6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1） 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦分类加法与分步乘法计数原理，以“座位编号”等生活问题导入，通过思考探究逐步抽象原理，结合例题、变式练习构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解两类原理的逻辑脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实计数问题，用“并联电路”“串联电路”类比原理差异，通过对比表格、树状图等数学语言清晰呈现联系与区别。典例如选专业、书架取书等贴近生活，培养学生逻辑推理与应用意识，助力教师高效开展概念教学与能力训练。

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第六章 计数原理 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法. 但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高. 能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢? 思考1： 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码? 因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10 个，所以总共可以编出26+ 10=36种不同的号码. 课堂导入 探究 你能说一说这个问题的特征吗? 首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现: 一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示. 因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到号码的总数. 这里的“或”代表分类. 课堂探究 上述计数过程的基本环节是： (1) 确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类； (2) 分别计算各类号码的个数； (3) 各类号码的个数相加，得出所有号码的个数. 我们把这种计数方法称为分类加法计数原理. 课堂探究 一般地，有如下分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法 N＝m＋n 分类加法计数流程 注意：两类不同方案中的方法不相同。 课堂探究 如果完成一件事有n类不同方案, 在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为: N＝m1＋m2＋…＋mn 分类加法计数原理推广 课堂探究 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表. 如果这名同学只能只能选一个专业，那么他共有多少种选择？ A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所. 在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法. 因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为 典例精讲 正确理解分类（加法）计数原理： ① 分类加法计数原理针对的是“分类”问题， ② 完成一件事要分为若干类， ③ 各类的方案相互独立， ④ 各类中的各种方法也相对独立， ⑤ 用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 总结提升 …… A B m1 m2 mn 加法原理看成“并联电路”; 总结提升 完成这件事情的任何一种方法必须 属于且只能属于某一类方案 思考2 用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以A1, A2, ‧‧‧, A9, B1, B2, ‧‧‧的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码? 这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同.在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码. 但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤. 由此可得，能编出的不同号码共有 课堂探究 A 1 9 4 2 3 数字 5 7 6 8 字母 得到的号码 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 树状图 能用树状图列出所有可能的号码吗？ 上述问题要完成的一件事情仍然是“给 一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成. 因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母， 后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的. 我们把上述这种计数方法 称为分步乘法计数原理. 课堂探究 分步乘法计数原理： 一般地，完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m×n 种不同的方法. 注意：无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数. 特别地，如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，‧‧‧‧‧，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. 课堂探究 正确理解分步乘法计数原理： ① 分步计数原理针对的是“分步”问题， ② 完成一件事要分为若干步， ③ 各个步骤相互依存， ④ 完成任何其中的一步都不能完成该件事， ⑤ 只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事. 总结提升 … A B m1 m2 mn 乘法原理看成“串联电路” 总结提升 完成这件事情必须且只需连续做完这些步骤 例2 某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法? 解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法； 第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为 N＝30×24= 720. 典例精讲 例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书， (1)从书架上任取1本书，有多少不同的取法？ (2)从书架的第1, 2, 3层各取1本书, 有多少不同的取法? 解：(1)从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类方案, 从第1层中任取一本计算机书, 有4种方法; 第2类方案, 从第2层中任取一本文艺书, 有3种方法; 第3类方案：从第3层中任取一本体育书, 有2种方法. 根据分类加法记数原理, 不同取法种数是 N = 4+3+2= 9 典例精讲 解：(2)从书架的第1 , 2 , 3层各取1本书, 可以分成三个步骤完成： 第1步: 从第1层中任取一本计算机书, 有4种方法; 第2步:从第2层中任取一本文艺书, 有3种方法; 第3步:从第3层中任取一本体育书, 有 2 种方法； 根据分步乘法记数原理, 不同取法种数是 N=4×3×2=24 例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书， (2)从书架的第1, 2, 3层各取1本书, 有多少不同的取法? 典例精讲 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 注意点 用来计算完成一件事的方法种数 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事） 类类独立、不重不漏 步步相依、缺一不可 分类、相加 分步、相乘 分类加法计数原理与分步乘法计数原理联系与区别 总结提升 乘法是相同数加法的简化运算 分步乘法计数原理是相同方法数的分类加法计数原理的简化 解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成： 第1步，从3幅画中选1幅挂在左边 墙上，有3种选法；第2步，从剩下 的2幅画中选1幅挂在右边墙上, 有2种选法. 根据分步乘法计数原理，不同挂法的 种数为N＝3×2=6. 这6种挂法如右图所示. 例4 要从甲、 乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法? 乙 乙 丙 甲 右边 丙 乙 甲 左边 得到的挂法 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 甲 丙 典例精讲 你还有其他解法吗？ 关于两个原理的解题步骤： 总结提升 根据题意，理解要完成的一件事是什么 分类，分步，或者分步分类相结合 根据两个原理计数 得出结论 第一类：从一、二层各取一本，有4×3=12种方法； 第二类：从一、三层各取一本, 有4×2=8种方法； 第三类：从二、三层各取一本, 有3×2=6种方法； 根据两个基本原理，不同的取法总数是 N=4×3+4×2+3×2=26 因此从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法. 解：需先分类再分步. 例3变式 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，(3)从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法? 典例精讲 你还有其他解法吗？ 分类加法和分步乘法计数原理，回答的都是有关完成一件事的不同方法种数的问题. 区别在于: 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，关键词是“分类”，要做到不重不漏； 分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事，关键词是“分步”，要做到步骤完整. 总结提升 1．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( ) 2．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能 完成这件事． ( ) 3．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( ) 4．在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的， 那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．( ) × √ √ √ 牛刀小试 1、已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为 (　　) A．10 B．6 C．8 D．9 解析：因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3， －4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值． 答案：D　 巩固训练 2、某地地铁一号线正式开通的时候，两位同学同时去乘坐地铁，已知该列地铁有6节车厢，两人进入车厢的方法数共有 (　　) A．15种 B．30种 C．36种 D．64种 解析：每位同学都可以进入地铁中的任何一节车厢，每个人都有6种方法，所以两人进入车厢的方法数共有6×6＝36种．故选C. 答案：C　 巩固训练 3、王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读． (1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，有多少种不同的带法？ (2)若带外语、数学、物理参考书各1本，有多少种不同的带法？ 解：(1)要完成的事情是带1本参考书，无论是带外语书，还是带数学书、物理书，都可完成，从而根据分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12种不同的带法． (2)要完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此根据分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60种不同的带法． 巩固训练 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 注意点 用来计算完成一件事的方法种数 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事） 类类独立、不重不漏 步步相依、缺一不可 分类、相加 分步、相乘 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课堂小结 关于两个原理的解题步骤： 课堂小结 根据题意，理解要完成的一件事是什么 分类，分步，或者分步分类相结合 根据两个原理计数 得出结论 $