第六章《计数原理》同步单元必刷卷【基础卷】-2025-2026学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

第六章《计数原理》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．有不同的红球5个，不同的白球4个．从中任意取出两个不同颜色的球，则不同的取法有（    ） A．20种 B．16种 C．9种 D．32种 【答案】A 【分析】采用分步乘法计数原理进行分析，第一步取红球，第二步取白球，将两次的取法数相乘可得结果. 【详解】依题意，第一步，取红球，有5种不同取法；第二步，取白球，有4种不同取法． 根据分步乘法计数原理可知，共有（种）不同的取法. 2．如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有3种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（    ）种. A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【分析】讨论用3种颜色和2种颜色两种情况，分别求解，综合即可得答案. 【详解】若用3种颜色，则需AD同色，或BC同色，则有种选择， 若用2种颜色，则需AD同色并且BC同色，则有种选择， 综上，不同的着色方法共有种. 故选：B 3．黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（   ） A．81 B．72 C．36 D．12 【答案】C 【分析】利用排列数与组合数定义计算即可得. 【详解】先从四人中选出两人当成一组，共种分法， 再将三组人进行分配，共种， 故共有种分配方法. 4．设，若，则实数的值为（   ） A．3或 B．或1 C． D．3 【答案】C 【详解】因为， 所以令，可得，， 所以，解得， 5．有6位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排3人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法种数为（   ） A．90 B．120 C．270 D．720 【答案】A 【分析】利用分步计数乘法原理来求解即可. 【详解】先给第1列选2人，从6人中选2人后，仅需把矮的放前排、高的放后排，只有1种符合要求的排法，共种选法， 再给第2列从剩余4人中选2人，同理也只有1种排法，共种选法， 最后剩余2人自动为第3列，仅1种排法，即， 即总站法数为： . 6．已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（ ） A．48 B．64 C．40 D．80 【答案】D 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为展开式中二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 又因为的展开式中各项系数之和为243， 令可得，解得，即二项式为， 其展开式的通项公式为，， 令，可得1，所以展开式中的系数是. 7．某智慧交通管理平台为优化城市主干道通行效率，实时监测并记录各路口信号灯的运行模式.每个时段（例如早､晚高峰或特定监控周期）的运行模式对应一个代码（如下表）： 运行模式 代码 绿波协调 0 红灯截流控制 1 区域协调 -1 现按时间顺序记录某路口5个时段的运行模式，如编码表示5个时段中第1，3时段是“绿波协调”运行模式，则该路口某天这5个时段的运行模式中出现绿波协调不少于3个的所有可能种数为（    ） A．40 B．51 C．131 D．210 【答案】B 【分析】利用组合知识和计数原理计算. 【详解】出现绿波协调个的可能种数有：； 出现绿波协调个的可能种数有：； 出现绿波协调个的可能种数有：； 则出现绿波协调不少于3个的所有可能种数为. 故选：B 8．某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（   ） A．180 B．240 C．320 D．360 【答案】B 【分析】先求将名同学分成人数分别为的四组的方法数，再求将组同学分派到4个场次的方法数，根据分步乘法计数原理求结论. 【详解】符合要求的选派方法可分为两步完成， 第一步，将名同学分成人数分别为的四组，该步有种完成方法， 第二步，将组同学分派到4个场次，此步有种完成方法， 由分步乘法计数原理可得符合要求的派法种数为 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（ ） A．某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有12种 B．某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有42种 C．两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人乘坐车厢的方法共有36种 D．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法有82种 【答案】AC 【分析】根据排列组合的知识逐项判断可得答案. 【详解】对于A，某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长， 不同的选法有种,故A正确； 对于B，某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学， 不同的选法有种，故B错误； 对于C，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢， 两人乘坐车厢的方法共有种，故C正确； 对于D，先排列丙、丁、戊有种排法，再让甲、乙去插空位， 有种排法，则甲乙不相邻的排法有种,故D错误. 故选：AC. 10．关于的展开式，下列结论正确的是（   ） A．展开式共7项 B．所有项的二项式系数之和为64 C．常数项为540 D．所有项的系数之和为64 【答案】ABD 【分析】根据二项式展开式的项的特征得出A，由二项式系数和项的系数之和的计算公式判断B、D，再利用通项公式判断C. 【详解】对于A，因为，所以展开式共有7项，故A正确； 对于B，所有项的二项式系数和为，故B正确； 对于C，展开式的通项公式为，， 令，解得，此时常数项为，故C错误； 对于D，令，则所有项的系数和为，故D正确． 11．下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据组合数公式及性质判断A，根据排列数公式判断B、D，根据组合数的实际意义判断C； 【详解】解：对于A：根据，， 所以 ，故A正确； 对于B： ，故B正确； 对于C：可以看做盒子里有个不一样的红球与个不一样的白球共个球从中取个球的取法种数， 则可能取出个红球与个白球有种取法，个红球与个白球有取法， 个红球与个白球有种取法，个红球与个白球有种取法， 个红球与个白球有种取法，个红球与个白球有种取法， 故，故C错误； 对于D：，，所以，故，即D错误； 故选：AB 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．学校食堂在某天中午备有5种素菜，4种荤菜，2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则最多可以配制出_____种不同的套餐. 【答案】40 【分析】根据备有5种素菜，4种荤菜，2种汤，则荤菜有4种选法，素菜有5种选法，汤菜有2种选法，然后再利用分步计数原理求解. 【详解】因为备有5种素菜，4种荤菜，2种汤， 所以荤菜有4种选法，素菜有5种选法，汤菜有2种选法， 所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有种 故答案为：40. 13．已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备______种不同的车票. 【答案】30 【详解】每2个站点之间都需要准备2种车票，从6个站点中任取2个站点，共种. 14．已知，若存在使得，则的最大值为__________． 【答案】39 【分析】根据二项展开式的通项可得，然后由可得为奇数，然后可得，即可求出答案. 【详解】二项式的通项为， 二项式的通项为， ，， 若，则为奇数， 此时， 得， ，又为奇数，的最大值为39. 故答案为：39. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．解方程 【答案】 【分析】根据排列数与组合数公式即可求解. 【详解】由排列数和组合数公式，原方程可化为， 则，即为，，解得或， 经检验知是原方程的根，是原方程的增根，∴方程的根为. 故答案为：. 16．求的展开式中： (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和． 【答案】(1)4096(2)2048(3)2048(4)4096(5)16777216(6) 【详解】（1）各项二项式系数和为． （2）奇数项二项式系数和为. （3）偶数项二项式系数和为. （4），令，得各项系数和为4096． （5）令，得各项系数的绝对值和为. （6）令奇数项系数和为，偶数项系数和为． 令得；令得． ，． 所以奇数项系数和为 8390656 ，偶数项系数和为 −8386560. 17．已知在二项式的展开式中，第项为常数项. (1)求； (2)求的展开式中所有奇数项的二项式系数之和； (3)在的展开式中，求含的项. 【答案】(1)；(2)32；(3). 【详解】（1）由题意得第项为， 则，解得. （2）所有奇数项的二项式系数之和为. （3）由（1）知， 其中展开式的通项为（且）， 则的展开式中，含的项为， 含的项为， 所以在的展开式中含的项为. 18．某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个，从其中任取10个进行检验，那么（各题列出算式即可，不必计算最后结果） (1)一共有多少种抽取结果？ (2)全部抽到一等品的结果有多少种？ (3)抽不到一等品的结果有多少种？ (4)恰抽到5个一等品的结果有多少种？ (5)恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？ (6)至少抽到1个一等品的结果有多少种？ 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）这批产品一共有（个），从其中任取10个进行检验，共有种抽取结果. （2）这批产品中有一等品100个，取出10个一等品，共有种抽取结果. （3）抽不到一等品，相当于从二等品和三等品中抽取10个进行检验. 而二等品和三等品共有（个），所以抽不到一等品的抽取结果共有种. （4）恰抽取5个一等品，剩下的5个产品从二等品和三等品中抽取. 分步计数：先抽取5个一等品，再抽取5个非一等品. 根据分步乘法计数原理，一共有种抽取结果. （5）恰抽到1个一等品，2个二等品，剩下的7个产品从三等品中抽取. 分步计数：先抽取1个一等品，再抽取2个二等品，最后抽取7个三等品. 根据分步乘法计数原理，一共有种抽取结果. （6）“抽取的10个产品中，至少有一个一等品”是“没有抽到一等品”的反面， 因此，用所有的抽取结果数减去没有抽到一等品的结果数即可. 所以至少抽到一个一等品的结果共有种. 19．已知． (1)；（该问结果可保留幂的形式） (2)求的最大值； (3)求被13除的余数． 【答案】(1)6305 (2)1792 (3) 【分析】（1）分别令，，即可得解； （2）根据求出展开式的通项，再利用不等式法求解即可； （3），再根据二项式定理即可得解. 【详解】（1）令，则， 令，则， 所以； （2）， 故展开式得通项为，， ∴，，， 令， 解得， ∴的最大值为； （3）∵ ， 令， 则， ∴被除的余数为. 【点睛】结论点睛：一般地，若. （1）； （2）展开式各项系数和为； （3）奇数项系数之和为； （4）偶数项系数之和为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章《计数原理》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．有不同的红球5个，不同的白球4个．从中任意取出两个不同颜色的球，则不同的取法有（    ） A．20种 B．16种 C．9种 D．32种 2．如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有3种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（    ）种. A．12 B．18 C．24 D．30 3．黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（   ） A．81 B．72 C．36 D．12 4．设，若，则实数的值为（   ） A．3或 B．或1 C． D．3 5．有6位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排3人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法种数为（   ） A．90 B．120 C．270 D．720 6．已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（ ） A．48 B．64 C．40 D．80 7．某智慧交通管理平台为优化城市主干道通行效率，实时监测并记录各路口信号灯的运行模式.每个时段（例如早､晚高峰或特定监控周期）的运行模式对应一个代码（如下表）： 运行模式 代码 绿波协调 0 红灯截流控制 1 区域协调 -1 现按时间顺序记录某路口5个时段的运行模式，如编码表示5个时段中第1，3时段是“绿波协调”运行模式，则该路口某天这5个时段的运行模式中出现绿波协调不少于3个的所有可能种数为（    ） A．40 B．51 C．131 D．210 8．某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（   ） A．180 B．240 C．320 D．360 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（ ） A．某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有12种 B．某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有42种 C．两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人乘坐车厢的方法共有36种 D．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法有82种 10．关于的展开式，下列结论正确的是（   ） A．展开式共7项 B．所有项的二项式系数之和为64 C．常数项为540 D．所有项的系数之和为64 11．下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．学校食堂在某天中午备有5种素菜，4种荤菜，2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则最多可以配制出_____种不同的套餐. 13．已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备______种不同的车票. 14．已知，若存在使得，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．解方程 16．求的展开式中： (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和． 17．已知在二项式的展开式中，第项为常数项. (1)求； (2)求的展开式中所有奇数项的二项式系数之和； (3)在的展开式中，求含的项. 18．某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个，从其中任取10个进行检验，那么（各题列出算式即可，不必计算最后结果） (1)一共有多少种抽取结果？ (2)全部抽到一等品的结果有多少种？ (3)抽不到一等品的结果有多少种？ (4)恰抽到5个一等品的结果有多少种？ (5)恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？ (6)至少抽到1个一等品的结果有多少种？ 19．已知． (1)；（该问结果可保留幂的形式） (2)求的最大值； (3)求被13除的余数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $