专题08 四边形章末70道压轴题型专训（14大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题08 四边形章末70压轴题型专训（14大题型） 题型一 多边形内角和与外角和综合 题型二 平行四边形的动点问题 题型三 平行四边形中翻折问题 题型四 平行四边形性质和判定的综合应用 题型五 矩形的翻折问题 题型六 矩形的性质与判定求综合应用 题型七 菱形的翻折问题 题型八 菱形的性质与判定求综合应用 题型九 正方形折叠问题 题型十 正方形的性质与判定求综合应用 题型十一 坐标系中四边形综合 题型十二 中点四边形 题型十三 三角形中位线的实际应用 题型十四 四边形其他综合问题 【经典例题一 多边形内角和与外角和综合】 1．（24-25八年级下·上海松江·期中）（1）根据图中的相关数据，求出的值； （2）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数． 2．（24-25八年级上·江西宜春·月考）请根据对话回答问题： (1)小明为什么说这个凸多边形的内角和不可能是？ (2)小敏求的是几边形的内角和？ 3．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）(1)如图①②，试研究其中、与、之间的数量关系； (2)如果我们把、称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； (3)用你发现的结论解决下列问题： 如图③，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 4．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 5．（24-25八年级上·山西大同·月考）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 多边形分为凸多边形和凹多边形． 如果将一个多边形的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形． 如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形． 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题． 如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为与内角和相加，为． 任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的_____． A．整体思想    B．方程思想 C．转化思想    D．分类讨论思想 任务二：如图1，四边形是凹四边形，请探究与，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：．请你将下面小明的证明过程补充完整． 证明：如图1，连接并延长到点． …… 任务三：图2中的度数为_____． 【经典例题二 平行四边形的动点问题】 6．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图，、是平行四边形的对角线，与交于点O，M为上动点，为上动点，连接． (1)当，时，请证明四边形也是平行四边形． (2)当和满足什么数量关系时，四边形是平行四边形． 7．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为． (1)当　　时，四边形为平行四边形； (2)当时，求t的值． 8．（24-25八年级下·四川德阳·期中）已知，在四边形中，，，，． (1)如图1，求长． (2)如图2，点E在的延长线上，连接，若，且四边形的面积为9．求的长． (3)如图3，在（2）的条件下，动点P从点A出发沿以每秒0.5个单位长度的速度向终点D匀速运动，动点Q从点E出发以每秒3.5个单位长度的速度沿向终点B匀速运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达终点停止运动时点P也随之停止运动，当运动时间t（秒）为何值时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？ 9．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，．动点P沿边以每秒个单位长度的速度从点A向点D运动．设点P运动的时间为t（）秒． (1)当平分时，求t的值． (2)如图2，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发． ①当点P到达点D停止运动，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出t的值． ②若点P在上往返运动，当以P、D、Q、B为顶点的四边形第次成为平行四边形时，直接写出此时t的值为______． 10．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）在中，对角线交于点O．过点B作直线，E为l上的动点，连接，交于点F，连接． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，随着点E的运动，线段之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【经典例题三 平行四边形中翻折问题】 11．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）如图，将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处，折痕交边于点E，连接． (1)证明四边形是平行四边形； (2)若平分，求的度数． 12．（24-25八年级下·上海长宁·假期作业）如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置． (1)连接，，求证：； (2)若，求的度数． 13．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 14．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图1，在中，，点分别为边上异于端点的动点，且，连接，将四边形沿着折叠得到四边形． (1)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (2)当点落在的边上时，直接写出点之间的距离． 15．（24-25八年级下·河南南阳·期中）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． (1)操作发现： 如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为12，，则此完美长方形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为20，，求完美长方形的周长． (3)拓展延伸： 如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，则此完美长方形的周长为 ，面积为 ． 【经典例题四 平行四边形性质和判定的综合应用】 16．（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 17．（2025·江苏无锡·模拟预测）尺规作图问题：如图1，点是边上一点（不包含，），连接． (1)尺规作图：在边上找一点，使． (2)小丽：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；连接，则． 小明：小雨，你的作法有问题， 小丽：哦……我明白了! 指出小丽作法中存在的问题． 18．（24-25八年级下·天津和平·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中． （Ⅰ）如图，线段AB，CD的端点A，B，C，D均在格点上，请直接写出线段AB与CD的关系______； （Ⅱ）如图，线段AB，AD，BC的端点均在格点上，线段BC与AD相交于点P，请用无刻度的直尺，过点P作直线PQ平行AB． 19．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． (1)如图1，当为等边三角形时，将绕点逆时针旋转得到，连接，则与的数量关系为___________； (2)如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，． ①试猜想四边形的形状，并证明； ②若，请直接写出的最小值． 20．（24-25八年级下·山西晋中·期末）综合与实践： 问题情境： 图形变换包括平移、旋转、对称、位似等，其中旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转的性质则是解决实际问题的关键．如图，在平行四边形中，，对角线、相交于点，将直线绕点顺时针旋转一个角度，分别交线段、于点、，已知， ，连接． 猜想验证： （1）如图1，在旋转的过程中，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 探索发现： （2）如图2，当时，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）如图3，当时，求的面积． 【经典例题五 矩形的翻折问题】 21．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，长方形中，，．将此长方形折叠使点与点 重合，折痕为 (1)求的长； (2)求的面积． 22．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，将矩形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A在x轴正半轴上，点C在y轴的正半轴上，，在边上取一点D，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点E处，求D、E两点的坐标． 23．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，在矩形中，点E是边的中点，点F是边上一点，将四边形纸片沿折叠，使点A落在边上的点处，连接．若，求证：． 24．（24-25八年级下·吉林松原·月考）（1）【感知】如图①，小明将矩形纸片对折，找到它的一条对称轴为，展开得到折痕，连接，则与的数量关系是______； （2）【探究】如图②，G为图①中矩形纸片的边上的点，小明沿折叠使点D的对应点H落在上，连接，其他条件不变．求证：是等边三角形； （3）【应用】如图③，连接图②中的并延长，交边于点M，当四边形是平行四边形时，直接写出的值． 25．（25-26八年级下·广东深圳·月考）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，分别将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图，若点F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°；△AEF的周长＝_____； _____． (2)如图，若点F为矩形的边的中点，平分，，，求的度数及的长． (3)如图，当，时，若F为边的三等分点，请直接写出的长． 【经典例题六 矩形的性质与判定求综合应用】 26．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，的对角线，相交于点O，是等边三角形，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求四边形的面积； (3)若，，连接，求线段的长． 27．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图，的对角线、相交于点O，，与交于点F． (1)在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件：______，使得四边形是矩形，并说明理由； (2)若，求的面积． 28．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图1，在矩形中，的平分线交对角线于点M，交于点N，，，垂足分别为E、F．   　   (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，过点C作，若，，求四边形的面积． 29．（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）为了研究特殊四边形之间的关系，老师制作了一个教具（如图①），用钉子将四根木条钉成一个正方形框架，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条，左手向右推动框架得到四边形（如图②）．     (1)如图②，连接，，若正方形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，则之间的数量关系为 ； (2)如图③，过作且，连接．求证：四边形是矩形． 30．（25-26八年级下·广东佛山·月考）综合探究： 【知识链接】“化归思想”是数学学习中一种常用的探究新知、解决问题的基本思想方法，通过“转化、化归”可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决．在探究平行四边形的性质时，某学习小组利用这种思想方法，发现并证明了一个有趣结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． (1)【问题发现】该学习小组首先通过对一类特殊平行四边形矩形的研究发现：如图①，在矩形中，设，则对角线的长和边长之间的数量关系为________（用含的式子表示）； (2)【问题探究】该学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形进行研究．如图②，在中，设，分别过点作边的垂线，垂足分别为．请你按照这种思路猜想对角线的长和边长之间的数量关系，并进行证明； (3)【问题拓展】 如图③，在中，是边上的中线，已知，，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求的值． 【经典例题七 菱形的翻折问题】 31．（25-26八年级下·上海长宁·期末）如图，在矩形中，，为上一点，将沿折叠，恰与对角线重合，点的对应点为点，再将沿折叠，点的对应点为点，且在上． (1)求证：四边形为菱形； (2)求四边形的面积． 32．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）已知：将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，其中点，分别在，上，点的对应点为点，连接． (1)如图①，求证：四边形为菱形； (2)如图2，若，连接交于点，连接，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形． 33．（2025·吉林·一模）综合与实践：折纸中的数学 问题情境： 在矩形中，＝12，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且＝，将△沿折叠，点的对应点为点，将△沿折叠，点的对应点为点Q，且点、均落在矩形的内部（如图①）． 数学思考： （1）判断与是否平行，并说明理由； （2）当长度是多少时，存在点，使四边形是有一个内角为60°的菱形（如图②）？直接写出的长度及菱形的面积． 34．（24-25八年级下·河北保定·期中）对一张矩形纸片进行折叠，具体操作如下： 第一步；先对折，使与重合，得到折痕，展开； 第二步：再一次折叠，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段，，展开，如图1； 第三步：再沿所在的直线折叠，点B落在上的点处，得到折痕，同时得到线段，展开，如图2．    (1)求的度数； (2)证明：四边形为菱形． 35．（24-25八年级下·河南郑州·月考）综合实践课上，同学们以“四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，探究其中的数学规律． (1)操作发现 如图①，四边形纸片是平行四边形，点在边上，将四边形沿过点的直线折叠，点的对应点为．根据以上操作，若点是的中点，折痕过点，连接，则与的位置关系是________________． (2)迁移探究 如图②，若四边形是菱形，，折痕交边于点，点落在上且，，求的长度 (3)拓展应用 如图③，若四边形是矩形，，，折痕过点，点落在矩形的对称轴上，请直接写出的长． 【经典例题八 菱形的性质与判定求综合应用】 36．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，对角线与交于点，且．若点，，，分别是，，，的中点，连接、、、，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 37．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 38．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 39．（25-26八年级下·江西吉安·期末）如图1，矩形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接是的中点，连接． (1)①试猜想四边形的形状，并说明理由． ②若，则四边形的面积为________． (2)如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，求四边形的面积． 40．（24-25八年级下·上海长宁·月考）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； (2)将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； (3)将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 【经典例题九 正方形折叠问题】 41．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，点在边上，连接，将矩形沿折叠，点的对称点落在边上，连接．求证：四边形是正方形．    42．（2025八年级下·广东·专题练习）综合与实践 主题：特殊平行四边形的折叠． 素材：一张正方形纸片． 步骤1：将如图1所示的正方形纸片沿折叠（折痕经过顶点）得到图2； 步骤2：将点折叠到点，得到图3，展开得到，两条折痕，如图4所示． 猜想与证明： (1)请直接写出，的数量与位置关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 43．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）综合与实践 实践操作：如图1，已知矩形纸片． 第一步：如图2，将纸片沿折叠，使点B的对应点正好落在上，然后展平纸片，得到折痕； 第二步：如图3，在图2的基础上，沿折叠纸片，点C的对应点落在处，与交于点F．    问题解决： (1)如图2，判断四边形的形状，并证明； (2)如图3，证明； (3)若，则的周长为___（直接写出答案即可）． 44．（2025·江苏徐州·模拟预测）综合与实践 利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法． 如图①，E 为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与 点重合，点与 点重合，折痕为 ． 思考探索 （1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为， 连接， 如图②，请根据以上条件填空． ①点在以点为圆心， 的长为半径的圆上（填线段）； ②的长为 ； 拓展延伸 （2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形 的内部或边上．求面积的最大值； 45．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在综合与实践活动课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，如图1，现有矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝7． 动手操作 将图1中的矩形纸片折叠，使点A落在BC边上的点F处，然后展平，得到折痕BE，连结EF，EC，如图2． 解决问题 请根据图2完成下列问题： （1）线段CF的长为 　　．线段CE的长为 　　． （2）试判断四边形ABFE的形状，并给予证明． 拓展探究 （3）将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D落在CE上的点N处，然后展平，得到折痕EM，连结MN，如图3，则线段CM的长为 　　． 【经典例题十 正方形的性质与判定求综合应用】 46．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）如图，用四个完全相同的矩形拼成了一个大正方形，AB是其中一个小矩形的对角线，请在大正方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹． (1)在图中画出一个以AB为边的正方形； (2)在图中画出一个以点A或点B为顶点，AB为一边的45°角，并说明理由． 47．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）（2）解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形中，是的中点，且，直接写出的长； 48．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， 交于点E， 交于点F，则与的数量关系为______； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形的对称中心O，直线m分别与交于点E、F，直线n分别与交于点G、H，且 ，若正方形边长为8，求四边形的面积； 【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形是正方形． 49．（25-26八年级下·上海长宁·阶段练习）推理能力【几何探究】综合与实践． 【问题情境】如图，E为正方形内一点，．将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为C）．延长交于点F，连接． 【猜想证明】 （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【解决问题】 （3）如图①，若，请直接写出的长． 50．（24-25八年级下·河南新乡·期末）【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断：(填“=”或“”)； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： 【探究活动1】 （2）如图2，在正方形中，点分别在边和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 【探究活动2】 （3）如图3，在（2）的条件下，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②如图4，点在上，若，且，直接写出的最小值为___________． 【经典例题十一 坐标系中四边形综合】 51．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，点是轴上一点，且的面积是6． (1)求点的坐标： (2)若点在轴正半轴上．点A，B，C是一个平行四边形的三个顶点，直接写出第四个顶点D的坐标．（注：平行四边形不相连的边平行且相等） 52．（2025八年级下·上海长宁·专题练习）已知：如图，的边在轴上，顶点在轴上，，，点的坐标为，求：点、点、点的坐标． 53．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B 出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 54．（24-25八年级下·山东日照·期中）阅读材料： [阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点、为端点的线段中点坐标为． [运用] (1)如图，矩形的对角线相交于点M，分别在x轴和y轴上，为坐标原点，点E的坐标为，则点M的坐标为______．    (2)已知，，三点，在平面直角坐标系中存在一点D，与点A、B、C构成平行四边形，求点D的坐标． 55．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形． （1）已知：如图1，四边形是等对角四边形，，，，则：______°，______°； （2）图2、图3均为的正方形网格，线段，的端点均在网点上．按要求在图2、图3中以和为边各画一个等对角四边形．（要求：四边形的顶点在格点上，所画的两个四边形不全等） （3）如图4，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，过点作直线垂直轴，在直线上是否存在一点，使四边形为等对角四边形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【经典例题十二 中点四边形】 56．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，的对角线相交于点O，且E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的周长． 57．（24-25八年级下·山西太原·期末）如图，在中，点M和N分别在边和上，，连接，点D，E，F，G分别是的中点．求证：四边形是菱形． 58．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH． (1)这个中点四边形EFGH的形状是 ； (2)请证明你的结论． 59．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．    (1)请判断四边形的形状，并说明理由． (2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由． (3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由． 60．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务， 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点、、，分别是边、，，的中点，顺次连接，、、，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon， Pierte 1654-1722）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交，于点、，过点作于点，交于点 ∵、分别为，的中点，∴，．（依据1） ∴，∵，∴． ∵四边形是瓦里尼翁平行四边形， ∴，即． ∵，即， ∴四边形是平行四边形，（依据2）． ∴， ∵，∴．同理，…    任务： (1)填空：材料中的依据1是指：________．依据2是指：________． (2)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，满足下列要求： ①四边形及它的瓦里尼翁平行四边形的顶点都在小正方形网格的格点的上；    ②四边形是矩形，不是正方形． (3)在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线、长度的关系，并证明你的结论．    【经典例题十三 三角形中位线的实际应用】 61．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，点O是内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G ． （1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由； （2）若M为EF的中点，，和互余，求线段OM的长． 62．（24-25八年级下·吉林长春·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中作△ABC的中位线EF，使点E、F分别在边AB、AC上． (2)在图②中作线段GH，使，，点G、H分别在边AB、AC上． 63．（24-25八年级上·山东淄博·期末）知识回顾：已知，如图（1）中，点E是边的中点，点F是边的中点，连接．则与的关系为： （用符号语言表达）． 知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点M，N分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 64．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    65．（24-25八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【经典例题十四 四边形其他综合问题】 66．（24-25八年级下·福建龙岩·月考）小亮把以边所在直线为对称轴翻折得到，这两个三角形组成四边形（如图1），这是一种特殊的四边形——筝形，请你根据学习平行四边形的经验来研究筝形． (1)首先请你给出筝形的一种定义：______；（文字语言描述） (2)如图1，在边、角、对角线的关系方面直接写出两条对筝形性质的猜想（定义除外）； (3)如图2，在筝形中，P，Q，R，T分别为边的中点．求证：四边形是矩形． 67．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 68．（24-25八年级下·江西赣州·期末）【定义】一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)【概念理解】在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 (2)【知识运用】等补四边形中，若，则______． (3)【探究发现】如图2，在等补四边形中，，连接，通过观察与测量发现：平分，请尝试证明这个发现． 69．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）【综合与实践】 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图①所示的四边形是垂美四边形． 【概念理解】 ①正方形，②菱形，③矩形，三个图形中一定是垂美四边形的是______；(填序号) 【性质探究】 小明说：在如图①的垂美四边形中，请你判断他的说法是否正确，并说明理由； 【问题解决】 如图②，分别以Rt的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接交于点，连接交于点，连接．已知，求的长．    70．（24-25八年级上·黑龙江鸡西·月考）请认真阅读下列材料，并完成相应学习任务． 探索四边形的内角和 数学课上，老师提出如下问题：我们知道，三角形的内角和等于，正方形、长方形的内角和都等于．那么，任意一个四边形的内角和是否也等于呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于吗？ “勤奋小组”的思路是：如图1，连接对角线，则四边形被分为两个三角形，即和．由此可得， ∵ ∴ 即四边形的内角和是．    “智慧小组”受到“勤奋小组”的启发，他们发现，在四边形的一条边上取一点E，或在四边形内部取一点E，也可以将四边形分为几个三角形(如图2或图3)，进而证明四边形内角和等于． “创新小组”的思路是：如图4，在四边形外部取一点E，分别连接… 任务一： 勤奋小组在探索四边形内角和的过程中，主要体现的数学思想是(    ) A．从一般到特殊            B．转化               C．抽象 任务二： ，在图2、图3、图4中，选择一种证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 四边形章末70压轴题型专训（14大题型） 题型一 多边形内角和与外角和综合 题型二 平行四边形的动点问题 题型三 平行四边形中翻折问题 题型四 平行四边形性质和判定的综合应用 题型五 矩形的翻折问题 题型六 矩形的性质与判定求综合应用 题型七 菱形的翻折问题 题型八 菱形的性质与判定求综合应用 题型九 正方形折叠问题 题型十 正方形的性质与判定求综合应用 题型十一 坐标系中四边形综合 题型十二 中点四边形 题型十三 三角形中位线的实际应用 题型十四 四边形其他综合问题 【经典例题一 多边形内角和与外角和综合】 1．（24-25八年级下·上海松江·期中）（1）根据图中的相关数据，求出的值； （2）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，解题关键是牢记边形的内角和是，外角和是． （1）利用四边形内角和是列出方程即可求解； （2）利用内角和公式及外角和是，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形内角和是， ∴， ∴， ∴； （2）设这个多边形的边数为n， ， ， ∴边数为6． 2．（24-25八年级上·江西宜春·月考）请根据对话回答问题： (1)小明为什么说这个凸多边形的内角和不可能是？ (2)小敏求的是几边形的内角和？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形的内角和 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，熟练掌握多边形内角和计算公式是解题的关键． （1）根据多边形内角和定理进行解答即可； （2）设小敏求的是边形得内角和，这个外角为，根据公式列出不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：边形的内角和为， 故多边形的内角和一定是的正整数倍， ， 故这个凸多边形的内角和不可能是； （2）解：设小敏求的是边形得内角和，这个外角为， 由题意得：， ， ， ， ， 为正整数， ． 答：小敏求的是十三边形的内角和． 3．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）(1)如图①②，试研究其中、与、之间的数量关系； (2)如果我们把、称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； (3)用你发现的结论解决下列问题： 如图③，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 【答案】(1)；(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；(3) 【分析】（1）根据四边形的内角和等于用表示出，再根据平角的定义用表示出，即可得解； （2）根据（1）的结论，即可求解； （3）根据（1）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：、、、是四边形的四个内角， ， ， ，， ， ； （2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和； （3）解：， ， 、分别是、的平分线， ，， ， ． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，整体思想的利用是解题的关键． 4．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据五边形内角和求解即可； （2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （3）延长NE交AB于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）五边形广场的内角和， 故答案为：； （2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度， 故答案为：； （3）延长NE交AB于点F    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵在五边形中 ∴ 【点睛】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点． 5．（24-25八年级上·山西大同·月考）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 多边形分为凸多边形和凹多边形． 如果将一个多边形的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形． 如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形． 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题． 如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为与内角和相加，为． 任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的_____． A．整体思想    B．方程思想 C．转化思想    D．分类讨论思想 任务二：如图1，四边形是凹四边形，请探究与，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：．请你将下面小明的证明过程补充完整． 证明：如图1，连接并延长到点． …… 任务三：图2中的度数为_____． 【答案】任务一  ；任务二一  见解析；任务三   【分析】本题考查了多边形的内角和外角公式．解题关键掌握多边形的内角和外角关系； 任务一：根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”可得答案； 任务二：先证明，，相加即可； 任务三：利用外角的性质，对顶角和三角形内角和定理转化求解． 【详解】解：任务一：根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”，可知体现了数学中的转化思想方法， 故答案为：C； 任务二：证明：连接并延长到点． 则为的外角，为的外角， ， ． ， ． ， ． 任务三：如下图： 根据三角形外角的性质得：， 又， ， 又， ． 【经典例题二 平行四边形的动点问题】 6．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图，、是平行四边形的对角线，与交于点O，M为上动点，为上动点，连接． (1)当，时，请证明四边形也是平行四边形． (2)当和满足什么数量关系时，四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再证，则可得．根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得四边形也是平行四边形； （2）当时，四边形是平行四边形．由平行四边形对角线互相平分可得，，又由可得，由此可得四边形是平行四边形． 本题主要考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ， ，， ， 又， ， ， 又， ∴四边形也是平行四边形． （2）当时，四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ，， 又， ， 即， ∴四边形是平行四边形． 7．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为． (1)当　　时，四边形为平行四边形； (2)当时，求t的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当运动时间为时，，由四边形为平行四边形，可得出，进而可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）过点作于点，则，当运动时间为时，，，，由，利用勾股定理，可得出，进而可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， 过点作于点，则，如图所示， 当运动时间为时，，， 根据题意得：， ∴， 整理得：， 解得：，， 答：的值为或． 【点睛】本题主要考查动点与线段数量关系，平行四边形的性质，解一元一次方程，一元二次方程，勾股定理的综合运用，掌握以上知识，图形结合分析思想是解题的关键． 8．（24-25八年级下·四川德阳·期中）已知，在四边形中，，，，． (1)如图1，求长． (2)如图2，点E在的延长线上，连接，若，且四边形的面积为9．求的长． (3)如图3，在（2）的条件下，动点P从点A出发沿以每秒0.5个单位长度的速度向终点D匀速运动，动点Q从点E出发以每秒3.5个单位长度的速度沿向终点B匀速运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达终点停止运动时点P也随之停止运动，当运动时间t（秒）为何值时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1) (2) (3)或时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质与判定． （1）先证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质可得结果； （2）过点D作，设，由勾股定理列出方程求解即可得出结论； （3）分为当点Q在线段上时及当点Q在线段上时两种情况进行讨论，再利用平行四边形的判定列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）如图2，过点D作，设， ∴， ∵的面积为9，， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，当点Q在线段上时， 由题意得：， ∵， ∴只要使，四边形是平行四边形， ∴ 解得：， 当点Q在线段上时， 由题意得：， ∵， ∴只要使，四边形是平行四边形， ∴， 解得：， 综上所述：或时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形． 9．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，．动点P沿边以每秒个单位长度的速度从点A向点D运动．设点P运动的时间为t（）秒． (1)当平分时，求t的值． (2)如图2，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发． ①当点P到达点D停止运动，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出t的值． ②若点P在上往返运动，当以P、D、Q、B为顶点的四边形第次成为平行四边形时，直接写出此时t的值为______． 【答案】(1) (2)①或或；② 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由题意可得，则．由平行线的性质和角平分线的性质可得 ，列方程可求解； （2）①根据题意得：，利用平行四边形的性质分四种情况：当点Q没有到达点B时；当点Q到达点B后，返回时；当点Q到达点C后，返回时；当点Q第二次到达点B后，分别求解即可．②由①可知，点P从点A运动到点D，以P、D、Q、B为顶点的四边形可构成3次平行四边形，推导出P从A运动到点D，再返回A，以P、D、Q、B为顶点的四边形可构成7次平行四边形，由，即可得到以P、D、Q、B为顶点的四边形第次成为平行四边形时，． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴． 在中，，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，， ∴， 当点Q没有到达点B时， ， ∴（不合题意舍去）， 当点Q到达点B后，返回时， ， ∴， 当点Q到达点C后，返回时， ， ∴， 当点Q第二次到达点B后， ， ∴． 综上所述：t的值为或8或 ． ②由①可知，点P从点A运动到点D，以P、D、Q、B为顶点的四边形可构成3次平行四边形， 当秒时，P到达点D，此时Q也第2次返回点C， 当P从D返回A时， 当时，由得到， 解得， 当时，由得到， 解得， 当时，由得到， 解得， 当时，由得到， 解得， ∴P从A运动到点D，再返回A，以P、D、Q、B为顶点的四边形可构成7次平行四边形， ∵， ∴以P、D、Q、B为顶点的四边形第次成为平行四边形时， ， 故答案为： 10．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）在中，对角线交于点O．过点B作直线，E为l上的动点，连接，交于点F，连接． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，随着点E的运动，线段之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)当点E在点B的上方时，；当点E在点B的下方时，，理由见解析． 【分析】题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）连接，先证明四边形是平行四边形，得到．再由平行四边形的性质得到．则可证明四边形是平行四边形，得到． （2）分点E在点B的上方和点E在点B的下方，两种情况过点E作，与直线交于点M，连接．证明四边形是平行四边形．得到，，再证明四边形是平行四边形，得到．据此根据线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ，， 四边形是平行四边形． ． 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ． （2）解：如图，当点E在点B的上方时，，理由如下： 过点E作，与交于点M，连接． ， 四边形是平行四边形． ，． 在中，，． ，． 四边形是平行四边形． ． ， ． 如图，当点E在点B的下方时，，理由如下： 过点E作，与延长线交于点M，连接． ，四边形是平行四边形． ，． 在中，，， ，． 四边形是平行四边形． ． ， ． 【经典例题三 平行四边形中翻折问题】 11．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）如图，将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处，折痕交边于点E，连接． (1)证明四边形是平行四边形； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的性质、角平分线等知识，得出四边形是平行四边形是解题关键． （1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，进而求出四边形是平行四边形； （2）先由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，进而得，再根据三角形内角和定理可得结论． 【详解】（1）证明：∵将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·上海长宁·假期作业）如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置． (1)连接，，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定等知识， （1）根据平行四边形的性质和折叠的性质证明，，，即可得到结果； （2）根据题意可得，得到，再根据点与点重合，得到，结合三角形内角和定理即可得到结果； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为折痕，点与点重合， ∴， ∴， ∴． 13．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）由折叠得到，，，然后得到，即可证明出； （2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后由全等得到，得到，即可证明出为等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 14．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图1，在中，，点分别为边上异于端点的动点，且，连接，将四边形沿着折叠得到四边形． (1)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (2)当点落在的边上时，直接写出点之间的距离． 【答案】(1) (2)或或． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）连接交于点，过点作延长线于点，根据平行四边形的性质和勾股定理，得到，，设，由折叠的性质可知，，，根据勾股定理列方程，求出，再求出，然后证明，得到，即可求出折痕的长； （2）分三种情况求解：①当点落在边上时，连接，根据折叠的性质证明四边形是平行四边形，再根据含30度角的直角三角形求解即可；②当点落在边上时，连接交于点，连接、，根据全等三角形的性质和折叠的性质，推出，再根据含30度角的直角三角形和勾股定理求解即可；③当点落在边上时，连接交于点，过点作于点，根据全等三角形的性质和折叠的性质，推出点与点重合，再根据含30度角的直角三角形和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点，过点作延长线于点， 在中，， ，， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， 由折叠的性质可知，，， ， 在中，， ， 解得：， 即， ， ，，， ， ， ； （2）解：①如图，当点落在边上时，连接， 由折叠的性质可知，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ； ②如图，当点落在边上时，连接交于点，连接、， ，，， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ； ③如图，当点落在边上时，连接交于点，过点作于点， 由折叠的性质可知，，垂直平分， ， ， 同②理可证， ， 又，， ， ， ，即点与点重合， 在中，， ， ，， ， ， 综上可知，点之间的距离为或或． 15．（24-25八年级下·河南南阳·期中）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． (1)操作发现： 如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为12，，则此完美长方形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为20，，求完美长方形的周长． (3)拓展延伸： 如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，则此完美长方形的周长为 ，面积为 ． 【答案】(1)3，6 (2)13 (3)42，108 【分析】（1）由折叠可知点H是中点，，过点A作于M，根据三角形面积求的长，由，点H是中点可知是中位线，得到 进而求完美长方形面积； （2）根据折叠可知，，从而可得 ，根据平行四边形面积可求得的长为4进而可求周长； （3）由折叠可证点E，G分别是中点，进一步可证四边形是平行四边形，所以，即长方形对角线长为15，设，根据勾股定理得到方程，解出x，从而可得完美长方形的边长和宽，最后求周长面积即可． 【详解】（1）由折叠可知，， ∴，点H是中点 ∵ ∴ 即， 过点A作于M ∵四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴H是中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴完美长方形的面积为 故答案为：3，6 （2）由折叠可知 同理可知 ∴长方形的面积为         ∴长方形的周长为 （3）由折叠可证点E，G分别是的中点 ∴ 由题意知 ∴ ∴为平行四边形 ∴ 在中，设，则 由勾股定理得 ∴ ∴周长为：    面积为： 故答案为：42，108 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定等知识，熟练掌握其性质是解决此题的关键．   【经典例题四 平行四边形性质和判定的综合应用】 16．（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点，可得与同底同高，与同底同高，由此即可求解．掌握平行四边形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：与之间的关系∶． 理由：如图，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形、四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， 即． 17．（2025·江苏无锡·模拟预测）尺规作图问题：如图1，点是边上一点（不包含，），连接． (1)尺规作图：在边上找一点，使． (2)小丽：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；连接，则． 小明：小雨，你的作法有问题， 小丽：哦……我明白了! 指出小丽作法中存在的问题． 【答案】(1)见详解 (2)以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，故存在问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质， （1）以点C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则； （2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， 又根据作图可知：， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点， 故无法确定F的位置， 故小丽的作法存在问题． 18．（24-25八年级下·天津和平·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中． （Ⅰ）如图，线段AB，CD的端点A，B，C，D均在格点上，请直接写出线段AB与CD的关系______； （Ⅱ）如图，线段AB，AD，BC的端点均在格点上，线段BC与AD相交于点P，请用无刻度的直尺，过点P作直线PQ平行AB． 【答案】（Ⅰ）平行且相等；（Ⅱ）图见解析． 【分析】（Ⅰ）四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质判断即可． （Ⅱ）将AD、BC向下平移一个单位、向左平移一个单位即得到P点对应点Q，作直线即可． 【详解】解：（Ⅰ）观察图形，可知，． 故答案为：，． （Ⅱ）如图，取格点E，F连接EF．取格点M，N，连接MN，与EF相交于点Q， 故AD、BC向下平移一个单位、向左平移一个单位即得到EF、MN，故P、Q为对应点， 连接PQ，即 所以直线PQ即为所求． 【点睛】本题考查作图平移作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是掌握平移的性质，学会利用图形平移解决问题． 19．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． (1)如图1，当为等边三角形时，将绕点逆时针旋转得到，连接，则与的数量关系为___________； (2)如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，． ①试猜想四边形的形状，并证明； ②若，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)①四边形是平行四边形，证明见解析；② 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明即可得求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证；②设，则，由勾股定理得出，代入数值，再根据即可求解． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 绕点M逆时针旋转得到， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：①四边形为平行四边形； 证明如下： ， ， 绕点M逆时针旋转得到， ， ， 则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为平行四边形； ②设，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，即的最小值为. 此时，． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 20．（24-25八年级下·山西晋中·期末）综合与实践： 问题情境： 图形变换包括平移、旋转、对称、位似等，其中旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转的性质则是解决实际问题的关键．如图，在平行四边形中，，对角线、相交于点，将直线绕点顺时针旋转一个角度，分别交线段、于点、，已知， ，连接． 猜想验证： （1）如图1，在旋转的过程中，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 探索发现： （2）如图2，当时，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）如图3，当时，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，则，由证得，即可得出结论； （2）由勾股定理得出，由平行四边形的性质得出，，推出，求出，即，由，即可得出结论； （3）由，得出，证得四边形是平行四边形，则，由得，得出，由得，由，，则． 【详解】解：（1） ；理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ； （2）；理由如下： ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ，， ， ， ， ； （3）， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， 由（1）得：， ， 由（）得：， ，， 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转性质、平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积计算等知识；熟练掌握平行四边形的性质、证明三角形全等、同底等高的三角形面积相等是解题的关键． 【经典例题五 矩形的翻折问题】 21．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，长方形中，，．将此长方形折叠使点与点 重合，折痕为 (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据折叠的性质找边之间的关系． (1)设，由折叠的性质可知，利用勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度； (2)根据矩形的性质和折叠的性质可知，利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：设，由折叠的性质可知， 长方形中，，． ，， ， ， 解得：， ； （2）解：如下图所示， 四边形是矩形， ，， ，， 由折叠可知， ， ， 22．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，将矩形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A在x轴正半轴上，点C在y轴的正半轴上，，在边上取一点D，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点E处，求D、E两点的坐标． 【答案】， 【分析】本题主要考查了翻折变换、勾股定理等知识点，先根据勾股定理求出的长，进而可得出的长，求出E点坐标，在中，由及勾股定理可求出的长，进而得出D点坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上D点坐标为、E点坐标为． 23．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，在矩形中，点E是边的中点，点F是边上一点，将四边形纸片沿折叠，使点A落在边上的点处，连接．若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据矩形的性质可得，，，根据折叠可得，，，，由有一个角是的等腰三角形是等边三角形进一步证得是等边三角形，根据三个角都是的三角形是等边三角形证得是等边三角形，可得，再根据证即可 【详解】证明：在矩形中， ，，， 根据折叠，可得，，，， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（HL）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠问题，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 24．（24-25八年级下·吉林松原·月考）（1）【感知】如图①，小明将矩形纸片对折，找到它的一条对称轴为，展开得到折痕，连接，则与的数量关系是______； （2）【探究】如图②，G为图①中矩形纸片的边上的点，小明沿折叠使点D的对应点H落在上，连接，其他条件不变．求证：是等边三角形； （3）【应用】如图③，连接图②中的并延长，交边于点M，当四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）根据是的垂直平分线得出； （2）根据轴对称的性质得出，根据是的垂直平分线得出，从而得出结论； （3）根据是等边三角形得出，根据轴对称的性质得出，根据平行四边形的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，设，则，，从而，进而得出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵折叠使点的对应点落在上， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：由（2）可知，是等边三角形， ∴， ∵折叠使点的对应点落在上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 设，则，， ， 25．（25-26八年级下·广东深圳·月考）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，分别将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图，若点F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°；△AEF的周长＝_____； _____． (2)如图，若点F为矩形的边的中点，平分，，，求的度数及的长． (3)如图，当，时，若F为边的三等分点，请直接写出的长． 【答案】(1)45，12，2 (2)， (3)或 【分析】（1）证明四边形是正方形，由正方形的性质得出，，由勾股定理及折叠的性质可得出答案； （2）延长，交于点M，证明和均为等腰直角三角形，得出，，则可求出的长，由折叠的性质得出，∠DCF=∠GCF，则可得出答案； （3）分两种情况：①当时，如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，证明，由全等三角形的性质得出，设，，，得出，则可得出答案；②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，设，，，由勾股定理得出，求出b则可得出答案． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴的周长； ∵将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点， ∴， ∵， ∴． 故答案为：45；12；2； （2）解：如图2，延长，交于点M， ∵平分， ∴∠2=∠4． 由折叠的性质可知，，． ∴， ∴． ∵，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， 解得． （3）解：分两种情况：①当时， 如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，，， ∴， 解得， ∴． ②当时， 如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∵， ∴． 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上可知，的长为4或． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【经典例题六 矩形的性质与判定求综合应用】 26．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，的对角线，相交于点O，是等边三角形，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求四边形的面积； (3)若，，连接，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键． （1）由是等边三角形，，可得，根据四边形是平行四边形，进而可得，即可证明平行四边形是矩形． （2）根据四边形是矩形，利用勾股定理即可求解； （3）作的延长线于点H．证明四边形是平行四边形．得，根据，得，进而可得，， 用勾股定理即可求解。 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形． ． 在中， ， ∴． （3）解：作的延长线于点H． ，， ∴四边形是平行四边形． ， ， ，， ∴，， ∴， ∴． ． 27．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图，的对角线、相交于点O，，与交于点F． (1)在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件：______，使得四边形是矩形，并说明理由； (2)若，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)96 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定及性质，菱形的判定及性质． （1）由，可得四边形是平行四边形，只需添加条件使得即可得到矩形； （2）由（1）可得当时，四边形是矩形，得到，根据平行四边形的对角线互相平分并结合勾股定理求出，证明是菱形，根据菱形的性质即可求出面积． 【详解】（1）解：添加条件：，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：由（1）可得当时，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴在中，， ∴在中，， ∵， ∴是菱形， ∴． 28．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图1，在矩形中，的平分线交对角线于点M，交于点N，，，垂足分别为E、F．   　   (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，过点C作，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)6 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据角平分线的性质，得到，即可证明矩形是正方形； （2）根据平行线的性质和角平分线的性质，推出，得到，进而得到，再证明四边形是平行四边形，利用底高即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：四边形矩形， ， ，， ， 四边形是矩形， 平分， ， 矩形是正方形； （2）解：四边形矩形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，角平分线的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握矩形和正方形的判定和性质是解题关键． 29．（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）为了研究特殊四边形之间的关系，老师制作了一个教具（如图①），用钉子将四根木条钉成一个正方形框架，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条，左手向右推动框架得到四边形（如图②）．     (1)如图②，连接，，若正方形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，则之间的数量关系为 ； (2)如图③，过作且，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）过点分别作于点F，延长交于点E，证明四边形是矩形，可得，再利用四边形的面积公式计算即可； （2）证得四边形是菱形，根据菱形的性质可得，再根据平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，最后根据矩形的判定证明即可． 【详解】（1）解：， 如图，过点作于点F，延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ， ∴四边形是菱形， ，， ， ． ， ∴四边形是平行四边形． 又， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． 30．（25-26八年级下·广东佛山·月考）综合探究： 【知识链接】“化归思想”是数学学习中一种常用的探究新知、解决问题的基本思想方法，通过“转化、化归”可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决．在探究平行四边形的性质时，某学习小组利用这种思想方法，发现并证明了一个有趣结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． (1)【问题发现】该学习小组首先通过对一类特殊平行四边形矩形的研究发现：如图①，在矩形中，设，则对角线的长和边长之间的数量关系为________（用含的式子表示）； (2)【问题探究】该学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形进行研究．如图②，在中，设，分别过点作边的垂线，垂足分别为．请你按照这种思路猜想对角线的长和边长之间的数量关系，并进行证明； (3)【问题拓展】 如图③，在中，是边上的中线，已知，，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)图见解析， 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）证明，证明是矩形，设，，则，，利用勾股定理即可得到（1）中结论； （3）延长至点，使，连接，，构造平行四边形，使用（2）中结论即可得到答案． 本题考查勾股定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质． 【详解】（1）解：∵是矩形， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想：，证明如下： 由题意可知，． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是平行四边形， ∵， ∴是矩形． 设，，则，， 在Rt中，， 在中，， ∴， 在中，，即， ∴； （3）解：如图，延长至点，使，连接，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． 由（2），得， ∴， ∴． 【经典例题七 菱形的翻折问题】 31．（25-26八年级下·上海长宁·期末）如图，在矩形中，，为上一点，将沿折叠，恰与对角线重合，点的对应点为点，再将沿折叠，点的对应点为点，且在上． (1)求证：四边形为菱形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理． （1）由矩形的性质得到，，由折叠得到，，，，因此，从而，得到四边形为平行四边形，再由，即可得证； （2）由菱形的性质得到，，，，，进而有，在中根据勾股定理可求出，从而得到的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ，， 由折叠的性质可知，，，，， ， ， ， ∴， 四边形为平行四边形， ， ∴为菱形； （2）解：由（1）可知，四边形是菱形，，， ，，，， ， ∵，即， ， ， ， 即四边形的面积是． 32．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）已知：将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，其中点，分别在，上，点的对应点为点，连接． (1)如图①，求证：四边形为菱形； (2)如图2，若，连接交于点，连接，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形． 【答案】(1)见解析； (2)等边三角形为：、、、． 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等边三角形的判定、平行四边形和菱形的判定；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由折叠性质得，，，由矩形性质得出，，证出，得出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）先证出，得出，证出和是等边三角形；再证出，，得出是等边三角形；证出，得出是等边三角形． 【详解】（1）证明：由折叠性质得，，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． （2）解：等边三角形为：、、、；理由如下： ， ，， 四边形是菱形， ，，，， 和是等边三角形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， 是等边三角形． 33．（2025·吉林·一模）综合与实践：折纸中的数学 问题情境： 在矩形中，＝12，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且＝，将△沿折叠，点的对应点为点，将△沿折叠，点的对应点为点Q，且点、均落在矩形的内部（如图①）． 数学思考： （1）判断与是否平行，并说明理由； （2）当长度是多少时，存在点，使四边形是有一个内角为60°的菱形（如图②）？直接写出的长度及菱形的面积． 【答案】（1）平行，证明见解析；（2）AB= =6，菱形的面积= 【分析】（1）延长NQ交AD的延长线于H．首先证明△EAM≌△FCN，进一步得出∠AMP=∠QNC，从而可证明∠AMP=∠AHN，由此得出结论； （2）由折叠得到PM=6，由直角三角形的性质得AO、PO的长，再根据菱形的性质得PQ，MN的长，从而解决问题． 【详解】如图中，延长NQ交AD的延长线于H． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C=90°， ∵点M，N分别是AD，BC的中点， ∴AM=NC， ∴PM=NQ， ∵AE=CF， ∴△EAM≌△FCN（SAS）， ∴∠AME=∠CNF， ∵∠AME=∠EMP，∠CNF=∠FNQ， ∴∠AMP=∠QNC， ∵AD∥BC， ∴∠AHN=∠CNH， ∴∠AMP=∠AHN， ∴PM∥NH，即PM//NQ； (2) 连接MN、PQ相交于点O，如图， ∵四边形ABCD是矩形，AD=12，点M是AD的中点， ∴AM=6， 由折叠得，PM=AM=6， ∵四边形PNQM是菱形，且∠MPN=60°， ∴∠MPO=30°，MN⊥PQ ∴MO=3，PO= ∴AB=MN=2MO=6，PQ=2PO=6 ∴菱形的面积=． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 34．（24-25八年级下·河北保定·期中）对一张矩形纸片进行折叠，具体操作如下： 第一步；先对折，使与重合，得到折痕，展开； 第二步：再一次折叠，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段，，展开，如图1； 第三步：再沿所在的直线折叠，点B落在上的点处，得到折痕，同时得到线段，展开，如图2．    (1)求的度数； (2)证明：四边形为菱形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据点M是的中点判断出是的中点，再判断出垂直平分，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据翻折的性质可得，然后根据矩形的四个角为直角计算即可得到结果； （2）根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据四条边相等的四边形是菱形证明结果． 【详解】（1）解：∵对折与重合，折痕是， ∴点M是的中点， ∴是的中点， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由翻折的性质，， ∴， ∴． （2）证明：∵沿所在的直线折叠，点B落在上的点处，    ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质和菱形的判定，其中对翻折变换的性质的理解是解决问题的关键． 35．（24-25八年级下·河南郑州·月考）综合实践课上，同学们以“四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，探究其中的数学规律． (1)操作发现 如图①，四边形纸片是平行四边形，点在边上，将四边形沿过点的直线折叠，点的对应点为．根据以上操作，若点是的中点，折痕过点，连接，则与的位置关系是________________． (2)迁移探究 如图②，若四边形是菱形，，折痕交边于点，点落在上且，，求的长度 (3)拓展应用 如图③，若四边形是矩形，，，折痕过点，点落在矩形的对称轴上，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）由折叠的性质可知，，，结合线段中点可得，从而得出，再根据平角和三角形内角和定理，得到，即可证明平行； （2）根据菱形的性质证明是等边三角形，则，，过点作于点，根据30度所对的直角边等于斜边一半，得到，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）设，分两种情况讨论：①当点落在矩形的对称轴上时，过点作于点，交于点；②当点落在矩形的对称轴上时，利用矩形的性质和勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 由折叠的性质可知，，， 点是的中点， ， ， ， ，， ， （2）解：，， ， 四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ，， 如图，过点作于点， ， ， ， 设，则，，， ， 在中，， ， ， ； （3）解：由折叠的性质可知，，， 设， 分两种情况讨论： ①如图，当点落在矩形的对称轴上时，过点作于点，交于点， 四边形是矩形， ， ， ， 是矩形的对称轴， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ； ②如图，当点落在矩形的对称轴上时， ， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 综上可知，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． 【经典例题八 菱形的性质与判定求综合应用】 36．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，对角线与交于点，且．若点，，，分别是，，，的中点，连接、、、，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】四边形是菱形，证明见详解 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得四边形是菱形，则，又因为点，，，分别是，，，的中点，则，即，进行作答． 【详解】解：四边形是菱形，证明如下： ∵，且四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ∵点，，，分别是，，，的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是菱形． 37．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的面积，勾股定理； （1）连接与交于点，证明，得到，即，则平行四边形是菱形； （2）先求出，再勾股定理求出，则，再根据菱形的面积是代入求值即可． 【详解】（1）解：连接与交于点， ∵平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵，平行四边形是菱形， ∴， ∴，即， ∴菱形的面积是． 38．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理： （1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，从而得到，进而得到，可证明四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）设，在中，利用勾股定理可得，连接，在中，利用勾股定理可得，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 如图，   ， ． 纸片沿折叠， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 是菱形． （2）解：由（1）得， 设， 在中，， ∴， ∴， 解得：， 即， 连接，    在中，， ． ， ， ． 39．（25-26八年级下·江西吉安·期末）如图1，矩形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接是的中点，连接． (1)①试猜想四边形的形状，并说明理由． ②若，则四边形的面积为________． (2)如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，求四边形的面积． 【答案】(1)①四边形是菱形，理由见解析；②24 (2)8 【分析】本题考查矩形的性质和菱形的性质与判定，掌握矩形和菱形的性质是解题关键． （1）①根据矩形性质先得到，再利用垂直和平分的条件得到，最后借助H为中点，通过等量代换得到，即可通过四边相等的四边形是菱形证明结论； ②利用矩形和菱形的性质，找到图中矩形和菱形被对角线分割而成的三角形的面积关系，求解即可； （2）同（1）②理，改矩形为正方形不影响图中三角形的面积关系，按照同样的面积关系计算即可． 【详解】（1）①解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， 又， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵点H是中点，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②解：∵四边形是矩形， ∴， 由中点的性质，可知， ∵， ∴， 由（1）可知，四边形是菱形， 由菱形的对称性可知，， ∴四边形的面积为； （2）解：∵正方形是特殊的矩形，具有矩形的所有性质， ∴（1）中的结论仍成立， 由（1）可知，，， ∴四边形的面积为． 40．（24-25八年级下·上海长宁·月考）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； (2)将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； (3)将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，设，表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）由折叠得，，再由勾股定理得，可得，最后由勾股定理求解即可； （3）根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列出方程求出，再连接、，根据翻折的性质可得，，根据两直线平行，内错角相等求出，然后求出，根据等角对等边可得，从而求出四边形是菱形，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠得，， 四边形是矩形， ∴， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ； （2）解：由折叠得，， 在中，， ， ， 在中，， ； （3）解：由折叠得，，设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 连接、， 由翻折的性质可得，，， 矩形的边， ， ， ， ， 四边形是菱形， 在中，， ， 即， 解得． 【经典例题九 正方形折叠问题】 41．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，点在边上，连接，将矩形沿折叠，点的对称点落在边上，连接．求证：四边形是正方形．    【答案】见解析． 【分析】根据矩形的性质和判定以及正方形的判定解答即可． 【详解】四边形是矩形， ， 由折叠可得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 【点睛】此题考查正方形的判定，关键是据矩形的性质和判定以及正方形的判定解答． 42．（2025八年级下·广东·专题练习）综合与实践 主题：特殊平行四边形的折叠． 素材：一张正方形纸片． 步骤1：将如图1所示的正方形纸片沿折叠（折痕经过顶点）得到图2； 步骤2：将点折叠到点，得到图3，展开得到，两条折痕，如图4所示． 猜想与证明： (1)请直接写出，的数量与位置关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）答案看详解； （2）由折叠可知，过点作于，再证明，最后利用全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：； （2）证明：由折叠可知， 过点作于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质．解题关键是正确寻找全等三角形． 43．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）综合与实践 实践操作：如图1，已知矩形纸片． 第一步：如图2，将纸片沿折叠，使点B的对应点正好落在上，然后展平纸片，得到折痕； 第二步：如图3，在图2的基础上，沿折叠纸片，点C的对应点落在处，与交于点F．    问题解决： (1)如图2，判断四边形的形状，并证明； (2)如图3，证明； (3)若，则的周长为___（直接写出答案即可）． 【答案】(1)正方形，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，折叠得到，即可得出四边形是正方形； （2）证明即可得证； （3）勾股定理求出，的长，即可得出结论． 【详解】（1）四边形正方形 证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵△是由折叠得到的， ∴， ∴四边形是正方形； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵矩形，正方形，，    ∴， ∴， 在中，， 由（2）知：， ∴ ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质并灵活运用，是解题的关键． 44．（2025·江苏徐州·模拟预测）综合与实践 利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法． 如图①，E 为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与 点重合，点与 点重合，折痕为 ． 思考探索 （1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为， 连接， 如图②，请根据以上条件填空． ①点在以点为圆心， 的长为半径的圆上（填线段）； ②的长为 ； 拓展延伸 （2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形 的内部或边上．求面积的最大值； 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了圆的性质，正方形的折叠、勾股定理等． （1）①利用圆的基本性质，即可求解； ②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解； （）由题意知点在以点为圆心，半径长为的圆上，的面积要最大，只要以为底的高最长即可，此时当时，的面积最大． 【详解】解：（1）正方形中，，， 根据折叠的性质知：，，，， ①点在以点为圆心，的长为半径的圆上； ② ； 故答案为：①，②， （），， ， 故点在以点为圆心，半径长为的圆上， 的面积要最大，只要以为底的高最长即可， 当时，的面积最大，如图： 的面积最大值． 45．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在综合与实践活动课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，如图1，现有矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝7． 动手操作 将图1中的矩形纸片折叠，使点A落在BC边上的点F处，然后展平，得到折痕BE，连结EF，EC，如图2． 解决问题 请根据图2完成下列问题： （1）线段CF的长为 　　．线段CE的长为 　　． （2）试判断四边形ABFE的形状，并给予证明． 拓展探究 （3）将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D落在CE上的点N处，然后展平，得到折痕EM，连结MN，如图3，则线段CM的长为 　　． 【答案】（1）3，5；（2）四边形ABFE是正方形，证明见解析；（3）． 【分析】（1）由折叠可知△FBE≌△ABE，可得∠AFE＝∠A＝90°，BF＝BA＝4，则CF＝BC﹣BF＝3，根据矩形的性质得到∠A＝∠ABC＝∠＝D＝90°，CD＝AB＝4，可得到四边形ABFE是矩形，则AE＝BF＝4，DE＝3，根据勾股定理可得CE的长； （2）由折叠可知△FBE≌△ABE，可得BF＝BA，∠A＝∠BFE，根据矩形的性质得到∠A＝∠ABC＝∠BFE＝90°，可得到四边形ABFE是矩形，由于BF＝BA，于是得到四边形ABFE是正方形； （3）设CM＝x，则DM＝4﹣x，由折叠可知△ENM≌△EDM，可得∠ENM＝∠D＝90°，DM＝NM＝4﹣x，EN＝ED＝3，则CN＝5﹣3＝2，在Rt△CNM中，根据勾股定理可得x的值，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠可知△FBE≌△ABE， ∴∠AFE＝∠A＝90°，BF＝BA＝4， ∴CF＝BC﹣BF＝3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝∠＝D＝90°，CD＝AB＝4， ∴∠BFE＝∠A＝∠ABF＝90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∴EF＝AB＝4， ∴CE＝＝5， 故答案为：3，5； （2）解：四边形ABFE是正方形， 证明：由折叠可知△FBE≌△ABE， ∴BF＝BA，∠BFE＝∠A， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABF＝90°， ∴∠BFE＝∠A＝∠ABF＝90°， ∴四边形ABFE是矩形， 又BF＝BA， ∴四边形ABFE是正方形； （3）设CM＝x，则DM＝4﹣x， 由折叠可知△ENM≌△EDM， ∴∠ENM＝∠D＝90°，DM＝NM＝4﹣x， EN＝ED＝AD﹣AE＝7﹣4＝3， ∴CN＝CE﹣EN＝5﹣3＝2， 在Rt△CNM中，NM2+CN2＝CM2， ∴（4﹣x）2+22＝x2，解得：x＝， 即CM＝． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的性质，正确的理解题意，证明四边形ABFE是矩形是解题的关键． 【经典例题十 正方形的性质与判定求综合应用】 46．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）如图，用四个完全相同的矩形拼成了一个大正方形，AB是其中一个小矩形的对角线，请在大正方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹． (1)在图中画出一个以AB为边的正方形； (2)在图中画出一个以点A或点B为顶点，AB为一边的45°角，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，理由见解析 【分析】(1)连接AD、DC、BC，所得四边形即为所作正方形； (2)作正方形的对角线，即可画出． 【详解】（1）解：如图，四边形ABCD为所求； 连接AD、DC、BC，所得四边形即为所作正方形； （2）解：如图，∠BAC即为所求． 理由如下： ∵四个全等的矩形被对角线分成的直角三角形全等， ∴． ∴四边形ABCD是菱形． 又∵(SAS)， ∴． ∵， ∴． ∴四边形ABCD是正方形，连接AC． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握和运用各特殊平行四边形的性质与判定是解决本题的关键． 47．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）（2）解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形中，是的中点，且，直接写出的长； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用已知条件，可证出，即； （2）根据全等的性质得出，进而得出，即，可证，可得结论； （3）过C作，交延长线于G，先证四边形是正方形，由（2）结论可知，，设，则，在中利用勾股定理列方程求解，即可求出的长． 【详解】（1）证明：在正方形中， ，，， ． ； （2）证明：， ． ． 即． ， ． ，，， ． ． ∵， ； （3）解：如图，过C作，交延长线于G， 在直角梯形中，，， ∴， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， 四边形为正方形． ． ， 由（2）结论可知，， ∵为中点， ， 设，则， ． 在中，， ， 解得：． ． 48．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， 交于点E， 交于点F，则与的数量关系为______； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形的对称中心O，直线m分别与交于点E、F，直线n分别与交于点G、H，且 ，若正方形边长为8，求四边形的面积； 【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形是正方形． 【答案】【问题一】；【问题二】；【问题三】证明见解析 【分析】本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等． 问题一：证明，即可得到结论； 问题二：连接，由正方形的性质可得，，由（1）中结论可得，等量代换即可得到； 问题三：先证明四边形是菱形，再证明，即可得证． 【详解】问题一： ， 证明如下：在 和 中， 因为 ， 且 ， 所以 ，又因为 ， ， 所以 ，所以 ； 问题二： 如图，连接， 因为点O是正方形的中心，所以， 又由问题一可知，，所以， 所以； 问题三：四边形是正方形， 证明如下：由问题一知，，所以， 所以由勾股定理知，所以四边形是菱形， 又因为在和中，对应边均相等，所以两个三角形全等，所以， 所以，所以，所以四边形是正方形． 49．（25-26八年级下·上海长宁·阶段练习）推理能力【几何探究】综合与实践． 【问题情境】如图，E为正方形内一点，．将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为C）．延长交于点F，连接． 【猜想证明】 （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【解决问题】 （3）如图①，若，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形．理由见解析；（2），证明见解析；（3）的长为 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形 （2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论； （3）作于G，根据勾股定理求出，由（2）可得，，进而求出，根据勾股定理计算的长． 【详解】解：（1）四边形是正方形．理由如下： 由旋转的性质，得， ， ， ∴四边形是矩形． 又， ∴四边形是正方形． （2）．证明如下： 如图①，过点D作于点． ， ． 四边形是正方形， ， ， ． 又， ， ． 将绕点B按顺时针方向旋转得到． 四边形是正方形， ， ， ． （3）如图②，过点D作于点H． 四边形是正方形，． 四边形是正方形， ． 在中，由勾股定理，得， ． 同（2）可得，， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 50．（24-25八年级下·河南新乡·期末）【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断：(填“=”或“”)； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： 【探究活动1】 （2）如图2，在正方形中，点分别在边和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 【探究活动2】 （3）如图3，在（2）的条件下，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②如图4，点在上，若，且，直接写出的最小值为___________． 【答案】（1）（2），理由见详解，（3）①是，理由见详解；② 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得； （3）①连接，证明，所以；由折叠可知，，由四边形内角和和平角的定义可得，所以，则，所以四边形是菱形，再由“有一个角是直角的边形是正方形”可得结论； ②作交的延长线于点，作交于点，可证，由此可得，易证为等腰直角三角形，所以，则，可得，；作点关于的对称点，则，可得，求出的值即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 如图，过点作，交于点，交于点， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①是，理由如下： 连接． 由（2）的结论可知：． ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ∴， ， 由折叠可知：． ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为菱形， 又∵， ∴四边形为正方形． ②作交的延长线于点，作交于点． ， ， ，， ， ，． ，， 为等腰直角三角形， ， ． ， ，， 作点关于的对称点，则，， ． 作交的延长线于点， 则， ， 的最小值， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的判定和性质，正方形的性质和判定，折叠的性质，轴对称的性质等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【经典例题十一 坐标系中四边形综合】 51．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，点是轴上一点，且的面积是6． (1)求点的坐标： (2)若点在轴正半轴上．点A，B，C是一个平行四边形的三个顶点，直接写出第四个顶点D的坐标．（注：平行四边形不相连的边平行且相等） 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】（1）根据题意设点的坐标为，则，再由点、的坐标求出的长，根据三角形的面积，可得，即，即可求解； （2）先由，，，求出线段，的长度，再分情况进行求解，即可解得点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，∵点是轴上一点， ∴设点的坐标为， ∴， ∵点，， ∴， ∵的面积是6， ∴, 即， 解得，， ∴点的坐标为或； （2）解：由（1）知点的坐标为或， ∵点在轴正半轴上， ∴点的坐标为， 设第四个顶点D的坐标为， ∵四边形为平行四边形， 当时， ∵，，， ∵， ∴， ∴点D的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴点D的坐标为， ∴综上可知，第四个顶点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，平行四边形的性质，点的坐标与图形的性质．解答本题关键要注意分两种情况进行求解． 52．（2025八年级下·上海长宁·专题练习）已知：如图，的边在轴上，顶点在轴上，，，点的坐标为，求：点、点、点的坐标． 【答案】，， 【分析】本题考查了坐标和图形，平行四边形的性质，勾股定理，根据题意数形结合是解题的关键． 先解直角三角形得出点的纵坐标，即为点的纵坐标，再由平行四边形的对边相等得出各个点的横坐标即可． 【详解】解：∵的坐标为， ∴， 又∵， ∴在中，由勾股定理可得，即点的纵坐标为， 又，点的横坐标为， ∴可得点的横坐标为5， 而点的横坐标则为， ∴可得，，． 53．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B 出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)或2时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； (2)点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案； （2）分不同情况画出图形，由菱形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：若点在点的左侧，四边形为平行四边形，， 由题意得， 解得， 若点在点的右侧，四边形为平行四边形，， ， 解得， 综上：或2时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； （2）解：点的坐标为或或或． 理由如下： 点，， ，， ， 如图，以为边，四边形是菱形， ， ； 如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； 如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； 如图，以为对角线，四边形是菱形， 设， ， ， ， ， ， ； 综上所述，以、、、为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或或． 54．（24-25八年级下·山东日照·期中）阅读材料： [阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点、为端点的线段中点坐标为． [运用] (1)如图，矩形的对角线相交于点M，分别在x轴和y轴上，为坐标原点，点E的坐标为，则点M的坐标为______．    (2)已知，，三点，在平面直角坐标系中存在一点D，与点A、B、C构成平行四边形，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，平行四边形和矩形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形对角线互相平分是解题的关键． （1）根据中点坐标公式计算，即可求解； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵点的坐标为，点O的坐标为， ∴点M的坐标为，即， 故答案为：； （2）解：设点D的坐标为， 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 55．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形． （1）已知：如图1，四边形是等对角四边形，，，，则：______°，______°； （2）图2、图3均为的正方形网格，线段，的端点均在网点上．按要求在图2、图3中以和为边各画一个等对角四边形．（要求：四边形的顶点在格点上，所画的两个四边形不全等） （3）如图4，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，过点作直线垂直轴，在直线上是否存在一点，使四边形为等对角四边形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）150，75；（2）见解析；（3）存在，， 【分析】（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D=∠B=75°，根据多边形内角和定理求出∠C即可； （2）根据等对角四边形的定义画出图形即可求解； （3）分①和②两种情况加以分析即可； 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=60°，∠B=75°， ∴∠D=∠B=75°， ∴∠C=360°-75°-75°-60°=150°； 故答案为150，75． （2）如图所示： （3）①当时，可以得到点在的平分线上， ∴， ∴， ∴点的坐标为； ②时，过作于点， 设点的坐标为，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论． 【经典例题十二 中点四边形】 56．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，的对角线相交于点O，且E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为 【分析】本题考查了三角形中点四边形，中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据线段中点的概念得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， E、F、G、H分别是的中点， 四边形是平行四边形； （2）， ， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， 的周长． 57．（24-25八年级下·山西太原·期末）如图，在中，点M和N分别在边和上，，连接，点D，E，F，G分别是的中点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，证明，根据菱形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可得：，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键． 58．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH． (1)这个中点四边形EFGH的形状是 ； (2)请证明你的结论． 【答案】(1)平行四边形 (2)见解析 【分析】（1）根据四边形的形状，及三角形中位线的性质可判断出四边形EFGH是平行四边形； （2）连接AC、利用三角形的中位线定理可得出HG=EF、EF∥GH，继而可判断出四边形EFGH的形状； 【详解】（1）根据题意可得：四边形EFGH的形状是平行四边形． 故答案为：平行四边形； （2）证明：连接AC， ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF∥AC，EF=AC， 同理HG∥AC，HG=AC， 综上可得：EF∥HG，EF=HG， 故四边形EFGH是平行四边形． 【点睛】此题考查了三角形的中位线定理及平行四边形的判定，本题还可证明EF=HG，EH=FG，然后得出四边形EFGH是平行四边形，难度一般．形． 59．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．    (1)请判断四边形的形状，并说明理由． (2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由． (3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，进行判断即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，进行判断即可； （3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）当四边形满足时，四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3）当四边形满足时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查中点四边形．解题的关键是掌握三角形的中位线定理，以及菱形和矩形的判定定理． 60．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务， 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点、、，分别是边、，，的中点，顺次连接，、、，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon， Pierte 1654-1722）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交，于点、，过点作于点，交于点 ∵、分别为，的中点，∴，．（依据1） ∴，∵，∴． ∵四边形是瓦里尼翁平行四边形， ∴，即． ∵，即， ∴四边形是平行四边形，（依据2）． ∴， ∵，∴．同理，…    任务： (1)填空：材料中的依据1是指：________．依据2是指：________． (2)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，满足下列要求： ①四边形及它的瓦里尼翁平行四边形的顶点都在小正方形网格的格点的上；    ②四边形是矩形，不是正方形． (3)在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线、长度的关系，并证明你的结论．    【答案】(1)三角形中位线定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)见解析； (3)行四边形的周长等于． 【分析】（1）由三角形中位线定理和平行四边形的判定可求解； （2）先画格点矩形，再找出格点A、B、C、D点，使点，，，分别是恰好边，，，的中点，顺次连接即可得到所求； （3）由三角形中位线定理可得，，，，即可求解． 【详解】（1）解：（1）证明：如图2，连接，分别交，于点，，过点作于点，交于点． ，分别为，的中点， ，，（三角形中位线定理）， ， ， ， 四边形是瓦里尼翁平行四边形， ，即． ，即， 四边形是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ， ， ， 同理可得，， ， 故答案为：三角形中位线定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）如图，四边形及它的瓦里尼翁平行四边形为所求：    （3）瓦里尼翁平行四边形的周长等于，理由如下： 四边形是瓦里尼翁平行四边形， 点，，，分别是边，，，的中点， ，，，， 瓦里尼翁平行四边形的周长． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【经典例题十三 三角形中位线的实际应用】 61．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，点O是内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G ． （1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由； （2）若M为EF的中点，，和互余，求线段OM的长． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2） 【分析】（1）根据中位线的性质定理可分别得DG∥BC，，EF∥BC，，从而可判断四边形DEFG的形状； （2）由和互余，可得OB⊥OC，由可得EF的长度，由直角三角形斜边上中线的性质即可求得OM的长． 【详解】（1）四边形DEFG是平行四边形，理由如下： ∵D、G分别是AB、AC的中点， ∴DG是△ABC的中位线， ∴DG∥BC，， 同理：EF∥BC，， ∴DG∥EF，DG=EF ∴四边形DEFG是平行四边形； （2）∵和互余， ∴OB⊥OC， ∵，， ∴EF=3， ∵M点是EF的中点， ∴OM为Rt△EOF斜边上的中线， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，直角三角形的判定，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握这些知识并灵活运用是解决本题的关键． 62．（24-25八年级下·吉林长春·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中作△ABC的中位线EF，使点E、F分别在边AB、AC上． (2)在图②中作线段GH，使，，点G、H分别在边AB、AC上． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）作出AB的中点E，AC的中点F，连接EF，线段EF即为所求； （2）在AB上找一点G，使得，在AC上找一点H，使得，连接GH，线段GH即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，线段EF即为所求； （2）如图②中，线段GH即为所求． 【点睛】本题考查作图，应用与设计作图，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 63．（24-25八年级上·山东淄博·期末）知识回顾：已知，如图（1）中，点E是边的中点，点F是边的中点，连接．则与的关系为： （用符号语言表达）． 知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点M，N分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 【答案】知识回顾：，；知识应用：， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 知识回顾：根据三角形的中位线的性质可得结论； 知识应用：连接并延长交的延长线于点G，证明，可得，，再结合三角形的中位线的性质可得结论． 【详解】解：知识回顾： ∵点E是边的中点，点F是边的中点， ∴是的中位线， ∴，； 故答案为：，． 知识应用：，，理由如下： 连接并延长交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∵， ∴． 64．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2），；详见解析；（3）18米 【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可； （2）过点作，与的延长线交于点，证明，再证四边形是平行四边形，即可证明结论； （3）直接利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； （2）求证：，． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点． ∴， 在和中， ． ，． ，． 四边形是平行四边形， ，， 又， ，． 故答案为：，； （3）∵点分别是的中点，米， ∴，即：米 故答案为：18米． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题． 65．（24-25八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 【经典例题十四 四边形其他综合问题】 66．（24-25八年级下·福建龙岩·月考）小亮把以边所在直线为对称轴翻折得到，这两个三角形组成四边形（如图1），这是一种特殊的四边形——筝形，请你根据学习平行四边形的经验来研究筝形． (1)首先请你给出筝形的一种定义：______；（文字语言描述） (2)如图1，在边、角、对角线的关系方面直接写出两条对筝形性质的猜想（定义除外）； (3)如图2，在筝形中，P，Q，R，T分别为边的中点．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形” (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． （1）根据折叠的性质得出答案； （2）先判断出，即可得出结论； （3）利用三角形中位线定理证明即可． 【详解】（1）解：根据观察可得，两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 故答案为：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”； （2）解：如图2，①筝形的一条对角线平分一组对角； ②筝形的一组对角相等； 证明：①由折叠知， ， ，，； 即筝形的一条对角线平分一组对角； ②由折叠知，， ； 即筝形的一组对角相等； （3）证明：连接，． ，， ，， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 垂直平分线段， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． 67．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 【答案】（1）②④；（2）猜想正确，理由见解析；（3） 【分析】本题考查四边形中新定义的问题，熟练掌握勾股定理与几何问题的结全是解题的关键， （1）利用垂美四边形的定义结合菱形和正方形的性质即可得到答案； （2）利用垂美四边形的定义可得到，再根据勾股定理即可得到答案； （3）结合垂美四边形的结论，代入即可得到答案． 【详解】解：（1）∵菱形、正方形的对角线相互垂直， ∴菱形和正方形符合垂美四边形的定义， 故答案为：②④； （2）猜想正确，理由如下： ∵四边形中，， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）∵，，D、E分别是、的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 68．（24-25八年级下·江西赣州·期末）【定义】一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)【概念理解】在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 (2)【知识运用】等补四边形中，若，则______． (3)【探究发现】如图2，在等补四边形中，，连接，通过观察与测量发现：平分，请尝试证明这个发现． 【答案】(1) (2)90 (3)见解析 【分析】（1）判断图形是否满足“等补四边形”的对角互补，邻边相等的条件； （2）由“等补四边形”的定义可得出∠A：∠B：∠C：∠D=3：2：3：4，则可求出答案； （3）过点A分别作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，证明△ABE≌△ADF． 【详解】（1））∵平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， ∴平行四边形不一定是等补四边形， 故选项A不符合题意； ∵菱形四边相等，对角相等，但不一定互补， ∴菱形不一定是等补四边形， 故选项B不符合题意； ∵矩形对角互补，但邻边不一定相等， ∴矩形不一定是等补四边形， 故选项C不符合题意； ∵正方形四个角是直角，四条边相相等， ∴正方形一定是等补四边形， 故选项D符合题意． 故答案为：D； （2）∵等补四边形对角互补， ∴∠A：∠B：∠C：∠D=3：2：3：4， 又∵∠A+∠C=180°， ∴∠A=∠C=90°， 故答案为：90． （3）如图2，作于，于， 则， ∵四边形是等补四边形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线， 即平分． 【点睛】本题是四边形综合题，新定义“等补四边形”，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确理解新定义“等补四边形”是解题的关键． 69．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）【综合与实践】 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图①所示的四边形是垂美四边形． 【概念理解】 ①正方形，②菱形，③矩形，三个图形中一定是垂美四边形的是______；(填序号) 【性质探究】 小明说：在如图①的垂美四边形中，请你判断他的说法是否正确，并说明理由； 【问题解决】 如图②，分别以Rt的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接交于点，连接交于点，连接．已知，求的长．    【答案】【概念理解】①②；【性质探究】正确，证明见解析；【问题解决】． 【分析】本题考查四边形综合题、正方形的性质、勾股定理、垂美四边形的定义等知识 （1）根据垂美四边形的定义即可判断； （2）利用勾股定理即可证明； （3）只要证明四边形CGEB是垂美四边形，利用（2）中结论即可解决问题． 【详解】解：（1）∵菱形、正方形的对角线互相垂直， ∴菱形、正方形都是垂美四边形， 故答案为：①②； （2）说法正确，证明如下： 如图1，设交于点，    ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴； （3）∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴四边形是垂美四边形， 由（2）可知， ∵， 由勾股定理，得， ∴， ∴． 70．（24-25八年级上·黑龙江鸡西·月考）请认真阅读下列材料，并完成相应学习任务． 探索四边形的内角和 数学课上，老师提出如下问题：我们知道，三角形的内角和等于，正方形、长方形的内角和都等于．那么，任意一个四边形的内角和是否也等于呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于吗？ “勤奋小组”的思路是：如图1，连接对角线，则四边形被分为两个三角形，即和．由此可得， ∵ ∴ 即四边形的内角和是．    “智慧小组”受到“勤奋小组”的启发，他们发现，在四边形的一条边上取一点E，或在四边形内部取一点E，也可以将四边形分为几个三角形(如图2或图3)，进而证明四边形内角和等于． “创新小组”的思路是：如图4，在四边形外部取一点E，分别连接… 任务一： 勤奋小组在探索四边形内角和的过程中，主要体现的数学思想是(    ) A．从一般到特殊            B．转化               C．抽象 任务二： ，在图2、图3、图4中，选择一种证明． 【答案】任务一：B；任务二：见解析 【分析】任务一：根据题意正确作答即可；任务二，根据将四边形分成几个三角形，然后根据度数之间的关系列式，计算求解即可． 【详解】任务一：解：由题意知，主要体现的数学思想是转化， 故选：B． 任务二： ①选择图2，证明：分别连接，，则把四边形分成3个三角形． ； ②选择图3，证明：把四边形分成4个三角形， ； ③选择图4，，证明： ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和．解题的关键在于根据题意正确的表示角度之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $