2.3 第2课时 和差化积与积化和差公式 课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

2.3 第2课时 和差化积与积化和差公式 在求解三角函数的有关问题时，有时需要把三角函数的积化为和或差的形式，有时又需要把和或差化为积的形式，例如以下形式，应如何转化? 借鉴前面通过计算两个单位向量a=(cos,sin)，b=(cosβ,sinβ)的数量积得出差角余弦公式的思路，我们继续尝试用向量的方法来探讨如何将三角函数的和或差转化为积的形式. 和差化积: (1)cos α+cos β= ？× ？； (2)sin α+sin β= ？× ？； 积化和差: (1)cos αcos β= ？+ ？ ； (2)sin αsin β= ？+ ？； OC=(rcos,rsin),其中r=|OC|, ∠xOC=.又因为四边形OACB是菱形， 所以OC是∠AOB的平分线，因而 =+ =. → → 从坐标原点O出发作OA=(cos,sin),OB=(cosβ,sinβ),则OC=OA+OB=(cos+cosβ,sin+sinβ) → → → → → 方法一：（向量法） 故OC=(rcos,rsin). 又r=|OC| =2|OB|cos∠COB =2cos=2cos → → → 所以OC=(2coscos,2cossin) → 所以OC=(2coscos,2cossin) 于是，根据平面向量基本定理可得 cos+cos=2coscos sin+sin=2cossin → 思考：这两个公式是否对任意角,都成立？除了通过几何图形可以得到公式，你还有其他方法吗？ 方法二：我们用字母A,B来表示,. 设A=,B=. 则A+B=,A-B=. 于是cos+cos=cos(A+B)+cos(A-B) =cosAcosB-sinAsinB+cosAcosB+sinAsinB =2cosAcosB =2coscos cos-cos=cos(A+B)-cos(A-B) =cosAcosB-sinAsinB-cosAcosB-sinAsinB =-2sinAsinB =-2sinsin. 类似地，可以证明： sin+sin=2cossin sin-sin=2cossin 和差化积公式: (1)cos α+cos β=2cos cos ； (2)sin α+sin β=2sin cos ； (3)cos α-cos β= -2sin sin ； (4)sin α-sin β=2cos sin . 要点归纳 “积化和差”公式会是怎样的呢？ 你能总结四个公式的特点吗？如何快速记忆呢？ 注意：必须是同名的三角函数和与差的形式才能化为乘积形式. 例1 求证：(1) cos αcos β =［cos(α+β)+cos(α－β)］； 　 　 (2) sin αsin β =－［cos(α+β)－cos(α－β)］． 　证明：(1)将公式cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β， 　　　　　　　　 cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β 　　左右两边分别相加，得cos(α+β)+cos(α－β)=2cos αcos β . 　　将上式两边同除以2，得cos αcos β =［cos(α+β)+cos(α－β)］. 先将两个等式右边中括号内的两部分分别展开，再与等左边相比，你发现了什么？ 　　(2)将公式cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β， 　　　　　　 cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β 　　左右两边分别相减，得cos(α+β)－cos(α－β)=－2sin αsin β ． 　　将这两组公式分别相加减，你还能得出哪些积化和差公式？ 将上式两边同除以－2，得sin αsin β =－［cos(α+β)－cos(α－β)］. 两角和与差的正弦公式： sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，S(α+β)；  sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，S(α-β).  (2) sin αsin β =－［cos(α+β)－cos(α－β)］． 要点归纳 积化和差公式: (1)cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]； (2)sin αsin β= -[cos(α+β)-cos(α-β)]； (3)sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]； (4)cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]. 你能总结四个公式的特点吗？如何快速记忆呢？ 提示： 左端是同名函数乘积形式时，右端是余弦函数的和、差形式. 左端是异名函数乘积形式时，右端是正弦函数的和、差形式. 1.把下列各式化成积的形式： (1)sin 44°+sin 76°； 解：原式=2sincos=2sin 60°·cos 16°=cos 16°. (2)cos 50°+cos 42°； 解：原式=2coscos=2cos 46°cos 4°. 12 (3)cos 3x-cos 5x； 解：原式=-2sinsin=2sin 4xsin x. (4)sin 50°-sin 70°. 解：原式=2cossin=2cos 60°sin(-10°)=-sin 10°. 13 2.（1）sin cos 等于（ ） A.- B.+ C.- D.+ 解：原式===+. B 14 (2)把下列各式化成和或差的形式： ①sin 64° cos 134°； 解：(1)原式=[sin(64°+134°)+sin(64°-134°)]=(sin 198°-sin 70°). (2)原式=[cos(2+1.2)+cos(2-1.2)]=(cos 3.2+cos 0.8). ②cos 2·cos 1.2. 15 要点归纳 应用和差化积与积化和差公式应注意两点： (1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可实行，若是异名，必须用诱导公式化为同名； (2)在应用积化和差公式时，无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差．　　 16 例2 在△ABC中，求证:cos 2A+cos 2B+cos 2C=－4cos Acos Bcos C－1. 　　你还能用其他方法来证明这个结论吗？ 　证明：原式左边=2cos(A+B)cos(A－B)+2cos2C－1 　　　　　　　　　=2cos(A+B)cos(A－B)+2cos2[π－(A+B)]－1 　　　　　　　　　=2cos (A+B)cos(A－B)+2cos2 (A+B)－1 　　　　　　　　　=2cos (A+B)[cos(A－B)+cos(A+B)]－1 　　　　　　　　　=4cos(A+B)cos Acos B－1 　　　　　　　　　=4cos(π－C)cos Acos B－1 　　　　　　　　　=－4cos Acos Bcos C－1 　　　　　　　　　=右边. 3.求证：=. 证明：左边= = ===右边， 所以原等式成立. 根据本节课关键词“和差化积与积化和差公式”谈谈你的收获. 2.已知cos2α-cos2β=m，那么sin(α+β)sin(α-β)等于（ ） A.-　 B.　 C.-m　 D.m 解：sin(α+β)sin(α-β)=-(cos 2α-cos 2β)=-(2cos2α-1-2cos2β+1) =cos2β-cos2α=-m. C 3.化简：cos 15°cos 60°cos 75°= ． 4.将下列各式化成积的形式： (1)sin-sin； 解：(1)原式=2cos· sin=2cos αsin =cos α. (2)sin x+. （2）原式=sin x+sin =2sin cos =2sincos. 23 答案：A　 1．sin 64°cos 20°化成和差形式为(　　) A.eq \f(1,2)(sin 84°＋sin 44°)　　 B.eq \f(1,2)(sin 84°－sin 44°) C.eq \f(1,2)(cos 84°＋cos 44°) D.eq \f(1,2)(cos 84°－cos 44°) 解析：sin 64°cos 20°＝eq \f(1,2)[sin(64°＋20°)＋sin(64°－20°)] ＝eq \f(1,2)(sin 84°＋sin 44°)． 解：原式＝eq \f(1,2)cos 15°cos 75°＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)[cos(15°＋75°)＋cos(15°－75°)]＝eq \f(1,4)(0＋cos 60°)＝eq \f(1,8). $