专题07 四边形章末易错必刷题型专训（78题26个考点）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题07 四边形章末易错必刷题型专训（78题26个考点） 【易错必刷一 多边形对角线的条数问题】 1．（24-25八年级上·上海长宁·期末）六边形的对角线总条数是（   ） A．12条 B．9条 C．6条 D．3条 2．（24-25八年级上·上海虹口·月考）一个多边形的对角线的条数等于它的边数的5倍，则这个多边形是______边形． 3．（24-25八年级上·上海闵行·月考）旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 【易错必刷二 多（少）算一个角问题】 4．（24-25八年级下·上海普陀·月考）小明同学在用计算器计算某边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2016°，则等于（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 5．（24-25八年级下·上海虹口·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为___________． 6．（24-25八年级上·上海松江·月考）看对话答题： 小梅说：这个多边形的内角和等于1125° 小红说：不对，你少加了一个角 问题： （1） 他们在求几边形的内角和? （2） 少加的那个内角是多少度? 【易错必刷三 多边形外角和问题】 7．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为α，β，则比较α与β的大小，结果正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 8．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转，再前进10米后再向右转，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为________米． 9．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）如图是花样滑冰运动员从点A出发滑行一周后回到点A处所经过的路线．从开始到结束，他转过的角度为多少？ 【易错必刷四 多边形内角和问题】 10．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（2025八年级下·江西上饶·模拟预测）如图，计算图形中10个角的度数和为______． 12．（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 【易错必刷五 (等腰)梯形的定义】 13．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 14．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 15．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）下面是正方形点子图，请你在图中选一个点作为点D，使四边形成为一个梯形，至少画出两种情况 (1) (2) 【易错必刷六 添一个条件成为平行四边形】 16．（24-25八年级下·上海金山·月考）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，在四边形中，厘米，则当________厘米时，四边形是平行四边形．    18．（24-25八年级下·湖北十堰·月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知 (填序号)．求证：四边形AECF为平行四边形．在①BE=DF，②AECF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程． 【易错必刷七 判断能否构成平行四边形】 19．（24-25八年级下·内蒙古兴安·期末）根据图中所给的条件，能判定四边形是平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分 20．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F是对角线AC上两点，给出下列4个条件：①；②DE=BF；③；④，其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是______________； 21．（24-25八年级下·上海虹口·课后作业）如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直吗？为什么？ 【易错必刷八 平行四边形的对角线性质】 22．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．一组邻边相等 23．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，，是平行四边形的对角线，且对角线交点为，E，F是上两点，且，连接，，，，添加一个条件______，使四边形是矩形． 24．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，的对角线、相交于点O，E、F是的对角线上的两点，且，连接、、、．求证：． 【易错必刷九 矩形性质理解】 25．（25-26八年级下·重庆奉节·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线互相垂直且平分 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 26．（24-25八年级下·甘肃甘南·期末）如图，在矩形中，，，，为边上任意一点，则阴影部分面积和矩形面积的比是______． 27．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，四边形为矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 【易错必刷十 矩形的判定定理理解】 28．（25-26八年级下·河北邯郸·开学考试）活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两组对边是否分别平行 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否互相垂直 29．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为_____秒时，四边形是矩形． 30．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）如图，已知∠BAM． (1)用尺规作图：作线段的垂直平分线， 垂足为D，交于点C，连接；作的平分线，在上截取，连接； (2)求证：（1）中所作的四边形是矩形． 【易错必刷十一 求矩形在坐标系中的坐标】 31．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 32．（24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 33．（24-25八年级上·浙江宁波·月考）在直角坐标系中，长方形的边可表示为，边可表示为．求： (1)长方形各顶点的坐标； (2)长方形的周长． 【易错必刷十二 证明四边形是矩形】 34．（24-25八年级下·河北张家口·期中）如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．则四边形一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．无法确定 35．（24-25九年级·上海虹口·假期作业）如图，线段AB⊥BC，以C为圆心，BA为半径画弧，然后再以A为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点D，则四边形ABCD是矩形，其依据是 _____． 36．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长到，使得．求证：四边形是矩形． 【易错必刷十三 求平行线间的距离】 37．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，直线，其中P在上，A、B、C、D在上，且PB⊥，则与间的距离是（　　） A．线段 PA 的长度 B．线段 PB 的长度 C．线段 PC 的长度 D．线段 PD 的长度 38．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，是直线上一动点，，是直线上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是________（填序号）．      39．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）如图，直线，，，a与b的距离是10cm，b与c的距离是4cm，求a与c的距离. 【易错必刷十四 添一个条件使四边形是菱形】 40．（2025·安徽宿州·一模）在平行四边形中，为对角线，下列条件中，不能推出平分的是（    ） A． B． C． D． 41．（2025·黑龙江牡丹江·二模）如图，四边形是平行四边形．请添加一个条件_______，使平行四边形为菱形．（只填一种情况即可）    42．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加一个条件 ，并说明理由． 【易错必刷十五 证明四边形是菱形】 43．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，四边形是平行四边形，相交于点O，下列说法错误的是（　　） A．若，则四边形是菱形 B．若，则四边形是矩形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 44．（25-26八年级下·上海虹口·课后作业）如图，在中，，，是____________．其判定依据是_________________． 45．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）已知中，平分，交于E，交于F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【易错必刷十六 正方形性质理解】 46．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，一个正方形纸片，剪去一个角后得到一个五边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 47．（2025·江苏南京·模拟预测）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 48．（24-25八年级下·吉林·期中）如图是一个9×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，每一个小正方形的顶点叫做格点．图中已画出了线段和线段，其端点A、B、E、G均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形．    (1)画出以为边的正方形； (2)画一个以为一条对角线的菱形． 【易错必刷十七 证明四边形是正方形】 49．（24-25八年级下·内蒙古包头·月考）如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 50．（24-25八年级上·北京·期末）四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形． 51．（24-25八年级下·上海虹口·开学考试）如图，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． (1)求证：四边形是正方形． (2)求的值． 【易错必刷十八 正方形的判定定理理解】 52．（25-26八年级下·广东深圳·月考）如图，将长方形纸片折叠，使A点落在上的F处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（    ） A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 53．（25-26八年级下·江西萍乡·月考）如图，数学课上老师给出了以下四个条件：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组邻边相等；④一个角是直角．写出一个你认为能得到正方形的组合：______．（填序号） 54．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，点为直线外一点，垂直于直线，垂足为．在图中作正方形，使点、在直线上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）：并根据作图证明所作四边形是正方形． 【易错必刷十九 添一个条件使四边形是正方形】 55．（24-25八年级下·云南红河·期中）在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 56．（2025·黑龙江·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，若，请你添加一个条件________，使四边形是正方形（填一个即可）．    57．（24-25八年级下·河南焦作·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC的垂直平分线EF交AC于点D，交AB于点F，且CE=BF. （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）当∠BAC的度数为多少时，四边形AECF是正方形. 【易错必刷二十 与三角形中位线有关的求解问题】 58．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 59．（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，在中，D、E分别为的中点，若，则_____________． 60．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，点分别是边的中点，，求的度数． 【易错必刷二十一 与三角形中位线有关的证明】   61．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在中，E、F、G分别是三边的中点，若四边形是菱形，则应当满足的条件是（    ） A．任意三角形 B． C． D． 62．（24-25八年级下·四川凉山·期中）如图，平行四边形ABCD中，G在CD上，E、F是AG、BG的中点，那么四边形ABCD的面积是GEF面积的____倍． 63．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，、、分别是各边的中点，，试判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论．    【易错必刷二十二 中点四边形】 64．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，四边形是菱形，顺次连接菱形各边的中点，则说法正确的是（　　）    A．是菱形 B．是正方形 C．是矩形 D．是平行四边形 65．（24-25八年级下·山西太原·期中）如图，在四边形中，于点，点，，，分别为边，，，的中点，顺次连接，，，，则四边形是______. 66．（24-25八年级下·广东中山·期末）如图，点E、F、G、H分别为矩形ABCD四条边的中点，证明：四边形EFGH是菱形． 【易错必刷二十三 重心的有关性质】   67．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，点P是的重心，若的面积为12，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 68．（24-25八年级下·福建泉州·月考）如图，中，点、分别为、的中点，连接，线段、相交于点，若，则 _______． 69．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADC=90°，CD=2，(点A、B分别在直线CD的左右两侧)，射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD=x，CE=y. (1)求证：∠DAB=∠DCF. (2)当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围. (3)如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长.    【易错必刷二十四 矩形的性质与判定综合应用】 70．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，是直角三角形，且，是斜边的中线，求证：． 71．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 72．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【易错必刷二十五 菱形的性质与判定综合应用】 73．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，点和点是的两个三等分点，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 74．（24-25八年级下·上海虹口·课后作业）如图，四边形和四边形都是菱形，点E，F在上已知，，求： (1)的度数． (2)的度数． 75．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【易错必刷二十六 正方形的性质与判定综合应用】 76．（2025·山东潍坊·二模）如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 77．（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，设p＝BC＋CD，四边形ABCD的面积为S． （1）试探究S与p之间的关系，并说明理由． （2）若四边形ABCD的面积为12，求BC＋CD的值． 78．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示． (1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长； (2)求图（2）正方形与正方形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 四边形章末易错必刷题型专训（78题26个考点） 【易错必刷一 多边形对角线的条数问题】 1．（24-25八年级上·上海长宁·期末）六边形的对角线总条数是（   ） A．12条 B．9条 C．6条 D．3条 【答案】B 【分析】n边形对角线的总条数为：（，且n为整数），由此可得出答案． 【详解】解：六边形的对角线的条数为． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海虹口·月考）一个多边形的对角线的条数等于它的边数的5倍，则这个多边形是______边形． 【答案】十三 【分析】边形的对角线有条，根据对角线条数是它边数的5倍列方程即可求得多边形的边数． 本题主要考查了多边形的对角线的条数与多边形的边数之间的关系． 【详解】解：设这个多边形的边数是． 根据题意得：， 解得：． 则多边形的边数是13． 故答案为：十三． 3．（24-25八年级上·上海闵行·月考）旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据图片得出正多边形的边数是，进而利用求内角和；利用求周长；利用求对角线的条数. 【详解】（1）解：由图可知：旧版的一角硬币内是一个正九边形， ∴， 即：正多边形内角和为； （2）解：∵ ∴该正多边形的周长是； （3）解：∵， ∴该正多边形共有条对角线. 【易错必刷二 多（少）算一个角问题】 4．（24-25八年级下·上海普陀·月考）小明同学在用计算器计算某边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2016°，则等于（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】设少输入内角的度数是x，根据多边形内角和公式列出等式，再根据多边形边数为正整数即可求解． 【详解】解：设少输入的这个内角的度数是x， 根据多边形的内角和公式得：， ∴ ， ∵n是正整数，， ∴，． ∴． 故选D． 【点睛】本题考查多边形的内角和定理，熟练掌握n边形的内角和是解题的关键． 5．（24-25八年级下·上海虹口·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为___________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n（，且n为整数），根据多边形内角和定理列出不等式，进而求出，再计算出该多边形内角和即可得到答案． 【详解】解：设多边形的边数是n（，且n为整数）， 依题意得， 解得． ∵少算一个内角，且该内角小于， ∴． ∴多边形的内角和是， ∴少算的这个内角的度数为， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·上海松江·月考）看对话答题： 小梅说：这个多边形的内角和等于1125° 小红说：不对，你少加了一个角 问题： （1） 他们在求几边形的内角和? （2） 少加的那个内角是多少度? 【答案】（1）他们在求九边形的内角和；（2）少加的那个内角为135度． 【分析】先设出少加的内角的度数，再把所求角的度数分成180°与一个正整数的积再减去一个小于180°的角的形式，即可求出少加的内角的度数，再由多边形的内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）设少加的度数为x°，此多边形为n边形． ∵1125+x=（n-2）×180， ∴x=180（n-2）-1125， ∵0＜x＜180， ∴0＜180（n-2）-1125＜180， ∴8.25＜n＜9.25， ∴n=9； ∴他们在求九边形的内角和； （2）∴x=180（n-2）-1125=135°． ∴少加的那个内角的度数是135°． 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度． 【易错必刷三 多边形外角和问题】 7．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为α，β，则比较α与β的大小，结果正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为是解答本题的关键． 多边形的外角和为，与四边形的外角和均为，即可作答． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴与四边形的外角和与均为， ∴， 故选：A． 8．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转，再前进10米后再向右转，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为________米． 【答案】90 【分析】本题考查多边形的外角和定理，解决本题的关键是求解出正多边形的边数． 利用多边形外角和为求出正多边形的边数，进而求得其周长． 【详解】解：因为小明每次向右转的角度就是这个正多边形的外角， 已知每次向右转，且多边形的外角和是固定的． 设这个正多边形的边数为，可得， 即这个正多边形是九边形． 已知小明每次前进米， 可得该正多边形的周长米． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）如图是花样滑冰运动员从点A出发滑行一周后回到点A处所经过的路线．从开始到结束，他转过的角度为多少？ 【答案】转过的角度为360° 【分析】该题主要考查了多边形的外角和的应用，解题的关键是掌握多边形的外角和为． 根据五边形的外角和为即可求解； 【详解】解：根据图象可得运动员转过的角度是五边形的外角和， ∵五边形的外角和为， ∴他转过的角度为． 【易错必刷四 多边形内角和问题】 10．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据在中，，得出，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 则， 故选：B． 11．（2025八年级下·江西上饶·模拟预测）如图，计算图形中10个角的度数和为______． 【答案】/1080度 【分析】题目主要考查多边形内角和，结合图形找出图形之间的关系是解题关键． 根据题意得出五边形的内角和为：，再结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示： 五边形的内角和为：， ∴①，②，③， ∴得： ， ∴， ∵五边形的内角和为， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多边形内角和公式，解题的关键是熟练掌握边形内角和公式为． （1）直接根据多边形内角和公式求解即可； （2）由多边形内角和公式得到方程，即可求解． 【详解】（1）解：四边形的内角和为；五边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得． 【易错必刷五 (等腰)梯形的定义】 13．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查梯形． 根据梯形的定义，确定点的位置即可． 【详解】解：若，且，则点可以位于、、的位置， 若，且，则点可以位于、的位置， ∴点共有种不同的选法． 故选：D． 14．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 【答案】5 【分析】本题考查平行线之间的距离相等，涉及梯形面积公式、三角形面积公式等知识，过点作，过点作，如图所示，根据题意，表示出梯形面积与，数形结合即可得到的面积．熟记平行线之间的距离相等，数形结合表示出相关面积之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 在梯形中，，则， 梯形的面积为17， , 的面积为12， , ， 解得， 故答案为：5． 15．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）下面是正方形点子图，请你在图中选一个点作为点D，使四边形成为一个梯形，至少画出两种情况 (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查梯形作图，只有一组对边平行的四边形是梯形，据此解答． 【详解】（1） （2） 【易错必刷六 添一个条件成为平行四边形】 16．（24-25八年级下·上海金山·月考）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条件，无法得到四边形为平行四边形，A符合题意；添加条件后，证明，根据，进而可得结论，B不符合题意；添加条件，根据，从而证明结论，C不符合题意；添加条件，可证，根据根据进而证明结论，D不符合题意． 【详解】解：A、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意； B、∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故C不符合题意； D、∵， ∴， ∵ ∴， ∴四边形为平行四边形，故D不符合题意； 故选：A． 17．（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，在四边形中，厘米，则当________厘米时，四边形是平行四边形．    【答案】6 【分析】求出，则，再由，即可得出结论． 【详解】解：当时，四边形是平行四边形，理由如下： ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法，证出是解题的关键． 18．（24-25八年级下·湖北十堰·月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知 (填序号)．求证：四边形AECF为平行四边形．在①BE=DF，②AECF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程． 【答案】①，证明见解析 【分析】可以针对平行四边形的各种判定方法，结合三角形全等解决问题． 【详解】①或②． 添加①BE＝DF，理由如下： 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形； 添加②AE∥CF，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE∥CF， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键． 【易错必刷七 判断能否构成平行四边形】 19．（24-25八年级下·内蒙古兴安·期末）根据图中所给的条件，能判定四边形是平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理，解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ， 故， 根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形，得到四边形是平行四边形， 故选：C． 20．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F是对角线AC上两点，给出下列4个条件：①；②DE=BF；③；④，其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是______________； 【答案】②③ 【分析】根据已知条件进行分析，运用平行四边形的判定条件判断即可； 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO， 又∵OE=OF， ∴四边形DEBF是平行四边形，故①正确，不符合题意； 当DE=BF时，根据已知条件不能证明四边形DEBF是平行四边形，故②符合题意； 当时，不能证明四边形DEBF是平行四边形，故③符合题意； 当时，根据已知可得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形DEBF是平行四边形；故④正确，不符合题意； 故答案是②③． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判断，准确理解是解题的关键． 21．（24-25八年级下·上海虹口·课后作业）如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直吗？为什么？ 【答案】能，见解析． 【分析】先根据平行四边形的判定方法，用测量边长的方法判定书架是否为平行四边形，再根据矩形的判定定理，测量书架的对角线判定平行四边形是否为矩形，最后根据矩形的性质即可得． 【详解】解：能．理由如下： 先用绳子量出书架的两组对边是否相等，若两组对边相等，则说明此书架为平行四边形；再用绳子量出书架的对角线是否相等，若对角线相等，则说明书架是矩形； 由于矩形的四个角都是直角，说明书架的内角为直角，因此可以说明书架的侧边与上、下底都垂直，反之书架的侧边与上、下底就不垂直． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，解题的关键是灵活运用这些知识点． 【易错必刷八 平行四边形的对角线性质】 22．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．一组邻边相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形，或者有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，对角线相等的平行四边形是矩形，或者有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故选：C 23．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，，是平行四边形的对角线，且对角线交点为，E，F是上两点，且，连接，，，，添加一个条件______，使四边形是矩形． 【答案】答案不唯一， 【分析】先证明四边形是平行四边形．结合，得证，即可证明四边形是矩形． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是平行四边形的对角线，且对角线交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 24．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，的对角线、相交于点O，E、F是的对角线上的两点，且，连接、、、．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质和判定． 首先由四边形是平行四边形得到，，然后得到，证明出四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴． 【易错必刷九 矩形性质理解】 25．（25-26八年级下·重庆奉节·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线互相垂直且平分 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、矩形的对角线相等且平分但不一定垂直，故该选项不符合题意； B、菱形的性质是对角线互相垂直且平分，故该选项符合题意； C、对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原说法不正确，故该选项不符合题意； D、一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故该选项不符合题意； 故选：B． 26．（24-25八年级下·甘肃甘南·期末）如图，在矩形中，，，，为边上任意一点，则阴影部分面积和矩形面积的比是______． 【答案】 【分析】本题考查的是线段中线的性质，掌握三角形的中线性质是解题关键，连接，根据题意得出，，． 【详解】解：连接，如图所示， ， ， ， ， ， ， 空白部分和阴影部分的面积相等， 阴影部分面积和矩形面积的比是； 故答案为： ． 27．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，四边形为矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质．由矩形的性质得出，，由，证出四边形是平行四边形，得出对边相等，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ∴，， ∵， 四边形是平行四边形， ， ． 【易错必刷十 矩形的判定定理理解】 28．（25-26八年级下·河北邯郸·开学考试）活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两组对边是否分别平行 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 29．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为_____秒时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，由矩形的判定可得出，则可得出答案．确定是解题的关键． 【详解】解：∵点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，设运动时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）如图，已知∠BAM． (1)用尺规作图：作线段的垂直平分线， 垂足为D，交于点C，连接；作的平分线，在上截取，连接； (2)求证：（1）中所作的四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依题意作图即可； （2）由（1）可知，，利用角的关系求出，证明，再证明是平行四边形，即可. 【详解】（1）如图所示； （2）证明：，， ,, ， 平分线, ， ， ， ， 是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了尺规作图、矩形的证明；根据题意正确作图，结合题意证明平行四边形是解题的关键. 【易错必刷十一 求矩形在坐标系中的坐标】 31．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值． 【详解】解：如图，连接OB、AC交于点D， ∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)， ∴点D的坐标为（2，1）， ∵直线y=kx−k−1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线过点D， 则2k-k-1=1， 解得：k=2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键． 32．（24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 33．（24-25八年级上·浙江宁波·月考）在直角坐标系中，长方形的边可表示为，边可表示为．求： (1)长方形各顶点的坐标； (2)长方形的周长． 【答案】(1)，，， (2)18 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，是解题的关键． （1）根据边、的公共点为A，首先求出点A的坐标，从而得到点B、D的坐标，再根据点B的纵坐标与点D的横坐标求出点C的坐标即可； （2）根据x、y的取值范围求出、的长度，再根据长方形的周长公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵边可表示为，边可表示为， ∴点A的坐标为， ∵， ∴点B的坐标为， ∵， ∴点D的坐标为， ∵四边形是长方形， ∴点C的坐标为； （2）解：∵，，，， ∴，， ∴长方形的周长． 【易错必刷十二 证明四边形是矩形】 34．（24-25八年级下·河北张家口·期中）如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．则四边形一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定．根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是矩形． 故选：C． 35．（24-25九年级·上海虹口·假期作业）如图，线段AB⊥BC，以C为圆心，BA为半径画弧，然后再以A为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点D，则四边形ABCD是矩形，其依据是 _____． 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论． 【详解】解：根据题意可得AB＝CD，CB＝AD， ∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 又∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， 故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【点睛】此题考查矩形的判定，关键是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答． 36．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长到，使得．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的性质等知识．先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再利用三线合一证明，即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：是AC中点， ， 又， 四边形是平行四边形； ，是中点， ， ， 四边形是矩形． 【易错必刷十三 求平行线间的距离】 37．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，直线，其中P在上，A、B、C、D在上，且PB⊥，则与间的距离是（　　） A．线段 PA 的长度 B．线段 PB 的长度 C．线段 PC 的长度 D．线段 PD 的长度 【答案】B 【分析】根据平行线之间的距离定义解答即可． 【详解】解：∵P在上， B在上，PB⊥，， ∴与间的距离是线段PB的长度． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离，掌握两条平行线中，一条直线上的任意一个点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线间的距离是解题的关键． 38．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，是直线上一动点，，是直线上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是________（填序号）．      【答案】①③/③① 【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案． 【详解】解：∵直线， ∴点到直线的距离不会随点的移动而变化，故①正确； ∵，的长随点P的移动而变化， ∴的周长会随点的移动而变化，的大小会随点的移动而变化，故②，④错误； ∵点到直线的距离不变，的长度不变， ∴③的面积不会随点的移动而变化； 综上，不会随点的移动而变化的是①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键． 39．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）如图，直线，，，a与b的距离是10cm，b与c的距离是4cm，求a与c的距离. 【答案】6cm 【分析】依据AB=10cm，BC=4cm，可得AC=6cm，进而得出a与c的距离为6cm． 【详解】解：∵a与b的距离是10cm，b与c的距离是4cm，AB⊥a，AB⊥b， ∴AB=10cm，BC=4cm， ∴AC=6cm， 即a与c的距离为6cm． 【点睛】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 【易错必刷十四 添一个条件使四边形是菱形】 40．（2025·安徽宿州·一模）在平行四边形中，为对角线，下列条件中，不能推出平分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，掌握理解知识点是解题的关键．根据菱形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A.，根据邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定平行四边形是菱形，能推出平分，不符合题意； B.，根据邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定平行四边形是菱形，能推出平分，不符合题意； C.，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定平行四边形是菱形，能推出平分，不符合题意； D.，平行四边形的对角线相等，无法判断平行四边形是菱形，故无法推出平分，符合题意． 故选D． 41．（2025·黑龙江牡丹江·二模）如图，四边形是平行四边形．请添加一个条件_______，使平行四边形为菱形．（只填一种情况即可）    【答案】（符合题意即可) 【分析】根据菱形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形． ∴添加，则可得为菱形．（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 故答案为：（符合题意即可) 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 42．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加一个条件 ，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定． 利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形，证明四边形是菱形． 【详解】解：添加． 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 【易错必刷十五 证明四边形是菱形】 43．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，四边形是平行四边形，相交于点O，下列说法错误的是（　　） A．若，则四边形是菱形 B．若，则四边形是矩形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，特殊平行四边形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定方法分别判断即可确定正确的选项． 【详解】解：A、因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以该选项结论正确，不符合题意； B、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以该选项结论正确，不符合题意； C、因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形，所以若且，则四边形是正方形，该选项结论正确，不符合题意； D、当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断四边形是菱形，当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断四边形是菱形，所以若且，则四边形不一定是正方形，该选项结论错误，符合题意； 故选：D． 44．（25-26八年级下·上海虹口·课后作业）如图，在中，，，是____________．其判定依据是_________________． 【答案】 菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【分析】此题重点考查等腰三角形的判定、菱形的判定等知识，正确理解和应用菱形的定义是解题的关键． 由，得，即可根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”证明是菱形，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 故答案为：菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 45．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）已知中，平分，交于E，交于F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)时，四边形是正方形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，正方形的判定等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）先通过题目条件证明是平行四边形，再通过平行线的性质和角平分线的定义得到，从而得到平行四边形一组邻边相等即可判断； （2）根据“有一个角是直角的菱形是正方形”即可解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． （2）时，四边形是正方形． ，四边形是菱形， 四边形是正方形． 【易错必刷十六 正方形性质理解】 46．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，一个正方形纸片，剪去一个角后得到一个五边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和，正方形的性质，根据正方形的性质求出，根据多边形的内角和公式求出五边形的内角和为，即可求解． 【详解】解∶如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵五边形的内角和为， ∴， 故选∶C． 47．（2025·江苏南京·模拟预测）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 【答案】13 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接， 依题意，， ∵， ∴，， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， 在中，， 即这枚古钱币的半径为， 故答案为：13 48．（24-25八年级下·吉林·期中）如图是一个9×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，每一个小正方形的顶点叫做格点．图中已画出了线段和线段，其端点A、B、E、G均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形．    (1)画出以为边的正方形； (2)画一个以为一条对角线的菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在A、B左侧两个单位，上方一个单位找到格点C、D即可； （2）利用菱形的性质，即可求解； 【详解】（1）解：如图所示，四边形就是所求作正方形；    （2）解：如图所示，菱形为所求． 【点睛】本题考查了网格作图，解题关键是熟练运用正方形、菱形、全等三角形的性质进行画图． 【易错必刷十七 证明四边形是正方形】 49．（24-25八年级下·内蒙古包头·月考）如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵M，N，P，Q是各边中点， ， ， ∴四边一定为平行四边形，④说法正确； 时，四边形不一定为正方形，①说法错误； 时， 四边形为菱形，②说法正确； 时，， 四边形为矩形，③说法正确； 故选：C． 50．（24-25八年级上·北京·期末）四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形． 【答案】有一组邻边相等 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形与折叠等知识，熟记矩形的判定与性质、正方形的判定定理是解决问题的关键． 先由矩形性质得到，再由折叠性质得到，，从而确定四边形是矩形，再由正方形的判定定理即可得证四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 在矩形中，， 由折叠性质可得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有一组邻边相等． 51．（24-25八年级下·上海虹口·开学考试）如图，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． (1)求证：四边形是正方形． (2)求的值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查正方形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识点． (1)由结合可得四边形是矩形，再由即可得证； (2)由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ，， ， 四边形是矩形，， ， 四边形是正方形； （2）解：由(1)知四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ． 【易错必刷十八 正方形的判定定理理解】 52．（25-26八年级下·广东深圳·月考）如图，将长方形纸片折叠，使A点落在上的F处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（    ） A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定，根据矩形的性质，折叠的性质，以及正方形的判定方法，即可得出结论． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形（邻边相等的矩形是正方形）； 故选A． 53．（25-26八年级下·江西萍乡·月考）如图，数学课上老师给出了以下四个条件：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组邻边相等；④一个角是直角．写出一个你认为能得到正方形的组合：______．（填序号） 【答案】①③④或②③④ 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键． 根据有一个角是直角的菱形是正方形即可求解． 【详解】解：由①得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加③得一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加④得一个角是直角的菱形是正方形； 由②得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，同样再添加③④即可得到正方形． 故能得到正方形的组合有①③④或②③④． 故答案为：①③④或②③④． 54．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，点为直线外一点，垂直于直线，垂足为．在图中作正方形，使点、在直线上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）：并根据作图证明所作四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定．以点为圆心，为半径作，延长交于点，连接，，，，则四边形是正方形． 【详解】解：正方形即为所作， 证明：， 四边形是平行四边形，且， 平行四边形是矩形， ， 矩形是正方形． 【易错必刷十九 添一个条件使四边形是正方形】 55．（24-25八年级下·云南红河·期中）在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形和正方形的判定，解题的关键是先判定四边形为矩形，再根据正方形的判定条件添加合适条件． 先根据已知角的条件判定四边形是矩形，再分析各选项能否使矩形变为正方形即可． 【详解】解： ∴四边形是矩形， ∴当时，四边形是正方形， 故选：D． 56．（2025·黑龙江·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，若，请你添加一个条件________，使四边形是正方形（填一个即可）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据正方形的判定方法进行解答即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴平行四边形为矩形， 添加条件可以利用对角线互相垂直的矩形是正方形，得出四边形是正方形； 添加或或或，利用一组邻边相等的矩形为正方形，得出四边形是正方形． 故答案为：．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法． 57．（24-25八年级下·河南焦作·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC的垂直平分线EF交AC于点D，交AB于点F，且CE=BF. （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）当∠BAC的度数为多少时，四边形AECF是正方形. 【答案】(1)证明见详解；（2）∠BAC=45. 【分析】(1) 根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等, 有BE=EC, BF=FC, 根据四边相等的四边形是菱形即可判断; (2)由菱形的性质知,对角线平分一组对角,即当∠BAC=45时,∠EAF=90,则菱形AECF为正方形. 【详解】证明: (1) AC的垂直平分线EF交AC于点D CD=AD,∠ADF=90，EC=AE,CF=AF, 又∠ACB=90°，EF∥BC, △ADF∽△ACB, AF:AB=AD:AC, CD=AD,D为AC的中点， AF:AB=AD:AC=1：2， F为AB中点, BF=AF,在Rt△ABC中，∠ACB=90°, CF=AF, 又CE=BF, CF=AF, EC=AE,CF=AF CE= CF= AF= AE 四边形BECF是菱形. （2）当∠BAC=45时, 四边形AECF是正方形. 证明:∠BAC=45,四边形AECF是菱形, ∠EAC=∠BAC=45, ∠EAF =∠EAC+∠BAC =90, 菱形AECF是正方形. 【点睛】本题主要考查垂直平分线、菱形与正方形的性质及三角形相似的判定与性质，综合性大，需综合运用所学知识求解. 【易错必刷二十 与三角形中位线有关的求解问题】 58．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质的应用，能根据三角形的中位线性质得出、、是解此题的关键．根据三角形的中位线性质得出，，，即可求出答案． 【详解】解：点、、分别为三边、、的中点， ，，， 的周长为5， ， ， 即的周长为. 故选：B． 59．（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，在中，D、E分别为的中点，若，则_____________． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形中位线定理．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵在中，D、E分别为的中点，， 是的中位线， ． 故答案为：4． 60．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，点分别是边的中点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，则由平行线的性质可得到． 【详解】解：∵在中，点分别是边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷二十一 与三角形中位线有关的证明】   61．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在中，E、F、G分别是三边的中点，若四边形是菱形，则应当满足的条件是（    ） A．任意三角形 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定，由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形，要使四边形是菱形，则，即，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，E、F、G分别是三边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 要使四边形是菱形，则，即， 故选；C． 62．（24-25八年级下·四川凉山·期中）如图，平行四边形ABCD中，G在CD上，E、F是AG、BG的中点，那么四边形ABCD的面积是GEF面积的____倍． 【答案】8 【分析】过点G作GHAB交EF于I，垂足为H，根据三角形的中位线的性质进行求解即可． 【详解】解：过点G作GHAB交EF于I，垂足为H，如下图： ∵E、F是AG、BG的中点， ∴EF=AB，GI=GH，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，解决本题的关键是正确的作出辅助线． 63．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，、、分别是各边的中点，，试判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论．    【答案】平行四边形是菱形，证明见详解 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，平行四边形和菱形的判定定理，解题的关键是：掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，得出四边形是平行四边形，再根据，证明平行四边形是菱形． 【详解】解：四边形为菱形， 理由如下：∵分别是各边的中点， ， ∴四边形是平行四边形； ∵分别是的中点， ， ∴平行四边形是菱形． 【易错必刷二十二 中点四边形】 64．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，四边形是菱形，顺次连接菱形各边的中点，则说法正确的是（　　）    A．是菱形 B．是正方形 C．是矩形 D．是平行四边形 【答案】C 【分析】依据题干进行推理，分别对菱形、正方形、矩形、平行四边形的逐一进行判断，看是否符合题意即可． 【详解】如图，连接菱形的对角线AC、BD．    由菱形的性质可知，． ∵分别是菱形各边的中点， ∴由三角形中位线定理可得：． ∴． 所以四边形是平行四边形． 由得， ， 故四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 因此，C正确． 对于选项A，假如是菱形或者正方形，则可推得，而菱形的对角线不一定相等，与题干矛盾，A、B错误； 对于选项D，是平行四边形的充分条件并不需要是菱形，只要是普通四边形就足够了，故D说法不够精确，D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、顺次连接菱形各边的中点所构成的四边形具有什么特点，解题的关键是深刻理解各种特殊四边形的特征． 65．（24-25八年级下·山西太原·期中）如图，在四边形中，于点，点，，，分别为边，，，的中点，顺次连接，，，，则四边形是______. 【答案】矩形 【分析】首先根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的，即可判定四边形EFGH为平行四边形，然后根据，可得出四边形EFGH一个内角为90°，即可判定其为矩形. 【详解】∵点，，，分别为边，，，的中点， ∴EF∥AC，FG∥BD，GH∥AC，EH∥BD，EF=AC，FG=BD，GH=AC，EH=BD ∴EF∥GH，EF=GH，FG∥EH，FG=EH ∴四边形EFGH为平行四边形 又∵ ∴∠ABO+∠BAO=90° 又∵∠ABO=∠AEH，∠BEO=∠BAO ∴∠AEH+∠BEO=90° ∴∠FEH=90° ∴平行四边形EFGH为矩形. 故答案为矩形. 【点睛】此题主要考查三角形中位线定理、平行四边形以及矩形的判定，熟练掌握，即可解题. 66．（24-25八年级下·广东中山·期末）如图，点E、F、G、H分别为矩形ABCD四条边的中点，证明：四边形EFGH是菱形． 【答案】证明见解析． 【分析】根据矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，利用三角形中位线定理求证EF=FG=GH=EH，然后利用四条边都相等的平行四边形是菱形即可判定． 【详解】解：连接BD，AC． ∵矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴AC=BD， ∴EF=AC，GH=AC， 同理，FG=BD，EH=BD ∴EF=FG=GH=EH， ∴四边形EFGH是菱形． 【易错必刷二十三 重心的有关性质】   67．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，点P是的重心，若的面积为12，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，再结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵点P是的重心， ∴， ∴，， ∴的面积的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的重心的性质，结合重心性质得出三角形的面积公式找到三角形的面积比是解题的关键． 68．（24-25八年级下·福建泉州·月考）如图，中，点、分别为、的中点，连接，线段、相交于点，若，则 _______． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．根据重心定义得到点为的重心，再根据重心的性质得，所以． 【详解】解：点、分别为、的中点， 点为的重心， ， 而， ． 故答案为4 69．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADC=90°，CD=2，(点A、B分别在直线CD的左右两侧)，射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD=x，CE=y. (1)求证：∠DAB=∠DCF. (2)当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围. (3)如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长.    【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)AD=1或. 【分析】（1）首先根据点G是Rt△ABC的重心，得出CF是Rt△ABC的中线.，又由AC=BC，∠ACB=90°，得出CF⊥AB，即∠AFC=90°，然后等量转换即可得出∠DAB=∠DCF； （2）首先判定△CAD≌△BCH，得出BH = CD，CH = AD，又根据∠ADC=∠BHC=90°，得出AD∥BH，进而得出，列出等式，即可得出y关于x的函数关系式； （3）分两种情况进行求解：①当GC=GD时，根据直角三角形斜边中线定理得出MD=MC，进而得出MG⊥CD，且直线MG经过点B，那么BH与MG共线，即可得出AD；②当CG=CD时，CG=2，点G为△ABC的重心，然后运用勾股定理即可得出AD. 【详解】(1)证明：∵点G是Rt△ABC的重心， ∴CF是Rt△ABC的中线. 又∵在Rt△ABC，AC=BC，∠ACB=90°， ∴CF⊥AB，即∠AFC=90°. ∵∠DEF=∠ADE+∠DAE=∠EFC+∠ECF，且∠ADE=∠EFC=90°， ∴∠DAB=∠DCF. (2)解：如图，过点B作BH⊥CD于点H. ∴△CAD≌△BCH（ASA）. ∴BH = CD = 2，CH = AD = x，DH = 2-x. ∵∠ADC=∠BHC=90° ∴AD∥BH. ∴. ，，. .    (3)解：当GC=GD时，如图1， 取AC的中点M，联结MD.那么MD=MC， 联结MG，MG⊥CD，且直线MG经过点B.那么BH与MG共线. 又CH=AD，那么AD=CH=. 当CG=CD时，如图2，即CG=2，点G为△ABC的重心， ，AB=2CF=6，， .    综上所述，AD=1或. 【点睛】此题主要考查三角形与函数的综合应用，涉及到的知识点有直角三角形斜边中线定理、重心、勾股定理等，熟练掌握，即可解题. 【易错必刷二十四 矩形的性质与判定综合应用】 70．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，是直角三角形，且，是斜边的中线，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质．延长至，使得，证明四边形是矩形，可得，即可求证． 【详解】证明：如图，延长至，使得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 71．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再由是菱形的性质得，即可得出结论； （2）根据菱形的性质求出，，由勾股定理得出的长，再根据矩形面积公式即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 72．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）由，可得四边形是平行四边形，再由即可得四边形是矩形； （2）由题意求得，由矩形的性质得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2）解：，， ． 又矩形中，， ∴是等边三角形， ． 【易错必刷二十五 菱形的性质与判定综合应用】 73．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，点和点是的两个三等分点，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形，理由见详解 【分析】此题重点考查菱形的性质与判定，平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由菱形的性质得，，，根据题意得出，证明，，再得四边形是平行四边形．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可证明． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： 连接交于一点，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵点E和点F是的两个三等分点， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 74．（24-25八年级下·上海虹口·课后作业）如图，四边形和四边形都是菱形，点E，F在上已知，，求： (1)的度数． (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得出，再由等边对等角及三角形内角和定理求解即可； （2）连接，根据菱形的对角线互相平分得出，，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）连接，如图所示： ∵四边形和四边形都是菱形，，， ∴，， ∴． 【点睛】题目主要考查菱形的性质及等边对等角，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 75．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)24 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ，， ， ，， 四边形的面积． 【易错必刷二十六 正方形的性质与判定综合应用】 76．（2025·山东潍坊·二模）如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 【答案】65° 【分析】先证明求得，再根据三角形外角的性质求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ， 在和中， ， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和及外角和的性质，三角形全等的判定，熟悉三角形的外角性质是解题的关键． 77．（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，设p＝BC＋CD，四边形ABCD的面积为S． （1）试探究S与p之间的关系，并说明理由． （2）若四边形ABCD的面积为12，求BC＋CD的值． 【答案】（1），见解析；（2） 【分析】（1）由AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，可考虑利用旋转解答．将△ABE绕点A逆时针方向旋转90°，构造直角三角形，证明正方形即可计算出S与p之间的关系． （2）将S＝12代入S与p之间的关系式，即可计算出BC＋CD的值． 【详解】解：（1）AE⊥BC于E，把△ABE绕点A逆时针方向旋转90°到△ADF的位置， ∴DF=BE，AF=AE ∵∠CDA＋∠B＝180°，AD＝AB， ∴∠ADC＋∠ADF＝180°，即F、D、C在一条直线上， ∵p＝BC＋CD=BE+CE+CD=CE+CF， ∴FC=CE=p ∵∠C=∠AEC=∠F=90° ∴四边形AFCE是矩形 ∵AF=AE ∴四边形AECF是正方形，其边长为p， ∴S＝(p)2＝． （2）∵＝12， ∴P＝4或P＝−4（舍去），即BC＋CD＝4． 【点睛】此题考查了旋转的性质和正方形的性质，作AE⊥BC，构造直角三角形ABC，进而得到正方形AECF是解题的关键． 78．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示． (1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长； (2)求图（2）正方形与正方形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，比的应用，根据相相邻两边长之比和矩形纸片的面积求得矩形相邻两边的长是解答关键． （1）利用相邻两边长之比为，设长与宽分别为，根据矩形纸片的面积为，列出方程求解； （2）先求出正方形的边长和正方形的边长，再利用面积公式求解． 【详解】（1）解：设长与宽分别为 ， ， 解得，（不符合题意舍去）， ，． 则相邻的两边长分别为． （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $