案】6 【分析】找出与38相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而得到符合条件的正整数． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵为正整数，且满足， ∴． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·北京延庆·期末）已知．若为整数且，则的值为（   ） A．35 B．34 C．33 D．32 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B 【变式题6-3】.（25-26八年级上·北京顺义·期中）下表中是给定部分x的值，对应的值： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数比较大小的知识点，将数值1169与表格中行的数值进行比较，判断其所处范围，且准确找到与之间的倍数关系是解题的关键． 通过观察表格中的值，找到1169介于1156和1225之间，从而确定在34和35之间，进而得到在3.4和3.5之间． 【详解】∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴ 即， ∴在之间． 故答案为：A． 【题型7】特殊根式与的化简 1.核心知识点 的去绝对值法则 2.解题方法技巧 化简：直接去掉根号和平方，注意验证； 化简：先化为绝对值，再根据的正负去绝对值。 【例题7】.（25-26八年级上·北京延庆·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根．根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江苏徐州·期末）化简___________． 【答案】2026 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2026． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·安徽亳州·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C错误． D．，故D正确． 【变式题7-3】.（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则的值为（   ） A． B． C．25 D．5 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质． 利用这一性质将等式转化为绝对值方程，进而求解的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 【题型8】平方根的实际情境应用 1.核心知识点 算术平方根的计算 正方形面积与边长的关系 2.解题方法技巧 几何情境：正方形边长，长方形面积问题先设未知数，再结合算术平方根求解； 生活情境：如场地建设、拼图问题，先根据题意列算术平方根算式，再计算并验证是否符合实际要求。 【例题8】.（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、正方形的面积公式，根据题意可得大正方形的面积为，再根据正方形的边长等于其面积的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故答案为：． 【变式题8-1】.（2024·广东·模拟预测）如图，将长和宽分别为2和1的长方形剪开，拼成一个正方形，下列说法正确的是（　　） A．面积不变，周长变小 B．面积不变，周长变大 C．面积变小，周长不变 D．面积变大，周长变小 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的剪拼以及长方形和正方形的面积、周长计算，熟练掌握长方形和正方形的面积、周长公式是解题的关键．分别计算长方形和拼成的正方形的面积与周长，再进行比较． 【详解】解：∵ 长方形长为，宽为， ∴ 长方形面积为，周长为． ∵把长方形剪开，拼成一个正方形， ∴ 拼成的正方形面积等于长方形面积， ∴ 正方形面积为，则正方形边长为， ∴ 正方形周长为． ∵ ，， ∴ 面积不变，周长变小． 故选：． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）某小区要扩大绿化带的面积，已知原绿化带的形状是一个边长为的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，则扩大后绿化带的边长为________． 【答案】20 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用，根据题意求出扩大后绿化带的面积是解题的关键． 先求出原绿化带的面积，再求出扩大后绿化带的面积，然后开方即可得出答案． 【详解】解：原绿化带的面积为， 扩大后绿化带的面积为， 则扩大后绿化带的边长是， 答：扩大后绿化带的边长为． 故答案为：20． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·全国·期末）【问题】两个正方形的边长分别是1，2，剪一剪，并拼成一个大的正方形． 【理解问题、拟定计划】 （1）拼成的大正方形的边长为 ． （2）借助方格纸，在方格纸中进行剪拼． 【实施计划】 （1）摆：如图1，在方格纸中，画出边长分别是1，2的两个正方形． （2）剪：如图2，沿线段，线段剪开． （3）拼：如图3，将直角三角形平移到直角三角形的位置，将直角三角形平移到直角三角形的位置，则得到要求的正方形． 【反思】请仿照以上方法，解决以下问题： （1）借助方格纸，把边长为2和3的两个小正方形，剪拼成一个大正方形． （2）把边长为a和b的两个正方形，剪拼成一个大正方形，则剪拼成的大正方形的边长为 ． 【答案】理解问题、拟定计划：（1）；反思：（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，正方形的面积计算公式，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键． 理解问题、拟定计划：（1）根据拼成的大正方形面积等于两个小正方形的面积之和求出拼成的大正方形面积，再根据正方形面积公式可得答案； 反思：（1）类似题干的拼接方法求解即可； （2）根据拼成的大正方形面积等于两个小正方形的面积之和求出拼成的大正方形面积，再根据正方形面积公式可得答案． 【详解】解：理解问题、拟定计划：（1）拼成的大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，即为， ∴拼成的大正方形的边长为； 反思：（1）摆：如图4，在方格纸中，画出边长分别是2，3的两个正方形 剪：如图5，沿线段，线段剪开． 