专题 3.1 概率初步（全章知识梳理 + 题型精析 +模拟真题）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 3.1 概率初步（全章知识梳理 + 题型精析 +模拟真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】事件的分类 1 ★【题型 1】事件的分类 2 ★【题型 2】事件的大小 2 【知识点二】频率的稳定性 3 ★【题型 3】求某事件的概率 4 ★【题型 4】概率意义的理解 5 ★【题型 5】用频率估计概率 5 【知识点三】等可能事件的概率 7 ★★【题型 6】根据概率公式计算概率 7 ★★【题型 7】利用概率公式求数量 8 ★★【题型 8】几何概率 9 ★★【题型 9】游戏的公平性 10 二.综合题型精析 11 ★★★【题型 10】数学推理能力与事件的分类综合 11 ★★★【题型 11】事件的概率、几何概率综合、事件发生可能性的大小综合 13 三.中考真题专练 14 （一）选择题（6题） 14 （二）填空题（6题） 15 （三）解答题（4题） 15 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】事件的分类 1、必然事件： 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定会发生，这样的事件称为必然事件。 2、不可能事件 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定不会发生,这样的事件称为不可能事件。 3、随机事件 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件可能发生也可能不发生，这样的事件称为随机事件。 【特别说明】一般地,随机事件发生的可能性是有大有小的。 ★【题型 1】事件的分类 【例题1】（2025八年级上·北京·专题练习）指出下列事件分别属于什么事件（必然事件、不可能事件、随机事件）： （1）打开电视机，正在播放动画片． （2）在一个装有红球和黑球的袋中摸出一个白球． （3）三角形三个内角的和等于． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列事件中（1）守株待兔；（2）拔苗助长；（3）海枯石烂；（4）日出东方；（5）心想事成；（6）水中捞月．是随机事件的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·月考）给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是________（填序号）． 【变式3】（24-25九年级上·贵州黔东南·月考）下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）太阳从西边落下；（2）某人的体温是；（3）（a，b都是实数）；（4）四边形的内角和是；（5）投一次篮球，命中；（6）下雨后出现彩虹． ★【题型 2】事件的大小 【例题2】（25-26九年级上·浙江丽水·期中）不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，每个球除颜色外都相同，每次随机摸1个球，然后放回；摇匀后，再摸第2次、第3次……．以下是小莲和小明的对话： （1）小莲的判断正确吗？为什么？ （2）小明的说法对吗？请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）一个不透明的盒子内装有个红球，个白球，它们除颜色外其余均相同．从中随机摸出一个球，下列说法正确的是（   ）． A．一定摸到红球 B．一定摸到白球 C．摸到白球比摸到红球的可能性大 D．摸到红球比摸到白球的可能性大 【变式2】（25-26七年级上·湖南湘潭·月考）盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到_______球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加_______个这种颜色的球． 【变式3】（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列随机事件是否属于等可能事件，若属于，有几种等可能的结果？ （1）从6件正品和2件次品中，随机抽取3件的质量情况； （2）一次射击命中的环数； （3）一枚硬币投抛一次． 【知识点二】频率的稳定性 1、频率 在次重复试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率。 2、频率的稳定性 一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性。 3、概率 我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率。我们常用大写字母、、表示事件，用表示事件发生的概率。 【特别提示】一般地，在大量重复的试验中，我们可以用随机事件发生的频率来估计随机事件发生的概率。 4、事件的概率 必然事件发生的概率是1，不可能事件发生的概率是0，随机事件发生的概率是0与1之间的一个常数。 ★【题型 3】求某事件的频率 【例题3】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）数学兴趣小组为探究事件A发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数n 100 200 500 800 1000 事件A出现的次数m 34 64 160 b 330 事件A发生的频率 0.34 a 0.32 0.33 0.33 （1）表中______，______； （2）根据上表，完成折线统计图． 【变式1】（23-24九年级上·青海果洛·期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知数据：，，π，，0，其中无理数出现的频率为_____． 【变式3】（24-25八年级下·全国·单元测试）有甲、乙两只不透明的布袋，甲袋中有个红球、个白球和个黑球，乙袋中有个红球，个白球和个黑球，这些球除颜色外全相同． （1）如果你想取出个红球，选哪个袋子成功的机会大？请说明理由； （2）“从乙袋中取出个红球后，乙袋中的红球个数仍比甲袋中红球个数多，所以此时若想取出个红球，选乙袋成功的机会大”，你认为此说法正确吗？为什么？ ★【题型 4】概率意义的理解 【例题4】（2025九年级上·全国·专题练习）一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）某地的天气预报中说：“明天的降水概率是．”根据这个预报，下面第（    ） 种说法是正确的． A．明天这个地区的时间会下雨 B．明天这个地区的地方下雨 C．明天这个地区下雨的可能性不大 D．明天这个地区下雨的可能性是 【变式2】（24-25九年级上·广西防城港·月考）不透明的口袋中有质地、大小、质量相同的白球和红球若干个，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则从袋中随机摸出一个白球的概率是_______． 【变式3】（23-24八年级下·全国·单元测试）计算下列事件发生的概率并将你算出的概率标在下图中．（标序号）   （1）十五的月亮就像一个弯弯细勾； （2）正常情况下，气温低于零摄氏度，水会结冰； （3）任意掷一枚六面分别写有、、、、、的均匀骰子，“”朝上； （4）从装有个红球，个白球，个黄球的口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）． ★【题型 5】用频率估计概率 【例题5】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，某商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物元以上获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“洗发水”的次数 落在“洗发水”的频率 （1）计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； （2）转动该转盘次，获得洗发水的概率约是__________（结果保留小数点后一位） 【变式1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）一个不透明的口袋中有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（   ） A．白色 B．黄色 C．红色 D．无法确定 【变式2】（25-26九年级上·山东淄博·期末）新生婴儿性别比是每名女婴对应的男婴数．通过抽样调查得知，我国年出生的婴儿性别比约为．某婴儿于年出生，估计他（她）为男性的概率_____． 【变式3】（23-24七年级下·陕西铜川·期末）投壶（如图）是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者甲的投壶结果： 投壶次数n 50 100 150 200 250 300 400 500 投中次数m 28 46 72 104 125 153 200 250 投中频率 0.56 0.46 0.48 x 0.50 0.51 y 0.50 根据上表中的数据解答下列问题： （1）计算表中x、y的值； （2）随着投壶次数越来越大，估计甲投壶一次投中的概率．（结果精确到0.1） 【知识点三】等可能事件的概率 1、试验结果的等可能 设一个试验的所有可能的结果有种，每次试验有且只有其中的一种结果出现。如果每种结果出现的可能性相同，那么我们就称这个试验的结果是等可能的。 2、等可能结果的概率 一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性。 3、概率 如果一个试验有种等可能的结果，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为 ★★【题型 6】根据概率公式计算概率 【例题6】（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，在一个不规则的区域内，有一个面积为54的正方形，向区域内随机地撒4000粒黄豆，数得落在正方形内（含边界）的黄豆有1350粒．以此试验数据为依据，可以估计出该不规则区域的面积． （1）随机向不规则区域内掷1粒黄豆，求黄豆落在正方形内（含边界）的概率； （2）请你估计出该不规则区域的面积． 