北京市第八中学2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试卷

数学学科 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 正方体 2. 北京大力推动光通信技术发展应用，打造全市1毫秒、环京2毫秒、京津冀3毫秒时延圈，其中光传导工具是光纤，一种多模光纤芯的直径是0.0000625米，将0.0000625用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都减去，得到一组新数据，其方差为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 已知，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 7. 不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，直线交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，与交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 分解因式：______． 11. 方程组的解为____________． 12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则____________．（填“”，“”或“”） 13. 4月15日是全民国家安全教育日，某校组织全体学生参加相关内容的知识问答，从中随机抽取了100名学生的成绩x（百分制），根据数据（成绩）绘制了如图所示的统计图．若该校有1000名学生，估计成绩不低于90分的人数为____________名． 14. 如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为____________． 15. 如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为____________． 16. 甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为____________；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是____________．（填“”，“”或“”） 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式，并写出它的所有负整数解． 19. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）给出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 20. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求证：是矩形． 21. 无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围． 23. 某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．七年级学生的成绩在这一组的是： 80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89 c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.6 87.5 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）估计七、八两个年级成绩在的人数一共为______； （3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由． 24. 如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交，的延长线于点E，F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 25. 某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于灾害救援、地形勘察等场景．将机器人看作一点，其起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O起跳，落在水平地面上的点M，以点O为原点，所在直线为x轴，过点O且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，其与机器人的运动路线在同一平面内的截面是矩形．机器人从障碍物上方越过，且与障碍物无接触，则视为顺利越过障碍物．实验测得，运动路线最高点距水平地面，，，． 若机器人从点处起跳，其他所有条件均不变． （1）当时，判断它能否跳跃一次顺利越过障碍物，并说明理由； （2）当它跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域内（不含点E，点F）时，，，直接写出p的取值范围． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，直线经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②若点M在抛物线上的点A与点B之间，连接，当四边形的面积随m的增大而减小时，求m的取值范围． 27. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转一个角度，使点B的对应点D在的内部，得到，延长交于点F． （1）求证：； （2）连接，，延长交于点G． ①补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和点，给出如下定义：若是直角三角形，称点是弦的“关联点”． （1）如图，已知点，，在点，，中，是弦的“关联点”的是____________； （2）已知的直径的“关联点”在轴上，有一边与相切，设点，当时，直接写出点的纵坐标的取值范围； （3）点在上，轴，，已知点，，若线段上存在一点是的弦的“关联点”，且，直接写出的取值范围． 数学学科 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、填空题（共16分，每题2分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】450 【14题答案】 【答案】10 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 【17题答案】 【答案】3 【18题答案】 【答案】不等式的解集是，其中所有负整数解为， 【19题答案】 【答案】（1）； （2）取，此时，．（答案不唯一） 【20题答案】 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． （2） ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是矩形． 【21题答案】 【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 【22题答案】 【答案】（1） （2） 【23题答案】 【答案】（1）86.5，87； （2）126； （3）解：，理由如下： ∵七年级抽取的20名学生的成绩在的有4人 ∴排名第5的学生的成绩中最高成绩， ∴ ∵八年级抽取的20名学生的成绩在的有6人 ∴排名第5的学生的成绩 ∴． 【24题答案】 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． ∴直线是的切线． （2）． 【25题答案】 【答案】（1）不能，理由见解析 （2） 【26题答案】 【答案】（1） （2）①6；② 【27题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）①图见解析；②，理由见解析 【28题答案】 【答案】（1）， （2）或 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $