精品解析：广东省佛山市南海区2026届3月高三统一测试数学试题

2026届高三供题训练（C2） 数学 本试卷共4页，19题，满分150分．考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 记的内角，，的对边分别为，， ，设甲：为等腰三角形，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4. 若，则（　　） A. 40 B. 41 C. D. 5. 已知角 的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 6. 设为抛物线 的焦点，点在上，且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 7. 甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，则（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数在 上单调递减 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知正方体的棱长为2，为的中点，为上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线 与平面 所成角的正切值为 D. 三棱锥的体积为定值 10. 设，是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的两条渐近线夹角为 B. 的最小值为 C. 当时，的面积为1 D. 的周长最小值为 11. 已知数列的每一项都是整数．当为奇数时，有；当为偶数时，有．记为数列的前项和，若， ，则（ ） A. 数列为递增数列 B. 的最小值为32 C. 若 ，则的最小值为2649 D. 若，则 的最大值为86 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 13. 记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________． 14. 函数在区间 上存在零点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，且恒成立． （1）求的解析式； （2）记的内角，，的对边分别为，， ，且，，的面积为，求 ． 16. 如图，和所在平面垂直，且，． （1）证明：； （2）求平面和平面的夹角的余弦值． 17. 现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为． （1）求； （2）当 时，求随机变量的分布列和数学期望； （3）求随机变量的数学期望． 18. 已知函数，其中为正实数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）当取最小值时，若，为正实数，且，证明：． 19. 设椭圆的上焦点为，过且斜率为 的直线与该椭圆交于，两点．当与轴垂直时，有，其中为坐标原点． （1）求该椭圆的离心率； （2）设点，且满足：对任意的斜率 ，都有． （ⅰ）证明：； （ⅱ）定义：若无穷数列是公比为的等比递减数列，则其所有项之和为，其中为数列的首项．记的面积为，求数列的所有项和的最小值（结果用或表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三供题训练（C2） 数学 本试卷共4页，19题，满分150分．考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得集合，， 所以. 2. 复数的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以复数的虚部是. 3. 记的内角，，的对边分别为，，，设甲：为等腰三角形，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以 ，所以为等腰三角形， 所以为等腰三角形是的必要条件； 由为等腰三角形，可得 或或 ， 所以为等腰三角形是的不充分条件； 所以甲是乙的必要条件但不是充分条件. 4. 若，则（　　） A. 40 B. 41 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法计算的值. 【详解】令，则①，令，则②， 得到. 故选：C. 5. 已知角 的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合三角函数定义求 ，再根据二倍角公式求结论. 【详解】因为角 的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标为， 所以， 所以. 6. 设为抛物线 的焦点，点在上，且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得. 设，则，得， 又且点A在第一象限，因此，即. 设直线的倾斜角为，, ，得. 7. 甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意知恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章， 则第3，4局必有甲胜，乙负，且前2局中，甲胜一局乙胜一局， 所以所求概率为. 8. 定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，则（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数在 上单调递减 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲函数的奇偶性，并使用导数求其单调性，比较各选项中自变量的大小关系，即可求解. 【详解】设， 对于A，由题意得， 则，所以是奇函数， 即是奇函数，故A错误； 对于B，由题意得，所以在 上单调递增， 即函数在 上单调递增，故B错误； 对于C，，所以是奇函数， ，所以是偶函数， 所以， 所以原不等式为，即， 由题意得恒成立，所以在R上单调递增， 所以， 且有， 当时， ，单调递减， 当时， ，单调递增， 故，原不等式得证，故C正确. 对于D，， 所以原不等式为， 由上得单调递增， 且有当时，单调递增，所以， 所以，与原不等式矛盾，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知正方体的棱长为2，为的中点，为上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线 与平面 所成角的正切值为 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，利用判断；对B，平面即平面，由与平面关系可判断；对C，直接找到线面角对应的直角三角形，计算边长得到正切值；对D，由，分析动点到平面的距离是否为定值，结合的面积是否为定值判断体积. 【详解】对于A：以为原点，分别以所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 则， 由题意得，设， 向量，，   故，A正确； 对于B：平面即平面，直线过平面内一点且不在平面内，直线与平面相交，不平行，B错误； 对于C：因为平面 ，则 为在平面 上的射影， 所以即直线与平面 所成角，在中，（是中点）， ，故，C错误； 对于D： 因为，平面，平面，故平面， 上所有点到平面的距离恒为正方体棱长（定值）， 因此为定值，而，D正确. 10. 设，是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的两条渐近线夹角为 B. 的最小值为 C. 当时，的面积为1 D. 的周长最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据渐近线斜率求出倾斜角，直接计算两条渐近线的夹角；对B，利用平方差公式和双曲线定义化简表达式，再结合直线与双曲线的交点条件判断最小值能否取到；对C，由推出点在以为直径的圆上，联立方程求高，进而计算三角形面积；对 D，利用双曲线定义将周长转化为，再求出弦长的最小值，从而得到周长的最小值. 【详解】对于A：双曲线的渐近线方程为，一条渐近线的倾斜角为，由对称性可知，两条渐近线的夹角为，A正确； 对于B：由双曲线的定义可得， 所以， 又，所以， 因为，所以，B错误； 对于C：，故，即A在以为直径的圆上， 由，解得，所以， 所以，C正确； 对于D：由双曲线定义可得， 所以周长， 当轴时，最小，将代入双曲线方程，得，故， 所以，D正确. 11. 已知数列的每一项都是整数．当为奇数时，有；当为偶数时，有．记为数列的前项和，若， ，则（ ） A. 数列为递增数列 B. 的最小值为32 C. 若 ，则的最小值为2649 D. 若，则的最大值为86 【答案】ABC 【解析】 【分析】当为奇数时，；当为偶数时，．由此为基础，可分析A；依次分析，判断B；利用累加法，可得的最小值，判断C；分析，判断D. 【详解】当为奇数时，有，即； 当为偶数时，有，即． 所以若， ，则 当为奇数时，； 当为偶数时，． 所以数列为递增数列，所以正确. 由题可知，，，， 所以，，. 所以的最小值为.所以B正确. 由A项分析知，当为奇数时，； 当为偶数时，． 所以， ， ， ， …… ， . 累加得，， 所以.所以C正确. 若， 结合C分析得，当为奇数时， ， 所以 即. ，所以D不正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由题可知，，， 所以． 13. 记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出公比，根据题意得到，化简得到，从而求出公比. 【详解】设公比为，由题意得， 即， 所以，故，又， 解得. 14. 函数在区间 上存在零点，则的最小值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用函数零点的意义，将点视为直线上的点，再利用目标函数的几何意义，借助点到直线距离公式列式，进而构造函数并利用导数求出最小值. 【详解】设为在 上的零点，则，即点在直线上， 又为点到原点的距离的平方，原点到直线的距离为， 因此，即的最小值即为在上能成立， 令函数，求导得， 函数在 上单调递增，则，， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，且恒成立． （1）求的解析式； （2）记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合正弦函数的图象、性质求出解析式. （2）由（1）求出，再利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理求解. 【小问1详解】 由，得，而，则， 由恒成立，得，即，， 因此，解得，而 ，则 ， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）得，，而 ，解得， 由，解得， 由余弦定理得， 由正弦定理，得． 16. 如图，和所在平面垂直，且，． （1）证明：； （2）求平面和平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 过在平面内作 ，过在平面 内作， 因为平面 平面 ，平面 平面， ，平面， 所以 平面 ，而平面 ，所以， 于是，，两两垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系， ，，． 所以，． 因为 ，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）过在平面内作 ，过在平面 内作，由面面、线面垂直的性质定理证得，构建合适的空间直角坐标系，再由向量法证明垂直关系； （2）首先求出相关平面的法向量，再由向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，而平面 的法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以． 因为． 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 17. 现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为． （1）求； （2）当 时，求随机变量的分布列和数学期望； （3）求随机变量的数学期望． 【答案】（1） （2） 1 3 （3） 【解析】 【分析】（1）应用组合数及古典概型概率求法求概率即可； （2）确定对应的可能值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望； （3）首先求出各可能值对应的概率，再求对应可能值的概率，即可求期望. 【小问1详解】 依题意，. 【小问2详解】 当 时，若摸出红色卡片，则的值为1，若摸出蓝色卡片，则的值为3， 所以，， 所以的分布列为 1 3 数学期望为. 【小问3详解】 的取值为0，1，2，3． ，， ，． 的取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 所以随机变量的数学期望为. 18. 已知函数，其中为正实数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）当取最小值时，若，为正实数，且，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ）由（ⅰ）得，的最小值为2，在单调递增， 且，即 因为，为正实数，且，所以． 不妨设，则，，所以 ， ． 又，所以，即． 所以，所以． 所以，即． 【解析】 【分析】（1）求导得切线斜率，代入点坐标写出切线方程即可； （2）（i）通过导数分析函数单调性，结合判别式讨论参数；（ⅱ）利用条件转化为，结合函数性质和单调性证明不等式. 【小问1详解】 当时，，． 所以，又 ． 所以所求的切线方程为，即． 【小问2详解】 （ⅰ）， 因为，设二次函数的判别式为 ， ①当，即 时， ，所以在单调递增， 所以，所以 ． ②，即 时，设的两个根为，，且， 由韦达定理，可得，即 ，所以， 所以在单调递减，在单调递增． 所以当时，有，与不符合，舍去． 综上所述，的取值范围为． （ⅱ）略 19. 设椭圆的上焦点为，过且斜率为的直线与该椭圆交于，两点．当与轴垂直时，有，其中为坐标原点． （1）求该椭圆的离心率； （2）设点，且满足：对任意的斜率，都有． （ⅰ）证明：； （ⅱ）定义：若无穷数列是公比为的等比递减数列，则其所有项之和为，其中为数列的首项．记的面积为，求数列的所有项和的最小值（结果用或表示）． 【答案】（1） （2） （ⅰ）由（1）可知，，，故，即. ，椭圆方程为， 设直线的方程为，，． 联立，消去可得， 所以，． 由可知． 则，即，即． 代入韦达定理，可得，于是， 因为该式子对任意的斜率都成立，所以， 所以数列是公比为2的等比数列． 因为，所以， 于是 （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，计算可求椭圆的离心率；（2）（ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合，可得，化简得，由已知可得，利用等比数列前项和计算可证结论；（ⅱ）由题意可得是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的前项和公式计算，结合换元法可求数列的所有项和的最小值. 【小问1详解】 由可得．设，当与轴垂直时，有，所以． 即，即． 即，化简得，因为，所以． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）． 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以的所有项和． 设，则，． 当且仅当，即的时候等号成立． 所以数列的所有项和的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $