6.2.3组合、6.2.4组合数 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.3 组合 6.2.4 组合数 6.2 排列与组合 2. 全排列数: 1. 排列数公式： 3.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘， 用 表示, 即 排列数公式的阶乘形式： 复习回顾 互不相邻问题用插空法 相邻问题用捆绑法 1. 排列数公式： 探究 (1) 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ (2) 甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 思考1上述两个问题有什么联系与区别？ 探究(2)所提出的问题，我们可以把它概括为： 甲乙，甲丙，乙丙. 从3个不同的元素中取出2个作为一组，一共有多少个不同的组？ 这里的每一组与顺序无关，我们把这种问题称为组合问题. 创设情境 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列. 概念抽象 思考2如何判断两个组合相同？ 元素相同 组合 排列 甲乙 甲丙 乙丙 甲乙、乙甲 乙丙、丙乙 甲丙、丙甲 思考3排列、组合有什么区别和联系？ 共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合“与顺序无关”. 例如: ab与ba是两个不同的排列，但却是同一个组合. 概念辨析 判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1) 从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2) 从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个,组成一个集合，这样的集合有多少个？ (3) 10支球队进行单循环赛(每两队比赛一次),共需进行多少场次的比赛？ (4) 10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？ 概念辨析 排列问题 组合问题 组合问题 排列问题 例5 平面内有A，B，C，D共4个点. (1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条? 解： 概念应用 类比排列数，我们引进组合数概念： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 或 表示. 组合的第一个字母 元素总数 取出元素数 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 例如，从3个不同元素中任取2个元素的组合数为 从4个不同元素中任取3个元素的组合数为 类比定义 思考： 探究 前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢? 3个不同元素a, b, c中取出2个共有ab, ac, bc 3个不同的组合， 4个不同元素a, b, c, d中取出3个共有abc, abd, acd, bcd 4个不同的组合， 4个不同元素a, b, c, d中取出3个元素的排列数为 3个不同元素a, b, c中取出2个元素的排列数为 下面我们就来探究 公式探究 从3个不同元素a, b, c中取出2个元素 从4个不同元素a, b, c, d中取出3个元素 组合 ab 排列 ac bc ab ba ac ca bc cb 由此可得 组合 abc 排列 abd acd abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bcd bdc cbd cdb dbc dcb 由此可得 公式探究 这里的n, m∈N*，并且m≤n， 这个公式叫做组合数公式. 另外，我们规定 所以上面的公式还可以写成 公式探究 解： 例6 计算： 典例探究 例6 计算： 思考 此关系是否具有一般性？ 性质1 性质2 典例探究 性质1 性质2 组合数的性质： 公式性质 写成阶乘 约分通分 例7 在100件产品中, 有98件合格品, 2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (1) 有多少种不同的抽法? (2) 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 解： (1) 所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为 (2) 从2件次品中抽出1件的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 典例探究 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 例7 在100件产品中, 有98件合格品, 2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 解1(直接法)： 解2(间接法)： 抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即 典例探究 解： 1. 计算： 课本P25 巩固训练 2. 现有1, 3, 7, 13这4个数. (1) 从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和? (2) 从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差? 解：(1) 不相等的和为4, 8, 14, 10, 16, 20，共6个. (2) 不相等的差为－2, －6, －12, 2, －4, －10, 6, 4, 12, 10，共10个. 课本P22 巩固训练 证明： 3. 求证： 课本P25 巩固训练 4. 有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩. (1) 共有多少种不同的选法? (2) 如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法? (3) 如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法? 解： 课本P25 巩固训练 平均分成的每一组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以组数的全排列，即 例1 把abcd分成平均两组，共有_____种分法. ab cd ac bd ad bc cd bd bc ad ac ab 这两个在分组时只能算一个，故分组方法有 排列组合中的分堆问题—平均分组问题 3 变式 把6人分成平均三组，共有_____种分法. 15 总结： 1. 均分不安排任务的问题 例2 现有12本不同的书. （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？ 解： 2. 均分安排任务的问题 例3（1）6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三个人，有 多少种不同的分法？ （2）12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五个人有多少种不同的分法？ 解： 例4 现有6本不同的书. (1) 按1:2:3分成三堆有多少种不同的分法？ (2) 按1:2:3分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的分法？ 4. 非均分组问题 解： 变式 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条件，各有多少种不同的分法？ （1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本· 4. 非均分组问题 解： 组合定义 排列与组合的区别和联系 组合数公式 组合数的性质 课堂小结 $