2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量 立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了用空间向量解决几何问题，首先必须把点、直线、平面用向量表示出来． 问题：如何用向量来确定一个点在空间的位置? 在空间中，取一定点O作为原点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示，OP称为点P的位置向量． 如何确定一条直线在空间的位置？ （一）直线的方向向量 空间任意直线的位置由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 如图，在直线 l 上任取两个不同的点A，B，则有向线段AB所代表的向量AB就表示直线的方向，称AB为直线 l 的方向向量．自然，BA也是直线 l 的方向向量． 一般地，如果非零向量 v 与直线 l 平行，就称 v 为 l 的方向向量． 已知空间直线l上一个定点A以及这条直线的一个方向向量，就可以确定这条空间直线的位置． 想一想1：根据直线方向向量的定义,你认为一条直线的方向向量是唯一的吗？ （1）一条直线有无穷多个方向向量，这些方向向量是相互平行的； （2）直线 l 的方向向量也是所有与 l 平行的直线的方向向量． 直线方向向量的定义和平行直线的传递性． 例1 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′的棱长AB=2，AD=4，AA′=3． 以D为原点，分别以DA，DC，DD′为x轴，y轴，z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量 ． （1）AA′； （2）BD′． 解：依题意，得 （1）因为=(0,0,3), 所以直线AA′的一个方向向量为=(0,0,3). （2）BD′． 解：依题意，得 （2）因为=(-4,-2,3), 所以直线BD′的一个方向向量为=(-4,-2,3). 说一说：你认为确定一个向量成为直线l的方向向量需满足哪些条件？ (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件： ①是非零向量； ②向量所在的直线与l平行或重合.（可借助向量数量关系的表示）. (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 要点归纳 7 1.(多选)若M(1，0，-1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ） A.(2，2，6) B.(1，1，3) C.(3，1，1) D.(-3，0，1) 解：∵M，N在直线l上，=(1，1，3)， ∴向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量. AB 8 由直线上一点和直线的一个方向向量就可以确定一条直线的位置，这启发我们也希望通过一个点和一个向量来确定一个平面的位置． 动手旋转一个圆盘陀螺（如图 ），可以发现陀螺转动时，圆盘平面时而水平，时而倾斜，在不断改变方向． 想一想2：如何用向量来刻画平面的方向? 陀螺的轴也随圆盘平面在不断改变方向，但始终与圆盘垂直． 如果非零向量 n 所在直线与平面 α 垂直， 则称 n 为平面 α 的法向量． 我们可以用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向，也就是用与 平面垂直的向量 n 来刻画圆盘平面的方向． 给定一点A和一个向量 n ，那么，过点A，且以向量 n 为法向量的平面是完全确定的． 由于两条相交直线可以确定一个平面，因而若一个非零向量 n 垂直于平面α内的两条相交直线l1，l2，就可以确定 n 是平面α的一个法向量． 又平面α内的两条相交直线l1，l2的方向可以由它们的方向向量 v1，v2来刻画，因此如果非零向量 n 和向量 v1，v2垂直，即 n ∙ v1 = 0， n ∙ v1 = 0，就可以确定 n 是平面α的一个法向量． 想一想3：如何寻找平面的法向量 n ? 说一说：我们知道一条直线的方向向量不是唯一的，那一个平面的法向量是唯一的吗？ （1）一个平面的法向量有无穷多个．由于垂直于同一平面的直线是平行的，因而一个平面的所有法向量互相平行； （2）平面α的法向量也是所有与 α平行的平面的法向量． 例2 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，顶点A，B，D，A1的坐标分别为 A(0，0，0)，B(a，0，0)，D(0，a，0)，A1(0，0，a)． 分别求平面ABCD与平面BDA1的一个法向量． 议一议： 1.观察右图，你能快速确定平面ABCD的一个法向量吗？ 2.如何找平面BDA1的法向量呢？ 找z轴的方向向量 ①假设n=(x，y，z)是平面BDA1的法向量； ②在平面BDA1的找两条相交直线与n垂直即可. 解：由于z轴垂直于平面ABCD，而z轴可用方向向量=(0，0，a)表示，因此(0，0，a)是平面ABCD的一个法向量. 设n=(x，y，z)是平面BDA1的法向量. 由已知得=(-a，a，0)，=(-a，0，a)， 因而 取x=1，得y=z=1， 则n=(1，1，1)是平面BDA1的一个法向量. 求平面 α 的法向量的步骤： 归纳总结 2.已知平面内的两个向量a=(2，3，1)，b=(5，6，4)，则该平面的一个法向量为 A.(1，-1，1) B.(2，-1，1) C.(-2，1，1) D.(-1，1，-1) 解：显然a与b不平行，设平面的法向量为n=(x，y，z)， 则有 令z=1，得x=-2，y=1，∴n=(-2，1，1). √ 1.知识清单： (1)空间点的位置向量. (2)直线的方向向量. (3)平面的法向量. 2.方法归纳：待定系数法. 3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面的法向量的作用和不唯一性. 本节课你学到了哪些知识？ 解：因为=(2，4，6)，所以(1，2，3)是直线l的一个方向向量. 1.若A(-1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ） A.(1，2，3) B.(1，3，2) C.(2，1，3) D.(3，2，1) √ 解：求与n共线的一个向量，易知(2，-3，1)= - (-2，3，-1). 2.若n=(2，-3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（ ） A.(0，-3，1) B.(2，0，1) C.(-2，-3，1) D.(-2，3，-1) √ 3.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，则下列结论正确的是 A.直线DD1的一个方向向量为(0，0，1) B.直线BC1的一个方向向量为(0，-1，-1) C.平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0) D.平面B1CD的一个法向量为(1，1，1) √ √ √ 不妨设正方体的棱长为1，则=(0，0，1)，故A正确； C1(1，1，1)，B(1，0，0)，=(0，1，1)，向量(0，-1，-1)与向量(0，1，1)平行，故B正确； AD⊥平面ABB1A1，而=(0，1，0)，故C正确； 如图，连接A1D，AD1，则平面B1CD即为平面B1CDA1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1⊥A1D，由CD⊥平面DAA1D1，AD1⊂平面DAA1D1，得CD⊥AD1，又CD∩A1D=D，CD， A1D⊂平面B1CDA1，所以AD1⊥平面B1CDA1， 而=(0，1，1)，即平面B1CD的一个法向 量为(0，1，1)，而向量(0，1，1)与向量(1， 1，1)不平行，故D错误. $