第2章 2.3 第2课时 和差化积与积化和差公式及三角恒等变换的应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

第2课时 第2章 <<< 和差化积与积化和差公式及三角恒等变换的应用 1.了解和差化积、积化和差公式的推导过程. 2.掌握和差化积、积化和差及辅助角公式并能用公式解决一些简单的问题. 学习目标 在求解三角函数的有关问题时，有时需要把三角函数的积化为和或差的形式，有时又需要把和或差化为积的形式. (1)如何将两个三角函数的积化为和(差)形式？ (2)如何将两个三角函数的和(差)化为积的形式？ 这就是本节课将要学习的内容，让我们一起来探索吧. 导 语 一、和差化积 二、积化和差 课时对点练 三、辅助角公式及其应用 随堂演练 内容索引 和差化积 一 和差化积公式 (1)cos α+cos β=2cos cos ； (2)sin α+sin β=2sin cos ； (3)cos α-cos β=-2sin sin ； (4)sin α-sin β=2cos sin . 知识梳理 　把下列各式化成积的形式： (1)sin 44°+sin 76°； 例 1 原式=2sincos=2sin 60°·cos 16°=cos 16°. (2)cos 50°+cos 42°； 原式=2coscos=2cos 46°cos 4°. 7 (3)cos 3x-cos 5x； 原式=-2sinsin=2sin 4xsin x. (4)sin 50°-sin 70°. 原式=2cossin=2cos 60°sin(-10°)=-sin 10°. 8 (1)必须是同名的三角函数和与差的形式才能化为乘积形式. (2)若不同名，应用诱导公式化为同名的三角函数和差形式再利用和差化积公式. 利用和差化积公式化简求值时的两个注意点 反 思 感 悟 9 　将下列各式化成积的形式： (1)sin-sin； 跟踪训练 1 原式=2cos· sin=2cos αsin =cos α. 10 (2)sin x+. 原式=sin x+sin =2sin cos =2sincos. 11 二 积化和差 积化和差公式 (1)cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]； (2)sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]； (3)sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]； (4)cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]. 知识梳理 13 　(1)sin cos 等于 A.- B.+ C.- D.+ 例 2 √ 原式===+. 14 (2)把下列各式化成和或差的形式： ①sin 64° cos 134°； 原式=[sin(64°+134°)+sin(64°-134°)]=(sin 198°-sin 70°). 原式=[cos(2+1.2)+cos(2-1.2)]=(cos 3.2+cos 0.8). ②cos 2·cos 1.2. 15 反 思 感 悟 在利用积化和差公式化简求值时，应注意：左端是异名函数乘积形式时，右端是正弦函数的和、差形式；左端是同名函数乘积形式时，右端是余弦函数的和、差形式. 　求cos 15°cos 60°cos 75°的值. 跟踪训练 2 原式=cos 15°cos 75° =×[cos(15°+75°)+cos(15°-75°)] =×(0+cos 60°)=. 17 辅助角公式及其应用 三 请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并：sin x±cos x，sin x±cos x，cos x±sin x. 提示　sin x±cos x=sin，sin x±cos x=2sin，cos x ±sin x=2sin. 问题1 19 一般地，对于y=asin x+bcos x，你能对它进行合并吗？ 提示　第一步：提常数，提出， 得到y=； 第二步：定角度，确定一个角φ满足cos φ=，sin φ=， 得到y=(cos φsin x+sin φcos x)； 第三步：化简、逆用公式得y=asin x+bcos x =sin(x+φ)，其中tan φ=. 问题2 20 辅助角公式 y=asin x+bcos x=__________________. sin(x+θ) 知识梳理 21 (1)该函数的最大值为，最小值为-. (2)有时y=asin x+bcos x=cos(x-θ). 注 意 点 <<< 22 　已知函数f(x)=2sin x(cos x-sin x)+1. (1)求函数f(x)的单调递增区间； 例 3 23 f(x)=2sin x(cos x-sin x)+1 =sin 2x+cos 2x=sin ， 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 24 (2)设α∈，f =，求sin α的值. 25 因为f =sin =， 所以sin =， 又α∈， 所以α+∈， 所以cos =-， 所以sin α=sin =sincos-cossin =×-×=. 26 反 思 感 悟 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式，将y=asin x+bcos x转化为y=sin(x+φ)或y=cos(x-φ)的形式，以便研究函数的性质. 　已知函数f(x)=sin2x-sin2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； 跟踪训练 3 由已知，得f(x)=- =-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin， 所以f(x)的最小正周期T==π. 28 (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 29 因为x∈， 所以2x-∈， 当-≤2x-≤-，即-≤x≤-时，f(x)单调递减；当-≤2x-≤，即 -≤x≤时，f(x)单调递增， 所以f(x)在区间上单调递增， 且f =-，f =-，f =， 所以f(x)在区间，最小值为-. 30 1.知识清单： (1)和差化积公式. (2)积化和差公式. (3)辅助角公式及其应用. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：公式应用不熟导致解题错误. 课堂小结 随堂演练 四 1.f(x)=12sin x+5cos x化为y=Asin(x+φ)形式，其中正确的是 A.f(x)=13sin(x+φ) B.f(x)=13sin(x+φ) C.f(x)=13sin(x-φ) D.f(x)=13sin(x-φ) √ 1 2 3 4 1 2 3 4 f(x)=12sin x+5cos x =13 =13sin(x+φ)，其中tan φ=. 2.已知cos2α-cos2β=m，那么sin(α+β)sin(α-β)等于 A.-　 B.　 C.-m　 D.m sin(α+β)sin(α-β)=-(cos 2α-cos 2β)=-(2cos2α-1-2cos2β+1)=cos2β-cos2α =-m. √ 1 2 3 4 3.化简：sin 10°+sin 50°-cos 20°=　　　.  原式=2sin ·cos -cos 20°=cos 20°-cos 20°=0. 1 2 3 4 0 4.y=cos x-sin x的最大值为　　　.  y=cos x-sin x=2 =2=2cos， 所以ymax=2. 1 2 3 4 2 课时对点练 五 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C D D B D 1　-　2 题号 8 11 12 13 14　 15 答案 tan A B C (1)　(2) B 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 左边== ===右边， 所以原等式成立. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)因为f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x=sin2x+2sin xcos x+cos2x-2sin2x =2sin xcos x+cos2x-sin2x=sin 2x+cos 2x=sin， 所以f(x)的最小正周期为T==π. 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)当x∈时，2x∈[0，π]， 所以2x+∈， 所以sin∈， 所以函数f(x)的值域是. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)连接OB，如图所示， 设∠AOB=θ，则AB=OBsin θ=20sin θ，OA=OBcos θ=20cos θ，且θ∈. 因为点A，D关于点O对称，所以AD=2OA=40cos θ. 设矩形ABCD的面积为S，则S=AD·AB=40cos θ·20sin θ=400sin 2θ. 因为θ∈，所以2θ∈(0，π)，所以当sin 2θ=1， 即θ=时，Smax=400(m2). 此时AO=DO=10(m). 故当点A，D距离圆心O为10 m时， 矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)由(1)知AB=20sin θ，AD=40cos θ， 所以AB+BC+CD=40sin θ+40cos θ=40sin， 又θ∈， 所以θ+∈， 当θ+=， 即θ=时，(AB+BC+CD)max=40(m)， 此时AO=DO=10(m)， 即当点A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.sincos 等于 A.-- B.-+ C.+ D.- 原式===--. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 2.已知cos(α+β)·cos(α-β)=，则cos2α-sin2β等于 A.-　 B.-　 C.　 D. cos(α+β)·cos(α-β)=(cos 2α+cos 2β) =[(2cos2α-1)+(1-2sin2β)]=cos2α-sin2β=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.函数f(x)=sin x+cos x的一个对称中心是 A. B. C. D. 因为f(x)=sin x+cos x=sin，根据函数y=Asin(ωx+φ)的对称中心特征可知，对称中心是函数f(x)的图象与x轴的交点，四个选项中只有当x=-时，f =0，即函数f(x)的一个对称中心为. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数的θ的一个值是 A.　 B.　 C.　 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin. ∵f(x)为奇函数，∴f(0)=0， ∴2sin=0，∴sin=0， 则+θ=kπ，k∈Z， ∴θ=-+kπ，k∈Z，故当k=1时，θ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.