精品解析：北京一六一中学2025-2026学年九年级第二学期学情自测数学试题

北京一六一中学2025—2026学年度第二学期开学测试 初三数学试卷 2026年3月 考生须知 1．本试卷共4页，满分100分，考试时间120分钟． 2．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 3．答题卡上选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹钢笔或签字笔作答． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分）． 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 4. 若实数x的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 平面直角坐标系 中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 不透明的袋子中装有四个小球，上面分别写有数字“1”，“2”，“3”，“4”，除数字外这些小球无其他差别．从袋中随机同时摸出两个小球，那么这两个小球上的数字之和是5的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 是的弦， 是的直径， 于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知如图，二次函数的顶点为 ，最大值为，与 轴交于 ， 两点，与轴交于点 ．以 为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点 在上； ③在抛物线上存在一点 ，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 要使二次根式有意义，则 的取值范围是_____． 10. 分解因式：________． 11. 方程的解为________． 12. 如图， 在中，点 在边 上，， 的延长线交于点 ．若，， 则 ． 13. 咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱．咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95%；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到75%；从五个月到九个月，发芽率会逐渐降到25%．农科院记录了某批咖啡树种子的发芽情况，结果如下表所示： 种子数量 10 50 150 300 500 800 发芽数量 9 41 133 261 431 689 发芽率 0.9 0.82 0.887 0.87 0.862 0.861 据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是________（填“三个月内”“三至五个月”或“五至九个月”）． 14. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 15. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为 ，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为______． 16. 某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示． 尺寸 数量（个） 款式 大 中 小 A 8 15 25 B 0 10 20 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品，某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用__________次； （2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为__________元． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，点 在的对角线的延长线上，，于点 ，交的延长线于点 ，连接． （1）求证: 四边形是菱形； （2）若 求菱形的面积． 21. 每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼 的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为 的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设 的长为x米， 的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 （1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； （2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 22. 在平面直角坐标系 中，函数的图象经过点和． （1）求该函数解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出n的取值范围． 23. 某校甲、乙两个班级各有23名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班级参加队列训练的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位：），数据整理如下： a．甲班23名学生的身高： 163，163，164，165，165，166，166，165，166，167，167，168，169，169，170，171，171，172，173，173，174，179，180． b．两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲 169 m n 乙 169 170 167 （1）写出表中m，n的值； （2）在甲班的23名学生中，高于平均身高的人数为，在乙班的23名学生中，高于平均身高的人数为，则___________（填“”“”或“ ”）； （3）若每班只能有20人参加入场式队列表演，首先要求这20人与原来23人的身高平均数相同，其次要求这20人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的3名学生的身高分别为 ___________． 24. 如图， 是的直径，点C在上， 的平分线交于点D，交 于点H，过点D的直线，分别交的延长线于点E，F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求 和的长． 25. “兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：根据数据，回答下列问题： 水平距离 0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8 竖直高度 0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0 （1）①野兔本次跳跃的最远水平距离为 m，最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式； （2）已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 26. 在平面直角坐标系 中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． （1）若对于，，请用表示； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 27. 已知，将绕点 逆时针旋转到，使得点 的对应点 落在直线 上． （1）①依题意补全图1； ②若垂直 ，直接写出 的值； （2）如图2，过 作 的平行线 ，与的延长线交于点 ，交 于点 ，取的中点 和 的中点 ，写出线段与 的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径是．对于点 和，给出如下定义：过点 的直线与交于不同的点 ， ，如果点 为线段的中点，我们把这样的点 叫做关于的“弦中点”． （1）如图1，已知点； ①点中是关于的“弦中点”的是______； ②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，直接写出 的值； （2）如图2，正方形的中心为，其各边平行于坐标轴，点，其中满足，若对于任意的点 ，都存在正方形，其边上有关于的“弦中点”，直接写出正方形边长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一六一中学2025—2026学年度第二学期开学测试 初三数学试卷 2026年3月 考生须知 1．本试卷共4页，满分100分，考试时间120分钟． 2．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 3．答题卡上选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹钢笔或签字笔作答． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分）． 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．解题的关键是理解轴对称图形（沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合）和中心对称图形（绕某一点旋转 后能与自身重合）的定义，并据此对图形进行判断． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对每个选项依次分析：判断图形是否沿某条直线折叠后两旁部分能重合（轴对称），以及是否绕某点旋转 后能与自身重合（中心对称），选出同时满足两个条件的图形． 【详解】解：轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕某一点旋转 后，能与自身重合的图形． 选项仅是轴对称图形，绕任意点旋转 后不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项仅是轴对称图形，绕任意点旋转 后不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项仅是中心对称图形，不存在一条直线使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，不是轴对称图形． 选项沿某条直线折叠后两旁部分能完全重合，是轴对称图形；绕某点旋转 后能与自身重合，是中心对称图形，符合条件． 故选：D． 2. 在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，确定的值是解题的关键． 科学记数法的形式为，确定值的方法：当原数的绝对值时，把原数变为 时，小数点向左移动位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为 时，小数点向右移动位数的相反数即为的值；由此即可求解． 【详解】解：前三日，总票房便达到亿元， ∴平均每天的票房为（亿）， ∴亿， 故选：D ． 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 4. 若实数x的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质，化简绝对值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据绝对值的性质与不等式的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：， 当时，， 故选项A错误； ， ， 故选项B错误； ， ， 故选项C错误； ， ， 故选项D正确； 故选：D． 5. 平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图像的特点即可求解． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图像经过第一、三象限，在第一象限中，函数值 随 的增大而减小， ∴点和中，， ∴，即， 故选： ． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像的增减性是解题的关键． 6. 不透明的袋子中装有四个小球，上面分别写有数字“1”，“2”，“3”，“4”，除数字外这些小球无其他差别．从袋中随机同时摸出两个小球，那么这两个小球上的数字之和是5的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了树状图法求概率，先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的卡片的数字之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：根据题意画树状图如图：     共有12种情况，两次摸出的卡片的数字之和等于5的有4种， ∴两次摸出的卡片的数字之和等于5的概率为， 故选：B． 7. 如图， 是 的弦， 是 的直径， 于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可． 【详解】解：是 的直径， ， ，，，， 故A、B、C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 8. 已知如图，二次函数的顶点为，最大值为，与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．以 为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点 在上； ③在抛物线上存在一点 ，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的解析式即可判定；求得、的长进行比较即可判定，过点 作，交抛物线于 ，如果，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；求得为直角三角形即可进行判定； 【详解】解：如图，过点 作，交抛物线于 ，连，连，， 二次函数的顶点为，最大值为， 抛物线过点， 抛物线的对称轴为直线，故正确，符合题意； ，解得， 抛物线的解析式为， 当时，，解得：或， ，； ， ， ， ， ， 点 在上，故②正确，符合题意； ， ，解得：或 ， ， ， 四边形不是平行四边形，故错误，不符合题意； 由抛物线可知， ， ，，， ， 为直角三角形， ， ， ， 直线与相切，故正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质，平行四边形的判定，勾股定理及逆定理，切线的判定，点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 要使二次根式有意义，则 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原分式方程转化为整式方程，解整式方程得到未知数的值后进行检验，即可得到原方程的解，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得： ， 检验：把 代入，得， ∴原分式方程的解为 ． 12. 如图， 在中，点 在边上， ， 的延长线交于点 ．若， ， 则 ． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由，推出． 由平行四边形的性质得到，，推出，得到，而，于是得到． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱．咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95%；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到75%；从五个月到九个月，发芽率会逐渐降到25%．农科院记录了某批咖啡树种子的发芽情况，结果如下表所示： 种子数量 10 50 150 300 500 800 发芽数量 9 41 133 261 431 689 发芽率 0.9 0.82 0.887 0.87 0.862 0.861 据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是________（填“三个月内”“三至五个月”或“五至九个月”）． 【答案】三至五个月 【解析】 【分析】根据频率估计概率，结合题意即可求解．利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：根据表格可知，某批咖啡树种子的发芽情况接近 ∵咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95%；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到75%； ∴这批咖啡树种子的保存时间是三至五个月 故答案为：三至五个月． 【点睛】本题考查了频率估计概率，理解题意是解题的关键． 14. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 且． 15. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接，过点作，垂足为E， 根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为E， 设正六边形的边长为a，则， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示． 尺寸 数量（个） 款式 大 中 小 A 8 15 25 B 0 10 20 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品，某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用__________次； （2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为__________元． 【答案】 ①. 2 ②. 135 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据需要生产10个大尺寸陶艺品，A款电热窑每次烧制8个大尺寸陶艺品，B款电热窑每次烧制0个大尺寸陶艺品即可得到答案； （2）要使成本最低，则在保证能够完成烧制任务的前提下，A款电热窑的使用次数要保证使用次数最少，且B款电热窑的使用次数也要最少，据此求解即可． 【详解】解：（1）设烧制这批陶艺品，A款电热窑使用了x次， 根据题意，得， 则， ∵x为正整数，x的最小值为2， ∴烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用2次， 故答案为：2； 解：（2）∵A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元， ∴要使成本最低，则在保证能够完成烧制任务的前提下，A款电热窑的使用次数要保证使用次数最少，且B款电热窑的使用次数也要最少； 当A款电热窑的使用次数为2次时，则可以烧制10个大尺寸陶艺品，个中尺寸陶艺品，个小尺寸陶艺品， ∴在此种情形下，只需要B款电热窑的使用次数1次即可完成任务， ∴烧制这批陶艺品成本最低为， 故答案为：135． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算能力，特殊角的三角函数值．根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：原式 18. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为． 【解析】 【分析】（1）解第一个不等式时，先通过去分母消除分数形式，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作求出解集； （2）解第二个不等式时，通过移项、合并同类项、系数化为1直接求出解集； （3）结合两个解集的公共范围确定不等式组的解集，再找出其中的整数解． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴原不等式组的解集为， 该不等式组的所有整数解为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先把所给分式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式． ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，点 在的对角线的延长线上，，于点 ，交的延长线于点，连接． （1）求证: 四边形是菱形； （2）若 求菱形的面积． 【答案】（1）证明：，， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）32 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出，再证和全等，得出，于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形是菱形； （2）分别求出、的长，即可得出对角线、 的长，根据菱形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，， ， ， 即， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 21. 每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼 的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设 的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 （1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； （2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 【答案】（1）， （2）43 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键． （1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于 、 的方程； （2）已经求得，将代入任一个方程，可求得 的值，即得钟楼的高度． 【小问1详解】 由同一时刻测量，可得， 第一次测量：，化简得，， 第二次测量：，化简得，， 故答案为：，； 【小问2详解】 对于，代入， 得，， 解得：， 钟楼米， 故答案为：43． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质等． （1）将点和代入中即可得到本题答案； （2）根据可得与 轴交于，再画出符合题意的图象进行分析即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：由题意得：将点和代入中得： ，解得：， ∴该函数解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，代入得：， 在平面直角坐标系中画出直线和满足条件的直线，如图： ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴当过时满足题意 ∴，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于， ∴当过时满足题意， ∴，， 综上：满足条件的n的取值范围为：． 23. 某校甲、乙两个班级各有23名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班级参加队列训练的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位：），数据整理如下： a．甲班23名学生的身高： 163，163，164，165，165，166，166，165，166，167，167，168，169，169，170，171，171，172，173，173，174，179，180． b．两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲 169 m n 乙 169 170 167 （1）写出表中m，n的值； （2）在甲班的23名学生中，高于平均身高的人数为，在乙班的23名学生中，高于平均身高的人数为，则___________（填“ ”“ ”或“ ”）； （3）若每班只能有20人参加入场式队列表演，首先要求这20人与原来23人的身高平均数相同，其次要求这20人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的3名学生的身高分别为 ___________． 【答案】（1）或 （2） （3）163、164、180 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，掌握统计量的确定方法或计算公式是解题的关键． （1）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）根据平均数和方差的定义解答即可． 【小问1详解】 解：把甲班23名学生的身高从小到大排列，排在中间的数是168， 故中位数； 甲班23名学生的身高中165和166出现的次数最多， 故众数或； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴． 故答案为： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴甲班未入选的3名学生的身高分别为． 故答案为：163、164、180． 24. 如图， 是 的直径，点C在 上，的平分线交 于点D，交于点H，过点D的直线，分别交的延长线于点E，F． （1）求证：直线是 的切线； （2）若，，求和的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ 是 的直径， ∴． ∵， ∴， 即， ∴直线是 的切线； （2）， 【解析】 【分析】（1）先连接，证明，可得，可得答案； （2）设 的半径为r，表示，再根据平行线的性质得，可求出圆的半径，即可得，进而求出，然后根据勾股定理求得 ，接下来根据特殊角的三角函数值可得，再根据勾股定理，得，然后得出，最后根据勾股定理求出，并结合平行线分线段成比例得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 设 的半径为r，则． ∵， ∴． ∵， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴，根据勾股定理，得． ∵， ∴. 根据勾股定理，得． ∴， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，特殊角三角函数值，平行线分线段成比例，平行线的性质和判定，角平分线的定义等，勾股定理是求线段长的常用方法． 25. “兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：根据数据，回答下列问题： 水平距离 0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8 竖直高度 0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0 （1）①野兔本次跳跃的最远水平距离为 m，最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式； （2）已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 【答案】（1）①2.8；②0.98 （2）野兔此次跳跃能跃过篱笆． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）①根据表中数据得出结论； ②设出抛物线解析式的顶点式，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先根据兔子跳跃的最远水平距离为m，最大竖直高度为m，求出函数解析式，再把代入解析式求出 与0.8比较即可． 【小问1详解】 解：①由 ， 和， 可知， 野兔本次跳跃的最远水平距离为（米， 对称轴为直线， 当时， 有最大值0.98， 野兔本次跳跃的最大竖直高度为0.98米， 故答案为：2.8，0.98； ②设抛物线的解析式为， 把 ，代入得， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为， 根据题意得：， 解得， 野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为， 当时，， ， 野兔此次跳跃能跃过篱笆． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． （1）若对于，，请用表示； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）的取值范围为或． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象性质和解不等式组，平方差公式的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性即可得解； （2）根据二次函数的性质把，代入，整理得出，结合对称轴为，得出，则，再进行分类讨论，注意“对于，，都有，”的条件的充分运用，列出相应的不等式组，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，关于对称， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，是抛物线上任意两点， ∴把，分别代入 得出 ∵对于，，都有， ∴ 则 ∴ 则 整理得 ∵抛物线的对称轴为 ∴ 则 ∵ ∴ 第一种情况：当，且时 ∴，且 ∵对于，，都有， ∴且 ∴且 ∴； 第二种情况：当，且时 ∴，且 ∵对于，，都有， ∴且 ∴且 ∴； 综上或． 27. 已知，将绕点 逆时针旋转到，使得点 的对应点 落在直线上． （1）①依题意补全图1； ②若垂直，直接写出的值； （2）如图2，过 作的平行线，与的延长线交于点，交于点，取的中点和的中点，写出线段与 的数量关系，并证明． 【答案】（1）（1）①作图见解答；② （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）①根据题意补全图形即可； ②由旋转得，，旋转角度为，得出，则，结合垂直，求得，即可解答； （2）连接并延长，交延长线于点 ，连接，先证明，再证明，得，，利用平行得，则可得，则，再证明是的中位线，即可得． 【小问1详解】 解：①补全图形如图， ②由旋转得，，旋转角度为， ∴， ∴， ∵垂直， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，连接并延长，交延长线于点 ，连接， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 由旋转得，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 即：． 28. 在平面直角坐标系中， 的半径是 ．对于点 和 ，给出如下定义：过点 的直线与 交于不同的点，，如果点 为线段的中点，我们把这样的点 叫做关于的“弦中点”． （1）如图1，已知点； ①点中是关于的“弦中点”的是______； ②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，直接写出 的值； （2）如图2，正方形的中心为，其各边平行于坐标轴，点，其中满足，若对于任意的点 ，都存在正方形，其边上有关于的“弦中点”，直接写出正方形边长的取值范围． 【答案】（1）①；②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据新定义可得 在以为直径的圆上，进而结合点的坐标，即可求解； ②根据新定义可得直线与为直径的圆相切，设直线与轴的交点分别为 ，得出，进而分，两种情况，结合图形，解直角三角形，即可求解； （2）根据新定义，先确定的弦中点的轨迹范围，进而求得正方形边长的最大值与最小值即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，连接， ∵点 为弦的中点， 根据垂径定理可得， ∴ 在以为直径的圆上，圆心坐标为， ∵， ∴是关于的“弦中点”； 故答案为：． ②解：设以为直径的圆的圆心记为， ∵一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”， ∴直线与相切， 设直线与轴的交点分别为 ， 当 时， ，当 时，， ∴， 如图所示，当时，设切点为， ∵，， ∴， ∴， 又∵，则， ∴， ∴ ∴，即， 当时，设切点为 ，直线与 轴交于点 ， ∵， ∴， ∴， 则由勾股定理得：，即， ∴， ∴或； 【小问2详解】 解：由（1）以及定义可知的弦中点在以为直径的圆上，且在 内部； ∵点，其中满足，即当 在与所连线段上运动时； 点 在以 为圆心半径为4的圆的内部，与以为圆心半径为 的圆上， ∴此时弦中点在如图阴影部分，包括边界，但不包括 上的弧， 设正方形的中心为T，则； 当正方形的边长最小时，点 在半径为 的上，如图所示，设与 轴交于点 ，连接 设，则， ∵是正方形是正方形的中心， ∴， 又，，则， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴正方形的边长最小值为； 如图所示，设交于点，连接， ∵，，， ∴在中，， ∴， ∴正方形的边长的最大值为； 综上所述，正方形边长的取值范围为． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，正方形的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴交点问题，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $