精品解析：湖北省荆门市龙泉北校2025-2026学年上学期八年级数学第四次 学情自测卷

2025-2026学年上学期八年级数学第四次月考试卷 一．选择题（满分30分，每小题3分） 1. 2025年12月某学校组织了以“冬启活力，运动向阳”为主题的冬季运动会，运动会上同学们积极报名参加各项体育项目，在运动场上奋勇拼搏．下面几幅图片是运动会上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 把分式，中a、b、c的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 变为原来的2倍 B. 变为原来的4倍 C. 变为原来的 D. 不变 4. 新型冠状病毒奥密克戎变异毒株的直径平均纳米左右，已知1纳米毫米，则纳米用科学记数法表示为(　　) A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 5. 如图，在中，B为上一点，连接，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 7. 某工程队承担铺设一段长为450米的管道，由于引进了新设备，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的倍，结果提前5天完成任务，设原计划每天铺设管道的长度为米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 若，，则等于（　　） A. B. 0 C. 4 D. 10. 如图，交于点，的平分线与的外角的平分线交于点，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（满分15分，每小题3分） 11. 计算：_______． 12. 若分式的值为零，那么x的值为______． 13. 若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为______． 14. 等腰，线段的垂直平分线交于点D，交直线于点E，若，则的度数是_____________ ． 15. 如图，在正方形中，，对角线，相交于点O，点E从点B出发，在边上由B向A移动，同时点F从点A出发，以相同的速度在边上由A向D移动，连接，．下列结论：①；②四边形的面积为1；③；④四边形周长的最小值为．其中正确的结论有________（填序号）． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2） ． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多元，用元购买B型学习用品与用元购买A型学习用品的件数相同．求A，B两种学习用品的单价各是多少元？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于直线的轴对称图形； （2）直接写出，，三点的坐标： ， ， ； （3）求出的面积． 20. 如图，在中，，D是上一点，且，且，连接、、． （1）求的度数； （2）证明：是等边三角形． 21. 如图，为等边三角形，点，分别是边，上的点．连接，交于点． （1）如图1，点是延长线上一点，连接，，若，，，求的值； （2）如图2，点是的角平分线上一点，连接，，，满足．若，求证：． 22. 阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则， ∴ 类比探究： （1）若满足，求的值． （2）若满足，求的值． 解决问题： （3）如图，正方形和长方形重叠，重叠部分内有一个长方形，其面积是60，已知，，，，，求正方形的面积． 23. （1）图，点P、Q是内部的两个点，请利用直尺和圆规作出点M，使点M到、距离相等，且点M到点P、点Q的距离相等（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）． （2）如图，，垂足为点C，，．求：和的度数． （3）如图，和中，，D是上一点，，．求证：． 24. 如图，在中，，，点D是内一点，且平分，，点E是延长线上一点，． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级数学第四次月考试卷 一．选择题（满分30分，每小题3分） 1. 2025年12月某学校组织了以“冬启活力，运动向阳”为主题的冬季运动会，运动会上同学们积极报名参加各项体育项目，在运动场上奋勇拼搏．下面几幅图片是运动会上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等运算法则进行逐一计算、辨别． 【详解】解：A、，故错误，不合题意； B、，故错误，不合题意； C、，故正确，符合题意； D、不能合并，故错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． 3. 把分式，中a、b、c的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 变为原来的2倍 B. 变为原来的4倍 C. 变为原来的 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的性质可进行求解． 【详解】解：把a、b、c的值都扩大为原来的2倍，则有，所以分式的值不变； 故选D． 【点睛】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 4. 新型冠状病毒奥密克戎变异毒株的直径平均纳米左右，已知1纳米毫米，则纳米用科学记数法表示为(　　) A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 【答案】C 【解析】 【分析】先根据单位换算得到纳米对应的毫米数，再按照科学记数法表示绝对值小于1的数的规则写出结果即可，科学记数法形式为，满足，为整数． 【详解】解：∵ 纳米毫米毫米， ∴ 纳米毫米， ∵ ， ∴ 纳米毫米毫米． 5. 如图，在中，B为上一点，连接，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了外角的定义，由外角的定义得，进而得，即可得的度数． 【详解】解：由题意得， ∵，， ∴． 故选：D． 6. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 7. 某工程队承担铺设一段长为450米的管道，由于引进了新设备，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的倍，结果提前5天完成任务，设原计划每天铺设管道的长度为米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的运用，理解数量关系，掌握分式方程的运用是关键． 设原计划每天铺设管道的长度为米，则实际施工时每天铺设管道的长度是，结果提前5天完成任务，由此列分式方程即可求解． 【详解】解：设原计划每天铺设管道的长度为米，则实际施工时每天铺设管道的长度是，结果提前5天完成任务， ∴， 故选：A ． 8. 如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角的性质和三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求出，即可求出答案．本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，综合运用这些知识是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 由作图的步骤可知，直线是线段的垂直平分线， ， ， ． 故选：C． 9. 若，，则等于（　　） A. B. 0 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用平方差公式分解所求代数式，再代入x，y的表达式化简计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 10. 如图，交于点，的平分线与的外角的平分线交于点，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线，三角形内角和定理及外角性质，利用三角形内角和定理可得，即得，再根据角平分线的定义可得，，得到，即可判断①和②；延长交于点，由三角形外角性质得，，即得，又由，，可得，即可判断③和④，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：，，，， ， ， ， 平分，平分， ，， ，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 延长交于点， ，， ， ，， ，故③正确； ，故④不正确； 综上，正确的结论有个， 故选：． 二．填空题（满分15分，每小题3分） 11. 计算：_______． 【答案】5 【解析】 【分析】先将零指数幂和负整数指数幂化简，再进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握任何非0数的0次幂都得1，以及． 12. 若分式的值为零，那么x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式为零的条件“分子等于0，且分母不等于0”列式求解即可． 【详解】解：由，得； 又，则 所以若分式的值为0，则的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 13. 若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的多项式能用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 等腰，线段的垂直平分线交于点D，交直线于点E，若，则的度数是_____________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】由于交直线，点的位置不确定，需分情况讨论求解． 【详解】解：①当点在线段上时，如图1， 是的垂直平分线， ， 又， 在中，由三角形内角和定理得， ， 点在线段上， ； ②当点在的延长线上时，如图2， 是的垂直平分线， ， 又， 在中，由三角形内角和定理得， ， ； 综上所述，的度数为或． 15. 如图，在正方形中，，对角线，相交于点O，点E从点B出发，在边上由B向A移动，同时点F从点A出发，以相同的速度在边上由A向D移动，连接，．下列结论：①；②四边形的面积为1；③；④四边形周长的最小值为．其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．首先利用正方形的性质得到相关边和角的关系，证明三角形全等，得到，即可得到①；根据，得到，结合，计算即可得到②；连接，得到，求出，，得到，得到③；根据全等得到四边形周长为，根据垂线段最短可知，当时，四边形周长最小，得到，得到四边形周长最小值为，判断④即可． 【详解】解：由题意得， ∵四边形是正方形 ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴四边形的面积为： ， 故②正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，， ∴四边形周长为， 根据垂线段最短可知，当时，四边形周长最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， 四边形周长最小值为，故④不正确， 综上可知：①②③正确． 故答案为：①②③． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2） ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算； （1）根据平方差公式与完全平方公式进行计算，即可求解． （2）先根据单项式乘以多项式，再根据多项式除以单项式计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多元，用元购买B型学习用品与用元购买A型学习用品的件数相同．求A，B两种学习用品的单价各是多少元？ 【答案】A、B两种学习用品的单价分别为元和元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意正确的列分式方程是解题的关键． 设A种学习用品的单价为元，则B种学习用品的单价为元，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设A种学习用品的单价为元，则B种学习用品的单价为元， 依题意得，， 去分母得，， 移项合并得，， 系数化为1得，， 经检验，是原分式方程的解，且合符题意， ∴（元） 答：A、B两种学习用品的单价分别为元和元． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于直线的轴对称图形； （2）直接写出，，三点的坐标： ， ， ； （3）求出的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2），，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质，找到、、三点的对称点、、，再顺次连接这三个对称点，即可得到所求的轴对称图形． （2）根据（1）的作图直接得到对应对称点的坐标即可． （3）先构造一个覆盖的长方形，再减去长方形内三个直角三角形的面积，剩余部分即为的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据作图，直接写出，，． 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：的面积． 20. 如图，在中，，D是上一点，且，且，连接、、． （1）求的度数； （2）证明：是等边三角形． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据等角对等边、三角形内角和定理和两直线平行同位角相等，求得和利用“”证得，然后根据全等三角形对应角相等即可解答； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，求得，再根据有一个内角是的等腰三角形为等边三角形即可证得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 21. 如图，为等边三角形，点，分别是边，上的点．连接，交于点． （1）如图1，点是延长线上一点，连接，，若，，，求的值； （2）如图2，点是的角平分线上一点，连接，，，满足．若，求证：． 【答案】（1）5 （2） 证明：作于，的延长线于， 均为直角三角形， 平分， ， ， ， ， ，， ， ∴， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，即可求解； （2）作于，于，由角平分线的性质可得，由可证，可得结论． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ，， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， . 【小问2详解】 略 22. 阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则， ∴ 类比探究： （1）若满足，求的值． （2）若满足，求的值． 解决问题： （3）如图，正方形和长方形重叠，重叠部分内有一个长方形，其面积是60，已知，，，，，求正方形的面积． 【答案】（1）7；（2）37；（3）736 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）将转化为，设，则，再根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据，得出，，，根据长方形的面积为60，得出，设，，则，，根据，得出． 【详解】解：（1）设，则，， ∴ ． （2）∵， ∴，即， 设，则， ∴ ； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵长方形的面积为60， ∴， ∴， ∴， 即， 设，， 则，， ∴ ， ∵， ∴． 23. （1）图，点P、Q是内部的两个点，请利用直尺和圆规作出点M，使点M到、距离相等，且点M到点P、点Q的距离相等（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）． （2）如图，，垂足为点C，，．求：和的度数． （3）如图，和中，，D是上一点，，．求证：． 【答案】（1） 如图所示：点M即为所求， （2），； （3） 证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； 【解析】 【分析】（1）作的平分线及线段垂直平分线交点即为所求点； （2）根据得到，结合得到，根据三角形内外角关系求解即可得到答案； （3）根据得到，证明即可得到答案； 【小问1详解】 解：作的平分线及线段垂直平分线交点即为所求点； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 答：， 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查角平分线性质，垂直平分线性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练掌握几个知识点． 24. 如图，在中，，，点D是内一点，且平分，，点E是延长线上一点，． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 【答案】（1） 证明：平分 在和中 （2） （3） 在线段上截取，连接， ，， 是等边三角形， ， 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质、三角形外角的性质、线段垂直平分线的判定及性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由平分得，根据 “”即可证明； （2）根据等腰三角形性质得结合角平分线性质和三角形外角即可解答； （3）在线段上截取，连接，由“”证得，根据全等三角形性质，和线段的和差即可求证结论． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：， 平分 是的外角 【小问3详解】 解：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $