专题2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题2.3.2 空间向量运算的坐标表示 教学目标 1.掌握空间向量线性运算（加、减、数乘）及数量积的坐标表示公式，能熟练进行坐标运算。 2.理解并应用空间向量模长、夹角、距离的坐标计算公式，掌握向量平行与垂直的坐标判定条件。 3.能运用空间向量坐标运算解决简单的立体几何问题（如求夹角、距离、判定垂直平行）。 教学重难点 1.重点： （1）空间向量线性运算、数量积的坐标表示公式及应用。 （2）空间向量模长、夹角、距离的坐标计算，以及平行与垂直的坐标判定。 2.难点： （1）空间向量数量积坐标公式的推导与理解，以及与几何意义的结合。 （2）将立体几何中的位置关系（平行、垂直）和度量问题（夹角、距离）转化为空间向量坐标运算问题。 知识点01 向量线性运算的坐标表示 1.向量加减法运算的坐标表示： . 2.实数乘向量的坐标表示： 3.平行向量的坐标表示： 【即学即练】（25-26高二上·陕西渭南·期末）若向量，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 向量数量积的坐标表示 1.向量数量积的坐标表示： 2.向量的模： 3.向量夹角的余弦： 4.向量的垂直： 【即学即练】（25-26高二上·山东潍坊·月考）已知向量，，且，那么 . 题型01 空间向量线性运算的坐标表示 【典例1】（25-26高二上·河南·期中）已知，，求： (1)； (2)； (3). 【变式1-1】（北京市顺义区2025-2026学年高二上学期期末数学练习试题）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·贵州贵阳·期末）已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·全国·期末）设，已知向量，，，若共面，则 ． 题型02 空间向量平行的坐标表示 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知空间三点.设，，若向量与互相平行，求k的值． 【变式2-1】（2025-2026学年福州市高二上学期适应性练习数学试卷）已知向量、若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2-2】（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知向量与平行，则x，y的值分别为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知向量，向量，且，则 . 题型03 空间向量数量积的坐标表示 【典例3】（25-26高二上·浙江·期中）已知. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【变式3-1】（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知向量，，，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【变式3-2】（25-26高二上·上海·期末）设、，向量，，，且，，则 . 【变式3-3】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 题型04 求向量的模 【典例4】（25-26高二上·四川成都·期末）已知向量，若，则 ． 【变式4-1】（25-26高二上·内蒙古包头·月考）已知空间向量，若，则（    ） A． B． C． D．6 【变式4-2】（25-26高二上·山东济南·月考）已知，则 . 【变式4-3】（25-26高二上·贵州黔南·期末）已知空间向量，若，则 ． 题型05 根据空间向量垂直求参数 【典例5】（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）已知空间三点，，，设，. (1)求，； (2)若向量与互相垂直，求实数k的值. 【变式5-1】（25-26高二上·贵州六盘水·期末）已知都是正数，向量，若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知点，，，设，. (1)若，且，求向量； (2)已知向量与垂直，求实数的值. 【变式5-3】（25-26高二上·全国·随堂练习）已知. (1)求向量的坐标； (2)若，求的值. 题型06 求空间向量夹角或其函数值 【典例6】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【变式6-1】（25-26高二上·重庆·期末）已知， 均为空间向量，及，， 则，的夹角为 . 【变式6-2】（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. 【变式6-3】（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知向量.求： (1) (2) 一、单选题 1．（25-26高二上·宁夏·月考）已知空间两点，，与同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·青海西宁·期末）向量，，，且，，则（    ） A． B． C．3 D．4 3．（25-26高二上·重庆·期末）已知向量，，，若向量，，共面，则（   ） A． B．3 C． D．4 4．（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·期末）在空间直角坐标系中，向量在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D．与t有关 6．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知，，若，则（   ） A．3 B． C． D． 7．（25-26高二上·四川绵阳·月考）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·贵州毕节·月考）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西安康·期末）已知空间向量，则（    ） A． B．与平行 C． D． 10．（25-26高二上·吉林四平·期末）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·海南儋州·月考）已知空间向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与同向的单位向量是 三、填空题 12．（25-26高二上·天津·期末）向量与的夹角为 . 13.（25-26高二上·广东汕头·期末）正方体棱长为2，E为中点，F为中点，则 ． 14．（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知，，则 . 四、解答题 15．（23-24高二上·广东江门·月考）已知向量，，点，. (1)求的值； (2)在直线上存在一点E，使得，求点E的坐标. 16．（25-26高一上·陕西商洛·月考）已知空间向量，，． (1)设，，求； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 17．（24-25高二下·云南曲靖·月考）对于空间任意两个非零向量，定义新运算：. (1)若向量.求； (2)若两个单位向量满足，求向量夹角的余弦值. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量 教学目标 1.理解空间直线的方向向量和平面的法向量的定义，能结合空间几何图形准确辨析两个概念的内涵与外延。 2.掌握空间直线方向向量的求解方法，能根据直线上两点坐标或直线与已知向量的平行关系求出方向向量。 3.掌握平面法向量的求解步骤，能利用平面内两个不共线向量，通过向量垂直的数量积条件构建方程组求解平面的法向量。 4.能初步运用方向向量和法向量刻画空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，为后续空间角与距离的计算奠定基础。 教学重难点 1.重点： （1）空间直线的方向向量、平面的法向量的核心定义，能清晰区分两个概念的适用场景。 （2）空间直线方向向量的快速求解方法，平面法向量的规范解题步骤（建系、设向量、列方程、求解、确定法向量）。 （3）运用方向向量和法向量初步判断空间中直线与直线的平行、垂直关系，直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系。 2.难点： （1）平面的法向量的抽象性理解，尤其是法向量与平面内任意向量垂直的本质特征的把握。 （2）求解平面法向量时，方程组的自由变量选取与法向量的合理表示，避免出现计算错误或法向量方向判断失误。 知识点01 直线的方向向量 1.定义： 一般地，如果非零向量v与直线l平行，就称v为l的方向向量。 2.性质：一条直线有无穷多个方向向量，这些方向向量是相互平行的；直线l的方向向量v也是所有与 l平行的直线的方向向量。 【即学即练】（24-25高二上·四川成都·期中）经过点，点的直线的一个方向向量是 . 【答案】(时，均可) 【知识点】求直线的方向向量（空间中）、直线方向向量的概念及辨析（空间中） 【分析】求出向量符合题意，所有与共线的非零向量均可. 【详解】点，点在直线上， 则直线的一个方向向量为， 时，也都是直线的方向向量. 故答案为：（时，均可） 知识点02 平面的法向量 1.定义：如果非零向量n所在直线与平面α垂直，则称n为平面α的法向量。 2.性质：一个平面的法向量有无穷多个，由于垂直于同一平面的直线是平行的，因而一个平面的所有法向量相互平行。 【即学即练】（25-26高二上·四川·期中）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】平面法向量的概念及辨析 【分析】利用平面法向量的定义求解即可. 【详解】因为在空间直角坐标系中，平面一般式为(不同时为)， 其一个法向量为， 因为平面方程为，所以其一个法向量为， 与平行的非零向量都是该平面的法向量. 故答案为：（答案不唯一） 题型01 直线方向向量的概念及辨析（空间中） 【典例1】（23-24高二上·湖北孝感·期末）如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平行公理、平面的基本性质及辨析、求直线的方向向量（空间中） 【分析】作出平面、平面截正四棱柱所得截面，进而确定出交线l，再求出其方向向量. 【详解】连接，正四棱柱的对角面是矩形，则， 而分别是中点，则，又O为上底面中心，则， 因此四边形是平面截正四棱柱所得截面， 延长，由是的中点，得，连接， 则四边形是平面截正四棱柱所得截面， 显然与相交，令交点为，，四边形是正方形，则， 而，又，所以向量是直线的一个方向向量，A满足， 选项BCD中向量与不共线，即选项BCD不满足. 故选：A    【变式1-1】（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线方向向量的概念及辨析（空间中） 【分析】根据直线的方向向量与共线判断. 【详解】由题意得直线的方向向量与共线， 而，所以是该直线的方向向量. 故选：D. 【变式1-2】（多选）（22-23高二上·贵州铜仁·月考）已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】求直线的方向向量（空间中） 【分析】计算，，，AB满足，CD中向量与不共线，得到答案. 【详解】，，则， 对选项A：，满足； 对选项B：，满足； 对选项C：与不共线，不满足； 对选项D：与不共线，不满足； 故选：AB. 【变式1-3】（多选）（23-24高二下·江苏·月考）给出下列命题其中错误命题的是（    ） A．若是空间任意四点，则有； B．若，则是钝角； C．若是直线的方向向量，则也是的方向向量； D．、共线，则与所在直线平行 【答案】BCD 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定、空间向量数量积的概念辨析、直线方向向量的概念及辨析（空间中） 【分析】根据空间向量加法的运算法则判断A，根据向量夹角的定义及数量积的定义判断B，根据方向向量的定义判断C，根据共线向量的定义判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为，则是钝角或与反向，故B错误； 对于C：若是直线的方向向量，当时不是的方向向量，故C错误； 对于D：若、共线，则与所在直线平行或在同一条直线上（两直线重合），故D错误. 故选：BCD 题型02 求直线的方向向量（空间中） 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求直线的方向向量（空间中） 【分析】确定的坐标，求得坐标，即可判断. 【详解】由题意得，则，所以为直线的一个方向向量. 故选：B 【变式2-1】（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求直线的方向向量（空间中） 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 【变式2-2】（25-26高二上·全国·课前预习）在直线l上，则直线l的一个方向向量为 . 【答案】 【知识点】求直线的方向向量（空间中） 【分析】求出向量的坐标即可. 【详解】由在直线l上，得直线l的一个方向向量为. 故答案为： 【变式2-3】（24-25高二上·北京·期中）已知，在直线上，写出直线的一个方向向量为 . 【答案】（答案不唯一，与此向量共线的非零向量均可） 【知识点】求直线的方向向量（空间中） 【分析】求出向量的坐标即可得解. 【详解】点，，则， 而点在直线上，所以直线的一个方向向量可以为. 故答案为： 题型03 根据直线的方向向量求参数 【典例3】（23-24高二上·山东·月考）已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、直线方向向量的概念及辨析（空间中） 【分析】首先根据得到，再分类讨论根据求解即可. 【详解】因为，，所以，解得. 当时，， 因为，所以，解得，. 当时，， 因为，所以，解得，. 综上：或. 故选：A 【变式3-1】（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【知识点】空间向量平行的坐标表示、直线方向向量的概念及辨析（空间中） 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 【变式3-2】（23-24高二上·山西·月考）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】空间向量平行的坐标表示、直线方向向量的概念及辨析（空间中） 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 【变式3-3】（21-22高二·全国·课后作业）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【知识点】由空间向量共线求参数或值、求直线的方向向量（空间中） 【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 所以，所以， 所以，解得，所以. 故选：D 题型04 平面法向量的概念及辨析 【典例4】（多选）（25-26高二上·河北·月考）下列结论错误的是（    ） A．任意一个向量均可以作为直线的方向向量 B．若是平面的法向量，则也是平面的法向量 C．设点，则平面的一个法向量为 D．若向量，则与的夹角为钝角 【答案】ABD 【知识点】求平面的法向量、平面法向量的概念及辨析、直线方向向量的概念及辨析（空间中） 【分析】对A和B，利用直线方向向量和平面法向量的定义，即可求解；对C，利用法向量的求法，求出平面的一个法向量，即可求解；对D，结合选项条件，取，即可求解. 【详解】对于A，由直线方向向量的定义知，不能作为直线的方向向量，所以选项A结论错误， 对于B，若，则，此时不是平面的法向量，所以选项B结论错误， 对于C，因为，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 所以平面的一个法向量为，故选项C结论正确， 对于D，若，则有， 但与的夹角不为钝角，所以选项D结论错误， 故选：ABD. 【变式4-1】（25-26高二上·北京大兴·期中）已知为平面的法向量，点，在直线上，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断线面平行、平面法向量的概念及辨析 【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案. 【详解】由可得或，所以推不出， 当时，由于是平面的法向量，可得，所以可推出， 综上，是的必要不充分条件. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高二上·重庆·期末）已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求平面的法向量 【分析】设平面的法向量为，结合法向量计算方法计算即可. 【详解】由题意，设正方体的棱长为，则， ， 设平面的法向量为， ， 令，则，故平面的法向量为. 故选：C.    【变式4-3】（多选）（25-26高二·全国·假期作业）如图，在正四面体中，为中点，为中点，则下面是平面的法向量的为（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】平面法向量的概念及辨析、证明线面垂直 【分析】根据正四面体的性质得到，，即可得到平面，从而得解. 【详解】因为在正四面体中，为中点， 所以，， 又，平面，所以平面， 所以，，均是平面的法向量， 显然与不平行，所以不是平面的法向量. 故选：ABD 题型05 求平面的法向量 【典例5】（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求平面的法向量、空间向量的坐标运算 【分析】建立空间直角坐标系，求出点坐标，然后方程组求出平面的一个法向量. 【详解】建立坐标系并确定点坐标，如图 以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，， ， 设平面的法向量为，则 且， 即 化简得，， 令，则，，即法向量为. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·广西百色·期末）在平面中，，，则平面的一个法向量（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、求平面的法向量 【分析】设平面的一个法向量为，由列式求解即可. 【详解】设平面的一个法向量为，则，∴， ∴，令，得. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高三上·河北·月考）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面法向量的概念及辨析 【分析】求出平面内的两个不共线向量的坐标，然后根据法向量的定义验证． 【详解】由题意，，，是中点，则， 因此， 对于A选项，，不是法向量，A错； 对于B选项，，是法向量，B正确； 对于C选项，，不是法向量，C错； 对于D选项，，不是法向量，D错； 故选：B． 【变式5-3】（多选）（25-26高二上·广西百色·月考）如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】求平面的法向量 【分析】根据空间直角坐标系中法向量的求法，求出法向量，逐项判断即可. 【详解】因为； 所以， 设平面的法向量 则有，即 可得，即，故， 写出符合以上条件的向量即可，如：， 故选：CD 题型06 根据平面的法向量求参数 【典例6】（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面法向量的概念及辨析、空间位置关系的向量证明、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据线面垂直的性质可得，进而求得，即得. 【详解】因为，所以， 又， 即， 解得：， 所以， 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B．4 C． D．10 【答案】B 【知识点】平面法向量的概念及辨析、空间向量平行的坐标表示 【分析】由空间向量平行的坐标表示得结论． 【详解】因为，所以，所以，解得， 故选：B． 【变式6-2】（25-26高二上·湖北孝感·月考）已知平面经过点，为平面的一个法向量，点是平面内异于点的任意一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面法向量的概念及辨析、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据法向量的性质利用数量积求解. 【详解】因为是平面的一个法向量， 所以， 故， 即， 故选：B 【变式6-3】（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知平面的一个法向量为，点均在平面内，则 . 【答案】14 【知识点】平面法向量的概念及辨析、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据法向量得出线线垂直结合空间向量数量积公式计算求解. 【详解】因为，且，所以，解得. 故答案为：14. 题型07 方向向量、法向量等综合问题 【典例7】（24-25高二上·天津·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 【答案】C 【知识点】空间向量的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、平面法向量的概念及辨析 【分析】A选项，求出，设，无解，A错误；B选项，利用进行求解；C选项，计算出，得到垂直关系，进而得到C正确；D选项，求出，利用夹角余弦公式得到D错误. 【详解】A选项，，设， 则，无解，故与不是共线向量，A错误； B选项，的单位向量为，B错误； C选项，由于， ， 与均垂直，又由A知，与不共线， 故平面ABC的一个法向量是，C正确； D选项，， 设与夹角为，则，D错误. 故选：C 【变式7-1】（25-26高二上·山东济南·月考）下列命题正确的序号是 . ①若，则； ②若是同一个平面的两个法向量，则； ③若空间向量满足，则； ④异面直线的方向向量不共线. 【答案】④ 【知识点】平面法向量的概念及辨析、异面直线的概念及辨析、平行向量（共线向量） 【分析】由向量夹角的定义可判断①；由法向量的性质可判断②；当时可得③；由异面直线的方向向量的性质可得④. 【详解】①若，可得或，①错； ②若是同一个平面的两个法向量，则，②错； ③当时，推不出，③错； ④因为异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对. 故答案为：④. 【变式7-2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线和平面所成角的正弦值为，则直线的一个方向向量和平面的一个法向量的夹角的大小为 . 【答案】或 【知识点】求平面的法向量、求线面角 【分析】根据条件，求出直线与平面所成角的大小，再利用法向量与平面垂直，即可求解. 【详解】设直线和平面所成的角为，则，又，则， 又平面的法向量与平面所成的角为，如图，设直线的一个方向向量为， 当平面的法向量方向向上时，直线的一个方向向量和平面的一个法向量的夹角的大小为， 当平面的法向量方向向下时，直线的一个方向向量和平面的一个法向量的夹角的大小为， 故答案为：或. 【变式7-3】（25-26高三上·湖南·月考）在边长为4的正方体中，若，，，则平面PQR与侧面的交线长度为 . 【答案】/ 【知识点】求平面的法向量、求空间中两点间的距离 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量，求平面与侧面的交线，再利用两点间的距离公式求交线长度. 【详解】如图：以为原点建立空间直角坐标系，    则，，，所以，. 设平面的法向量为， 则，令可得. 设平面与直线的交点为，则. 由，所以. 所以平面与平面的交线就是线段. 又. 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高二上·山东枣庄·期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求直线的方向向量（空间中）、空间向量平行的坐标表示 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 2.（25-26高二上·广东佛山·月考）平面过点，且平面的法向量为，若点在内，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面法向量的概念及辨析、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据法向量与平面内的向量垂直，即可求解. 【详解】， 由于，所以，解得， 故选：A 3．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【知识点】平面法向量的概念及辨析、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直的性质，两个垂直向量的数量积为，由此可列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】已知， 所以 解得： 故选：B. 4．（25-26高二上·湖北孝感·月考）下列命题错误的是（   ） A．零向量不能作为直线的一个方向向量 B．若向量是平面的一个法向量，则也是平面的一个法向量 C．在长方体中，是底面的一个法向量 D．单位向量都是相等向量 【答案】D 【知识点】求直线的方向向量（平面中）、平面法向量的概念及辨析、相等向量、零向量与单位向量 【分析】根据零向量方向判断A，根据共线向量判断B，根据长方体的性质判断C，根据单位向量概念判断D. 【详解】由直线的方向向量规定为一个非零向量，所以不能作为直线的一个方向向量，故A正确； 向量是平面的一个法向量,则共线向量也是平面的一个法向量，故B正确； 在长方体中，因为侧棱与底面垂直，所以是底面的一个法向量，故C正确； 单位向量模相等，但方向不一定相同，故不一定是相等向量，故D错误. 故选：D 5．（25-26高二上·云南文山·月考）已知向量，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求平面的法向量、空间向量的坐标运算 【分析】首先设平面的法向量为，然后根据进行求解即可. 【详解】设平面的法向量为，由可得：， 令得：，解得：，. 由此可得：平面的一个法向量为. 又B，C，D三个选项的向量均不共线. 故选：A 6．（23-24高二上·四川广元·月考）已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．过点与直线平行的直线方程为 C．向量是直线的一个方向向量 D．若直线：，则 【答案】D 【知识点】求直线的方向向量（空间中）、直线的倾斜角、由一般式方程判断直线的垂直、由两条直线平行求方程 【分析】求出直线的斜率可求得倾斜角，即可判断A，由直线平行可设所求直线为，代点即可判断B，由直线的方向向量可判断C，由直线方程，得出直线的斜率，再由直线垂直时有，从而可判断D. 【详解】对于A：的斜率为，所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B：因为与直线平行的直线方程可设为， 又直线过点，有，解得， 故所求直线方程为，故B错误； 对于C：因为直线的方向向量可为或， 所以直线的方向向量可为或，故C错误； 对于D：因为直线：与直线：的斜率分别为，，所以有，所以，故D正确； 故选：D. 7．（25-26高二上·北京西城·期末）已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】平面法向量的概念及辨析、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用空间向量法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为空间向量和三个不同的点、、，且， 若点在直线上，则，故存在实数使得. 由题设可得，， 即“点在直线上”“”， 若，不妨假设点不在直线上，则为平面的一个法向量，符合题意， 所以“点在直线上”“”， 故“点在直线上”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 8．（25-26高二上·北京西城·期中）空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、求平面的法向量 【分析】根据平面的法向量定义，利用充分条件和必要条件的判断方法即可推得． 【详解】因为，，， 所以. 当时，， ，， 所以是平面的一个法向量； 当是平面的一个法向量时， ，解得. 所以“”是“为平面的法向量”的充分不必要条件. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高二上·四川成都·月考）已知空间中三点，，，则（    ） A．向量与是共线向量 B． C．与方向相同的单位向量为 D．平面ABC的一个法向量为 【答案】BCD 【知识点】求平面的法向量、空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】由空间向量共线的条件可判断A；由可判断B；由单位向量定义可判断C；由平面法向量求法计算可判断D. 【详解】对于A，，不存在实数，使， 所以与不共线，故A错误； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，与向量方向相同的单位向量是，故C正确； 对于D，设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为，故D正确. 故选：BCD 10．（24-25高二上·浙江台州·期中）在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（    ） A． B．向量与的夹角的余弦值为 C．点关于轴的对称点坐标为 D．直线的一个方向向量 【答案】BCD 【知识点】求直线的方向向量（空间中）、空间向量夹角余弦的坐标表示、求空间中两点间的距离、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】对于A选项，根据空间两点距离公式可判断A选项正误； 对于B选项，根据空间向量的夹角坐标公式可判断B选项正误； 对于C选项，根据点的对称性可判断C选项的正误； 对于D选项，根据直线方向向量的概念可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，由于，，根据空间两点距离公式可得：.故A选项错误； 对于B选项，，，设向量与向量的夹角为， 则，故B选项正确； 对于C选项，点关于轴的对称点坐标为，故C选项正确； 对于D选项，易知，由于，得：，因此是直线的一个方向向量，故D选项正确. 故选：BCD 11．（25-26高二上·广东清远·月考）已知空间中三点，，，则下列结论正确的是（ ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．平面的一个法向量是 D．三点不共线，对空间任意一点，若，则四点共面． 【答案】BCD 【知识点】求平面的法向量、空间向量平行的坐标表示、空间共面向量定理的推论及应用、零向量与单位向量 【分析】对于A：运用向量共线定理可判断；对于B：运用单位向量的定义可判断；对于C：利用平面法向量的求法可判断；对于D：利用四点共面的判定条件可判断. 【详解】对于A：， 与不是共线向量，故A错误； 对于B：， 则与同向的单位向量是，故B正确； 对于C：，     设平面的法向量为， 则， 取，得，故C正确． 对于D：若，且， 所以，，，四点共面，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（23-24高二上·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，已知，若平面的一个法向量为，则直线的一个方向向量为 ． 【答案】 【知识点】平面法向量的概念及辨析、求直线的方向向量（平面中） 【分析】由已知求出，再由平面的一个法向量为，可得，求出，从而可求出直线的一个方向向量. 【详解】， 又平面的一个法向量为，，解得， ∴直线的一个方向向量为． 故答案为： 13．（25-26高二上·河北保定·月考）如图，平行六面体的底面为菱形，且，，请写出平面的一个法向量 ．（注：法向量要用来表示）    【答案】（答案不唯一） 【知识点】求平面的法向量 【分析】设，易知可以作为空间向量的一组基底，进而结合法向量的求法求解即可. 【详解】不妨设，易知可以作为空间向量的一组基底， 且， 而， 设平面的一个法向量为， 则由，即， 化简得，可取， 故，因此平面的一个法向量为． 故答案为：（答案不唯一）. 14．（2025高二·全国·专题练习）已知是平行四边形所在平面外一点，若，，，给出以下四个结论： ①；②； ③是平面的一个法向量；④． 其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【知识点】平面法向量的概念及辨析、空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】利用空间向量的数量积的坐标表示判断①②③；由空间向量的坐标运算及向量共线的坐标表示判断④． 【详解】，，， 对于①，，则，①正确； 对于②，，得，②正确； 对于③，由①②知，，，平面， 得平面， 因此是平面的一个法向量，③正确； 对于④，，不共线，④错误. 所以正确结论的序号是①②③. 故答案为：①②③ 四、解答题 15．（22-23高二下·江苏·课后作业）在空间直角坐标系中，设平面经过点，平面的一个法向量为，是平面内任意一点，求满足的关系式. 【答案】 【知识点】平面法向量的概念及辨析 【分析】根据是平面的一个法向量可得，再由向量坐标运算可得答案. 【详解】由题得， 因为是平面的一个法向量，所以，从而， 即， 所以， 整理可得，即为所求. 16．（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量． 【答案】 【知识点】直线方向向量的概念及辨析（空间中） 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据方向向量的定义可得． 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，则，， 所以即为直线PC的一个方向向量. 17．（17-18高三·甘肃武威·单元测试）已知，，． (1)写出直线的一个方向向量； (2)设平面经过点，且是平面的法向量，是平面内的任意一点，试写出，，满足的关系式． 【答案】(1) (2)． 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、求直线的方向向量（空间中）、平面法向量的概念及辨析 【分析】（1）求出即可作为直线的一个方向向量； （2）由，可得为平面的一个法向量，所以，由此能求出，，满足的关系式． 【详解】（1），， ， 即为直线的一个方向向量．（答案不唯一） （2）由题意得， 平面，， ，则， ， ． 化简得． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $