6.3.1二项式定理 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.1 二项式定理 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3. 你能写出(a＋b)22的展开式吗？ 情境创设 大胆猜想：(a＋b)n的展开式具有一般规律. 问题1 你认为应如何探究(a＋b)n的展开式的一般规律呢？ 从特殊到一般 规律探究 追问1 你能利用多项式的乘法法则，写出(a＋b)2展开式的推导过程吗？ (a＋b)2 =(a＋b)(a＋b) =aa＋ab＋ba＋bb =a2＋2ab＋b2 规律探究 (a＋b)(a＋b)=aa＋ab＋ba＋bb 追问2 在合并同类项之前，共几项？每一项是如何得到的？ 你能写出每一项的一般形式吗？ a2 a1b1 a0b2 b1a1 a2-kbk(k=0,1,2) b0 规律探究 追问3 在合并同类项之后，形如a2-kbk的同类项共有几类？每类个数分别是多少？ a2b0 a1b1 a0b2 因此，(a＋b)2= a2＋ ab＋ b2 分类讨论 1 2 1 规律探究 独立完成 请仿照上述过程，写出(a＋b)3展开式. (a＋b)2= a2＋ ab＋ b2 (a＋b)3= a3＋ a2b＋ ab2＋ b3 问题2 你能发现展开式的规律吗？ 类比 提示： 合并同类项之前有几项？每一项的形式是什么？ 合并同类项之后有几类？每一类的个数是多少？ 规律探究 (a＋b)2= a2＋ ab＋ b2 (a＋b)3= a3＋ a2b＋ ab2＋ b3 项数 字母组成 系数 (a＋b)2 (a＋b)3 3 4 a2 ab b2 a3 a2b ab2 b3 追问1 根据以上规律，你能直接写出(a＋b)4的展开式吗？ (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 (a＋b)4＝_________________________ …… (a＋b)n＝________________________________ a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 归纳猜想 ？ 定理推导 追问2 你能利用多项式乘法法则和计数原理说明上述猜想的正确性吗？ 提示： 从哪些方面说明展开式的正确性？ 如何利用a2-kbk建立多项式乘法法则与计数原理之间的联系？ 二项展开式的要素是哪几个？ —通项公式. 上述公式叫做二项式定理. 二项展开式：等式右边的多项式. 二项式系数: . 通项: . 定理推导 归纳 定理理解 问题3 你能说一说二项展开式的结构特征吗？ 1.系数规律： 2.指数规律： (1)各项的次数均为n； (2)a的指数从n递减到0，b的指数从0递增到n. 3.项数规律： 共有n+1项. 4.通项公式: 二项展开式中的系数、指数、项数的变化，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项、特定项系数，以及数、式的整除方面有广泛应用. 定理理解 追问 你觉得二项式定理中的a、b,一定是数吗？ 公式中的a、b,可以是任意的数或代数式. 公式中字母可变，结构不变. (1+x)n= 从函数的观点看这个展开式，它就是一个 一元n次多项式函数. 定理应用 解：根据二项式定理， 先变形 再展开 定理应用 例2、求(1+2x)7的展开式中，第4项、第4项的二项式系数、第4项的系数. 解： (1+2x)7的展开式的第4项是 该项的二项式系数为 =35, 系数为280. 不同概念！ 利用通项公式求第k项 总结提升 求展开式时: 先变形再展开更加简便 求第k项时: 可直接利用通项公式 方法技巧： 易错易混： 要区分“系数”和“二项式系数” 要注意第k+1项是Tk+1 定理应用 解： 该项的二项式系数为6. 常数项为-160. 待定系数 课堂小结 多项式 乘法法则 计数原理 二项式定理 求展开式 先变形再展开 求某一项 通项公式 待定系数 展开式 系数规律 指数规律 项数规律 通项公式 归纳 类比 特殊与一般 ！ “系数”----“二项式系数” Tk+1是第k+1项 (1)整理本节课内容； (2)课本P31的练习1——5题； (3)课本P34的习题6.3的1、2、3、4、6题； (4)预习下一节内容. 课后作业 $