已知sin x+cos x=，则cos等于 A.　 B.　 C.　 D. ∵sin x+cos x=2sin=， ∴sin=， 则cos=cos=sin=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 6.若函数f(x)=sin 2x+cos 2x，则 A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的最大值为2 C.函数f(x)的一个对称中心为 D.函数f(x)在上单调递增 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 f(x)=sin 2x+cos 2x=sin， ∴函数f(x)的最小正周期为π，函数f(x)的最大值为，故A，B错误； 由f =sin=≠0，故C错误； 由π<x<<2x+<，可知函数f(x)在上单调递增，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.已知函数f(x)=asin x+bcos x的图象过点和，则a=　　　，b=　　　，f(x)的最大值是　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 - 2 答案 由题意得 解得 ∴f(x)=sin x-cos x=2sin， ∴f(x)的最大值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 8.化简：=　　　　.  原式====tan. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 tan 答案 9.求证：=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 左边=====右边， 所以原等式成立. 答案 10.已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x=sin2x+2sin xcos x+cos2x-2sin2x= 2sin xcos x+cos2x-sin2x=sin 2x+cos 2x=sin， 所以f(x)的最小正周期为T==π. 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 58 (2)若x∈，求函数的值域. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x∈时，2x∈[0，π]， 所以2x+∈， 所以sin∈， 所以函数f(x)的值域是. 答案 11.设直角三角形中两锐角分别为A和B，则cos Acos B的取值范围是 A.　 B.(0，1)　 C.　 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 答案 直角三角形中两锐角分别为A和B， 则A+B=， 则cos Acos B=[cos(A-B)+cos(A+B)]=cos(A-B)， 再结合A-B∈， 可得cos(A-B)∈(0，1]， ∴cos(A-B)∈. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.当x∈时，关于x的方程sin x-cos x-m=0有解，则实数m的取值范围为 A.(-2，) B.[-2，] C.(-，) D.[-，] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意知，关于x的方程sin x-cos x-m=0有解，即sin x-cos x=m在x∈上有解，则函数y=sin x-cos x =2sin的图象与直线y=m在上 有交点，如图， 由图象易得，-2≤m≤. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.若函数f(x)=|3sin x+4cos x+m|的最大值是8，则m等于 A.3　 B.13　 C.3或-3　 D.-3或13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵f(x)=|3sin x+4cos x+m|， ∴f(x)=|5sin(x+φ)+m|， ∵-5≤5sin(x+φ)≤5， ∴当m>0时，f(x)max=|5+m|=8， 解得m=3； 当m<0时，f(x)max=|-5+m|=8， 解得m=-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.设向量a=，b=(cos x，sin x)，x∈. (1)若|a|=|b|，则x的值为　　　；  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由|a|2=(sin x)2+sin2x=4sin2x， |b|2=cos2x+sin2x=1， 及|a|=|b|，得4sin2x=1. 又x∈，从而sin x=， 所以x=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)设函数f(x)=a·b，则f(x)的最大值为　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为f(x)=a·b=sin xcos x+sin2x=sin 2x-cos 2x+=sin+， 所以当2x-=+2kπ(k∈Z)， 即x=+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值， 又x∈，所以当k=0，x=时， f(x)max=1+=， 所以f(x)的最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 15.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为 A.　 B.　 C.　 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ω>0)，由x∈[0，π]， 令t=ωx+∈， 又函数y=2sin t在t∈上有两个 零点，如图， 则2π≤ωπ+<3π，解得ω∈. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m. (1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以 使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 连接OB，如图所示，设∠AOB=θ， 则AB=OBsin θ=20sin θ，OA=OBcos θ=20cos θ，且θ∈. 因为点A，D关于点O对称， 所以AD=2OA=40cos θ. 设矩形ABCD的面积为S，则 S=AD·AB=40cos θ·20sin θ=400sin 2θ. 因为θ∈， 所以2θ∈(0，π)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 73 所以当sin 2θ=1，即θ=时，Smax=400(m2). 此时AO=DO=10(m). 故当点A，D距离圆心O为10 m时， 矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 74 (2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由(1)知AB=20sin θ， AD=40cos θ， 所以AB+BC+CD=40sin θ+40cos θ=40sin， 又θ∈，所以θ+∈， 当θ+=， 即θ=时，(AB+BC+CD)max=40(m)， 此时AO=DO=10(m)， 即当点A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 76 第一章 <<< $$ 第2课时　和差化积与积化和差公式及三角恒等变换的应用 [学习目标]　1.了解和差化积、积化和差公式的推导过程.2.掌握和差化积、积化和差及辅助角公式并能用公式解决一些简单的问题. 导语 在求解三角函数的有关问题时，有时需要把三角函数的积化为和或差的形式，有时又需要把和或差化为积的形式. (1)如何将两个三角函数的积化为和(差)形式？ (2)如何将两个三角函数的和(差)化为积的形式？ 这就是本节课将要学习的内容，让我们一起来探索吧. 一、和差化积 知识梳理 和差化积公式 (1)cos α+cos β=2cos cos ； (2)sin α+sin β=2sin cos ； (3)cos α-cos β=-2sin sin ； (4)sin α-sin β=2cos sin . 例1　把下列各式化成积的形式： (1)sin 44°+sin 76°； (2)cos 50°+cos 42°； (3)cos 3x-cos 5x； (4)sin 50°-sin 70°. 解　(1)原式=2sincos=2sin 60°·cos 16°=cos 16°. (2)原式=2coscos=2cos 46°cos 4°. (3)原式=-2sinsin =2sin 4xsin x. (4)原式=2cossin =2cos 60°sin(-10°)=-sin 10°. 反思感悟　利用和差化积公式化简求值时的两个注意点 (1)必须是同名的三角函数和与差的形式才能化为乘积形式. (2)若不同名，应用诱导公式化为同名的三角函数和差形式再利用和差化积公式. 跟踪训练1　将下列各式化成积的形式： (1)sin-sin；(2)sin x+. 解　(1)原式=2cos· sin=2cos αsin =cos α. (2)原式=sin x+sin =2sin cos =2sincos. 二、积化和差 知识梳理 积化和差公式 (1)cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]； (2)sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]； (3)sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]； (4)cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]. 例2　(1)sin cos 等于(　　) A.- B.+ C.- D.+ 答案　B 解析　原式= ==+. (2)把下列各式化成和或差的形式： ①sin 64° cos 134°；②cos 2·cos 1.2. 解　①原式=[sin(64°+134°)+sin(64°-134°)] =(sin 198°-sin 70°). ②原式=[cos(2+1.2)+cos(2-1.2)] =(cos 3.2+cos 0.8). 反思感悟　在利用积化和差公式化简求值时，应注意：左端是异名函数乘积形式时，右端是正弦函数的和、差形式；左端是同名函数乘积形式时，右端是余弦函数的和、差形式. 跟踪训练2　求cos 15°cos 60°cos 75°的值. 解　原式=cos 15°cos 75° =×[cos(15°+75°)+cos(15°-75°)] =×(0+cos 60°)=. 三、辅助角公式及其应用 问题1　请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并：sin x±cos x，sin x±cos x，cos x±sin x. 提示　sin x±cos x=sin，sin x±cos x=2sin，cos x±sin x=2sin. 问题2　一般地，对于y=asin x+bcos x，你能对它进行合并吗？ 提示　第一步：提常数，提出， 得到y=； 第二步：定角度，确定一个角φ满足cos φ=，sin φ=， 得到y=(cos φsin x+sin φcos x)； 第三步：化简、逆用公式得y=asin x+bcos x =sin(x+φ)，其中tan φ=. 知识梳理 辅助角公式 y=asin x+bcos x=sin(x+θ). 注意点： (1)该函数的最大值为，最小值为-. (2)有时y=asin x+bcos x=cos(x-θ). 例3　已知函数f(x)=2sin x(cos x-sin x)+1. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)设α∈，f=，求sin α的值. 解　(1)f(x)=2sin x(cos x-sin x)+1 =sin 2x+cos 2x =sin ， 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)因为f=sin =， 所以sin =， 又α∈， 所以α+∈， 所以cos =-， 所以sin α=sin =sincos-cossin =×-×=. 反思感悟　研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式，将y=asin x+bcos x转化为y=sin(x+φ)或y=cos(x-φ)的形式，以便研究函数的性质. 跟踪训练3　已知函数f(x)=sin2x-sin2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 解　(1)由已知，得f(x)=- =-cos 2x =sin 2x-cos 2x=sin， 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)因为x∈， 所以2x-∈， 当-≤2x-≤-，即-≤x≤-时，f(x)单调递减；当-≤2x-≤，即-≤x≤时，f(x)单调递增， 所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且f=-，f=-，f=， 所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为-. 1.知识清单： (1)和差化积公式. (2)积化和差公式. (3)辅助角公式及其应用. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：公式应用不熟导致解题错误. 1.f(x)=12sin x+5cos x化为y=Asin(x+φ)形式，其中正确的是(　　) A.f(x)=13sin(x+φ) B.f(x)=13sin(x+φ) C.f(x)=13sin(x-φ) D.f(x)=13sin(x-φ) 答案　A 解析　f(x)=12sin x+5cos x =13 =13sin(x+φ)，其中tan φ=. 2.已知cos2α-cos2β=m，那么sin(α+β)sin(α-β)等于(　　) A.-　B.　C.-m　D.m 答案　C 解析　sin(α+β)sin(α-β)=-(cos 2α-cos 2β)=-(2cos2α-1-2cos2β+1)=cos2β-cos2α=-m. 3.化简：sin 10°+sin 50°-cos 20°=　　　　.  答案　0 解析　原式=2sin ·cos -cos 20°=cos 20°-cos 20°=0. 4.y=cos x-sin x的最大值为　　　　.  答案　2 解析　y=cos x-sin x=2 =2=2cos， 所以ymax=2. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共50分 1.sincos 等于(　　) A.-- B.-+ C.+ D.- 答案　A 解析　原式= ==--. 2.已知cos(α+β)·cos(α-β)=，则cos2α-sin2β等于(　　) A.-　B.-　C.　D. 答案　C 解析　cos(α+β)·cos(α-β)=(cos 2α+cos 2β) =[(2cos2α-1)+(1-2sin2β)]=cos2α-sin2β=. 3.函数f(x)=sin x+cos x的一个对称中心是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为f(x)=sin x+cos x=sin，根据函数y=Asin(ωx+φ)的对称中心特征可知，对称中心是函数f(x)的图象与x轴的交点，四个选项中只有当x=-时，f=0，即函数f(x)的一个对称中心为. 4.使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数的θ的一个值是(　　) A.　B.　C.　D. 答案　D 解析　f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ) =2sin. ∵f(x)为奇函数，∴f(0)=0， ∴2sin=0，∴sin=0， 则+θ=kπ，k∈Z， ∴θ=-+kπ，k∈Z，故当k=1时，θ=. 5.已知sin x+cos x=，则cos等于(　　) A.　B.　C.　D. 答案　B 解析　∵sin x+cos x=2sin=， ∴sin=， 则cos=cos=sin=. 6.若函数f(x)=sin 2x+cos 2x，则(　　) A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的最大值为2 C.函数f(x)的一个对称中心为 D.函数f(x)在上单调递增 答案　D 解析　f(x)=sin 2x+cos 2x=sin， ∴函数f(x)的最小正周期为π，函数f(x)的最大值为，故A，B错误；由f=sin=≠0，故C错误；由π<x<，得<2x+<，可知函数f(x)在上单调递增，故D正确. 7.(5分)已知函数f(x)=asin x+bcos x的图象过点和，则a=　　　　，b=　　　　，f(x)的最大值是　　　　.  答案　1　-　2 解析　由题意得 解得 ∴f(x)=sin x-cos x=2sin， ∴f(x)的最大值为2. 8.(5分)化简：=　　　　.  答案　tan 解析　原式====tan. 9.(10分)求证：=. 证明　左边= = ===右边， 所以原等式成立. 10.(12分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(6分) (2)若x∈，求函数的值域.(6分) 解　(1)因为f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x =sin2x+2sin xcos x+cos2x-2sin2x =2sin xcos x+cos2x-sin2x =sin 2x+cos 2x =sin， 所以f(x)的最小正周期为T==π. 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)当x∈时，2x∈[0，π]， 所以2x+∈， 所以sin∈， 所以函数f(x)的值域是. 11.设直角三角形中两锐角分别为A和B，则cos Acos B的取值范围是(　　) A.　B.(0，1)　C.　D. 答案　A 解析　直角三角形中两锐角分别为A和B， 则A+B=， 则cos Acos B=[cos(A-B)+cos(A+B)]=cos(A-B)， 再结合A-B∈， 可得cos(A-B)∈(0，1]， ∴cos(A-B)∈. 12.当x∈时，关于x的方程sin x-cos x-m=0有解，则实数m的取值范围为(　　) A.(-2，) B.[-2，] C.(-，) D.[-，] 答案　B 解析　由题意知，关于x的方程sin x-cos x-m=0有解，即sin x-cos x=m在x∈上有解，则函数y=sin x-cos x=2sin的图象与直线y=m在上有交点，如图， 由图象易得，-2≤m≤. 13.若函数f(x)=|3sin x+4cos x+m|的最大值是8，则m等于(　　) A.3　B.13　C.3或-3　D.-3或13 答案　C 解析　∵f(x)=|3sin x+4cos x+m|， ∴f(x)=|5sin(x+φ)+m|， ∵-5≤5sin(x+φ)≤5， ∴当m>0时，f(x)max=|5+m|=8， 解得m=3； 当m<0时，f(x)max=|-5+m|=8， 解得m=-3. 14.(5分)设向量a=，b=(cos x，sin x)，x∈. (1)若|a|=|b|，则x的值为　　　　；  (2)设函数f(x)=a·b，则f(x)的最大值为　 　.  答案　(1)　(2) 解析　(1)由|a|2=(sin x)2+sin2x=4sin2x， |b|2=cos2x+sin2x=1， 及|a|=|b|，得4sin2x=1. 又x∈，从而sin x=， 所以x=. (2)因为f(x)=a·b=sin xcos x+sin2x =sin 2x-cos 2x+ =sin+， 所以当2x-=+2kπ(k∈Z)， 即x=+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值， 又x∈，所以当k=0，x=时， f(x)max=1+=， 所以f(x)的最大值为. 15.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为(　　) A.　B.　C.　D. 答案　B 解析　f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ω>0)，由x∈[0，π]， 令t=ωx+∈， 又函数y=2sin t在t∈上有两个零点，如图， 则2π≤ωπ+<3π，解得ω∈. 16.(13分)如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m. (1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？(7分) (2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？(6分) 解　(1)连接OB，如图所示，设∠AOB=θ， 则AB=OBsin θ=20sin θ，OA=OBcos θ=20cos θ，且θ∈. 因为点A，D关于点O对称， 所以AD=2OA=40cos θ. 设矩形ABCD的面积为S，则 S=AD·AB=40cos θ·20sin θ=400sin 2θ. 因为θ∈， 所以2θ∈(0，π)， 所以当sin 2θ=1，即θ=时，Smax=400(m2). 此时AO=DO=10(m). 故当点A，D距离圆心O为10 m时， 矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2. (2)由(1)知AB=20sin θ， AD=40cos θ， 所以AB+BC+CD=40sin θ+40cos θ =40sin， 又θ∈，所以θ+∈， 当θ+=， 即θ=时，(AB+BC+CD)max=40(m)， 此时AO=DO=10(m)， 即当点A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远. 学科网（北京）股份有限公司 $$