第八章 成对数据的统计分析习题课课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

综合考法(一)　线性回归模型的应用 [题型技法] [例1]　(1)在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为： 且知x与y具有线性相关关系，求出y关于x的经验回归方程，并说明拟合效果的好坏． x(元) 14 16 18 20 22 y(件) 12 10 7 5 3 (2)一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下表： ①画出散点图，并初步判断是否线性相关； ②若线性相关，求经验回归方程； ③求出相关指数； ④作出残差图； ⑤进行残差分析． 零件数x(个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y(min) 62 72 75 81 85 95 103 108 112 127 (2)①作出散点图，如图所示． 由图可知，x，y线性相关． ②x与y的关系可以用线性经验回归模型来拟合，不妨设经验回归模型为＝x＋.将数据代入相应公式可得数据表： ⑤由散点图可以看出x与y有很强的线性相关性，由R2的值可以看出拟合效果很好． 由残差图也可观察到，第2,5,9,10个样本点的残差比较大，需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误． 作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明 (1)散点图； (2)相关指数； (3)残差图中的异常点和样本点的带状分布区域的宽窄． [提醒]　对非线性回归问题应利用变量代换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．　　 [集训冲关] 为研究某种图书每册的成本费y(元)与印刷数x(千册)的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值． (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程(回归系数的结果精确到0.01)； (3)若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才使销售利润不低于78 840元？(假设能够全部售出，结果精确到1) 综合考法(二)　独立性检验 [题型技法] [例2]　(1)某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学，开展听课、访谈及随堂检测等活动，他们把收集到的180节课分为三类课堂教学模式，教师主讲的为A模式，少数学生参与的为B模式，多数学生参与的为C模式，A，B，C三类课的节数比例为3∶2∶1. ①为便于研究分析，教育专家将A模式称为传统课堂模式，B，C统称为新课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，根据检测结果统计得到如下2×2列联表(单位：节)： 请根据统计数据回答：能否根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由． 教学模式 课堂教学效率 合计 高效(Y＝0) 非高效(Y＝1) 新课堂模式(X＝0) 60 30 90 传统课堂模式(X＝1) 40 50 90 合计 100 80 180 ②教育专家采用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出12节课作为样本进行研究，并从样本中的B模式和C模式课堂中随机抽取2节课，求至少有一节课为C模式课堂的概率． 参考数据： P(χ2≥xα) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2)随着生活水平的提高，人们患肝病的越来越多，为了解中年人患肝病与经常饮酒是否有关，现对30名中年人进行了问卷调查得到如下列联表： 患病状况 饮酒习惯 合计 常饮酒(Y＝0) 不常饮酒(Y＝1) 患肝病(X＝0)   2   不患肝病(X＝1)   18   合计     30 ①请将列联表补充完整，并判断能否根据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为患肝病与常饮酒有关？说明你的理由； ②现从常饮酒且患肝病的中年人(恰有2名女性)中，抽取2人参加电视节目，求正好抽到一男一女的概率． 参考数据： P(χ2≥xα) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 独立性检验的一般步骤 (1)提出假设H0：Ⅰ和Ⅱ独立，即没有关系； (2)根据2×2列联表计算χ2的值； (3)根据χ2的值与临界值xα的大小关系作统计推断．　　 [集训冲关] 1．户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表： 性别 运动习惯 合计 喜欢户外运动(Y＝0) 不喜欢户外运动(Y＝1) 男性(X＝0)   5   女性(X＝1) 10     合计     50 (1)请将上面的列联表补充完整； (2)求该公司男、女员工各多少人； (3)根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由． 下面的临界值表仅供参考： P(χ2≥xα) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2．研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验．发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用等高堆积条形图和独立性检验的方法判断． 下面的临界值表仅供参考： P(χ2≥xα) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：建立性别与态度的2×2列联表如下： 性别 态度反应 合计 肯定(Y＝0) 否定(Y＝1) 男生(X＝0) 22 88 110 女生(X＝1) 22 38 60 合计 44 126 170 综合考法(三)　独立性检验与概率的综合应用 [题型技法] [例3]　为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B. (1)甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率； (2)下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2) 表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80] 频数 30 40 20 10 表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表 完成下面2×2列联表： 疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85] 频数 10 25 20 30 15 注射药物类别 皮肤疱疹面积 合计 疱疹面积小于70 mm2(Y＝0) 疱疹面积不小于70 mm2(Y＝1) 注射药物A(X＝0) a＝ b＝   注射药物B(X＝1) c＝ d＝   合计     n＝ (3)能否根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异？ [方法技巧] 解独立性检验与概率综合应用问题的2个关注点 两个明确 明确两类主体；明确研究的两个问题 三个准确 准确画出2×2列联表；准确计算χ2；准确计算概率 [集训冲关] 某晚会上，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下20 ℃的现场表演了精彩的节目．石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内． (1)从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现有A，B两种材料供选择，研究人员对附着在A材料上再结晶做了30次试验，成功28次；对附着在B材料上再结晶做了30次试验，成功20次．补充下列列联表，并判断能否根据小概率值α＝0.005的独立性检验认为试验是否成功与A材料和B材料的选择有关. 试验结果 材料 合计 A材料(Y＝0) B材料(Y＝1) 成功(X＝0)       不成功(X＝1)       合计       解：(1)补充列联表如下： P(χ2≥xα) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 试验结果 材料 合计 A材料(Y＝0) B材料(Y＝1) 成功(X＝0) 28 20 48 不成功(X＝1) 2 10 12 合计 30 30 60 “综合素养评价”见“综合素养评价(三)” (单击进入电子文档) 章末验收评价(三) (单击进入电子文档) 全册验收评价 (单击进入电子文档) 44 eq \x(\a\vs4\al(习题课)　\a\vs4\al(\f(综合贯通知识,把握考点考法))) eq \a\vs4\al(成对数据的统计分析) [解]　(1)eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)×(14＋16＋18＋20＋22)＝18， eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4， eq \i\su(i＝1,5,x) eq \o\al(2,i)＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， eq \i\su(i＝1,5,y) eq \o\al(2,i)＝122＋102＋72＋52＋32＝327， eq \i\su(i＝1,5,x)iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620， 所以eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(620－5×18×7.4,1 660－5×182)＝－1.15， eq \o(a,\s\up6(^))＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以y对x的经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝－1.15x＋28.1， 列出残差表为 yi－eq \o(y,\s\up6(^))i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－eq \o(y,\s\up6(－)) 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4 所以eq \i\su(i＝1,5, )(yi－eq \o(y,\s\up6(^))i)2＝0.3， eq \i\su(i＝1,5, )(yi－eq \o(y,\s\up6(－)))2＝53.2， R2＝1－eq \f(\i\su(i＝1,5, )yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,5, )yi－\o(y,\s\up6(－))2)≈0.994. 因为R2≈0.994接近于1，所以拟合效果很好． 序号 零件个数xi(个) 加工时间yi(min) xiyi xeq \o\al(2,i) 1 10 62 620 100 2 20 72 1 440 400 3 30 75 2 250 900 4 40 81 3 240 1 600 5 50 85 4 250 2 500 6 60 95 5 700 3 600 7 70 103 7 210 4 900 8 80 108 8 640 6 400 9 90 112 10 080 8 100 10 100 127 12 700 10 000 ∑ 550 920 56 130 38 500 ∴eq \x\to(x)＝55，eq \x\to(y)＝92， ∴eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(56 130－10×55×92,38 500－10×552) ＝eq \f(553,825)≈0.670， eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^)) eq \o(x,\s\up6(－))＝92－eq \f(553,825)×55＝eq \f(827,15)≈55.133， ∴经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝0.670x＋55.133. ③利用所求经验回归方程求出下列数据. eq \o(y,\s\up6(^))i 61.833 68.533 75.233 81.933 88.633 yi－eq \o(y,\s\up6(^))i 0.167 3.467 －0.233 －0.933 －3.633 yi－eq \o(y,\s\up6(－)) －30 －20 －17 －11 －7 eq \o(y,\s\up6(^))i 95.333 102.033 108.733 115.433 122.133 yi－eq \o(y,\s\up6(^))i －0.333 0.967 －0.733 －3.433 4.867 yi－eq \o(y,\s\up6(－)) 3 11 16 20 35 ∴R2＝1－eq \f(\i\su(i＝1,10, )yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,10, )yi－\x\to(y)2)≈0.983. ④∵ei＝yi－eq \o(y,\s\up6(^))i，利用上表中数据作出残差图，如图所示． eq \a\vs4\al([方法技巧]) eq \x\to(x) eq \x\to(y) eq \x\to(u) eq \i\su(i＝1,8, )(xi－eq \x\to(x))2 eq \i\su(i＝1,8, )(xi－eq \x\to(x))(yi－eq \x\to(y)) eq \i\su(i＝1,8, )(ui－eq \x\to(u))2 eq \i\su(i＝1,8, )(ui－eq \x\to(u))(yi－eq \x\to(y)) 15.25 3.63 0.269 2 085.5 －230.3 0.787 7.049 其中ui＝eq \f(1,xi)，eq \x\to(u)＝eq \f(1,8) eq \i\su(i＝1,8,u)i. (1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋eq \f(d,x)哪一个更适宜作为每册成本费y(元)与印刷数x(千册)的经验回归方程类型？(只要求给出判断，不必说明理由) 附：对于一组数据(ω1，v1)(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回归直线eq \o(v,\s\up6(^))＝eq \o(a,\s\up6(^))＋eq \o(β,\s\up6(^))ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq \o(β,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )ωi－\x\to(ω)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n, )ωi－\x\to(ω)2)，eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(v,\s\up6(－))－eq \o(β,\s\up6(^)) eq \o(ω,\s\up6(－)). 解：(1)由散点图判断，y＝c＋eq \f(d,x)适宜作为每册成本费y(元)与印刷册数x(千册)的经验回归方程． (2)令u＝eq \f(1,x)，先建立y关于u的经验回归方程， ∴eq \o(c,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(d,\s\up6(^))·eq \o(u,\s\up6(－))＝3.63－8.96×0.269≈1.22， ∴y关于u的经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝1.22＋8.96u， 从而y关于x的回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝1.22＋eq \f(8.96,x). (3)假设印刷x千册，依题意： 10x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.22＋\f(8.96,x)))·x≥78.840. 即8.78x≥87.8，解得x≥10， ∴至少印刷10千册才能使销售利润不低于78 840元． 参考公式：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d. 已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肝病患者的概率为eq \f(4,15). [解]　(1)①零假设为 H0：课堂效率与教学模式独立，即课堂效率与教学模式无关． 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝eq \f(180×60×50－40×302,100×80×90×90)＝9＞6.635＝x0.01. 所以能根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为课堂效率与教学模式有关． ②样本中的B模式课堂和C模式课堂分别是4节和2节． 从中任取两节有Ceq \o\al(2,6)＝15种取法，其中至少有一节课为C模式课堂取法有Ceq \o\al(2,6)－Ceq \o\al(2,4)＝9(种)， 所以至少有一节课为C模式课堂的概率为eq \f(9,15)＝eq \f(3,5). (2)①设患肝病中常饮酒的人有x人， 则eq \f(x＋2,30)＝eq \f(4,15)，解得x＝6. 补充列联表如下： 患病状况 饮酒习惯 合计 常饮酒(Y＝0) 不常饮酒(Y＝1) 患肝病(X＝0) 6 2 8 不患肝病(X＝1) 4 18 22 合计 10 20 30 零假设为 H0：患肝病与常饮酒独立，即患肝病与常饮酒没有关系． 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝eq \f(30×6×18－2×42,10×20×8×22)≈8.523>7.879＝x0.005， 因此能根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为患肝病与常饮酒有关． ②设常饮酒且患肝病的男性为A，B，C，D，女性为E，F，则任取两人有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种，且每种发生的概率是相等的．其中一男一女有(A，E)，(A，F)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，共8种．故抽出一男一女的概率P＝eq \f(8,15). eq \a\vs4\al([方法技巧]) 已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是eq \f(3,5). 参考公式：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是eq \f(3,5)， 所以喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下： 性别 运动习惯 合计 喜欢户外运动(Y＝0) 不喜欢户外运动(Y＝1) 男性(X＝0) 20 5 25 女性(X＝1) 10 15 25 合计 30 20 50 (2)该公司男员工人数为eq \f(25,50)×650＝325(人)，则女员工有325人． (3)零假设为 H0：喜欢户外运动与性别独立，即喜欢户外运动与性别无关． 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝eq \f(50×20×15－10×52,30×20×25×25)≈8.333>7.879＝x0.005， 根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢户外运动与性别有关． 参考公式：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d. 根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为eq \f(22,110)＝0.2，女生中作肯定态度的频率为eq \f(22,60)≈0.37.作等高堆积条形图如图，其中两个灰色条形的高分别表示男生和女生中作肯定态度的频率，比较图中灰色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率，因此可以认为性别与态度有关系． 零假设为 H0：性别和态度之间独立，即性别和态度之间没有关系． 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝eq \f(170×22×38－22×882,110×60×44×126)≈5.622>3.841＝x0.05. 因此，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为性别和态度之间有关系． [解]　(1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率P＝1－eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,100),C\o\al(2,200))＝eq \f(100,199). (2)2×2列联表如下. 注射药物类别 皮肤疱疹面积 合计 疱疹面积小于70 mm2(Y＝0) 疱疹面积不小于70 mm2(Y＝1) 注射药物A(X＝0) a＝70 b＝30 100 注射药物B(X＝1) c＝35 d＝65 100 合计 105 95 n＝200 (3)零假设为 H0：注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积独立，即注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积没有差异． 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝eq \f(200×70×65－35×302,100×100×105×95)≈24.56＞6.635＝x0.01. 所以能根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”． (2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节，其中前三个环节每个环节生产合格的概率均为eq \f(1,2)，每个环节不合格需要修复的费用均为200元；第四个环节生产合格的概率为eq \f(2,3)，此环节不合格需要修复的费用为100元．问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？ 附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d. 零假设为 H0：试验是否成功与A材料和B材料的选择独立，即试验是否成功与A材料和B材料的选择没关系． 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝eq \f(60×28×10－2×202,48×12×30×30)≈6.667<7.879， 所以根据小概率值α＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断出H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为实验是否成功与A材料和B材料的选择无关． (2)设X为一次生产出石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用，则X的可能取值为0,100,200,300,400,500,600,700， P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq \f(2,3)＝eq \f(1,12)， P(X＝100)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq \f(1,3)＝eq \f(1,24)， P(X＝200)＝Ceq \o\al(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq \f(2,3)＝eq \f(1,4)， P(X＝300)＝Ceq \o\al(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq \f(1,3)＝eq \f(1,8)， P(X＝400)＝Ceq \o\al(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,4)， P(X＝500)＝Ceq \o\al(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,8)， P(X＝600)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3×eq \f(2,3)＝eq \f(1,12)， P(X＝700)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3×eq \f(1,3)＝eq \f(1,24)， E(X)＝0×eq \f(1,12)＋100×eq \f(1,24)＋200×eq \f(1,4)＋300×eq \f(1,8)＋400×eq \f(1,4)＋500×eq \f(1,8)＋600×eq \f(1,12)＋700×eq \f(1,24)＝333eq \f(1,3). 故一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要333eq \f(1,3)元的修复费用． $