精品解析：北京市第八中学2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试卷

数学学科 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 正方体 2. 北京大力推动光通信技术发展应用，打造全市1毫秒、环京2毫秒、京津冀3毫秒时延圈，其中光传导工具是光纤，一种多模光纤芯的直径是0.0000625米，将0.0000625用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都减去，得到一组新数据，其方差为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 已知，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 7. 不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，直线交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，与交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 分解因式：______． 11. 方程组的解为____________． 12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则____________．（填“”，“”或“”） 13. 4月15日是全民国家安全教育日，某校组织全体学生参加相关内容的知识问答，从中随机抽取了100名学生的成绩x（百分制），根据数据（成绩）绘制了如图所示的统计图．若该校有1000名学生，估计成绩不低于90分的人数为____________名． 14. 如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为____________． 15. 如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为____________． 16. 甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为____________；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是____________．（填“”，“”或“”） 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式，并写出它的所有负整数解． 19. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）给出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 20. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求证：是矩形． 21. 无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围． 23. 某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．七年级学生的成绩在这一组的是： 80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89 c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.6 87.5 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）估计七、八两个年级成绩在的人数一共为______； （3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由． 24. 如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交，的延长线于点E，F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 25. 某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于灾害救援、地形勘察等场景．将机器人看作一点，其起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O起跳，落在水平地面上的点M，以点O为原点，所在直线为x轴，过点O且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，其与机器人的运动路线在同一平面内的截面是矩形．机器人从障碍物上方越过，且与障碍物无接触，则视为顺利越过障碍物．实验测得，运动路线最高点距水平地面，，，． 若机器人从点处起跳，其他所有条件均不变． （1）当时，判断它能否跳跃一次顺利越过障碍物，并说明理由； （2）当它跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域内（不含点E，点F）时，，，直接写出p的取值范围． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，直线经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②若点M在抛物线上的点A与点B之间，连接，当四边形的面积随m的增大而减小时，求m的取值范围． 27. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转一个角度，使点B的对应点D在的内部，得到，延长交于点F． （1）求证：； （2）连接，，延长交于点G． ①补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和点，给出如下定义：若是直角三角形，称点是弦的“关联点”． （1）如图，已知点，，在点，，中，是弦的“关联点”的是____________； （2）已知的直径的“关联点”在轴上，有一边与相切，设点，当时，直接写出点的纵坐标的取值范围； （3）点在上，轴，，已知点，，若线段上存在一点是的弦的“关联点”，且，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 正方体 【答案】A 【解析】 【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图． 【详解】解：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形， ∴展开图可得此几何体为圆柱． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力． 2. 北京大力推动光通信技术发展应用，打造全市1毫秒、环京2毫秒、京津冀3毫秒时延圈，其中光传导工具是光纤，一种多模光纤芯的直径是0.0000625米，将0.0000625用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的相关知识，关键是掌握科学记数法的定义； 科学记数法的表示形式， 本题是将较小的数表示为科学记数法，则n是负数，其绝对值为小数点移动的位数，据此解答即可． 【详解】解：0.0000625用科学记数法表示为， 故选C． 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴．有理数减法，绝对值的计算，根据数轴可得，，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴，，，， ∴四个选项中只有B选项正确，符合题意； 故选：B． 4. 如图，，，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识，由平行线的性质求出，，由角平分线定义得到，由平行线的性质即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 故选：D 5. 一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都减去，得到一组新数据，其方差为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．本题考查方差的意义，当数据都加上同一个数（或减去同一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变． 【详解】解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变， ， 故选：B． 6. 已知，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算、代数式求值，将变形为，再把变形为，然后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 又 ． 故选：A． 7. 不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中出现种可能，那么事件的概率． 画树状图列出等可能得结果，从中找到符合条件的结果数，再根据公式求出结果． 【详解】解：根据题意画出树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球的颜色相同的有3种，则两次摸出的小球的颜色相同的概率是． 故选B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，直线交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，与交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①设点的坐标为，点的坐标为，分别用含a的式子得出，，，，再列式证明即可；②证明四边形是矩形，得出，结合由结论①，即可判断②是否正确；③由结论①正确得，得出，利用，即可证明；④连接，证明，得出，证明四边形和四边形都是平行四边形，得出，，即可证明． 【详解】①点，在函数的图象上， 设点的坐标为，点的坐标为， 轴于点，轴于点，与交于点， ，，，， ，， ，， ， 故结论①正确； ②轴于点，轴于点，与交于点， ， 四边形是矩形， ， ， 由结论①正确得：， 无法判定， 不一定成立， 故结论②不正确； ③， ，， 由结论①正确得：， ， ， ， 即， 故结论③正确； ④连接，如图所示： 四边形是矩形， ， 由结论①正确得：， 在和中， ，， ， ， ， 即， 轴于点，轴于点， ，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论的序号是①③④． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】依据“分式有意义的条件是分母不为零”，令分母，求解即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由代数式有意义得：， 解得． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】分解因式时先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】 ． 11. 方程组的解为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 根据方程组中的系数的特点，可求出的值，再把代入①即可求解． 【详解】解：， 得，， ， ， 把代入①得，， ， ∴原方程组的解为， 故答案为： ． 12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则____________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，先判定，再判定点在第四象限，在第二象限，从而可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点位于第二、四象限， ∴， ∵，， ∴点在第四象限，在第二象限， ∴， 故答案为：． 13. 4月15日是全民国家安全教育日，某校组织全体学生参加相关内容的知识问答，从中随机抽取了100名学生的成绩x（百分制），根据数据（成绩）绘制了如图所示的统计图．若该校有1000名学生，估计成绩不低于90分的人数为____________名． 【答案】450 【解析】 【分析】本题考查了以样本估计总体的方法，通过样本100名学生中成绩不低于90分的学生占比直接乘以学生总数，便可估计出总体学生中成绩不低于90分的学生数量． 【详解】解：由扇形图可知：成绩不低于90分的人数占抽取人数的， 则1000名学生中，估计成绩不低于90分的人数为：（名）， 故答案为：450． 14. 如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出，即可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 15. 如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，作，，，垂足分别是D、E、F，证明四边形是正方形即可求出． 【详解】解：作，，，垂足分别是D、E、F， 由题意得：平分，平分，点P到直线的距离为1， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， 故答案为：． 16. 甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为____________；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是____________．（填“”，“”或“”） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，理解数量关系，掌握整式的运用方法是解题的关键． 根据题意可得，，结合均为正整数，可确定的取值范围，再根据每次游戏可能得结果进行推测即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，且为正整数， 当时，，不符合题意； 当时，， ∵是正整数， ∴为正整数， ∴当时，， ∵丙共获得11颗糖果，且 设丙在三次游戏中拿到的卡片值分别为，则， ∴，则 甲共获得 颗糖果，最大可能和为  ∴，且为正整数， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴, ∴丙在三次游戏中拿到的卡片值分别为，， 共 甲的糖果总和为：则至少两次拿到 因为乙共获得颗糖果，所以乙不可能拿到写有整数的卡片， 则乙在第1次游戏中拿到的卡片上写的整数只能是； 故答案为：，． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式化简以及去绝对值，正确计算是解答本题的关键． 先计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简二次根式以及去绝对值，再计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式，并写出它的所有负整数解． 【答案】不等式的解集是，其中所有负整数解为， 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解，解题关键在于掌握运算法则． 先解出不等式的解集，再求其负整数解． 【详解】解：． 移项得，． 合并同类项得，． 系数化为1得，． 所以原不等式的所有负整数解为，． 19. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）给出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 【答案】（1）； （2）取，此时，．（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求出m的值范围是解题的关键． （1）根据有两个不相等的实数根列出判别式，再解不等式即可得到答案； （2）按照（1）中的范围取m的值，代入原方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：依题意，得． ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴． 即． ∴． 【小问2详解】 取． 此时方程为 解得，． 20. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求证：是矩形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． （2） ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和，矩形的判定，菱形的判定，勾股定理的逆定理； （1）根据平行四边形的性质可知，，再证明四边形是平行四边形．然后推出，即可得出结论； （2）利用勾股定理的逆定理推出，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，根据等量关系列出分式方程即可求解 【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是亩． 由题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质等． （1）将点和代入中即可得到本题答案； （2）画出符合题意的图象进行分析即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：由题意得：将点和代入中得： ， 解得：， ∴该函数解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，代入得：， 在平面直角坐标系中画出直线和满足条件的直线，如图： ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴当过时满足题意， ∴，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于0， ∴当过时满足题意， ∴，， 综上：满足条件的n的取值范围为：． 23. 某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．七年级学生的成绩在这一组的是： 80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89 c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.6 87.5 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）估计七、八两个年级成绩在的人数一共为______； （3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1）86.5，87； （2）126； （3）解：，理由如下： ∵七年级抽取的20名学生的成绩在的有4人 ∴排名第5的学生的成绩中最高成绩， ∴ ∵八年级抽取的20名学生的成绩在的有6人 ∴排名第5的学生的成绩 ∴． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键． （1）根据中位数和众数的概念求解即可； （2）根据样本估计总体的方法求解即可； （3）根据两个年级抽取的20名学生的成绩在的人数判断出，的大小，进而比较即可． 【小问1详解】 ∵一共抽取20名学生 ∴中位数为第10名学生和第11名学生成绩的平均数 ∴第10名学生和第11名学生成绩分别为86，87 ∴； 抽取的20名七年级学生的成绩中87出现的次数最多 ∴众数； 【小问2详解】 （人） ∴估计七、八两个年级成绩在的人数一共为126人； 【小问3详解】 略 24. 如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交，的延长线于点E，F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． ∴直线是的切线． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是关键； （1）连接．证明，，可得，进而得到结论； （2） 先推出，再在中，由，列出比例式即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 设的半径为r，则． ∵， ∴． ∵， 在中，． 即． ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得． 25. 某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于灾害救援、地形勘察等场景．将机器人看作一点，其起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O起跳，落在水平地面上的点M，以点O为原点，所在直线为x轴，过点O且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，其与机器人的运动路线在同一平面内的截面是矩形．机器人从障碍物上方越过，且与障碍物无接触，则视为顺利越过障碍物．实验测得，运动路线最高点距水平地面，，，． 若机器人从点处起跳，其他所有条件均不变． （1）当时，判断它能否跳跃一次顺利越过障碍物，并说明理由； （2）当它跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域内（不含点E，点F）时，，，直接写出p的取值范围． 【答案】（1）不能，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，运动路线最高点距水平地面，列出顶点式，把代入，求出函数解析式，然后利用从点处起跳，求出新的抛物线解析式，进而代入，判断此时的值是否大于1即可； （2）机器人从点处起跳，此时机器人运动轨迹的新抛物线解析式为：，然后将三点的坐标分别代入，分别求出，进而可知的取值范围． 【小问1详解】 解：不能，理由如下： ∵机器人运动路线最高点距水平地面，且， ∴机器人运动路线的最高点为， ∴可设二次函数的解析式为：， 又∵函数过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 若机器人从起跳，相当于抛物线上移2个单位，此时机器人运动轨迹的新抛物线解析式为：， 当时，此时， ∴当时，它跳跃一次不能越过障碍物； 【小问2详解】 解：机器人从点处起跳，此时机器人运动轨迹的新抛物线解析式为：， 当跳跃一次顺利越过障碍物时，此时代入解析式得到，解得， ∵要求当它跳跃一次顺利越过障碍物， ∴； ∵机器人要落在水平地面上的区域内（不含点E，点F），，， ∴， 当机器人落在点时，代入解析式得到，解得； 当机器人落在点时，代入解析式得到，解得； ∴综上，当机器人跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域EF内（不含点E，点F）时，的取值范围为． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，直线经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②若点M在抛物线上的点A与点B之间，连接，当四边形的面积随m的增大而减小时，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）①6；② 【解析】 【分析】（1）把，代入，解方程组求出a，c的值 即得答案； （2）①由直线经过点，得，当时，， 可得点M、N的纵坐标，即可得的长；②由，得，求出，得，得四边形的面积为，得当时，四边形的面积随m的增大而减小，结合，得m的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线（）与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：①∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴当时，， ∴， ∴; ②∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴， ∴， 对， 令， 则， 解得， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， ∵， ∴当时， 四边形的面积随m的增大而减小， ∵点M在抛物线上的点A与点B之间， ∴， ∴， ∴m的取值范围是． 【点睛】根据四边形的面积的图象开口向下，可知当时，四边形的面积随m的增大而减小，加上点M在抛物线上的点A与点B之间，的限制． 27. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转一个角度，使点B的对应点D在的内部，得到，延长交于点F． （1）求证：； （2）连接，，延长交于点G． ①补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）①图见解析；②，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的证明性质，以及旋转的基本性质，能够正确作出辅助线是解题关键； （1）连接，通过旋转性质得到，，进而得到，从而可得证； （2）①按题意补全图形即可； ②在上截取，先利用证得，得到，再利用角度之间的关系得到，进而得到，再通过等量代换即可得到． 【小问1详解】 证明：连接， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①补全图形如下： ②，理由如下： 如图，在上截取， ∵旋转， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和点，给出如下定义：若是直角三角形，称点是弦的“关联点”． （1）如图，已知点，，在点，，中，是弦的“关联点”的是____________； （2）已知的直径的“关联点”在轴上，有一边与相切，设点，当时，直接写出点的纵坐标的取值范围； （3）点在上，轴，，已知点，，若线段上存在一点是的弦的“关联点”，且，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由图可知是直角三角形；再由两点之间距离公式，结合勾股定理的逆定理判定即可得到不是直角三角形；是直角三角形；再由“关联点”定义即可得到答案； （2）根据题意，作出图形，如图所示，当点，时，，则，解得或；利用两点之间距离公式、勾股定理及对称性分类求解即可得到答案； （3）根据新定义可得点是为直径的圆上的一点，根据题意求得的最大值为，进而分在轴的上方与下方两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，是直角三角形， 由“关联点”定义可知，是弦的“关联点”； 点，，， ，，， ， 不是直角三角形，由“关联点”定义可知，不是弦的“关联点”； 点，，， ，，， ，即， 是直角三角形，由“关联点”定义可知，是弦的“关联点”； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图所示： 当点，时，，则，解得或； 设轴上的，，即在轴正半轴时， 若，此时，是直角三角形时， 当，则，则，解得，即，此时取到最大值； 若，此时，是直角三角形时，根据对称性； 若，此时，是直角三角形时，则(此时重合)，此时最小； ； 设轴上的，，即在轴负半轴时， 若，此时，是直角三角形时， 当，则，则，解得，即，此时取到最小值； 若，此时，是直角三角形时，根据对称性； 若，此时，是直角三角形时，则，此时取到最大值； ； 综上所述，点的纵坐标的取值范围或； 【小问3详解】 解：由题意可知，当为直径时，满足题意，则最大值为； 当在轴下方时，如图所示，设以为直径的圆与相切于点，则当和点重合时，， ∵，， ∴，则， ∵，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ 解得：或（舍去） 当在轴上方时，如图所示 同理可得 又∵， ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $