7.3.2离散型随机变量的方差 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.2 离散型随机变量的方差 1. 离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 2. 均值的性质： 3. 随机变量X服从两点分布，则有 复习引入 E(X+Y)=E(X)+E(Y) (1)明取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值； (2)求概率：求X取每个值的概率； (3)画表格：写出X的分布列； (4)求均值：由均值的定义求出E(X) 求离散型随机变量的均值的步骤： 复习引入 3 问题2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 通过计算可得， 由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平. 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度. 问题探究 为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出X和Y的概率分布图. 0 6 7 10 9 8 P 0.1 0.2 0.3 0.4 X 0 6 7 10 9 8 P 0.1 0.2 0.3 0.4 Y 比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 思考：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度? 问题探究 我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的，所以我们可以用能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量随机变量的离散程度. X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 探究新知 设离散型随机变量X的分布列如下表所示. 随机变量X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方为 (x1－E(X))2， (x2－E(X))2 ，‧ ‧ ‧，(xn－E(X))2. 所以偏差平方的平均值为 我们把随机变量X的这个平均值称为随机变量X的方差，用D(X)表示. (x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2 p2＋‧ ‧ ‧＋(xn－E(X))2pn . 为什么要平方？ 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 离散型随机变量的方差： 为随机变量X的方差， 有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X). 概念形成 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 有方差 为什么还要标准差？ 问题2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 问题探究 解： ∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差. 解：随机变量X的分布列为 典例分析 复杂！ 在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论. 证明： 探究新知 解2：随机变量X的分布列为 例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差. 典例分析 说明: 方差的计算需要一定的运算能力，在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失为一种比较实用的方法． 求离散型随机变量方差的步骤 (1)明取值：理解随机变量 X 的意义，写出 X 的所有取值； (2)求概率：求出 X 取每个值的概率； (3)画表格：写出 X 的分布列； (4)求均值：计算E( X )； (5)求方差：计算D( X )． 总结提升 方差的性质： 探究：离散型随机变量X加上一个常数方差会有怎样的变化? 离散型随机变量X乘以一个常数, 方差又有怎样的变化? 它们和期望的性质有什么不同? 探究新知 一般地，可以证明下面的结论成立： 解： 1. 已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 求D(X)和σ(2X＋7). 小试牛刀 2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定． (　　) (2)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度． (　　) (3)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平． (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3) √　(4) × 小试牛刀 4．若D(ξ)＝1，则D(ξ－D(ξ))＝________. 解析：D(ξ－D(ξ))＝D(ξ－1)＝D(ξ)＝1. 答案：1 小试牛刀 例2 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示. 股票A收益的分布列 股票B收益的分布列 收益X /元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益Y /元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 投资哪种股票的期望收益大? (2) 投资哪种股票的风险较高? 典例分析 解： ∵E(X)>E(Y) ∴ 投资股票A的期望收益较大 ∵D(X)>D(Y) ∴ 投资股票A的风险较高 随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度. 在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释. 例如，如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低；等等. 总结提升 1.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位: cm)的分布列如下: 甲班的目测误差分布列 X －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断. 乙班的目测误差分布列 Y －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 解：直观的观察可判断X的离散程度较大，下面用方差验证. ∵D(X)>D(Y) ∴ X的分布离散程度较大 巩固练习 2.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息: 解：据已知分布列可得 甲单位不同职位月工资X /元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X /元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ ∴如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位. 巩固练习 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的水平高. (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定. (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论. 总结提升 3.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个互相独立的随机变量与，且，的分布列为： (1)求的值； (2)计算的期望与方差，并依次分析甲、乙技术状况. 解：(1)由离散型随机变量分布列的性质得，解得.同理，解得. (2)，， .由于，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势. 3 3 巩固练习 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号． (1)求X的分布列、均值和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值． 当堂检测 巩固练习 1. 离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， 3. 方差的性质： 则称 为随机变量X的方差，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X). 课堂小结 2. 方差的计算公式： 求离散型随机变量方差的步骤 (1)明取值：理解随机变量 X 的意义，写出 X 的所有取值； (2)求概率：求出 X 取每个值的概率； (3)画表格：写出 X 的分布列； (4)求均值：计算E( X )； (5)求方差：计算D( X )． 课堂小结 (4)若随机变量X的方差D(X)＝eq \f(2,3)，则D(2x＋1)＝2×eq \f(2,3)＝eq \f(4,3). (　　) 答案：eq \f(1,3) 3．已知随机变量ξ，D(ξ)＝eq \f(1,9)，则ξ的标准差为________． 解析：ξ的标准差eq \r(Dξ)＝eq \r(\f(1,9))＝eq \f(1,3). [解]　(1)X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P eq \f(1,2) eq \f(1,20) eq \f(1,10) eq \f(3,20) eq \f(1,5) ∴E(X)＝0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(1,20)＋2×eq \f(1,10)＋3×eq \f(3,20)＋4×eq \f(1,5)＝1.5. D(X)＝(0－1.5)2×eq \f(1,2)＋(1－1.5)2×eq \f(1,20)＋(2－1.5)2×eq \f(1,10)＋(3－1.5)2×eq \f(3,20)＋(4－1.5)2×eq \f(1,5)＝2.75. (2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2. 又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4， 综上所述eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝4.)) $