拼：如图6，将直角三角形平移到直角三角形的位置，将直角三角形平移到直角三角形的位置，则得到要求的正方形． （2）拼成的大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，即为， ∴拼成的大正方形的边长为． 【压轴素养题型】 【题型9】算术平方根的小数点规律探究与应用 1.核心知识点 被开方数与算术平方根的小数点移位规律 规律的逆向推导 2.解题方法技巧 正向：被开方数小数点移两位，算术平方根移一位； 逆向：已知算术平方根的小数点移动，反推被开方数的移动，如，已知，则。 【例题9】.（25-26八年级上·山东菏泽·期末）已知，如果，那么的值是（   ） A． B．2360 C．23600 D．236 【答案】B 【分析】算术平方根的小数点向右移动n位，被开方数的小数点向右移动位，据此即可求出x的值． 【详解】解：∵，， ∴是将的小数点向右移动1位得到的， 根据算术平方根的移动规律，被开方数的小数点应向右移动2位， ∴将的小数点向右移动2位，可得． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）填写表格： a 0.0016 0.16 16 1600 0.04 0.4 从中观察得出被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律． 【答案】4；40；规律为：被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应的向左（或向右）移动一位 【分析】先根据算术平方根的定义求出16和1600的算术平方根，再对比被开方数和算术平方根的小数点位置总结规律即可． 【详解】解：，， 被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律为：被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应的向左（或向右）移动一位． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·广东·月考）已知，，那么的值约为__________ ．（结果精确到0.01） 【答案】17.32 【分析】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是做题的关键．根据被开方数的小数点每向右移动两位，算术平方根的小数点向右移动一位，进行求解即可． 【详解】解：由算术平方根的性质可知，． 故答案为：17.32． 【变式题9-3】.（2024七年级下·广东佛山·竞赛）先填写下表，通过观察后再回答问题． ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 100 10000 1000000 100000000 ．．． ．．． (1)被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． (2)已知：，你能求出的值吗？ (3)试比较与的大小． 【答案】(1)填表见解析；有规律，见解析； (2) (3)当时，；当或时，；当时，． 【分析】本题考查了算术平方根的规律题，根据题意发现规律是解题关键． （1）先根据算术平方根的定义填表，再观察表格，即可发现位置规律； （2）根据（1）所得规律，观察发现小数点向右移动3位为，则被开方数向右移动6位，即可求出的值； （3）根据表格作答即可． 【详解】（1）解：填表如下： ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 0.001 0.01 0.1 1 100 10000 1000000 100000000 ．．． 10 100 1000 10000 ．．． 观察发现，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有规律：当被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，它的算术平方根的小数点左（或向右）移动1位； （2）解：观察发现小数点向右移动3位为， 则被开方数向右移动6位，即； （3）解：由表格可知，当时，；当或时，；当时，． 【题型10】算术平方根的规律探究题（等式/数式规律） 1.核心知识点 算术平方根的计算 数字与等式的规律归纳 2.解题方法技巧 观察等式左右两边的数字特征，找到变与不变的量； 用正整数表示规律，再代入验证，如。 【例题10】.（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）观察下列等式，请解答下列问题： ； ； ； …… (1)请用正整数表示第个等式：________； (2)根据以上规律，计算 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查算术平方根及有理数规律性运算，根据题意找出相应规律是解题关键． （1）根据规律直接得出结果即可； （2）利用（1）中结论及有理数的混合运算进行计算即可 【详解】（1）解：根据规律可知，， 故答案为：； （2） ． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·四川宜宾·月考）阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；； （2）解：依据上述运算的规律可得：， 故答案为：； （3）解： ． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·河南驻马店·月考）问题情境：学习《实数》之后，在数学活动课上，王老师出示了一组有规律的算式．仔细观察下列算式，并探求规律： ，，，， 实践探究： (1)按照此规律，①计算：_____； ②第个式子是_____（用含的式子表示，且为整数）； (2)计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，仔细观察，找出规律是解题的关键． （1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从而得出答案； ②第一个式子为：，第二个式子为：，第三个式子为：，第四个式子为：，从而推出第个式子是； （2）结合（1），将二次根式化简，然后再计算有理数的乘法即可． 【详解】（1）解：①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，那么， 故答案为：； ②第一个式子为：， 第二个式子为：， 第三个式子为：， 第四个式子为：， 那么第个式子是， 故答案为：； （2）解： 【变式题10-3】.（19-20七年级下·安徽亳州·期末）先观察下列等式，再解答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证； (2)根据上面的规律，可得______； (3)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数），并加以验证． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探究问题，根据例子找出其中的数字变化的规律是解题的关键． （1）由已知的等式可以发现：等式的左边被开方数都是加连续两个自然数平方的倒数和的形式，中间的算式都是第一个加数是，第二个加数是两个连续自然数中第一个数的倒数，第三个加数是两个连续自然数中第二个数的负倒数，右边的结果都为整数部分是，分数部分的分子为，分母为两个连续自然数的积，据此可得答案； （2）根据（1）的分析写出等式即可； （3）用字母表示第一个自然数，然后根据（1）的分析写出反映规律的等式，再验证即可． 【详解】（1）解：∵； ； ， ， ∴， 左边 右边； （2）解：， 故答案为：； （3）解：按照上面各等式反映的规律：． 左边 右边． 【题型11】跨学科融合题 1.核心知识点 算术平方根的计算 跨学科公式的应用 2.解题方法技巧 物理情境：如电流热量公式，已知、、求（），则； 科学情境：如自由下落公式，求下落时间，则，结合估算求近似值。 【例题11】.（24-25七年级下·云南临沧·期中）电流通过导体产生的热量Q（单位：焦）跟电流，（单位：安）的二次方成正比，跟导体的电阻R（单位：欧姆）成正比，跟通电时间t（单位：秒）成正比．这个规律叫作焦耳定律，用代数式表示为． (1)在代数式中，当安，欧姆，秒，求Q的值； (2)电流通过一根电阻为50欧姆的电阻丝，20秒钟内产生的热量为4000焦，通过电阻丝的电流是多少安？ 【答案】(1)72焦 (2)2安 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把安，欧姆，秒分别代入，进行计算，即可作答． （2）理解题意，把焦，欧姆，秒分别代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：由题知，（安），（欧姆），（秒）， 则（焦）． （2）解：由题知，（焦），（欧姆），（秒）， 由得，， ∴． ∵， ∴． 即通过电阻丝的电流是2安． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻R（单位：）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．若导线电阻为，时间导线产生的热量为，则电流的值是多少? 【答案】 【分析】本题主要考查代数式求值，算术平方根的应用，将公式整理为，再代入已知数据求解． 【详解】解：∵， ∴． 将代入，得． ∵， ∴． 答：电流I的值为． 【变式题11-2】.（2024·福建厦门·二模）我国清代数学家戴煦在《对数简法》中给出了求正数的算术平方根的公式：设被开方数为x，常数a（a为整数）和r满足，，则，用该公式求87的算术平方根，则公式中的_____， ______． 【答案】 10 13 【分析】本题考查了无理数的估算．估算得出常数a的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：10，13． 【变式题11-3】.（24-25七年级下·山西吕梁·期末）小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系． 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间； 实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间． 已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来表示． (1)请利用公式，求的值． (2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”小悦说：“你一定是记录错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2)小涵说得对． 【分析】本题考查算术平方根的应用． （1）把代入进行计算即可； （2）根据求出，即可判断． 【详解】（1）解：当米时， ， 答：小悦从80米高处释放小球，小球下落时间； （2）解：小涵说得对．理由：由（1）得， 当0米时，， 即小涵从20米高处释放小球，小球下落时间， ∵， ∴， 所以小涵说得对． 易错点 1.混淆算术平方根与平方根的表示，如将“9的平方根”写成，忽略“”； 2.忽略算术平方根的双重非负性，如直接求解，未发现被开方数矛盾； 3.化简时直接得，忘记考虑为负数的情况，如； 4.估算算术平方根时，错误确定相邻完全平方数，如认为在3和4之间（实际在4和5之间）； 5.求解平方根方程时，漏掉负根，如解时，只写，忽略。 重点 1.掌握算术平方根和平方根的定义、表示方法及性质，能准确区分二者的异同； 2.熟练运用算术平方根的双重非负性解决求值问题，掌握“非负数和为0”的解题模型； 3.会用开平方运算求解简单的平方根方程，掌握的求解步骤； 4.掌握算术平方根的估算方法（夹逼法）和小数点移位规律，能进行简单的规律应用； 5.能运用平方根的知识解决几何、生活中的实际问题，实现数学与实际的结合。 难点 1.算术平方根双重非负性的综合应用，尤其是多个非负数组合的求值问题； 2.化简时的绝对值处理，结合数轴判断字母正负的根式化简； 3.平方根的分类讨论问题，如一个数的两个平方根可能相等（0）或互为相反数（正数）的情况； 4.算术平方根的规律探究题，能从具体等式中归纳出一般规律，并能用字母表示； 5.跨学科和创新情境题的转化，能将物理、新定义等非数学情境转化为平方根的计算问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．若一个数的平方根是，则这个数是（   ） A．5 B．25 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根的定义，已知一个数的平方根，通过平方运算可求出原数. 【详解】解：∵一个数的平方根是， ∴这个数为， 故选：B． 2．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根与平方根的定义及性质，解题的关键是明确算术平方根的结果为非负数，以及平方根与平方运算的区别． 逐一计算每个选项的表达式，结合算术平方根和平方根的定义判断正误． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项符合题意． 故选：D． 3．若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 【答案】D 【分析】先根据已知方程求出的值，再计算的算术平方根，最后逐一判断选项． 【详解】解：∵ = 7， ∴ 两边平方得：． ∴ ． ∴ 的算术平方根为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义与方程求解，解题关键是先通过方程求出的值，再根据算术平方根的定义计算结果，避免混淆“”与“的算术平方根”这两个概念． 4．伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度（米）与下降的时间（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有（   ）（精确到1秒） A．14秒 B．16秒 C．13秒 D．15秒 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，解题的关键是掌握算术平方根的定义； 将已知下降高度代入给定公式，通过求解算术平方根得到下降时间，再精确到1秒即可选出答案． 【详解】解：根据题意得，， 解得（负值已舍）， ∴， 故选：A． 5．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方根的知识，熟练根据正数的平方根互为相反数列方程求解是解题的关键．根据正数的平方根互为相反数列方程求解即可． 【详解】解：∵正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 解得：． 故选：A． 二、填空题 6．若，为实数，且满足，则________ ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，掌握平方和算术平方根的非负性是解题关键．根据平方和算术平方根的非负性可求出和的值，再计算乘积即可． 【详解】解： ，，且 ， 且， 解得，， ． 故答案为：． 7．若一个正数的平方根为和，则代数式的值为__． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质及代数式的整体代入求值，关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”这一性质得到与的关系式，再对所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解：∵一个正数的平方根为和， ∴， 整理得：， ∴； 故答案为：． 8．已知，则___________ 【答案】 【分析】将转化为的形式，利用算术平方根的乘积运算性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 9．一个正数的平方根是与，则这个正数的算术平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义及性质，关键是掌握“一个正数的两个平方根互为相反数”这一核心知识点．先利用两个平方根互为相反数的性质列出关于的方程，求解得到的值；再代入平方根的表达式求出正的平方根，即为该正数的算术平方根． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数的算术平方根是7； 故答案为：． 10．的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【答案】 / /0.5 【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的定义、平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：的绝对值是； ，算术平方根是； ，4的平方根是， 故答案为：，，． 三、解答题 11．已知是64的平方根，且，求的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、平方根，熟练掌握绝对值的性质、平方根的定义是解决本题的关键． 根据绝对值的性质、平方根的定义，可得到x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 解得或． 是64的平方根， ， 解得或． ∵      12．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查利用平方根解方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）两边同时除以2，进而得出答案； （2）先移项，进而得出答案； （3）先移项，两边同时除以9，进而得出答案； （4）先移项，两边同时除以4，进而得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ， ， ； （4）解： ， ， ， 解得或． 13．已知正数m的两个平方根分别为和．求a的值和m的值． 【答案】a的值为2，m的值为9 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程可求得a的值，根据平方根的定义可求得m的值． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， ∴． 答：a的值为2，m的值为9． 【点睛】本题考查平方根的定义和性质，平方根的定义：若一个数的平方等于a，则这个数叫做a 的平方根（或二次方根）．即若，则x是a的平方根，记作．平方根的性质：①正数有两个平方根，且互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根．熟知上述相关内容是正确解答此题的关键． 14．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为___________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长是宽的2倍，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 【答案】(1)9 (2)能 【分析】本题考查算术平方根的应用，利用面积公式：长×宽=面积，得到类似的等式，利用平方根的定义求解即可． （1）根据正方形面积公式：边长的平方=面积，求解即可； （2）设宽为x ，列式求解，再比较长和宽是否都大于（1）中所求明信片的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，得明信片的边长为； （2）解：设宽为，则长为， 由题意，得， 整理，得， ∴， ， ∵， ∴能在不折叠的情况下将明信片放入此信封． 15．（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）根据拼接前后的面积相等建立方程求解可得答案． （2）设小长方形的对角线的长度为m，利用面积关系建立方程即可． 【详解】解：（1）设大正方形的边长为x， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：大正方形的边长为4； （2）设小长方形的对角线的长度为m， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：小长方形的对角线的长度为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $