精品解析：北京市十一学校一分校2025--2026学年九年级下学期收心自测数学试题

2025--2026学年九年级下学期开学收心自测数学试题 一．选择题（满分32分，每小题4分） 1. 如图图形中不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 关于二次函数，下列叙述正确的是（　　） A. 该函数图象是抛物线，对称轴为直线 B. 当时，有最小值 C. 函数图象与轴交点坐标为 D. 当时，有最大值 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 内错角相等 B. 从一副扑克中任意抽出一张是方块 C. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 D. 明天一定是晴天 4. 将抛物线先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且，F为的中点，分别连接，若，则的最大值为（　　） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 6. 如图，四边形为的内接四边形，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A. 200 B. 220 C. 240 D. 260 8. 如图，、、分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面结论中正确的是：（ ） ①该圆的半径为2； ②的长为； ③平分； ④连接，，则与的面积比为． A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①③④ 二．填空题（满分24分，每小题3分） 9. 若点和关于原点对称，则__________． 10. 如图，将一个圆分为三个扇形，圆心角，所在扇形的面积占圆的面积的四分之一，则的度数为___________． 11. 一球以的初速度从地面竖直向上弹起，球离地面的高度关于时间的函数表达式是，则球离地面的最大高度为_____． 12. 在一个不透明的盒子中装有8个大小相同的乒乓球，做了2000次摸球试验，摸到红球的频数是502，估计盒子中的红球的个数是______． 13. 如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是_______． 14. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 15. 在平面直角坐标系中，点，点P在反比例函数的图像上且在第一象限，与边相交于点Q，设的面积为，的面积为，如果，那么点P的坐标是 __________ ． 16. 咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为_____g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有_____袋． 三．解答题（共6小题，满分44分） 17. 用配方法解方程:x2-6x+5=0 18. 先化简下式，再求值： ， 其中，. 19. 已知关于x的一次函数（k为常数，）． （1）不论k为何值，该函数图象都经过一个定点，这个定点的坐标为： ； （2）若该函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为3，求k的值． 20. 如图，为直径，为弦，且为的切线，过D作于点E，延长交的延长线于点H． （1）求证：； （2）若E为的中点，，，求此时圆的半径的长度． 21. 如图，抛物线与轴交于，两点，且． （1）求抛物线的函数解析式；并直接写出的顶点坐标； （2）将先向右平移个单位，再向上平移个单位，记为第一次操作，得到抛物线，按同样的操作方式，经过第二次操作，可得到抛物线，经过第三次操作，可得到抛物线，，经过第次操作可得到抛物线． 的顶点是否在上，请说明理由； 若抛物线恰好经过点，求抛物线的解析式； 定义：当抛物线与轴有两个交点时，定义以这两个交点及抛物线顶点构成的三角形叫做该抛物线的“轴截三角形”如是抛物线的“轴截三角形”记抛物线，，，，的“轴截三角形”的面积分别为，，，，当时，求值． 22. 已知，在中，，，D为边上一动点（不与B，C重合），将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，当，且点E在边上时，连接，判断线段与之间的关系，并证明； （2）如图2，当点E在内部时，在射线上有一点F，连接，使，依据题意补全图形，并用等式表示线段与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年九年级下学期开学收心自测数学试题 一．选择题（满分32分，每小题4分） 1. 如图图形中不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 关于二次函数，下列叙述正确的是（　　） A. 该函数图象是抛物线，对称轴为直线 B. 当时，有最小值 C. 函数图象与轴交点坐标为 D. 当时，有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式判断开口方向、对称轴、最值，再计算函数与y轴交点，即可选出正确选项． 【详解】解：将二次函数整理为顶点式标准形式可得：， ∵， ∴抛物线开口向下，函数存在最大值． ∵顶点坐标为，对称轴为直线 ∴当时，函数取得最大值. 由此可知A选项对称轴错误，B选项最值性质错误，D选项正确； 再求函数与y轴交点：令，得，即交点坐标为，故C选项错误． 综上，正确答案为D． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 内错角相等 B. 从一副扑克中任意抽出一张是方块 C. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 D. 明天一定是晴天 【答案】C 【解析】 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，据此判断． 【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，故为随机事件，故不符合题意； B、从一副扑克中任意抽出一张是方块，故为随机事件，故不符合题意； C、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，故为必然事件，故符合题意； D、明天不一定是晴天，有可能是阴天，故为随机事件，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了必然事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 4. 将抛物线先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，逐步推导新解析式． 【详解】解：原抛物线为 ， 向下平移3个单位：， 向右平移2个单位：， 故得到的抛物线为， 故选：D． 5. 如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且，F为的中点，分别连接，若，则的最大值为（　　） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆，由勾股定理得：，为的中位线，当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：，如图2：此时，即的最大值为4，由此即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆， ∵为的直径， ∴， 在中，，，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴为的中位线， ∴，即弦的弦心距， ∵点为的中点， ∴为弦的弦心距， ∵， ∴， ∴当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点在的延长线上时，为最大， 如图2：此时，即的最大值为4， 故选：B． 6. 如图，四边形为的内接四边形，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，解直角三角形；连接交于点，先证明得出，，根据四边形为的内接四边形，进而得出，结合已知条件得出，是等腰直角三角形，设，进而解即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点， ∵ ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 7. 某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A. 200 B. 220 C. 240 D. 260 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出衣服进价，再通过设未知数得到总利润的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出利润最大时的售价． 【详解】解：设衣服的进价为元， ∵售价为280元时，利润是进价的， ∴， 解得，即进价为200元． 设降价个5元，每天总利润为元， 则每件利润为元，每天销量为件， ∴， 整理得， ∵，二次函数开口向下，当时，取最大值， ∴， ∴总降价金额为元， ∴售价为元． 8. 如图，、、分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面结论中正确的是：（ ） ①该圆的半径为2； ②的长为； ③平分； ④连接，，则与的面积比为． A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，进而证明是等边三角形，则，由此即可判断①；求出，则的长为：，即可判断②；求出，再求出，即可推出，由此即可判断③；过点A作交延长线于点H，交延长线于点G，求出，则，设交于点M，求出，则，，则，再证明，则，即可判断④． 【详解】解：根据题干补全图形，连接， 根据内接正六边形的性质可知：，， ∴是等边三角形， ∴，即圆的半径为2，故①正确； 根据内接正方形的性质可知：， ∴的长为：，故②错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 故③正确； 过点A作交延长线于点H，交延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 设交于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 因此正确的结论：①③④ 故选D． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，弧长公式，勾股定理，得出圆形的半径是解题的关键． 二．填空题（满分24分，每小题3分） 9. 若点和关于原点对称，则__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，进而可得a+b的值． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴a=2，b=-3， ∴a+b=-1． 故答案为：-1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 10. 如图，将一个圆分为三个扇形，圆心角，所在扇形的面积占圆的面积的四分之一，则的度数为___________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】所在扇形的面积占圆的面积的四分之一，得到，再根据进行计算即可． 【详解】解：所在扇形的面积占圆的面积的四分之一， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，熟练掌握周角的定义是解题的关键． 11. 一球以的初速度从地面竖直向上弹起，球离地面的高度关于时间的函数表达式是，则球离地面的最大高度为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，已知是关于的二次函数，二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点纵坐标即为所求最大高度，可通过配方法变形求解即可． 【详解】解：对函数解析式配方变形得， ∵二次函数的二次项系数， ∴二次函数开口向下， ∴当时，取最大值，最大值为． 故答案为． 12. 在一个不透明的盒子中装有8个大小相同的乒乓球，做了2000次摸球试验，摸到红球的频数是502，估计盒子中的红球的个数是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．先求出摸到红球的频率，再利用频率估计概率，然后乘以球的总数即可得． 【详解】解：∵做了2000次摸球试验，摸到红球的频数是502， ∴摸到红球的频率是， ∴估计盒子中的红球的个数是（个）， 故答案为：2． 13. 如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质定理，矩形的判定和性质，勾股定理． 连接，，作交于点，根据垂径定理得到，则，根据切线的性质定理得到，进而证明四边形是矩形，得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求出圆心P的坐标． 【详解】解：如图，连接，，作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵与y轴相切于点C， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴圆心P的坐标是． 故答案为：． 14. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：1． 15. 在平面直角坐标系中，点，点P在反比例函数的图像上且在第一象限，与边相交于点Q，设的面积为，的面积为，如果，那么点P的坐标是 __________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征以及三角形面积相关知识，根据题意作出图形，易得，据此求解即可． 【详解】解：如下图， ∵， ∴， 根据题意，可知，， ∴， ∴， ∴，解得， ∵点P在反比例函数的图像上且在第一象限， ∴，解得， ∴． 16. 咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为_____g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有_____袋． 【答案】 ①. 49 ②. 90 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，事件发生的可能性大小，样本估计总体，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据众数的定义即可得到，根据众数的定义即可得到抽到质量为的可能性最大，再用样本估计总体的方法求解这批饼干中质量超过的饼干的数量． 【详解】解：数据46有1个；数据47有1个；数据48有1个；数据49有3个；数据50有2个；数据52有1个， ∵数据的众数只有一个，恰好是a， ∴； ∵众数为49， ∴抽到质量为的可能性最大， 则这批饼干中质量超过的饼干有：（袋）， 故答案为：49；90． 三．解答题（共6小题，满分44分） 17. 用配方法解方程:x2-6x+5=0 【答案】x1=5，x2=1． 【解析】 【分析】首先移项，把方程变形为x2-6x=-5的形式，方程两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边是完全平方式，右边是常数，然后利用直接开平方法即可求解． 【详解】x2-6x+5=0 移项得，x2-6x=-5 x2-6x+9=-5+9， ∴（x-3）2=4， ∴x-3=±2， 解得x1=5，x2=1． 【点睛】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 18. 先化简下式，再求值： ， 其中，. 【答案】3 【解析】 【分析】先对代数式去括号，合并同类项，化成最简式后，把、的值分别代入最简式后计算即可. 【详解】解：原式= =＋－b = 当a=2，b=－3时， 原式= =－6＋6＋3 =3 【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握整式的加减运算法则. 19. 已知关于x的一次函数（k为常数，）． （1）不论k为何值，该函数图象都经过一个定点，这个定点的坐标为： ； （2）若该函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为3，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用． （1）当时，，即可得到定点的坐标； （2）求出与坐标轴的交点坐标，利用函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为3，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， ∴不论k为何值，该函数图象都经过一个定点，这个定点的坐标为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：当时，． ∴与坐标轴的交点坐标为：； 由题意得：． 解得． 20. 如图，为直径，为弦，且为的切线，过D作于点E，延长交的延长线于点H． （1）求证：； （2）若E为的中点，，，求此时圆的半径的长度． 【答案】（1） 证明：如图，连接，     ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用等角的余角相等即可证明，再利用等腰三角形的判定定理即可证明； （2）设，则，利用三角函数的定义求出，根据勾股定理得出的长，然后利用，可得半径的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 解得， ∴半径为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，三角函数的定义，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键． 21. 如图，抛物线与轴交于，两点，且． （1）求抛物线的函数解析式；并直接写出的顶点坐标； （2）将先向右平移个单位，再向上平移个单位，记为第一次操作，得到抛物线，按同样的操作方式，经过第二次操作，可得到抛物线，经过第三次操作，可得到抛物线，，经过第次操作可得到抛物线． 的顶点是否在上，请说明理由； 若抛物线恰好经过点，求抛物线的解析式； 定义：当抛物线与轴有两个交点时，定义以这两个交点及抛物线顶点构成的三角形叫做该抛物线的“轴截三角形”如是抛物线的“轴截三角形”记抛物线，，，，的“轴截三角形”的面积分别为，，，，当时，求值． 【答案】（1） （2）①在，理由见解析；②；③25 【解析】 【分析】求出点、的坐标，再用待定系数法即可求解； 由平移的性质得，抛物线的顶点坐标为：，进而求解； 推理出，即可求解； 令，得到，再由面积公式即可求解． 【小问1详解】 ∵，抛物线的对称轴为直线， 则点、的坐标分别为、， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：， 顶点坐标为：． 【小问2详解】 由平移的性质得，抛物线的顶点坐标为：， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 则点在抛物线上， 即的顶点在上； 由题意得，抛物线的表达式为：， 同理可得，， ， 将点的坐标代入的表达式得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； 令， 解得：， 则， 解得：． 【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到新定义、二次函数的性质和图像、面积的计算等，按题设的顺序逐次求解和理解新定义是此类题目解题的关键． 22. 已知，在中，，，D为边上一动点（不与B，C重合），将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，当，且点E在边上时，连接，判断线段与之间的关系，并证明； （2）如图2，当点E在内部时，在射线上有一点F，连接，使，依据题意补全图形，并用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1），，证明见解析 （2）图见解析，，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识． （1）先根据三角形外角的性质得出，再由等角对等边可得结论； （2）①根据题意补全图形即可；②连接，取中点H，连接，证明，再根据证明得，得到，再根据平行线分线段成比例定理可得结论． 【小问1详解】 解： ，； 证明：由题意得，，， ， ， 是等边三角形， ， ，即， ，即； 【小问2详解】 解：依据题意补全图形如解图， ． 证明：如图，连接，取中点H，连接， ，H是的中点， ． ，， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $