6.1分类加法计数原理与乘法计数原理同步训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与乘法计数原理 同步训练 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练习，则不同的选法共有( ) A．8种 B．15种 C．种 D．种 2．文娱晚会中,学生的节目有5个,教师的节目有2个,如果教师的节目不排在第一个,也不排在最后一个,并且不相邻,则排法种数为( ) A.720 B.1440 C.2400 D.2880 3．由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春:未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动,要求每个会场至少派一名获奖者,每名获奖者只去一个会场,则不同的派出方法有( ) A.60种 B.120种 C.150种 D.240种 4．一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当,时称为“凹数”（如213,312等）,若,且a,b,c互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率为( ) A. B. C. D. 5．现将四名语文教师,三名心理教师,两名数学教师分配到三所不同学校,每个学校三人,要求每个学校既有心理教师又有语文教师,则不同的安排种数为( ) A.216 B.432 C.864 D.1080 6．2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游.除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有( ) A.1800 B.1080 C.720 D.360 7．2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》,安徽省皖南地区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三,经初步确认,该遗址现存马家浜文化区､崧泽文化区､良渚文化区､钱山漾文化区四大区域,总面积约6万平方米.该遗址延续时间长､谱系完整,是长江下游地区少有的连续时间近4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值,南京大学历史学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘,现安排包含甲､乙在内的6名研究生同学到这4个区域做考古志愿者,每人去1个区域,每个区域至少安排1个人,则甲､乙两人安排在相同区域的方法种数为( ) A.96 B.144 C.240 D.360 8．甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛,已决出了第1名到第4名（没有并列名次）,甲、乙、丙三人向老师询问成绩,老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”,对丙说：“很遗憾,你没有得到第1名”,从这个回答分析,4人的名次排列情况种数为( ) A.4 B.6 C.8 D.12 二、多项选择题 9．某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表： 乘坐站数x 票价/元 2 3 4 现有甲、乙两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是( ) A.若甲和乙两人共花费5元，则甲和乙下地铁的方案共有9种 B.若甲和乙两人共花费5元，则甲和乙下地铁的方案共有18种 C.若甲和乙两人共花费6元，则甲和乙下地铁的方案共有9种 D.若甲和乙两人共花费6元，则甲和乙下地铁的方案共有27种 10．将4个不同的小球放入3个分别标有1，2，3的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有( ) A. B. C. D.18 11．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法数正确的是( ) A.排成前后两排，前排3人，后排4人，共有种方法 B.全体排成一排，男生互不相邻，共有种方法 C.全体排成一排，女生必须站在一起，共有种方法 D.全体排成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边，共有种方法 12．数学中蕴含着无穷无尽的美,尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现,它是从左到右与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等,显然两位回文数有9个：11,22,33,…,99;三位回文数有90个：101,111,121,…,191,202,…,999.下列说法正确的是( ) A.四位回文数有45个 B.四位回文数有90个 C.位回文数有个 D.位回文数有个 三、填空题 13．某迷宫隧道猫爬架如图所示,B,C为一个长方体的两个顶点,A,B是边长为3米的大正方形的两个顶点,且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小猫从A点沿着图中的线段爬到B点,再从B点沿着长方体的棱爬到C点,则小猫从A点爬到C点可以选择的最短路径共有_______________条. 14．《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作,甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读,若三人选择的书不全相同,则不同的选法有_________种． 15．如图是一个的九宫格,小方格内的坐标表示向量,现不改变这些向量坐标,重新调整位置,使得每行、每列各三个向量的和为零向量,则不同的填法种数为_______________. 16．某比赛有8支队伍参赛，分别为中国赛区1，2，3，4号队伍，韩国赛区1，2，3号队伍，欧洲赛区1号队伍.现淘汰赛需要抽签，分四组两两对决，要求来自同一赛区的队伍不进行对战且同一编号队伍不进行对战.则会出现_________种不同的对局情况. 四、解答题 17．为庆祝3.8妇女节,某中学准备举行教职工排球比赛,赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍,每支队伍五人,并要求每支队伍至少有两名女老师,现高二年级共有4名男老师,6名女老师报名参加比赛. （1）高二年级一共有多少不同的分组方案？ （2）若甲,乙两位男老师和丙,丁,戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军,在领奖合影时从左到右站成一排,丙不宜站最右端,丁和戊要站在相邻的位置,则一共有多少种排列方式？ 18．某次数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有参加竞赛的学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）补全频率分布直方图，若只有的人能进入决赛，则入围分数应设为多少分（保留两位小数）？ （2）采用分层抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率. （3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有A+，A，B，C，D五个等级，若两科笔试成绩均为A+，则不需要第二轮面试直接参加冬令营活动；若一科笔试成绩为A+，另一科笔试成绩不低于B，则要参加第二轮面试，面试通过也可参加冬令营活动，其他情况均不能参加活动.现有甲、乙二人报名参加考试.甲在每科笔试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为，，，，；甲、乙在面试中通过的概率分别为，.已知甲、乙二人在笔试、面试的成绩均互不影响，求甲、乙能同时参加冬令营活动的概率. 19．在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子（如图所示），要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法？ 20．已知6件不同的产品中有2件次品，4件正品，现对这6件产品一一进行测试，直至确定出所有次品则测试终止.（以下请用数字表示结果） （1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，且第4次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试情况？ （2）若至多测试4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 参考答案 1．答案：B 解析：根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种. 故选：B 2．答案：B 解析：由题意可知,先将学生的节目全排列有种排法, 然后对教师节目进行插空有种排法, 所以满足题意的排法种数为种. 故选：B. 3．答案：C 解析：依题意,5名获奖者按去到三个不同会场,有种方法, 5名获奖者按去到三个不同会场,有种方法, 所以不同的派出方法有(种). 故选:C 4．答案：C 解析：试题解题思路：由于,且a,b,c互不相同,故可得个三位数.若,则“凹数”有：213,214,312,314,412,413共6个;若,则“凹数”有：324,423共2个.所以这个三位数为“凹数”的概率为有. 5．答案：B 解析：求不同的安排种数需要分成3步,把3名心理教师分配到三所学校,有种方法, 再把4名语文教师按分成3组,并分配到三所学校,有种方法, 最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校,有种方法, 由分步乘法计数原理得不同的安排种数为. 故选：B. 6．答案：B 解析：①恰有2个部门所选的旅游地相同， 第一步，先将选相同的2个部门取出，有种； 第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有种， 根据分步计数原理可得，方法有种； ②4个部门所选的旅游地都不相同的方法有种， 根据分类加法计数原理得， 则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有种. 故选：B. 7．答案：C 解析：先将6名同学分成4组:一种方式是甲､乙组成一组,再从另外4人任选2人组成一组,其余的一人一组;另一种方式是甲､乙与另外4人中的1人组成一组,其余的一人一组.再把4组人分到4个区域,所以安排方法种数为.故选C. 8．答案：C 解析：解析：由题意可得丙不是第1名,甲,乙相邻; 所以丙是第2名时,甲,乙只能是第3,4名,丁为第1名,此时共2种情况; 丙是第3名时,甲,乙只能是第1,2名,丁为第4名,此时共2种情况; 丙是第4名时,甲,乙有可能是第1,2名,或第2,3名, 当甲,乙是第1,2名时,丁为第3名,此时共2种情况; 当甲,乙是第2,3名时,丁为第1名,此时共2种情况; 所以一共有种情况. 故选：C. 9．答案：BD 解析：因为甲、乙两人乘坐地铁，共花费5元， 则其中一人的乘坐站数不超过3，另一人的乘坐站数超过3不超过6， 设首站之后的前6站分别为，，，，，， 若甲乘坐地铁不超过3站，则两人下地铁的所有方案为，，， ，，，，，共8种， 同理，若乙乘坐地铁不超过3站，也有8种方案， 因此甲和乙两人共花费5元时共有18种下地铁的方案，故A错误，B正确； 设首站之后的前9站分别为，，，，，，，，， 若甲、乙两人共付费6元，则共有三类方案，甲付2元，乙付4元；甲付3元，乙付3元；甲付4元，乙付2元； 由选项AB的分析可知每类情况有9种方案， 所以甲、乙两人共付费6元时共有27种下地铁的方案，故C错误，D正确. 故选：BD. 10．答案：BC 解析：根据题意，4个不同的小球放入3个分别标有1，2，3的盒子中，且没有空盒，则3个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球，有2种解法：（1）分两步进行分析：①先将4个不同的小球分成3组，有种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法，故没有空盒的放法有种.（2）分两步进行分析：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种方法；②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法，故没有空盒的放法有种.选BC. 11．答案：ACD 解析：对于A：先选出前排3人，有种排法，剩余4人随机排序有种排法，故有种方法，A正确. 对于B：利用插空法，4名女生随机排序有种排法，旁边有5个空位，把男生排进去有种排法，故有种方法，B错误. 对于C：把4名女生放在一起有种排法，再和3名男生排序有种排法，故有种方法，C正确. 对于D：从其他6人抽出两人排在两侧有种排法，再把剩余5人随机排序有种排法，故有种方法，D正确.故选：ACD. 12．答案：BD 解析：据题意,对于四位回文数,有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……9009、9119、9229、……、9999,共90个,则A错误,B正确; 对于位回文数,首位和个位数字有9种选法,第二位和倒数第二位数字有10种选法,……,第n和第位也有10种,则共有种选法,故C错; 对于位回文数,首位和个位数字有9种选法,第二位和倒数第二位数字有10种选法,……,第个数字,即最中间的数字有10种选法, 则共有种选法,即位回文数有个,所以D正确. 故选：BD. 13．答案：120 解析：小猫要从A点爬到C点,需要先从A点爬到B点,需要走3横3竖,则可选的路径共有条,再从B点爬到C点的路径共6条,用分步乘法计数原理可得小猫可以选择的最短路径有条. 14．答案：24 解析：若三人选书没有要求,则有种, 若三人选择的书完全相同,则有3种, 所以三人选择的书不全相同,不同的选法有种. 故答案为：24. 15．答案：72 解析： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 首先对的九宫格每个位置标注数字, 第一步先排,一共9个位置,因此有种排法, 根据对称性知,所在的行和列只能排,,,, 不妨设在1位置, 第二步排2位置,则从,,,选一个,因此有种排法, 则3位置的数也定下来了, 第三步排4位置,则从,,,剩余的两个中挑一个,因此有种排法, 接着排7位置,7位置是,,,中剩余的最后一个, 相当于所在的行和列都定下来了, 则使得每行、每列各三个向量的和为零向量,其他四个位置的向量排法是唯一的, 因此按分步乘法计数原理知,（种） 因此共有72种排法, 故答案为：72. 16．答案：8 解析：记中国赛区1，2，3，4号队伍分别为A，B，C，D，韩国赛区1，2，3号队伍分别为a，b，c，欧洲赛区1号队伍为m， 根据题意，A只能对战b，c中的一支队伍， 当A对战b时，B可以对战a，c，m中的一支队伍， 若B对战a，则C只能对战m，故D只能对战c，只有1种情况； 若B对战c，则C可以对战a，m中一支队伍，D对战剩下的队伍，一共有2种情况； 若B对战m，则C只能对战a，故D只能对战c，只有1种情况； 当A对战c时，B只能对战a，m中的一支队伍， 若B对战a，则C可以对战b，m中一支队伍，D对战剩下的队伍，一共有2种情况； 若B对战m，则C可以对战a，b中一支队伍，D对战剩下的队伍，一共有2种情况； 综上：对局情况一共有种. 故答案为：8. 17．答案：（1）120种 （2）36种 解析：（1）两组都是3女2男的情况有（种）： 一组是1男4女,另一组是3男2女的情况有（种）, 所以总情况数为（种）,故一共有120种不同的分组方案; （2）丙站在左1位,共有（种）不同的排列方式; 丙站在左2位,共有（种）不同的排列方式; 丙站在左3位,共有（种）不同的排列方式; 丙站在左4位,共有（种）不同的排列方式. 综上所述,共有36种排列方式. 18．答案：（1）图见解析，入围分数应设为76.25分 （2） （3） 解析：（1）由频率分布直方图可知，成绩在的频率为 ， 所以组的纵轴为，所以补全频率分布直方图如图所示. 又， ， 所以分位数位于内，为， 所以入围分数应设为76.25分. （2）依题意从内抽取人，标记为1，2，3，4； 从内抽取人，标记为a，b. 从6人中随机选2人，其样本空间为 ， 共包含15个样本点，即有15种选法. 设事件“至少有1名学生成绩不低于90”， 则其中2人成绩都在内的样本点有，，，，，，共有6个， 即有6种选法. 则， 所以至少有1名学生成绩不低于90的概率为. （3）依题意甲能参加冬令营活动的概率， 乙能参加冬令营活动的概率， 所以甲、乙能同时参加冬令营活动的概率. 19．答案：6种 解析：用R表示红色，用B表示蓝色， 用表示第一个和第三个格子涂红色，第二个和第四个格子涂蓝色. 因为红色和蓝色都要用两次，为了简化问题，考虑涂红色的格子是否相邻， 则填涂结果可以分为两类：涂红色的格子相邻，涂红色的格子不相邻. 涂红色的格子相邻的方法有：、、，共3种； 涂红色的格子不相邻的方法有：、、，共种. 依据分类加法计数原理，李明共有不同的涂法种. 20．答案：（1）24 （2）114 解析：（1）需测试4次，按顺序可看作为4个位置， 两件次品置于第二，四位，有放法数； 其余二个位置放二个正品，有放法数 由乘法原理方法数为：种不同的测试情况； （2）至多4次可分为恰好2次，恰好3次，恰好4次找到所有次品， 恰好2次，即前2次测试都是次品，方法数为； 恰好3次，即第3次是次品，前2次中有1次是次品，方法数为； 恰好4次，即第4次是次品，前3次中有1次是次品，方法数为； 也可以是前四次全是正品，方法数为， 故共有种不同的测试情况. 学科网（北京）股份有限公司 $$