第二单元因数和倍数解决问题高频常考易错题专项训练二（专项训练）-2025-2026学年五年级数学下册人教版

第二单元因数和倍数解决问题高频常考易错题专项训练二 一、解答题 1．6月28日是妈妈的生日，芳芳拿出压岁钱计划到花店给妈妈买一束鲜花。看过价格表之后，芳芳选了一些康乃馨和郁金香，售货员说她应该付63元，你觉得售货员说的对吗？说说你的理由。    2．有一堆桃子，如果每2个放一盘，那么多出1个，如果每5个放一盘，那么多出2个，如果每3个放一盘，那么正好放完，这堆桃子最少有多少个？ 3．实验小学的长方形花圃里有几行玫瑰，每行的棵数都相等。小明数的是83棵，小刚数的是91棵，小红数的是89棵，其中只有一个小朋友数对了，这个小朋友是谁呢？请你说明理由。 4．用长度是50厘米的铁丝围成一个长方形，长方形的长和宽均为整厘米数，且均为质数，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 5．五（2）班买了57本书和44支铅笔，奖励各方面表现突出的同学，每个同学得到的奖品同样多，最后余下1本书和2支铅笔。问：最多有多少个同学得到奖品？ 6．新新小学五一班有40名同学，现在派他们到2个社区参加创卫活动，每个社区只能派质数名同学，并且2个社区的人数相差最少。分派到2个社区的学生数分别是多少？ 7．慧慧和宁宁带100元钱去玩具店购物，她们选了一些好玩的竹蜻蜓和水枪，结账时售货员找给她们75元。售货员找的钱对吗？为什么？ 8．亮亮把自然数m的最小因数和m的另一个因数相加，发现得数是4，几个小朋友根据亮亮的发现做了以下几种猜测：聪聪：m一定是偶数。明明：m一定是合数。乐乐：m一定是3的倍数。三个小朋友的猜测中，哪些是正确的？请你说明理由。 9．面包店运来125个面包，如果3个装一袋能正好装完吗？如果5个装一袋能正好装完吗？为什么？ 10．一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数字既是奇数又是合数，它的百位数字是1，它的个位数字是最小的质数，这个四位数是多少？写出所有可能的情况。 11．水果店进来一批苹果，每箱有35～40个。售货员想把一箱苹果分装成盒卖，装的时候发现6个装一盒刚好装完，这箱苹果有多少个？ 12．重阳节这天，45名志愿者到老年公寓帮忙，展现新时代尊老、敬老、爱老、助老的新风貌。他们谁说得对？为什么？    13．实验小学抽调35名教师分别到甲、乙两个社区参加创城志愿者服务活动。如果抽调到甲社区的教师人数为奇数，那么抽调到乙社区的教师人数为奇数还是偶数？如果抽调到甲社区的教师人数为偶数呢？请分这两种情况，用你喜欢的方式（如文字、算式、列表等）说明理由。 14．实验小学的长方形花圃里有几行玫瑰，每行的棵数都相等。下面是三位小朋友数出的总棵数，其中只有一个小朋友数对了，这个小朋友是谁呢？说明理由。 15．小明和妈妈到商店买了3箱同样的牛奶，售货员阿姨说应付130元，小明马上认为不对。你同意小明的看法吗？说说你的理由。 16．某医院抽调48位医护人员支援部分检测点进行核酸检测，如果将这48人平均分成若干小组，每组人数不得少于4人，不得多于10人，有几种分法？ 17．水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 18．五（3）班有27名同学准备到4个社区参加志愿服务活动，每个社区要求派奇数名同学前往，你认为可能吗？说说你的理由。 19．阳光小学五（3）班有47名同学，现在派他们到4个社区参加志愿者服务活动，每个社区要求派奇数名同学，你能按要求分配任务吗？说说你的理由。 20．3月12日是植树节，五年级有48名同学参加植树活动。 （1）把人数分成相等的若干小组，要使组数大于2小于10，可以分成几组？ （2）有6名同学去给小树苗浇水。小树苗不到30棵，他们发现每人浇水的棵数相同，这批小树苗可能有多少棵？ 21．正值金秋时节，兴平的特产辣椒喜获丰收。农户老李精心挑选了一筐红彤彤的兴平辣椒，准备分享给邻里。现在要把这筐辣椒全部取出来，至少分成2堆，且每堆中辣椒的个数相同（至少2个），已知这筐辣椒有60个，那么一共有几种分法？ 22．小梅和小倩做数学游戏，每人依次轮流从下面的卡片（已打乱反扣）中任意抽取一张然后放回。如果抽取的数是质数，小梅获胜；如果抽取的数是合数，小倩获胜。这个游戏规则公平吗？说说你的理由。如果不公平，怎样修改能使游戏规则公平？ 23．宋代著名词人辛弃疾在《西江月·夜行黄沙道中》两句词：“七八个星天外，两三点雨山前”描写了天未亮前的清晨景色，非常优美。词中有7、8、2、3四个数字，请你用“因数和倍数”单元所学的知识，选出其中一个与其它三个不同的数字，并说明理由。 24．在学校运动会开幕式上，48人组成了一支体操队，表演时需要变换队形。 （1）如果站成长方形队列，根据给出的行数填写下表。 行数 2 3 4 6 每行人数 （2）如果站成正方形队列，至少要去掉多少人？ 或者至少增加多少人？ 25．饼干烤好了，散发着诱人的香气！淘气要把12块饼干分装到盒子里。 （1）如果要求每盒数量一样多（每盒至少2块，至少装2盒），可以有几种分装方法？请写出所有可能的每盒数量和盒数组合。 （2）在这些分装方案中，哪些方案里的盒数是质数？哪些是合数？ （3）淘气一共烤了36块饼干，哪些数是36的因数？写出来。 参考答案 1．不对；理由见详解（理由合理即可）。 【分析】康乃馨每枝8元，郁金香每枝4元，8和4都是偶数。因为偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，所以买康乃馨的钱数是偶数，买郁金香的钱数也是偶数。又因为偶数＋偶数＝偶数，所以买康乃馨和郁金香的总钱数是偶数。根据奇数、偶数的运算性质解答即可。 【解答】售货员说的不对。 理由：8和4都是偶数，偶数的倍数一定是偶数，所以无论各买几枝康乃馨和郁金香，积都是偶数；两个偶数积相加还是偶数，不可能出现奇数，而63是奇数，所以售货员说的不对。（理由合理即可） 【点评】此题考查了奇数、偶数的运算性质及奇数、偶数的意义。 2．27个 【分析】根据题意可知，每2个放一盘，那么多出1个，则这些桃子的数量一定比2的倍数多1，也就是奇数；如果每5个放一盘，那么多出2个，则这些桃子的数量一定比5的倍数多2，已知5的倍数个位上是0或5，所以这些桃子的数量个位上一定是2或7，因为个位是2符合2的倍数特征，所以桃子的数量个位只能是7；每3个放一盘，那么正好放完，所以这堆桃子的数量一定是3的倍数，据此先找出符合3的倍数特征，并且个位是7的最小的数即可。 【解答】根据分析可知，找出符合3的倍数，并且个位是7的数； 十位最小是1， 17÷3＝5……2 17不是3的倍数，不符合题意； 十位上是2， 27÷3＝9 27是3的倍数，比2的倍数多1，且比5的倍数多2，所以27符合题意。 答：这堆桃子最少有27个。 【点评】熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解决此题的关键。 3．小刚；理由见详解 【分析】玫瑰的数量，可以分成几行，且每行的棵数都相等，说明玫瑰的棵数是一个合数，它有两个以上的因数，据此解答。 【解答】83只有1和83，所以83是质数； 91的因数有1、7、13、91，所以91是合数； 89的因数只有1和89，所以89是质数； 答：玫瑰的棵数是一个合数，所以小刚数对了。 【点评】本题主要考查对质数和合数的理解。 4．46平方厘米 【分析】根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2；50÷2＝25厘米；把25分成两个整厘米数，且是质数，25＝2＋23，即长是23厘米，宽是2厘米，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【解答】50÷2＝25（厘米） 25＝2＋23 即长方形的长为23厘米，宽为2厘米。 2×23＝46（平方厘米） 答：这个长方形的面积是46平方厘米。 【点评】熟练掌握和灵活运用长方形周长公式、面积公式以及质数的意义是解答本题的关键。 5．14个 【分析】用本数减去余下的本数，用铅笔的支数减去余下的支数。求出两个得数的最大公因数，即为最多有多少个同学得到奖品。 【解答】57－1＝56（本） 44－2＝42（支） 56＝2×2×2×7 42＝2×3×7 56和42的最大公因数是：2×7＝14 答：最多有14个同学得到奖品。 【点评】本题考查公因数的计算及应用。理解题意，找出最大公因数是解决本题的关键。 6．17和23名 【分析】试算出两个质数相加等于40，再进行减法运算，找出相差最少的两个质数。据此解答。 【解答】3＋37＝40（名） 37－3＝34（名） 11＋29＝40（名） 29－11＝18（名） 17＋23＝40（名） 23－17＝6（名） 34名＞18名＞6名 答：派到两个社区的学生分别是17和23名。 【点评】用试算法找出两个质数的和是40的两个质数，再进行差的运算，找出相差最少的两个质数，本题即可解答。 7．不对；理由见详解 【分析】由奇数和偶数的运算性质可知，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，无论购买几个竹蜻蜓，所需的钱数都是偶数，同理可得，购买水枪的钱数也是偶数，那么购买两种玩具需要的总钱数一定也是偶数，两人带的总钱数是偶数，偶数－偶数＝偶数，所以最后售货员找回的钱数应该是偶数，据此解答。 【解答】100－（10×水枪的数量＋2×竹蜻蜓的数量） ＝100－（偶数＋偶数） ＝100－偶数 ＝偶数－偶数 ＝偶数 因为找回的钱数一定是偶数，而75是奇数，所以售货员找的钱不对。 答：售货员找的钱不对，因为找回的钱数应该是偶数但75是奇数。 【点评】熟练掌握奇数和偶数的运算性质是解答题目的关键。 8．乐乐；见详解 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数； 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据题意可知，任何自然数的最小因数都是1，1和m的另一个因数的得数是4，由此可得出m的另一个因数是3，也就是说m是3的倍数，再与每个小朋友的猜测对比，得出谁的猜测是正确的。 【解答】乐乐的猜测是正确的。 因为任何自然数的最小因数都是1，m的另一个因数是4－1＝3，所以m的另一个因数是3，也就是说m一定是3的倍数。 假设m＝3，则m是奇数，且是质数，所以聪聪和明明的猜测都不正确； 因为m的因数中有3，则m一定是3的倍数，所以乐乐的猜测是正确的。 【点评】本题考查3的倍数特征及偶数、合数、质数的认识。 9．如果3个装一袋不能正好装完；如果5个装一袋能正好装完 【分析】若125是3和5的倍数，则3个装一袋或5个装一袋能正好装完，再根据3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数，据此解答即可。 【解答】因为1＋2＋5＝8，8不是3的倍数，所以125不是3的倍数； 125的个位上的数字是5，则125是5的倍数。 答：如果3个装一袋不能正好装完，如果5个装一袋能正好装完。 【点评】本题考查3、5的倍数，明确3、5的倍数特征是解题的关键。 10．9102、9132、9162、9192 【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；据此解答。 【解答】10以内（不包括10）的奇数有1、3、5、7、9，合数有4、6、8、9；所以既是奇数又是合数的数是9，即千位上的数是9； 百位上的数是1； 最小的质数是2，即个位上的数是2；那么这个四位数就能被2整除； 十位上是0时，9＋1＋0＋2＝12，12是3的倍数，满足条件； 十位上是1时，9＋1＋1＋2＝13，13不是3的倍数，不满足条件； 十位上是2时，9＋1＋2＋2＝14，14不是3的倍数，不满足条件； 十位上是3时，9＋1＋3＋2＝15，15是3的倍数，满足条件； 十位上是4时，9＋1＋4＋2＝16，16不是3的倍数，不满足条件； 十位上是5时，9＋1＋5＋2＝17，17不是3的倍数，不满足条件； 十位上是6时，9＋1＋6＋2＝18，18是3的倍数，满足条件； 十位上是7时，9＋1＋7＋2＝19，19不是3的倍数，不满足条件； 十位上是8时，9＋1＋8＋2＝20，20不是3的倍数，不满足条件； 十位上是9时，9＋1＋9＋2＝21，21是3的倍数，满足条件； 所以十位上的数是0、3、6、9，均符合题意。 答：这个四位数是9102、9132、9162、9192。 【点评】此题主要考查偶数与奇数、质数与合数的意义以及2、3的倍数的特征。 11．36个 【分析】一箱苹果分6个装一盒，刚好装完，说明这箱苹果的个数是6的倍数，只要求出35～40之间6的倍数即可。据此解答。 【解答】40÷6＝6……4 6×6＝36 答：这箱苹果有36个。 【点评】本题考查了倍数的认识和求法，关键是利用最小的倍数翻倍。 12．小强说的对，理由见详解。 【分析】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数，据此解答即可。 【解答】45不是2的倍数，是5的倍数，所以每5人分一组正好分完。 答：小强说的对，因为45是5的倍数。 【点评】本题考查2、5的倍数，明确2、5的倍数特征是解题的关键。 13．偶数；奇数；理由见详解 【分析】由运算性质的奇偶性可知，奇数与奇数的差为偶数，奇数与偶数的差为奇数，假设出抽调到甲社区的教师人数，求出抽调到乙社区的教师人数，最后判断乙社区的教师人数为奇数还是偶数，据此解答。 【解答】情况1：假设抽调到甲社区了15人。 35－15＝20（人） 因为20为偶数，所以当抽调到甲社区的教师人数为奇数时，抽调到乙社区的教师人数为偶数。 情况2：假设抽调到甲社区了10人。 35－10＝25（人） 因为25为奇数，所以当抽调到甲社区的教师人数为偶数时，抽调到乙社区的教师人数为奇数。 答：如果抽调到甲社区的教师人数为奇数，那么抽调到乙社区的教师人数为偶数，如果抽调到甲社区的教师人数为偶数，那么抽调到乙社区的教师人数为奇数。 【点评】熟练掌握奇数和偶数的运算性质是解答题目的关键。 14．小丽；理由：见详解 【分析】由题意可知，实验小学的长方形花圃里有几行玫瑰，每行的棵数都相等，则玫瑰的总棵树应该是一个合数，再根据合数的定义进行解答即可。 【解答】83的因数只有1和83，所以83是质数； 87的因数有1，3，29，87，所以87是合数； 89的因数只有1和89，所以89是质数。 答：玫瑰的棵数是一个合数，所以这个小朋友是小丽。 【点评】本题考查合数，明确合数的定义是解题的关键。 15．同意；130不是3的倍数 【分析】单价×数量＝总价，牛奶箱数是3，付的钱数应该是3的倍数，3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此分析。 【解答】1＋3＝4 130不是3的倍数。 答：同意小明的看法，因为130不是3的倍数。 【点评】关键是掌握3的倍数的特征。 16．3种 【分析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，据此解答即可。 【解答】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 48的因数中不少于4，不多于10的数有：4、6、8 答：有三种分法。 【点评】本题考查求一个数的因数，明确求一个数因数的方法是解题的关键。 17．每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱，能正好装完 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；如果20是250的因数，则每20千克装一箱，能正好装完，反之则不能；如果50是250的因数，则每50千克装一箱，能正好装完，反之则不能。据此解答。 【解答】250÷20＝12（箱）……10（千克） 250÷50＝5（箱） 250不是20的倍数，而是50的倍数。 答：每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱能正好装完。 【点评】此题考查了因数、倍数的意义和应用。 18．不可能；见详解 【分析】因为两个奇数的和是偶数，另两个奇数的和也是偶数，而偶数加偶数还等于偶数，这与27人奇数相矛盾，所以不可能。 【解答】2个社区的人数和都是：奇数＋奇数＝偶数； 4个社区的人数和是：偶数＋偶数＝偶数； 而总人数27是奇数，不是偶数，所以不可能。 答：不可能，因为四个奇数相加的和一定是偶数，而27是奇数，所以每个社区要求派奇数名同学前往是不可能的。 【点评】本题考查奇数与偶数的运算性质及应用。 19．不能；理由见详解 【分析】根据奇数和偶数的运算性质解答即可。 【解答】因为奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以4个奇数相加的和一定是偶数，而47不是偶数，所以无法分配此任务。 【点评】此题主要考查学生对奇数和偶数的运算性质的理解。 20．（1）3、4、6、8组； （2）6、12、18、24棵 【分析】（1）根据题意可知，先求出48的因数，然后根据条件“分成人数相等的若干小组，要求组数大于2，小于10”可知，2＜组数＜10，据此找出合适的分组方法。 （2）根据求一个数的倍数，求出6的倍数，又因为准备的小树苗不到30棵，结合题意即可找到这批小树苗可能有多少棵。 【解答】（1）48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8， 因为组数大于2，小于10，一共有4种分法，①分成3组，每组16人，②分成4组，每组12人，③分成6组，每组8人，④分成8组，每组6人。 答：可以分成3、4、6、8组。 （2）因为30以内6的倍数有：6、12、18、24，所以可能有6、12、18、24棵。 答：这批小树苗可能有6、12、18、24棵。 【点评】本题考查求一个数的倍数和因数，明确组数的范围以及小树苗不到30棵是解题的关键。 21．10种 【分析】将60个辣椒平均分成若干堆，每堆个数相同且至少2个，即找出60的因数中满足至少是2堆，且每堆个数至少是2个的因数个数。 【解答】60的因数有：1， 2， 3， 4， 5， 6， 10， 12， 15， 20， 30， 60。 辣椒可以分为2堆，每堆30个；3堆，每堆20个；4堆，每堆15个；5堆，每堆12个；6堆，每堆10个；10堆，每堆6个；12堆，每堆5个；15堆，每堆4个；20堆，每堆3个；30堆，每堆2个，一共有10种。 答：一共有10种分法。 22．不公平；理由见详解；修改见详解 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 一共有7个数，先找出质数和合数，并数出个数，如果个数相等，说明两人获胜的可能性相等，则游戏规则公平；如果个数不相等，说明两人获胜的可能性不相等，则游戏规则不公平。 如果这个游戏不公平，修改游戏规则为两人获胜可能性相等的规则即可。 【解答】在2、3、4、8、9、17、21中， 质数是：2、3、17，有3个； 合数是：4、8、9、21，有4个； 4＞3 合数比质数多，小倩获胜的可能性大，游戏规则不公平。 修改游戏规则如下： 在2、3、4、8、9、17、21中， 大于8的是：9、17、21，有3个； 小于8的是：2、3、4，有3个； 3＝3，游戏规则公平。 答：这个游戏规则不公平。因为这些数中合数比质数多，小倩获胜的可能性大，所以不公平。 游戏规则可以修改为：抽到大于8的小梅获胜，抽到小于8的小倩获胜，抽到8时重新抽。（答案不唯一） 23．8和7，2，3不同；理由见详解 【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫做合数，据此分析解答。 【解答】8的因数有：1，2，4，8，有4个因数，8是合数。 7的因数有：1，7，有2个因数，7是质数。 2的因数有：1，2，有2个因数，2是质数。 3的因数有：1，3，有2个因数，3是质数。 8有4个因数是合数，7，2，3只有1和它本身2个因数是质数。所以8和7，2，3不同。 答：8和7，2，3不同。 24． （1）24，16，12，8 （2）至少要去掉12人或者至少增加1人 【分析】（1）据题意得：每行人数×行数＝总人数，已知总人数是48人，行数分别为2、3、4、6，运用除法计算得出答案； （2）站成正方形队列，则需要行数＝每行人数，即总人数＝行数×行数。据此可得到比48小的最大人数，比48大的最小人数。据此可得出答案。 【解答】（1）每行人数计算如下： 行数2时：48 ÷ 2 ＝ 24（人） 行数3时：48 ÷ 3 ＝ 16（人） 行数4时：48 ÷ 4 ＝ 12（人） 行数6时：48 ÷ 6 ＝ 8（人） 填表结果依次为24、16、12、8。 （2）比48小的最大人数是6×6＝36，需去掉48−36＝12人； 比48大的最小人数是7×7＝49，需增加49−48＝1人。 答：至少去掉12人或增加1人。 25．（1）4种；每盒2块，装6盒；每盒3块，装4盒；每盒4块，装3盒；每盒6块，装2盒。 （2）盒数是质数的方案：装3盒、装2盒； 盒数是合数的方案：装6盒、装4盒。 （3）1、2、3、4、6、9、12、18、36 【分析】（1）12＝1×12，12＝2×6，12＝3×4，所以12的因数有1、2、3、4、6、12，要求每盒数量一样多（每盒至少2块，至少装2盒），所以分装方法有4种。每盒2块，装6盒；每盒3块，装4盒；每盒4块，装3盒；每盒6块，装2盒。 （2）质数指除了1和自身外无其他因数的数；合数指除了1和自身外还有其他因数的数。盒数6、4、3、2中，3、2是质数，6、4是合数。 （3）如果a×b＝c（a、b、c均是非0自然数），那么a和b是c的因数，据此逐一写出36的因数。 【解答】（1）12＝2×6 12＝3×4 答：分装方法有4种。每盒2块，装6盒；每盒3块，装4盒；每盒4块，装3盒；每盒6块，装2盒。 （2）盒数是质数的方案：装3盒、装2盒； 盒数是合数的方案：装6盒、装4盒。 （3）36＝1×36 36＝2×18 36＝3×12 36＝4×9 36＝6×6 所以，36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。 学科网（北京）股份有限公司 $