6.2.1排列课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.1 排列 6.2 排列与组合 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 注意点 用来计算完成一件事的方法种数 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事） 类类独立、不重不漏 步步相依、缺一不可 分类、相加 分步、相乘 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 复习回顾 关于两个原理的解题步骤： 复习回顾 根据题意，理解要完成的一件事是什么 分类，分步，或者分步分类相结合 根据两个原理计数 得出结论 在上节例8的解答中我们看到，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐. 能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢? 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 由分类加法计数原理可得，不同的选法有 3×2＝6 种，所有的排法如下： 乙 乙 丙 甲 下午 丙 乙 甲 上午 相应的选法 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 甲 丙 问题探究 先取后排或边取边排 如果把上面问题中被取的对象叫做元素， 那么问题可叙述为： 从3个不同元素a, b, c 中任取2个，然后按一定顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法 ？ 所有不同排列是 ab , ac , ba , bc , ca , cb . 不同的排列方法种数为 3×2＝6 . 问题探究 问题2 从1, 2, 3, 4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数? 由分步乘法计数原理可得，不同的三位数有 4×3×2＝24 个，树状图如下： 1 2 3 4 3 4 2 4 2 3 百位 十位 个位 2 1 3 4 3 4 1 4 1 3 3 1 2 4 2 4 1 4 1 2 4 1 2 3 2 3 1 3 1 2 问题探究 由此可写出所有的三位数： 123 124 132 134 142 143 213 214 231 234 241 243 312 314 321 324 341 342 412 413 421 423 431 432 问题探究 同样，问题2可以归结为: 从4个不同的元素a, b, c, d中任意取出3个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法? 所有不同排列是 不同的排列方法种数为 4×3×2＝24 . abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement). 思考1 上述问题1, 2的共同特点是什么? 你能将它们推广到一般情形吗? 排列： 问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数. 我们把这种计数方法称为排列. 概念抽象 排列的定义中包含两个基本内容： 一是“不同元素”；二是“按照一定顺序”． “一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要依据． 根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同． 概念辨析 思考2 如何判断两个排列是否相同? 概念辨析 是 不是 不是 是 是 排列中元素所满足的两个特性 无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题． 有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列． 而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．　　 总结提升 例1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛? 分析: 我们要完成一件什么事情？这件事情的完成与顺序有关吗？ 解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队. 按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为 6×5＝30. 概念应用 步骤：判断是否为排列问题⇒应用两个计数原理 解：(1) 可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙. 按分步乘法计数原理，不同的取法种数为 5×4×3＝60. (2) 可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法. 按分步乘法计数原理，不同的选法种数为 5×5×5＝125. 例2 (1) 一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法? (2) 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法? 概念应用 分析: 两个问题的区别是什么？ 概念应用 概念应用 “树形图”适用范围及策略 适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式． 策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．　　 总结提升 2、写出: (1) 用0~4这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数； (2) 从a，b，c，d中取出2个字母的所有排列. 解：(1) 10 12 13 14 20 21 23 24 30 31 32 34 40 41 42 43共16个. (2) ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc 共12 个. 3、一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序? 解：4×3×2×1＝24 (种). 概念应用 心中有顺序，下笔无顾虑 3、学校乒乓团体比赛采用5场3胜制 (5 场单打)，每支球队派3名运动员参赛，前3场比赛每名运动员各出场1次，其中第1，2位出场的运动员在后2场比赛中还将各出场1次. (1) 从5名运动员中选3名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况? (2) 甲、乙、丙3名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况. 解：(1) 5×4×3＝60 (种). 概念应用 ③打5场比赛：甲乙丙甲乙 甲乙丙乙甲 甲丙乙甲丙 甲丙乙丙甲 乙甲丙乙甲 乙甲丙甲乙 乙丙甲乙丙 乙丙甲丙乙 丙甲乙丙甲 丙甲乙甲丙 丙乙甲丙乙 丙乙甲乙丙. 概念应用 (2) 可分为三类： ① 打3场比赛：甲乙丙 甲丙乙 乙甲丙 乙丙甲 丙甲乙 丙乙甲； ② 打4场比赛：甲乙丙甲 甲乙丙乙 甲丙乙甲 甲丙乙丙 乙甲丙乙 乙甲丙甲 乙丙甲乙 乙丙甲丙 丙甲乙丙 丙甲乙甲 丙乙甲丙 丙乙甲乙； 共3×2×1+3×2×1×2+3×2×1×2×1=30（种） 4、为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为 (　　) A．216 B．480 C．504 D．624 解析：当课程“御”排在第一周时，有5×4×3×2×1＝120种排法；当课程“御”“乐”均不排在第一周，且“御”不排在最后一周时，有4×4×4×3×2×1＝384种排法．综上，所有可能的排法种数为120＋384＝504.故选C. 答案：C　 概念应用 特殊元素，优先考虑 B C B 当堂检测 1．从1，2，3，4四个数字中，任选两个数进行加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，其中可以看作排列问题的运算有(　　)A．1种　　　B．2种　　　C．3种　　　D．4种 2．信号兵有3种不同颜色的旗子各1面，每次打出3面，最多能打出不同的信号(　　)A．1种 B．3种 C．6种 D．27种 3．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是(　　)A．8 B．12 C．16 D．24 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 注意排列的两个关键要素：元素互异，元素按顺序排列. 排列的简单计算：树状图分析、列举、分步乘法计数原理. 课堂小结 边取边排 判断下列问题是否为排列问题： (1)选2个小组分别去植树和种菜； (2)选2个小组种菜； (3)选10人组成1个学习小组； (4)从1，2，3，4，5中任取2个数相除； (5)10个车站，站与站间的车票． 1、写出下列问题的所有排列： (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？请写出这些两位数． (2)四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们用树形图表示出来． 解：(1)画树形图如下： 故所有两位数为：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43.共12个． INCLUDEPICTURE "数学·选择性必修三（人教A版）/M4.TIF" \* MERGEFORMAT 解：(2)先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24(种). 1、写出下列问题的所有排列： (2)四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们用树形图表示出来． $