【变式1】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）一个箱子里有4个除标号外其余均相同的球，分别以1、2、3、4进行标号，若每次取一个，有放回地取三次，则至少有2个不同标号的球被取出的概率为__________． 【变式3】（25-26九年级上·河南许昌·月考）一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共60个，这些球除颜色外都相同，其中红球有20个，黄球有15个． （1）求从中随机摸出一个球是蓝球的概率； （2）若向盒子中再放入5个蓝球，求从中随机摸出一个球是蓝球的概率． ★★【题型 7】利用概率公式求数量 【例题7】（25-26七年级下·全国·周测）在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外其余都相同． （1）任意摸出1个球，摸到红球是____________事件，摸到黄球是____________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”） （2）从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是多少？ （3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出1个球为黑球的概率是．求后来放入袋中的黑球的个数． 【变式1】（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到红球的频率稳定在，则袋中共有（　　）个球． A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河南郑州·期末）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为________． 【变式3】（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3． （1）求未获奖的概率； （2）若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数； （3）某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率． ★★【题型 8】几何概率 【例题8】（25-26七年级下·全国·单元测试）按要求完成题目： （1）如图①．在正方形内，有一个内切圆．利用电脑设计程序：在正方形内随机产生一些点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数为，圆内的点数为（在正方形边上和圆上的点不统计）．根据用频率估计概率的思想，推得的大小（用含，的式子表示）； （2）如图②所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率； （3）有一个小球在如图③所示的地板上自由滚动，地板上的每个小格子都是边长为1的正方形．求小球最终停留在阴影区域的概率． 【变式1】（2026·河北沧州·一模）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______． 【变式3】（25-26八年级上·北京顺义·期末）设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） （1）如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； （2）请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． ★★【题型 9】游戏的公平性 【例题9】（25-26九年级上·广西河池·期末）小红和小明在做“石头、剪刀、布”的游戏，请你完成以下问题： （1）若随机出手一次，请用列举法求小红获胜的概率； （2）这个游戏是否公平？请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【变式2】（2025九年级下·北京·专题练习）如图，有，，三个转盘，团团和圆圆做转盘游戏，指针停在阴影区域团团胜，在白色区域圆圆胜． （1）想让团团获胜的可能性大，要选择 转盘玩； （2）想让圆圆获胜的可能性大，要选择 转盘玩； （3）想让游戏公平，要选择 转盘玩． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． （1）若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 （2）选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 二.综合题型精析 ★★★【题型 10】频率、概率与数据统计图综合 【例题10】（24-25七年级下·四川达州·期末）小宁在学校进行了学生了解亚运会的方式的调查，他随机抽取了100位同学进行问卷调查，并绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．请回答下列问题： （1）请分别求出选择C，E的人数并补全条形统计图； （2）若在调查的100人中任意抽取1人进行深度调查，请求出选到的人选择的是“文章宣传”或“现场观看”的概率； （3）若该抽取人数占全校人数的，请估计全校选择“海报宣传”的人数． 【变式1】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）希希在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被2整除的概率 D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 【变式2】（25-26九年级上·河南安阳·期末）一个不透明的箱子里有两枚黑棋子和若干枚白棋子，它们除颜色外其他完全相同，摇匀后随机摸出一枚棋子，记下颜色放回．通过多次模拟试验后发现，摸出白棋子的频率如图，则箱子里棋子总数最可能是________． 【变式3】（24-25九年级下·海南·月考）某校在开展线上教学期间，为了了解九年级学生每天在家进行体育活动的时间（单位：h），随机调查了该年级的部分学生．根据调查结果，绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次随机调查的学生共有______人，图1中m的值为______； （2）请补全条形统计图； （3）体育活动时间不足1小时的四人中有3名女生和1名男生．为了解他们在家体育活动的实际情况，从这4人中随机抽取1人进行电话回访，则恰好抽到男生的概率是______； （4）若全年级共有800名学生，且每天体育活动1.5h及以上为“达标”，则估计全年级达标学生的人数是______． ★★★【题型 11】事件的概率、几何概率综合、事件发生可能性的大小综合 【例题11】（25-26七年级上·全国·假期作业）A、B、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法． 【变式1】（2025·四川德阳·模拟预测）若自然数使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称为“连加进位数”例如：不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象．如果从，，，，这个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·北京·月考）一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）数学课上，师生进行了摸球试验，袋子中装有编号分别为1，2，3，…，m的小球（除编号外完全相同）． （1）活动一：当时，从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．若事件“记录的编号中出现2个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次． （2）活动二：当时，从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作． ①若事件“记录的编号中出现2个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次； ②若事件“记录的编号中出现3个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次． （3）活动三：从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．若事件“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件，且至少需要摸100次，则袋中有多少个小球？ 三.中考真题专练 （一）选择题（6题）1．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 2．（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（    ） A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次 3．（2024·江苏连云港·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 4．（2024·四川攀枝花·中考真题）班级里有位女同学和位男同学，每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀，如果班长已经抽出了6张纸条，其中写有2位女同学和4位男同学的名字，他把这6张纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第7张，那么这张纸条上写的是男同学的名字的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·中考真题）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． （二）填空题（6题）7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张红桃，张黑桃．从中随机抽取张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是_____． 8．（2024·四川成都·中考真题）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为______． 9．（2023·辽宁锦州·中考真题）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______________． 10．（2023·山东聊城·中考真题）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，0，2，的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为______． 11．（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 12．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是_____． （三）解答题（4题）13．（2022·江苏南京·中考真题）甲城市有2个景点、，乙城市由3个景点、、，从中随机选取景点游览，求下列事件的概率： （1）选取1个景点，恰好在甲城市； （2）选取2个景点，恰好在同一个城市． 14．（2024·江苏镇江·中考真题）有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图： （1）__________图能更好地反映各组试验的总次数，__________图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）； （2）求实践组摸到黄球的频率； （3）根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？ 15．（2023·海南·中考真题）某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问题 在下列课外活动中，你最喜欢的是（        ）（单选） A．文学；B．科技；C．艺术；D．体育 填完后，请将问卷交给教务处． 根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： （1）本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”）； （2）在这次调查中，抽取的学生一共有 人；扇形统计图中的值为 ； （3）已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是 ； （4）若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有 人． 16．（2024·江苏无锡·中考真题）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究． 【确定调查方式】 （1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号） ①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本 ②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本 ③随机抽取100个麦穗的长度作为样本 【整理分析数据】 （2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下： 试验田100个麦穗长度频率分布表 长度 频率 0.04 0.45 0.30 0.09 合计 1 根据以上图表信息，解答下列问题： ①频率分布表中的______； ②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 （3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.1 概率初步（全章知识梳理 + 题型精析 +模拟真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】事件的分类 1 ★【题型 1】事件的分类 2 ★【题型 2】事件的大小 3 【知识点二】频率的稳定性 6 ★【题型 3】求某事件的概率 6 ★【题型 4】概率意义的理解 9 ★【题型 5】用频率估计概率 11 【知识点三】等可能事件的概率 13 ★★【题型 6】根据概率公式计算概率 14 ★★【题型 7】利用概率公式求数量 16 ★★【题型 8】几何概率 18 ★★【题型 9】游戏的公平性 21 二.综合题型精析 24 ★★★【题型 10】数学推理能力与事件的分类综合 24 ★★★【题型 11】事件的概率、几何概率综合、事件发生可能性的大小综合 28 三.中考真题专练 31 （一）选择题（6题） 31 （二）填空题（6题） 34 （三）解答题（4题） 37 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】事件的分类 1、必然事件： 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定会发生，这样的事件称为必然事件。 2、不可能事件 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定不会发生,这样的事件称为不可能事件。 3、随机事件 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件可能发生也可能不发生，这样的事件称为随机事件。 【特别说明】一般地,随机事件发生的可能性是有大有小的。 ★【题型 1】事件的分类 【例题1】（2025八年级上·北京·专题练习）指出下列事件分别属于什么事件（必然事件、不可能事件、随机事件）： （1）打开电视机，正在播放动画片． （2）在一个装有红球和黑球的袋中摸出一个白球． （3）三角形三个内角的和等于． 【答案】（1）随机事件；（2）不可能事件；（3）必然事件 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． （1）根据事件发生的可能性大小即可． （2）根据事件发生的可能性大小即可． （3）根据事件发生的可能性大小即可． 解：（1）解：打开电视机时，屏幕上播放的节目是不确定的，可能是动画片，也可能是其他节目，所以是随机事件． （2）解：袋中只有红球和黑球，没有白球，因此不可能摸出白球，属于不可能事件． （3）解：根据三角形内角和定理，任意三角形三个内角的和一定等于，这是必然事件． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列事件中（1）守株待兔；（2）拔苗助长；（3）海枯石烂；（4）日出东方；（5）心想事成；（6）水中捞月．是随机事件的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 解：（1）守株待兔，可能发生也可能不发生，是随机事件； （2）拔苗助长不可能发生，是不可能事件； （3）海枯石烂不可能发生，是不可能事件； （4）日出东方一定发生，是必然事件； （5）心想事成可能发生也可能不发生，是随机事件； （6）水中捞月一定不可能成功，是不可能事件； 综上，随机事件共有2个． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·月考）给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是________（填序号）． 【答案】① 【分析】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，分别进行判定即可． 解：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件，故①正确，符合题意； ②可能性很大的事件是随机事件，只是发生的概率较大，不一定发生，故②错误，不符合题意； ③如果一个事件不是必然发生的，那么它就可能发生也可能不发生，故③错误，不符合题意； 故答案为：①． 【变式3】（24-25九年级上·贵州黔东南·月考）下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）太阳从西边落下；（2）某人的体温是；（3）（a，b都是实数）；（4）四边形的内角和是；（5）投一次篮球，命中；（6）下雨后出现彩虹． 【答案】（1）（4）是必然事件，（2）（3）是不可能事件，（5）（6）是随机事件 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 解： （1）（4）是必然事件，（2）（3）是不可能事件，（5）（6）是随机事件． ★【题型 2】事件的大小 【例题2】（25-26九年级上·浙江丽水·期中）不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，每个球除颜色外都相同，每次随机摸1个球，然后放回；摇匀后，再摸第2次、第3次……．以下是小莲和小明的对话： （1）小莲的判断正确吗？为什么？ （2）小明的说法对吗？请说明理由． 【答案】（1）不正确，理由见详解；（2）错误，理由见详解 【分析】本题考查了随机事件可能性，正确理解随机事件事件发生的可能性是解题的关键． （1）根据事件发生的可能性进行判断即可； （2）根据事件发生的可能性进行判断即可； 解：（1）解：不正确，理由如下： 小莲同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的， 这种判断不正确， 因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件； （2）解：错误，理由如下; 小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的，这种说法不对， 因为只知道不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，且红球数、黄球数及白球数不可能相等，那么他们的可能性就不一样． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）一个不透明的盒子内装有个红球，个白球，它们除颜色外其余均相同．从中随机摸出一个球，下列说法正确的是（   ）． A．一定摸到红球 B．一定摸到白球 C．摸到白球比摸到红球的可能性大 D．摸到红球比摸到白球的可能性大 【答案】C 【分析】本题考查事件的分类以及判断事件发生的可能性大小．熟练掌握事件的分类是解题的关键．根据事件的分类以及事件发生的可能性大小逐一进行判断即可． 解：A，因为盒子内装有个红球，个白球，不一定摸到红球，故不符合题意； B，因为盒子内装有个红球，个白球，不一定摸到白球，故不符合题意； C，因为摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，所以摸到白球比摸到红球的可能性大，故符合题意； D，因为摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，所以摸到白球比摸到红球的可能性大，故不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·湖南湘潭·月考）盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到_______球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加_______个这种颜色的球． 【答案】 红 6 【分析】本题主要考查了可能性大小的实际应用，掌握可能性大小的比较方法是解题的关键． 比较盒子里白球、黄球、红球的数量多少，数量最多的，摸到的可能性最大；反之，数量最少的，摸到的可能性就最小．要使拿到这种颜色的球可能性最大，则其个数至少要比7多1，据此即可确定需要增加的个数． 解：∵， ∴红球的数量最少，所以从中任意摸一个球，摸到红球的可能性最小． ∵（个）， ∴要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加6个这种颜色的球． 故答案为：红，6 【变式3】（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列随机事件是否属于等可能事件，若属于，有几种等可能的结果？ （1）从6件正品和2件次品中，随机抽取3件的质量情况； （2）一次射击命中的环数； （3）一枚硬币投抛一次． 【答案】（1）不属于等可能事件；（2）不属于等可能事件；（3）一枚硬币投抛一次，正面或反面朝上的可能性相等，属于等可能事件．有两种等可能的结果：正面朝上、反面朝上 【分析】本题考查等可能事件，根据等可能事件出现的概率相等逐个判断即可． 解：（1）解：从6件正品和2件次品中，随机抽取3件的质量情况不属于等可能事件； （2）解：一次射击命中的环数不属于等可能事件； （3）解：一枚硬币投抛一次，正面或反面朝上的可能性相等，属于等可能事件．有两种等可能的结果：正面朝上、反面朝上． 【知识点二】频率的稳定性 1、频率 在次重复试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率。 2、频率的稳定性 一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性。 3、概率 我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率。我们常用大写字母、、表示事件，用表示事件发生的概率。 【特别提示】一般地，在大量重复的试验中，我们可以用随机事件发生的频率来估计随机事件发生的概率。 4、事件的概率 必然事件发生的概率是1，不可能事件发生的概率是0，随机事件发生的概率是0与1之间的一个常数。 ★【题型 3】求某事件的频率 【例题3】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）数学兴趣小组为探究事件A发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数n 100 200 500 800 1000 事件A出现的次数m 34 64 160 b 330 事件A发生的频率 0.34 a 0.32 0.33 0.33 （1）表中______，______； （2）根据上表，完成折线统计图． 【答案】（1）；264；（2）见分析 【分析】本题考查了频率和折线统计图，熟练掌握频率的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，得，，解答即可． （2）根据题意，画出图即可． 解：（1）解：根据题意，得，， 解得． （2）解：根据题意，折线图画图如下： 【变式1】（23-24九年级上·青海果洛·期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是频率的计算应用． 频率∶每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率，熟知频率公式是解题的关键； 由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，利用频率公式直接求解即可求得答案． 解：骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 掷得朝上一面的点数是6的频率为：， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知数据：，，π，，0，其中无理数出现的频率为_____． 【答案】． 【分析】把每个数据进行化简，对最简结果进行有理数，无理数的甄别，后根据频率意义计算即可． 解：∵=2， ∴，，0是有理数，，π是无理数， ∴无理数出现的频率为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了频率的意义，熟练掌握频率的数学意义是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·全国·单元测试）有甲、乙两只不透明的布袋，甲袋中有个红球、个白球和个黑球，乙袋中有个红球，个白球和个黑球，这些球除颜色外全相同． （1）如果你想取出个红球，选哪个袋子成功的机会大？请说明理由； （2）“从乙袋中取出个红球后，乙袋中的红球个数仍比甲袋中红球个数多，所以此时若想取出个红球，选乙袋成功的机会大”，你认为此说法正确吗？为什么？ 【答案】（1）选乙袋成功的机会大，理由见分析；（2）选甲袋成功的机会大，理由见分析 【分析】本题考查了频率计算公式，熟练掌握频率计算公式，并准确进行实数的大小比较是解答本题的关键． （1）分别计算甲、乙两袋中摸出红球的频率，比较大小后判断即可； （2）分别计算甲、乙两袋中摸出红球的频率，比较大小后判断即可． 解：（1）解：选乙袋成功的机会大，理由如下： 在甲袋中取出个红球的频率是， 在乙袋中取出个红球的频率是， 因为， 所以选乙袋成功的机会大； （2）解：此说法不正确，理由如下： 因为从乙袋中取出个红球后，从乙袋中取出个红球的频率是， 因为， 所以此时若想取出个红球，选甲袋成功的机会大． ★【题型 4】概率意义的理解 【例题4】（2025九年级上·全国·专题练习）一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，见分析 【分析】本题考查了概率的意义． 根据概率的意义作答即可． 解：不正确． 5次试验属于少量试验，频率为0是可能出现的偶然情况（如连续掷5次硬币都正面朝上）． 若该同学摸球1000次，每次放回摇匀，摸出白球的频率会逐渐趋近于，从而验证概率的正确性． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）某地的天气预报中说：“明天的降水概率是．”根据这个预报，下面第（    ） 种说法是正确的． A．明天这个地区的时间会下雨 B．明天这个地区的地方下雨 C．明天这个地区下雨的可能性不大 D．明天这个地区下雨的可能性是 【答案】D 【分析】本题考查降水概率的定义，降水概率表示某地区下雨的可能性大小，而非时间或区域的占比，据此判断各选项即可． 解：∵降水概率的含义是指某地区下雨的可能性大小． ∴选项中“的时间下雨”、选项中“的地方下雨”均错误． ∵的概率说明下雨可能性较大． ∴选项错误． ∵降水概率即表示明天该地区下雨的可能性是． ∴选项正确． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·广西防城港·月考）不透明的口袋中有质地、大小、质量相同的白球和红球若干个，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则从袋中随机摸出一个白球的概率是_______． 【答案】 【分析】因为所有事件的概率之和为，所以随机摸白球的概率为减去摸红球的概率．此题考查概率知识，解此题关键是知道所有事件概率之和等于1． 解：∵随机摸红球的概率为； ∴随机摸出一个白球的概率为：； 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·全国·单元测试）计算下列事件发生的概率并将你算出的概率标在下图中．（标序号）   （1）十五的月亮就像一个弯弯细勾； （2）正常情况下，气温低于零摄氏度，水会结冰； （3）任意掷一枚六面分别写有、、、、、的均匀骰子，“”朝上； （4）从装有个红球，个白球，个黄球的口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）． 【答案】（1）0，标序号见分析；（2）1，标序号见分析；（3），标序号见分析；（4），标序号见分析 【分析】根据随机事件的概率问题，正确理解概率的性质就能很快的得到答案． 解：（1）解：十五的月亮就像一个弯弯细勾，不可能发生，故概率为0； （2）正常情况下，气温低于零摄氏度，水会结冰，一定发生，故概率为1； （3）任意掷一枚六面分别写有1、2、3、4、5、6的均匀骰子，“3”朝上的概率为； （4）从装有6个红球，20个白球，4个黄球的口袋中任取一个球，恰好是白球的概率为． 【点拨】本题主要考查了随机事件的概率问题，难度适中． ★【题型 5】用频率估计概率 【例题5】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，某商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物元以上获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“洗发水”的次数 落在“洗发水”的频率 （1）计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； （2）转动该转盘次，获得洗发水的概率约是__________（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（）根据频率的计算方法计算出空格部分的频率，再填入表格即可求解； （）根据频率估计概率即可； 本题考查了用频率估计概率，掌握频率和概率的关系是解题的关键． 解：（1）解：，，， ∴表格补充完整如下： 转动转盘的次数 落在“洗发水”的次数 落在“洗发水”的频率 （2）解：由表中数据可知，随着实验次数的增大，指针落在“洗发水”的频率稳定在左右， ∴转动该转盘一次，获得洗发水的概率约是， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）一个不透明的口袋中有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（   ） A．白色 B．黄色 C．红色 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了频率，分别计算出摸出三种球的频率，再结合图表中提供的频率进行选择即可． 解：摸出白色球的频率为； 摸出黄球的频率为； 摸出红球的频率为； 由频率图可知是白球出现的频率， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·山东淄博·期末）新生婴儿性别比是每名女婴对应的男婴数．通过抽样调查得知，我国年出生的婴儿性别比约为．某婴儿于年出生，估计他（她）为男性的概率_____． 【答案】 【分析】本题考查用频率估算概率，掌握好频率与概率的关系是关键． 根据性别比定义，男婴数与女婴数之比为， 求出男婴的频率．当试验次数足够大时，频率会趋近于概率，据此得出答案． 解：由题意可知，男婴数与女婴数之比为， ∴男婴的频率为， ∵当试验次数足够大时，频率会趋近于概率， ∴他（她）为男性的概率为． 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·陕西铜川·期末）投壶（如图）是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者甲的投壶结果： 投壶次数n 50 100 150 200 250 300 400 500 投中次数m 28 46 72 104 125 153 200 250 投中频率 0.56 0.46 0.48 x 0.50 0.51 y 0.50 根据上表中的数据解答下列问题： （1）计算表中x、y的值； （2）随着投壶次数越来越大，估计甲投壶一次投中的概率．（结果精确到0.1） 【答案】（1），；（2）0.5 【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯地依靠几次决定． （1）根据频率公式计算即可． （2）根据表格数据得出投壶次数越来越大，投中的频率趋近于0.5，即可估计出其概率约为0.5． 解：（1）解：根据表中的数据可得， ． （2）解：随着投壶次数越来越大，估计甲投壶一次投中的概率为． 【知识点三】等可能事件的概率 1、试验结果的等可能 设一个试验的所有可能的结果有种，每次试验有且只有其中的一种结果出现。如果每种结果出现的可能性相同，那么我们就称这个试验的结果是等可能的。 2、等可能结果的概率 一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性。 3、概率 如果一个试验有种等可能的结果，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为 ★★【题型 6】根据概率公式计算概率 【例题6】（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，在一个不规则的区域内，有一个面积为54的正方形，向区域内随机地撒4000粒黄豆，数得落在正方形内（含边界）的黄豆有1350粒．以此试验数据为依据，可以估计出该不规则区域的面积． （1）随机向不规则区域内掷1粒黄豆，求黄豆落在正方形内（含边界）的概率； （2）请你估计出该不规则区域的面积． 【答案】（1）；（2）160 【分析】本题考查了几何概率，正方形的面积，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据概率公式即可得到结论； （2）根据概率公式即可得到结论． 解：（1）解：记“黄豆落在正方形内（含边界）”为事件， ． 故黄豆落在正方形内（含边界）的概率为． （2）解：，正方形的面积为， ∴不规则区域的面积为． 答：该不规则区域的面积是． 【变式1】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率的求法；根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 解：根据题意知，骰子有六个面，每面的数据不同，有六种可能，向上一面的点数为偶数结果有3个， 所以向上一面的点数为偶数的概率为， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）一个箱子里有4个除标号外其余均相同的球，分别以1、2、3、4进行标号，若每次取一个，有放回地取三次，则至少有2个不同标号的球被取出的概率为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了概率的计算，解题的关键是求出符合题目对立事件的可能数． 每次取球有4种选择，有放回地取三次，总可能结果数为，至少有2个不同标号的球被取出的对立事件为3次都取同一个球，3次都取同一个球有4种可能，即至少有2个不同标号的球被取出的可能结果数为，进而求出概率． 解：∵一个箱子里有4个除标号外其余均相同的球，分别以1、2、3、4进行标号，若每次取一个，有放回地取三次， ∴总可能结果数为：（种）， ∵至少有2个不同标号的球被取出的对立事件为：3次都取同一个球， 又∵3次都取同一个球有4种可能， ∴至少有2个不同标号的球被取出的可能结果数为：（种）， ∴至少有2个不同标号的球被取出的概率为：． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·河南许昌·月考）一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共60个，这些球除颜色外都相同，其中红球有20个，黄球有15个． （1）求从中随机摸出一个球是蓝球的概率； （2）若向盒子中再放入5个蓝球，求从中随机摸出一个球是蓝球的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据再放入5个蓝球后盒子篮球的总个数和球的总个数求出从中随机摸出一个球是蓝球的概率即可． 解：（1）解：蓝球个数：（个）， 摸出蓝球的概率：． （2）解：放入5个蓝球后，蓝球总个数为： （个）， 总球数为（个）， ∴此时摸出一个球是蓝球的概率：． ★★【题型 7】利用概率公式求数量 【例题7】（25-26七年级下·全国·周测）在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外其余都相同． （1）任意摸出1个球，摸到红球是____________事件，摸到黄球是____________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”） （2）从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是多少？ （3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出1个球为黑球的概率是．求后来放入袋中的黑球的个数． 【答案】（1）随机  不可能；（2）；（3）18 【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的定义即可求解； （2）求出白球占总数的几分之几即可； （3）根据概率公式列方程求解即可． 解：（1）解：根据概念可得：任意摸出1个球，摸到红球是随机事件，摸到黄球是不可能事件； 故答案为：随机，不可能. （2）解：． 故摸到白球的概率是． （3）解：设后来放入袋中的黑球的个数是． 依题意得: ， 解得． 故后来放入袋中的黑球的个数是18． 【点拨】本题考查概率的计算，解决本题的关键是掌握概率的计算方法. 【变式1】（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到红球的频率稳定在，则袋中共有（　　）个球． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据大量重复试验中频率稳定在概率附近求解即可． 解：∵经大量试验，摸到红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率为， 设袋中总球数为， ∵袋中共有个红球， ∴根据概率公式可得， 解得， ∴袋中共有个球． 【变式2】（25-26九年级上·河南郑州·期末）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为________． 【答案】20 【分析】本题考查了根据频率估计概率，根据概率求数量． 根据频率估计概率，摸到黑球的概率稳定在，求出总数，即可求出红球的个数． 解：∵摸到黑球的频率稳定在左右， ∴摸到黑球的概率稳定在左右， 则盒子中球的总个数为（个）， 所以盒子中红球的个数为（个）． 故答案为：20． 【变式3】（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3． （1）求未获奖的概率； （2）若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数； （3）某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率． 【答案】（1）0.4；（2）20；（3） 【分析】本题主要考查的是用概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）用减去获得一、二、三等奖的概率即可得出结果； （2）用乘以获得一等奖的概率即可得出结果； （3）列举得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 解：（1）解：∵获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3， ∴未获奖的概率为； （2）解：∵获得一等奖的概率为0.1， ∴（人）， 故获得一等奖的学生人数为人； （3）解：由题意可得：从四位同学中随机选取人，所有等可能的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共种，其中刚好选中甲和丙两位同学的情况有1种， 故刚好选中甲和丙两位同学的概率为． ★★【题型 8】几何概率 【例题8】（25-26七年级下·全国·单元测试）按要求完成题目： （1）如图①．在正方形内，有一个内切圆．利用电脑设计程序：在正方形内随机产生一些点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数为，圆内的点数为（在正方形边上和圆上的点不统计）．根据用频率估计概率的思想，推得的大小（用含，的式子表示）； （2）如图②所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率； （3）有一个小球在如图③所示的地板上自由滚动，地板上的每个小格子都是边长为1的正方形．求小球最终停留在阴影区域的概率． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据圆的面积与正方形的面积的比等于落在相应位置的点数的比列式求解即可； （2）用蓝色区域的圆心角度数除以度即可； （3）分别求出地板面积和阴影区域的面积，然后用阴影区域的面积除以地板面积即可求出小球最终停留在阴影区域的概率． 解：（1）解：设圆的半径为，则正方形的边长为． 根据题意，得， 所以． （2）解：如题图②，指针落在蓝色区域的概率为． 答：指针落在蓝色区域的概率为． （3）解：如题图③，地板面积为， 阴影区域的面积为， 则小球最终停留在阴影区域的概率为． 答：小球最终停留在阴影区域的概率为． 【变式1】（2026·河北沧州·一模）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了几何概率，击中白色区域的概率等于白色区域面积与正方形总面积之比． 解：随意投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是： ． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率面积之比是解题的关键． 根据飞镖扎在阴影区域的概率阴影区域面积与总面积之比，计算即可得到答案． 解：设小正方形面积为， 飞镖游戏板由大小相等的个小正方形构成， 飞镖游戏板的面积为，阴影区域面积为， 飞镖扎在阴影区域的概率是， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·北京顺义·期末）设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） （1）如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； （2）请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 【答案】（1）；（2）图见分析 【分析】本题考查了几何概率，以及概率公式，理解题意是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）结合几何概率定义，以及指针指向阴影区域的可能性大小是，将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，即可解题． 解：（1）解：根据题意，共有6块全等的扇形区域，其中3块是灰色，则指针指向灰色区域的可能性大小是； （2）解：如图，所画转盘即为所求： 将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，此时指针指向阴影区域的可能性大小是． ★★【题型 9】游戏的公平性 【例题9】（25-26九年级上·广西河池·期末）小红和小明在做“石头、剪刀、布”的游戏，请你完成以下问题： （1）若随机出手一次，请用列举法求小红获胜的概率； （2）这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】（1）；（2）游戏公平，理由见分析 【分析】本题考查列举法求概率． （1）列举游戏所能产生的全部结果数以及小红获胜的结果数，再利用概率公式可得出答案； （2）同（1）求得小明获胜的概率，与小红获胜的概率比较即可解答． 解：（1）解：列举游戏所能产生的全部结果如下：（括号内逗号左边是小红，逗号右边是小明） （石头，石头）、（石头，剪刀）、（石头，布）、（剪刀，石头）、（剪刀，剪刀）、（剪刀，布）、（布，石头）、（布，剪刀）、（布，布）； 由上可知，所有可能出现的结果共有9种，且它们出现的可能性相等； 其中，小红获胜的结果有3种；（石头，剪刀）、（剪刀，布）、（布，石头）； 小红获胜的概率是（小红获胜）； （2）解：游戏公平． 理由：由（1）可知，小明获胜的结果有3种： （剪刀，石头）、（布，剪刀）、（石头，布）； 小明获胜的概率是（小明获胜）． 双方获胜概率相等，游戏公平． 【变式1】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了游戏的公平性，列举法求概率．通过列举两枚硬币抛掷的所有可能结果，计算小明和小华赢的概率并比较，即可作答． 解：依题意，两枚均匀硬币抛掷的所有可能结果有4种：正正、正反、反正、反反，且每种结果等可能， 其中，小明赢（正正）的概率为，小华赢（反反）的概率为，平局为， ∴小明和小华赢的概率相等，游戏公平， 故选：A． 【变式2】（2025九年级下·北京·专题练习）如图，有，，三个转盘，团团和圆圆做转盘游戏，指针停在阴影区域团团胜，在白色区域圆圆胜． （1）想让团团获胜的可能性大，要选择 转盘玩； （2）想让圆圆获胜的可能性大，要选择 转盘玩； （3）想让游戏公平，要选择 转盘玩． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了几何概率的意义及应用，熟练掌握几何概率的大小与对应区域面积占比的关系是解题的关键． （1）想让团团获胜的可能性大，则指针停在阴影区域的概率要大，则选转盘； （2）想让圆圆获胜的可能性大，则指针停在白色区域的概率要大，则选转盘； （3）由于转盘指针停在白色区域的概率和指针停在阴影区域的概率一样大，所以想让游戏公平，要选择转盘． 解：（1）解：因为转盘中阴影区域的面积比白色区域的面积大， 所以指针停在阴影区域的概率大，则想让团团获胜的可能性大，要选择转盘玩； 故答案为：； （2）解：因为转盘中白色区域的面积比阴影区域的面积大， 所以指针停在白色区域的概率大，则想让圆圆获胜的可能性大，要选择转盘玩； 故答案为：； （3）解：因为转盘的阴影区域的面积与白色区域的面积一样，指针停在白色区域的概率和指针停在阴影区域的概率一样大， 所以想让游戏公平，要选择转盘玩． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． （1）若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 （2）选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【答案】（1）；（2）选择摇奖方式一获奖机会更大，理由见分析 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定每种事件包含的基本事件数，再利用概率公式计算． （1）直接根据标有“4”的面数与总面数的比值计算概率； （2）分别计算两种摇奖方式的获奖概率，再比较大小． 解：（1）解：∵正二十面体骰子总共有个面，其中标有“4”的面有4个， ∴骰子掷出后，“4”朝上的概率为； 故答案为：； （2）解：先计算方式一的获奖概率： 骰子总面数为，标有“6”的面数为， ∴选择方式一获奖的概率为． 再计算方式二的获奖概率： 转盘被等分成份，6的倍数为6、，共2个， ∴选择方式二获奖的概率为． ∵， ∴方式一的获奖机会更大； 答：选择方式一获奖机会更大． 二.综合题型精析 ★★★【题型 10】频率、概率与数据统计图综合 【例题10】（24-25七年级下·四川达州·期末）小宁在学校进行了学生了解亚运会的方式的调查，他随机抽取了100位同学进行问卷调查，并绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．请回答下列问题： （1）请分别求出选择C，E的人数并补全条形统计图； （2）若在调查的100人中任意抽取1人进行深度调查，请求出选到的人选择的是“文章宣传”或“现场观看”的概率； （3）若该抽取人数占全校人数的，请估计全校选择“海报宣传”的人数． 【答案】（1）选择C的人数为35，选择E的人数为10，见分析；（2）；（3）估计全校选择“海报宣传”的人数为140 【分析】本题主要考查了扇形统计图，用样本估计总体以及概率公式，通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数． （1）先根据的百分比求出的人数，然后用总人数减去各个小组的人数即可得出的人数，补全条形统计图即可； （2）得出“文章宣传”和“现场观看”两部分的人数，用概率公式计算即可； （3）用样本估计总体即可． 解：（1）解：的人数：（人， 的人数：（人， 补全条形统计图如图： （2）解：“文章宣传”的人数为25人，“现场观看”的人数为10人， 选择的概率为； （3）解：（人， 即估计全校选择海报宣传的人数为140人． 【变式1】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）希希在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被2整除的概率 D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率公式，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．先根据统计图得出频率稳定左右，即可得出该实验的概率为，分别求出各选项的概率，即可得答案． 解：由统计图可知，该实验的频率稳定左右， ∴该实验的概率为， A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故该选项不符合题意， B．抛一枚硬币，出现正面的概率为，故该选项不符合题意， C．任意写一个整数，它能被2整除的概率为，故该选项不符合题意， D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率为，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·河南安阳·期末）一个不透明的箱子里有两枚黑棋子和若干枚白棋子，它们除颜色外其他完全相同，摇匀后随机摸出一枚棋子，记下颜色放回．通过多次模拟试验后发现，摸出白棋子的频率如图，则箱子里棋子总数最可能是________． 【答案】8 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率的计算，根据频率估计出白棋子的概率，再计算出摸出黑棋子的概率，最后根据概率公式计算出棋子的总数即可． 解：由题意知，摸出白棋子的概率约为， ∴摸出黑棋子的概率为， ∴箱子里棋子总数可能是， 故答案为：8． 【变式3】（24-25九年级下·海南·月考）某校在开展线上教学期间，为了了解九年级学生每天在家进行体育活动的时间（单位：h），随机调查了该年级的部分学生．根据调查结果，绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次随机调查的学生共有______人，图1中m的值为______； （2）请补全条形统计图； （3）体育活动时间不足1小时的四人中有3名女生和1名男生．为了解他们在家体育活动的实际情况，从这4人中随机抽取1人进行电话回访，则恰好抽到男生的概率是______； （4）若全年级共有800名学生，且每天体育活动1.5h及以上为“达标”，则估计全年级达标学生的人数是______． 【答案】（1）40，15；（2）见分析；（3）；（4）600人 【分析】本题考查了概率公式，样本估计总体，统计图，正确理解题意是解题的关键： （1）由0.9h的人数及其所占百分比求出总人数，根据百分比之和为1可得m的值； （2）总人数乘以1.2h对应的百分比可得答案； （3）根据概率公式即可得出答案； （4）根据样本估计总体即可得出答案． 解：（1）解：本次随机调查的学生共有（人）， ，即； 故答案为：40，15； （2）1.2h的人数为（人）， 补全图形如下： （3）共有3名女生和1名男生，4种可能的结果，恰好抽到男生的有1种结果，所以抽到男生的概率， 故答案为：； （4）人， 答：估计全年级达标学生的人数是600人 ★★★【题型 11】事件的概率、几何概率综合、事件发生可能性的大小综合 【例题11】（25-26七年级上·全国·假期作业）A、B、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法． 【答案】（1）含5点且以某些点为顶点的凸多边形面积；（2）含5点且以某些点为顶点的凸多边形周长；（3）含5点的最小圆半径；（4）从任意一点引向其余各点的长度之和最小者；（5）连接任意两点线段长度中的最小值 【分析】本题考查的是游戏规则的制定，只要符合石子散落的距离小的方案均可． 根据游戏要求，以石子散落的距离小者为优胜，制定游戏规则． 解：（1）含5点且以某些点为顶点的凸多边形面积； （2）含5点且以某些点为顶点的凸多边形周长； （3）含5点的最小圆半径； （4）从任意一点引向其余各点的长度之和最小者； （5）连接任意两点线段长度中的最小值．（答案不唯一） 【变式1】（2025·四川德阳·模拟预测）若自然数使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称为“连加进位数”例如：不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象．如果从，，，，这个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率，根据题意筛选出符合条件的情况数目是解题的关键．设的个位数字为，十位数字为，根据“连加进位数”的定义得到n不是进位数当且仅当且，从而得到非进位数有12个，则从0到99中进位数有个，即可求出概率． 解：设的个位数字为，十位数字为， 个位无进位需（此时个位和分别为）， ∵个位无进位时十位数字均为b， ∴个位无进位时十位数字的和为， ∴十位无进位需，即， ∴ n不是进位数当且仅当且， ∴非进位数有：时，；时，；时，；时，，共12个， ∴从0到99中进位数有个， ∴概率为， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·北京·月考）一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 【答案】 黑 【分析】本题主要考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键． （1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是黑球，由此可得答案； （2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可． 解：（1）依题意得，若先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．但取出的球都没有放入丙盒，因此先放入甲盒的球不能是白球，只能是黑球． 故答案为黑． （2）由题意得，可知取两个球共有四种情况： ①黑+黑，则乙盒中黑球数加1， ②白+白，则丙盒中白球数加1， ③黑+白（黑球放入甲盒），则乙盒中白球数加1， ④白+黑（白球放入甲盒），则丙盒中黑球数加1． 分析可知，只有当从袋中取出的两个球都是黑球时，乙盒中才会增加一个黑球． 因此，乙盒中最终有6个黑球，说明取出两个黑球的操作发生了6次． 该操作共用去黑球（个）． 因为袋中黑球、白球各占一半， 所以袋中原来最少有个黑球和个白球． 故袋中原来最少有（个）球． 故答案为：． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）数学课上，师生进行了摸球试验，袋子中装有编号分别为1，2，3，…，m的小球（除编号外完全相同）． （1）活动一：当时，从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．若事件“记录的编号中出现2个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次． （2）活动二：当时，从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作． ①若事件“记录的编号中出现2个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次； ②若事件“记录的编号中出现3个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次． （3）活动三：从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．若事件“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件，且至少需要摸100次，则袋中有多少个小球？ 【答案】（1）3；（2）①4②7；（3）袋中有33个小球． 【分析】本题考查随机事件的含义，必然事件的含义，探索规律的方法，通过例举，寻找规律是解题的关键． （1）活动一：通过列举得出答案； （2）活动二：通过列举得出答案； （3）活动三：总结规律，列出方程求解即可得出答案． 解：（1）解：仅摸一次，不可能出现两相同编号， 摸两次，有可能出现不同的编号，如，或，，不符合必然事件， 摸三次，才能保证出现两个相同的编号为必然事件， 故答案为：； （2）解：①摸两次时，不符合题意，如摸到，， 摸三次时，不符合题意，如摸到，，， 摸四次时，一定会出现两个相同的编号，为必然事件， 故答案为：； ②摸六次时，不符合题意，如，，，，，， 摸七次时，符合题意，一定会摸到三个相同的编号为必然事件， 故答案为：； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴袋中有个小球． 三.中考真题专练 （一）选择题（6题）1．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可． 解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球， ∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球， A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；     B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意； D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； 故选：C． 2．（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（    ） A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次 【答案】A 【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可． 解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误； 小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误； 小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误 故选；A． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 【答案】C 【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可． 解：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一样”，故该选项错误，不符合题意； B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意； C、 “小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意； D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 4．（2024·四川攀枝花·中考真题）班级里有位女同学和位男同学，每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀，如果班长已经抽出了6张纸条，其中写有2位女同学和4位男同学的名字，他把这6张纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第7张，那么这张纸条上写的是男同学的名字的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了概率公式，计算剩余纸条中男同学名字的概率，需先确定剩余男同学和总剩余纸条的数量，据此进行列式计算，即可作答． 解：总人数与剩余纸条数：班级共有女同学人，男同学人， 总人数为（人）， 班长已抽出6张纸条，剩余纸条数为张． ∵已抽出的6张中有2位女同学和4位男同学， 因此剩余女同学为（人），剩余男同学为（人）． ∴第7张纸条从剩余张中随机抽取，抽到男同学的概率为剩余男同学人数与剩余总人数的比值，即． 故选：D． 5．（2025·河北·中考真题）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字有个，数字有2个，则数字只有个，结合选项，即可求解． 解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为， ∴数字有个，数字有2个，则数字只有个 选项A中数字有2个，符合题意 故选：A． 6．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，列举所有可能结果红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率是解题的关键． 解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种， ∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝， ∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是， 故选：． （二）填空题（6题）7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张红桃，张黑桃．从中随机抽取张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查概率的计算，直接应用概率公式：事件发生的概率等于该事件可能发生的结果数除以所有可能的结果数。 解：从7张扑克牌中随机抽取张，共有种等可能结果， 其中抽到红桃的有种结果， 抽取红桃的概率为． 故答案为：． 8．（2024·四川成都·中考真题）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，可得，进而利用比例性质求解即可． 解：∵随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是， ∴，则， 故答案为：． 9．（2023·辽宁锦州·中考真题）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______________． 【答案】 【分析】设袋子中红球有个，根据摸到黑球的频率稳定在左右，可列出关于的方程，求出的值，从而得出结果． 解：设袋子中红球有个， 根据题意，得, 经检验是方程的解，且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为， 故答案为： 【点拨】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握求概率公式是解此题的关键． 10．（2023·山东聊城·中考真题）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，0，2，的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为______． 【答案】/ 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 解：根据题意列表如下： 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 共有20种等可能出现的结果，两球上的数字之积恰好是有理数的有8种， 两球上的数字之积恰好是有理数的概率为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 11．（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 12．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种，再利用概率公式计算即可得． 解：由图可知，任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种， 则当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是， 故答案为：． （三）解答题（4题）13．（2022·江苏南京·中考真题）甲城市有2个景点、，乙城市由3个景点、、，从中随机选取景点游览，求下列事件的概率： （1）选取1个景点，恰好在甲城市； （2）选取2个景点，恰好在同一个城市． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列举出所有的等可能性的结果数，再找到恰好在同一个城市的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 解：（1）解：随机选取1个景点，有5种等可能结果：、、、、，其中恰好在甲城市的为、占2种， ∴恰好在甲城市的概率，即随机选取1个景点，恰好在甲城市的概率为． （2）解：随机选取2个景点，共有10种等可能结果：、、、、、、、、、，其中满足恰好在同一个城市的为：、、、，占其中4种， ∴恰好在同一个城市的概率即随机选取2个景点，恰好在同一个城市的概率为． 【点拨】本题主要考查了简单的概率计算，列举法求解概率，熟知概率的相关知识是解题的关键． 14．（2024·江苏镇江·中考真题）有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图： （1）__________图能更好地反映各组试验的总次数，__________图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）； （2）求实践组摸到黄球的频率； （3）根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？ 【答案】（1），；（2）；（3）实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了频率分布直方图，概率的计算公式，解题关键是正确判断． （1）直接判断得图能更好地反映各组试验的总次数，图能更好地反映各组试验摸到红球的频数； （2）用频率公式可得； （3）实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）． 解：（1）解：图能更好地反映各组试验的总次数，图能更好地反映各组试验摸到红球的频数； 故答案为：，． （2）解：实践组摸到黄球的频率； （3）解：实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）． 15．（2023·海南·中考真题）某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问题 在下列课外活动中，你最喜欢的是（        ）（单选） A．文学；B．科技；C．艺术；D．体育 填完后，请将问卷交给教务处． 根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： （1）本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”）； （2）在这次调查中，抽取的学生一共有 人；扇形统计图中的值为 ； （3）已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是 ； （4）若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有 人． 【答案】（1）抽样调查；（2）200，22；（3）；（4）350 【分析】（1）根据抽样调查的定义即可得出答案； （2）根据喜欢文学的人数除以其所占的百分比可得总人数，用喜欢体育的人数除以总人数可求出的值； （3）根据概率公式求解即可； （4）用1000乘以选择“文学”类的百分比即可． 解：（1）解：根据题意得： 本次调查采用的调查方式为：抽样调查， 故答案为：抽样调查； （2）解：根据题意得： 在这次调查中，抽取的学生一共有：（人）， 扇形统计图中的值为：， 故答案为：200，22； （3）解：恰好抽到女生的概率是：， 故答案为：； （4）解：根据题意得： 选择“文学”类课外活动的学生有：（人）， 故答案为：350． 【点拨】本题考查了全面调查与抽样调查、条形统计图与扇形统计图的信息关联、根据概率公式求概率、由样本估计总体，正确利用条形统计图和扇形统计图得出正确信息是解题的关键． 16．（2024·江苏无锡·中考真题）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究． 【确定调查方式】 （1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号） ①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本 ②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本 ③随机抽取100个麦穗的长度作为样本 【整理分析数据】 （2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下： 试验田100个麦穗长度频率分布表 长度 频率 0.04 0.45 0.30 0.09 合计 1 根据以上图表信息，解答下列问题： ①频率分布表中的______； ②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 （3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少． 【答案】（1）③（2）①0.12，频数分布直方图见详解 （3） 【分析】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键． （1）根据抽样调查的特点回答即可． （2）①用1减去其他频率即可求出m的值．②先求出麦穗长度频率分布在之间的频数，然后即可补全频数分布直方图 （3）把长度不小于的麦穗的频率相加即可求解． 解：（1）∵抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性， ∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本， 故答案为：③ （2）①频率分布表中的， 故答案为：0.12， ②麦穗长度频率分布在之间的频数有：， 频数分布直方图补全如下： （3）， 故长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $