7.1.1条件概率 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 概率是随机事件发生可能性大小的度量. 在必修课程的概率学习中，我们结合古典概型，研究了简单随机事件及其概率的计算方法，并讨论了概率的一些性质. 本章将在此基础上，结合古典概型，研究随机事件的条件概率，建立概率的乘法公式和全概率公式，并用它们计算较复杂事件的概率. 为了利用数学工具，并以简洁、统一的形式研究随机试验的规律，本章我们还将把随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念. 对离散型随机变量，我们主要研究其分布列及数字特征，并对二项分布、超几何分布进行重点研究. 对于连续型随机变量，我们只研究服从正态分布的情况. 通过用随机变量描述和分析随机试验，解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点. 本章导语 7.1 条件概率与全概率公式 7.1.1 条件概率 在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件A与B同时发生(积事件AB)的概率的问题. 当事件A与B相互独立时，有 P(AB)＝P(A)P(B). 如果事件A与B不相互独立，如何表示积事件AB的概率呢? 下面我们从具体问题入手. 问题探究 问题1 某个班级有 45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示. 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 在班级里随机选择一人做代表. (1) 选到男生的概率是多少? (2) 如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少? 问题探究 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 在班级里随机选择一人做代表. (1) 选到男生的概率是多少? (2) 如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少? 随机选择一人做代表，则样本空间Ω包含45个等可能的样本点. 用A表示事件“选到团员”，B表示事件“选到男生” ，根据表中的数据可得 n(Ω)=45, n(A)=30, n(B)=25. (1) 根据古典概型知识可知，选到男生的概率为 问题探究 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 在班级里随机选择一人做代表. (2) 如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少? (2)“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A) . 此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16.根据古典概型知识可知， 问题探究 思考1：事件A的发生是如何改变样本空间的？ 问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭、随机选择一个家庭，那么 (1) 该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大? (2) 如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大? 用a表示男孩，b表示女孩，则样本空间Ω＝{aa, ab, ba, bb}，且所有样本点是等可能的. 用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，B表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则 A＝{ab, ba, bb}，B＝{bb}. (1) 根据古典概型知识可得，两个小孩都是女孩 的概率为 问题探究 (2)“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A) . 此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB，根据古典概型知识可知， 问题探究 问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭、随机选择一个家庭，那么 (2) 如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大? 思考2：为什么两问中的概率不一样，是什么造成的？ 事实上，如图所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间. 此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即 ∴在事件A发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过 来 计算. 抽象概念 思考3：结合以上两个问题和下图，你能探索出“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率P(B|A)与P(A)，P(B)，P(AB)之间的关系吗？ 条件概率： 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 由这个定义可知，对任意两个事件A，B，若P(A)>0，则有 我们称上式为为概率的乘法公式. 抽象概念 不仅限于古典概率 你还记得概率的加法公式吗？ 联系：事件A, B都发生了. 区别：(1) 在P(B|A)中，事件A, B发生有时间上的差异，A先B后；在P(AB)中，事件A, B同时发生. (2) 样本空间不同，在P(B|A)中，事件A成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω. 因此有P(B|A) ≥ P(AB). 课堂探究 思考4：概率P(B|A)与P(AB)有什么区别和联系？ Ω A B AB 探究 在问题1和问题2中，都有P(B|A) ≠ P(B). 一般地，P(B|A)与P(B)不一定相等. 如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件? 直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于P(B|A)＝P(B)成立. 事实上，若事件A与B相互独立，即P(AB)＝P(A)P(B)，且P(A)>0，则 课堂探究 反之，若P(B|A)＝P(B)，且P(A)>0，则 即事件A与B相互独立. 因此当P(A)>0 时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B)成立. 课堂探究 探究 在问题1和问题2中，都有P(B|A) ≠ P(B). 一般地，P(B|A)与P(B)不一定相等. 如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件? (1)“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB. 从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，则 例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回. 求: (1) 第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率; (2) 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 设A＝“第1次抽到代数题”，B＝“第2次抽到几何题”. 解： 典例精讲 例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回. 求: (1) 第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率; (2) 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. (2)“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率. 典例精讲 由于 已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道. 因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为 解法2：(在缩小的样本空间A上求P(B | A)) 设A＝“第1次抽到代数题”，B＝“第2次抽到几何题”. ∴第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为 典例精讲 1、从例1可知，求条件概率有两种方法： ① 基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式求P(B|A)； ② 根据条件概率的直观意义, 增加了“A发生”的条件后, 样本空间缩小为A, 求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率. 2、条件概率只是缩小了样本空间, 因此条件概率同样具有概率的性质. 设P(A)>0，则条件概率的性质为： 总结提升 例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张. 他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗? 解： 用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件， 事实上，在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关. 典例精讲 则 例3 银行储蓄卡的密码由 6位数字组成. 某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字. 求: (1) 任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； (2) 如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率. 解： (1) 设Ai＝“第i次按对密码”(i＝1, 2)，则事件“不超过2次就按对密码”可表示为 典例精讲 例3 银行储蓄卡的密码由 6位数字组成. 某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字. 求: (1) 任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； (2) 如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率. (2) 设B＝“最后1位密码为偶数”，则 典例精讲 判断正误 (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1. (　　) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生． (　　) 答案：(1) ×　(2) √ 牛刀小试 解： 课本48页 由此可得， A发生，则B一定发生 巩固练习 2. 从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回，已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率. 设第1次抽到A牌为事件A，第2次抽到A牌为事件B，则 解： ∴在第1次抽到A牌的条件下，第2次抽到A牌的概率为 巩固练习 3. 袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球. 每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 求:(1) 在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率； (2) 两次都摸到白球的概率. 设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，则 解： ∴在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为 ∴两次都摸到白球的概率为 巩固练习 课堂小结 什么是条件概率？条件概率与积事件的概率有什么区别和联系？ 求条件概率一般有几种方法？ 条件概率有哪些性质？如何运用这些性质求较复杂事件的概率？ $