6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2） 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第六章 计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 注意点 用来计算完成一件事的方法种数 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事） 类类独立、不重不漏 步步相依、缺一不可 分类、相加 分步、相乘 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 复习回顾 关于两个原理的解题步骤： 复习回顾 根据题意，理解要完成的一件事是什么 分类，分步，或者分步分类相结合 根据两个原理计数 得出结论 例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1 ~9，最多可以给多少个程序命名？ 解: 由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为 7＋6＝13. 后两个字符从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9. 由分步乘法计数原理，不同名称的个数是 13×9×9＝1053， 即最多可以给1053个程序模块命名. 典例精讲 例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1 ~9，最多可以给多少个程序命名？ 解2: 首字符用A~G给程序命名的个数为 7×9×9＝567. 首字符用U~Z给程序命名的个数为 6×9×9＝486. ∴总的不同名称的个数是 567＋486＝1053. 思考 你还能给出不同的解法吗? 典例精讲 例6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态. 因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制. 为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成. (1) 1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符? (2) 计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示? 典例精讲 例6 (1) 1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符?(2) 计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示? 解: (1) 由分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同的字符个数是2×2×2×2×2×2×2×2＝28＝256. (2) 由(1)知，1个字节最多可以表示256个不同的字符，则2个字节最多就可以表示256 ×256＝65536>6763，所以每个汉字至少要用2个字节表示. 典例精讲 例7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试. 程序员需要知道到底有多少条执行路径(程序从开始到结束的路线)，以便知道需要提供多少个测试数据. 一般地，一个程序模块由许多子模块组成. 下图是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径? 典例精讲 典例精讲 解：由程序模块可得，执行路径条数有 (18＋45＋28)×(38＋43)＝7371. 例7 另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数. 你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗? 解：为了减少测试次数，可单独测试5个模块和模块1,2,3与模块4,5之间的信息交流是否正常即可，这样测试的次数只有 (18＋45＋28 ＋38 ＋43)+(3×2)＝178 (次). 典例精讲 例8 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成: 第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示. 其中，序号的编码规则为: (1) 由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成； (2) 最多只能有2个英文字母. 如果某地级市发牌机关 采用5位序号编码，那么 这个发牌机关最多能发放 多少张汽车号牌? 典例精讲 例8 (1) 由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；(2) 最多只能有2个英文字母. 如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那 么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌? 解：当序号中没有字母时，号牌张数为 105＝100000. 当序号中有1位字母时，号牌张数为5×24×104＝1200000. 当序号中有2位字母时，号牌张数为10×242×103＝ 5760000. 所以这个发牌机关最多能发的汽车号牌张数为7060000. 典例精讲 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点: (1) 要完成的“一件事”是什么; (2) 需要分类还是需要分步. 分类要做到“不重不漏”. 分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数. 分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务. 分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数. 总结提升 综合运用分类分步，能将复杂问题转化为简单问题 6 (6) - 练习2 运动会有跳高、跑步、游泳三个比赛项目，某班有四名同学报名参赛，要求每名同学只能参加一个项目，不同的报名方式共有（ ） A. 4种 B. 24种 C. 43种 D. 34种 练习1 四名同学，争夺三项冠军(每项没有并列冠军)，则冠军获得者可能有的种类是（ ） A. 4 B. 24 C. 43 D. 34 C D 练习3 从5件不同的礼物中挑出4件送给4位同学，每人一件，有多少种不同的送法？ 同学挑礼物，不可重复 5×4×3×2=120（种） 巩固训练 冠军挑同学，可重复 同学挑项目，可重复 练习4 长方形的两条对角线把长方形分成四部分，如图用五种不同的颜色给这四部分涂色，每一部分涂一种颜色，任何相邻（具有公共边）的两部分涂不同颜色，问有多少种不同的涂色方法？ A B C D 解1： 若A, C同色，则不同的涂色方法有 5×4×4＝80 (种). (2) 若A, C不同色，则不同的涂色方法有 5×4×3×3＝180 (种). 综上，由分类加法计数原理得： 共有80＋180＝260 (种). 巩固训练 由题意，A, C可同色，可不同色， 解2：由题意四部分最多涂4种颜色，最少涂2种颜色， 若涂4种颜色，则不同的涂色方法有 5×4×3×2＝120 (种). (2) 若涂3种颜色，则不同的涂色方法有 5×4×3×2＝120 (种). (3) 若涂2种颜色，则不同的涂色方法有 5×4＝20 (种). 综上，由分类加法计数原理得： 共有120＋120＋20＝260 (种). 练习4 长方形的两条对角线把长方形分成四部分，如图用五种不同的颜色给这四部分涂色，每一部分涂一种颜色，任何相邻（具有公共边）的两部分涂不同颜色，问有多少种不同的涂色方法？ A B C D 巩固训练 解1： 变式 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，使同一条棱的两端点异色，如果只有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是多少？ S A B C D 若A, C同色，则不同的染色方法有 5×4×3×3＝180 (种). (2) 若A, C不同色，则不同的染色方法有 5×4×3×2×2＝240 (种). 所以不同的染色方法共有180＋240＝420 (种). 巩固训练 由题意，A, C可同色，可不同色， 解2： 由题意五个点最多涂5种颜色，最少涂3种颜色， 若染5种颜色，则不同的染色方法有 5×4×3×2×1＝120 (种). (2) 若染4种颜色，则不同的染色方法有 5×4×3×2×2＝240 (种). (3) 若染3种颜色，则不同的染色方法有 5×4×3＝60 (种). 所以不同的染色方法共有120＋240＋60＝420 (种). 变式 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，使同一条棱的两端点异色，如果只有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是多少？ S A B C D 巩固训练 关于两个原理的解题步骤： 课堂小结 根据题意，理解要完成的一件事是什么 分类，分步，或者分步分类相结合 根据两个原理计数 得出结论 $