第六章-6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2024-2025学年高二数学人教A版2019选择性必修第三册基础练习作业及答案

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、单选题 1.一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（ ） A. 20种  B. 9种  C. 5种  D. 4种 2.甲、乙、丙等六位同学参加校园安全知识决赛，决出第一名到第六名的名次，甲乙两人向老师询问成绩。老师对甲说：“你的成绩没有乙、丙的成绩高。”对乙说：“很遗憾，你不是第一名。”根据以上信息，6人的名次排列的情况有（ ） A. 300种  B. 120种  C. 240种  D. 480种 3.无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演。它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果。如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合。 A. 6  B. 9  C. 15  D. 18 4.从1, 2, 3, …, 15中，甲、乙两人各取一数（不重复），已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是（ ） A.   B.   C. 1  D. 5.甲、乙两人计划分别从“围棋”“篮球”“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ） A. 3种  B. 6种  C. 9种  D. 12种 6.某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（ ） A. 60种  B. 54种  C. 48种  D. 36种 二、多选题 7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为（），则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去。某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则（ ） A. 三次骰子后所走的单位数可以是12 B. 三次骰子的点数之和只可能有两种结果 C. 三次骰子的点数之和超过10的走法有6种 D. 回到点A处的所有不同走法共有24种 8.2025年春节档共上映6部电影，全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录。其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座。小数想要观看这6部电影，则（ ） A. 若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序 B. 若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序 C. 若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式 D. 若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式 9.如图，用种不同的颜色把图中A, B, C, D, E五块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（ ） A. B. 当时，若B, D同色，共有48种涂法 C. 当时，若B, D不同色，共有48种涂法 D. 当时，总的涂色方法有420种 三、填空题 10.立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果，王老师的果篮有草莓、苹果、芒果3种水果，李老师的果篮里有苹果、樱桃、香蕉、猕猴桃4种水果，小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果，小华拿到两种不同水果的情况有______种。 11.将A, B, C三个人随机安排到甲、乙、丙、丁这四个部门工作，已知甲部门一定有人，则不同的安排方法种数是______。 12.如图，对A、B、C、D、E五块区域涂色，现有5种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有______种。 四、解答题 13.新高考改革后江苏省采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一门；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门。 (1) 若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数； (2) 某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试，满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布。 ① 估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有多少人； ② 某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度。 附：，， 14.一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分，在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能得出正确答案的概率分别为、、，且每题答对与否相互独立。 (1) 当时，求考生填空题得满分的概率； (2) 若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求的值。 15.如图，已知四棱锥。 (1) 从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数； (2) 从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数。 一、单选题 1.答案：B 解析：两层书架共有 本不同读物，取1本的不同取法为分类加法计数，共 9种。 2.答案：D 解析：根据题意，甲的名次低于乙、丙，且乙不是第一名。 第一名只能是丙或其他3人（非甲乙丙），共 种选择。 剩余5人（含甲、乙）全排列，即 种。 总排列数： 种。 3.答案：A 解析： 1-5号同色：3种选择。 7-8号同色：需与1-5号不同，有2种选择。 6号颜色需与所有其他不同，仅剩1种选择。 总组合数： 种。 4.答案：A 解析：甲取到5的倍数（5,10,15），共3种情况。 样本空间：甲取3个数，乙取剩余14个数，共 种。 满足甲数>乙数的情况：甲=5时4种，甲=10时9种，甲=15时14种，共27种。 概率： 5.答案：C 解析： 甲只选一门：3种选择。 乙至少选一门且不与甲同：乙可选剩余2门的组合（选1门或2门），共 种。 总方式： 种。 6.答案：D 解析：四个区域分配给3人，每人至多2个区域，即分组为2,1,1。 选1人负责2个区域： 种，选区域： 种，剩余区域排列： 种。 总方案数： 种 二、多选题 7.答案：BC 解析：正方形周长为8（边长2×4），三次总步数需为8的倍数（8,16,24）。 A错误：12非8的倍数；B正确：和为8或16；C正确：和为16的走法有6种；D错误：总走法多于24种。 8.答案：BD 解析： A错误：捆绑法计算为 种；B正确：半排列数为 种； C错误：无顺序分组为 种；D正确：分2组（1+5,2+4,3+3）共 种。 9.答案：ABD 解析： A正确：至少需3色；B正确：B、D同色时，涂法为 种； C错误：B、D不同色时，涂法为 种（注：原解析有误，正确为48种）；D正确： 时总涂法为420种。 三、填空题 10.答案：11 解析：总选法 种，重复选苹果的情况1种，故不同水果为 种。 11.答案：37 解析：总安排数 种，甲部门无人的安排数 种，故甲部门有人的安排数 种。 12.答案：780 解析：环形区域涂色，分步计算： A：5种，B：4种，C：3种，D：3种（≠C），E：3种（≠A、D），总涂法 种； 若D=A，E：4种，涂法 种；总计 种。 四、解答题 13.解： (1) 甲乙恰有四门学科相同，分两种情况： 情况1：“1”选科相同，“2”选科中恰有1门相同 确定“1”选科相同的科目 “1”选科有物理、历史2种选择，故甲、乙均选物理或均选历史，共 种选法。 计算“2”选科中恰有1门相同的组合数 从4门科目（生物、化学、政治、地理）中选2门的总组合数为 种。 甲乙“2”选科恰有1门相同的选法为： 先选1门相同科目： 种； 甲从剩余3门中选1门，乙从剩余2门中选1门（确保另一门不同）： 种。 因此，“2”选科恰有1门相同的组合数为 种。 情况1总数 情况2：“1”选科不同，“2”选科全相同 确定“1”选科不同的科目 甲选物理、乙选历史，或甲选历史、乙选物理，共 种选法。 计算“2”选科全相同的组合数 甲乙“2”选科完全相同，即从4门中选2门，甲选后乙必须选相同的2门，组合数为 种。 情况2总数 总选法种数 将两种情况的结果相加： (2) ① ，，，人数 人。 ② ，200人中期望 人，实际10人远高于期望，所以宣传不可信。 14.解： (1) 步骤一：分析得满分的条件 要使得填空题得满分，由于第一道题考生都能完全答对，那么后三道题也需要全部答对。 步骤二：确定各事件及概率 设“第一道题答对”为事件，“第二道题答对”为事件，“第三道题答对”为事件，“第四道题答对”为事件。 已知第一道题考生都能完全答对，即；当时，，， ，且、、、相互独立。 步骤三：计算得满分的概率 因为事件相互独立，根据独立事件概率的乘法公式：若事件、相互独立，则 ，那么考生填空题得满分（即、、、都发生）的概率为： 综上，当时，考生填空题得满分的概率为 。 (2) 得10分（对2题）与得15分（对3题）概率相等，列方程： 解得 15.解： (1) 从5色选3色，涂顶点S、A、B、C、D，要求同棱异色。 选色： 种； 涂色：S（3种）→ A（2种）→ B（1种）→ C（1种，同A）→ D（1种，同B），总方法数 种。 (2)从5色选4色，必有一组对角顶点同色（A-C或B-D）。 选色： 种，选同色组：2种（A-C或B-D）； 涂色：S（4种）→ A（3种）→ B（2种）→ C（同A，1种）→ D（同B，1种），总方法数 种。 学科网（北京）股份有限公司 $$