第04讲：二项式定理【十三大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版选择性必修第三册）

本讲义聚焦高中数学二项式定理核心知识点，系统梳理定理表达式、展开式特征、通项公式及二项式系数的对称性、增减性与最值、系数和等性质，搭建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料以13类题型分层设计，通过正用逆用、求指定项系数等例题与举一反三训练，培养数学思维与运算能力，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

第04讲：二项式定理 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点二　二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 知识点三：　二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性与最大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的； 当k>时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 【题型归纳】 题型一：二项式定理的正用、逆用 【例1】．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理，对所给式子进行变形，然后结合二项式定理的形式求出结果． 【详解】设． 根据组合数的性质，则． 由二项式定理可知， 即． 那么， 因为，所以． 即，则． 故选：A． 【举一反三】 1．（22-23高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理求解. 【详解】二项式， . 故选：B 2．（21-22高二下·江苏南京·期中）化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用二项展开式定理即可得答案. 【详解】 故选：A. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知等式，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】依题意，, 而且还有， 所以. 故选：D. 题型二：二项展开式的通项的应用 【例2】．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式的通项公式代值计算即得. 【详解】的展开式中的第4项为. 故选：A. 【举一反三】 1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）二项式的展开式中常数项为（　　） A． B．540 C．15 D． 【答案】B 【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0，求得r的值，可求展开式中常数项. 【详解】二项式的展开式的通项为， 由，得， 所以二项式的展开式中常数项为. 故选：B. 2．（25-26高三上·北京·月考）在的展开式中，求含的项为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出展开式的通项，再根据通项求解即可. 【详解】由题知二项式展开式的通项且， 当时，解得， 此时含的项为. 故选：C. 3．（2025·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【答案】C 【分析】求出展开式的通项，从而可得第5项的系数． 【详解】二项式展开式的通项公式， 当时，第5项系数为210． 故选：C. 题型三：根据二项式展开式K项求值 【例3】．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知的展开式中第5项为常数项. (1)求的值； (2)求展开式中所有的无理项. 【答案】(1)； (2)时，无理项为；时，无理项为；时，无理项为. 【分析】（1）根据二项式定理写出通项，展开式中的常数项，即的指数为零时，即可求解； （2）根据二项式定理写出通项，展开式中所有的无理项，即的指数不为整数时，根据通项逐项求解即可. 【详解】（1）根据二项式定理，的展开式的通项为， 化简得， 因为展开式中第5项为常数项，即，的指数为零， 所以，解得； （2）由（1）得，当时的展开式的通项为， 要求展开式中的无理项，即的指数不为整数时， 即不为整数，则取奇数时满足条件， 对应的无理项为：时，； 时，； 时，. 【举一反三】 1．（2025高二·全国·专题练习）已知在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值； (2)求展开式中有理项的个数，并指明是展开式的第几项． 【答案】(1) (2)共个，分别为第、、、、、项 【分析】（1）写出二项展开式通项，根据第项中的指数为零求出的值； （2）令的指数为整数，求出参数值，即可得出结论. 【详解】（1）已知二项展开式的通项． 因为第项为常数项，所以当时，，解得． （2）要使，只需为偶数， 由于，，故，共个， 因此有理项分别为第、、、、、项． 2（22-23高二下·天津·期中）在的二项展开式中， (1)若，且第3项与第6项相等，求实数x的值； (2)若第5项系数是第3项系数的10倍，求n的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求得展开式的通项，根据题意列出方程，即可求解； （2）求得展开式的通项，根据题意，得到方程，结合组合数的计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得展开式的通项， 令，可得，令，可得， 因为第3项与第6项相等，可得，解得. （2）解：由二项式展开式的通项， 可展开式中第5项的系数为，第3项的系数为， 因为第5项系数是第3项系数的10倍，可得， 即，即， 可得，解得或（舍去）， 所以的值为. 3．（2025·安徽黄山·一模）若二项式展开式中的常数项为160，则______． 【答案】2 【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出. 【详解】由题二项式展开式的通项公式为：， 所以当时的项为常数项，解得. 故答案为：2. 题型四、求指定项的二项式系数 【例4】．（25-26高三上·四川德阳·月考）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________． 【答案】60 【分析】先根据题干条件算出，然后由二项式定理的展开式通项进行求解. 【详解】的展开式中第项与第项的二项式系数相等， ，，则的展开式中的通项为： ，令，解得， 故该展开式中的系数为 故答案为：60 【举一反三】 1．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则______． 【答案】14或23 【分析】表示各二项式系数，利用等差数列公式求解即可. 【详解】由题意得，． 在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，，，可得， 即， 化简得，解得或． 故答案为：14或23. 2．（24-25高二下·河南开封·月考）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是______________. 【答案】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合已知条件可先求出，再利用递推不等式组可求出系数最大项. 【详解】由题意，可得二项式展开式的通项为， 因为第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，可得，即， 所以，则或（舍）， 设展开式中第项的系数最大，则，可得， 解得，因为，所以， 所以系数最大的项为． 故答案为： 3．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中所有项的系数和为_________(用数字作答)． 【答案】 【分析】利用二项式展开式的通项公式可得，可求得，再用赋值法，令即可得答案. 【详解】的展开式的通项公式为， 所以展开式中第2项的系数为，第2项的二项式系数为， 所以，解得． 令，二项式展开式中的所有项的系数之和为. 故答案为：. 题型五、二项式系数的增减性和最值问题 【例5】．（25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 【答案】210 【分析】根据展开式中第6项系数最大确定的值，再通过通项公式求出常数项. 【详解】已知 的展开式中只有第6项系数最大，所以，解得. 通项公式为： . 令，则，所以常数项为. 故答案为：210. 【举一反三】 1．（25-26高三上·江西·月考）已知的展开式中二项式系数最大项仅为第4项，则其常数项为______________. 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质，得到n，再利用展开式的通项，得到常数项. 【详解】依题意有， ， 令得， 所以常数项为， 故答案为：. 2．（24-25高二下·四川成都·月考）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是__________． 【答案】 【详解】因为二项式只有第五项的二项式系数最大， 所以展开式共有9项，所以， 则二项式展开式的通项为， 令，则， 所以展开式中的系数为. 故答案为：. 3．（24-25高二下·天津西青·月考）在的二项展开式中，第3､4项的二项式系数最大，则含项的系数为__________. 【答案】 【分析】先求出，再利用二项式展开式的通项求出即可. 【详解】由题意可知，展开式共项，则， 则通项为， 令，得，则， 故含项的系数为. 故答案为： 题型六：二项式系数和 【例6】．（24-25高二下·贵州遵义·月考）在的展开式中，所有的二项式系数之和为16，则所有项的系数之和为______． 【答案】/ 【分析】先根据二项式系数之和为16求出，再利用赋值法可求系数之和. 【详解】因为二项式系数之和为16，故，所以， 在中令，故所有项的系数之和为， 故答案为：. 【举一反三】 1．（25-26高三上·河北·月考）若的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为256，且常数项为a，则__________. 【答案】681 【分析】根据二项式定理写出的展开式的通项，求得常数项，从而得到a的值；根据所有奇数项的二项式系数之和为256求得n的值，即可得到的值. 【详解】的展开式的通项是. 的展开式中所有项的二项式系数之和为， 所以所有奇数项的二项式系数之和为. 由题可知：，解得：. 当时，.所以常数项为：，即. 所以. 故答案为：681. 2．（2025高二·全国·专题练习）在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则二项式系数最大的项的系数为______． 【答案】1120 【分析】利用奇数项与偶数项的二项式系数关系求n，再根据二项式系数的性质求最值． 【详解】奇数项与偶数项的二项式系数之和相等，则的展开式中二项式系数之和为256， 即，解得，二项式系数最大的项为， 故二项式系数最大的项的系数为1120． 故答案为：1120 3．（24-25高二下·北京通州·期末）已知的展开式的二项式系数和为128，则n=______；含有项的系数为______． 【答案】 7 -7 【分析】根据二项式系数和的性质求出的值，再根据二项展开式的通项公式求出含项的系数. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为128，所以， 解得. 的通项公式为 要求含有项的系数，令，解得. 所以含有项的系数为. 故答案为：①7；②-7. 题型七：项的系数（有理项） 【例7】．（24-25高二下·安徽亳州·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数和为4096，则此二项式展开式中二项式系数之和是______. 【答案】16 【分析】令，利用各项系数和求出，再利用二项式系数的性质即可求解. 【详解】因为在二项式的展开式中，所有项的系数和为4096， 所以，令得， 即，解得， 所以展开式中二项式系数和为． 故答案为：16. 【举一反三】 1．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知的展开式共有9项，则该展开式中含的项的系数为___________________. 【答案】252 【分析】根据的展开式共有9项，得到，再利用展开式的通项公式求解. 【详解】因为的展开式共有9项， 所以，则展开式的通项公式为， 令，得， 所以该展开式中含的项的系数为252， 故答案为：252 2．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）的展开式中所有有理项的系数之和为________． 【答案】 【分析】写出二项式的展开式通项，进而确定对应有理项，即可求. 【详解】由二项式知，其展开式通项为， 所以，当时对应项为有理项，故所有有理项的系数之和为. 3．（24-25高二下·福建福州·期中）已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中有理项共有_____项． 【答案】6 【分析】先应用赋值法求出，再应用通项公式计算求解即可. 【详解】令，得，则或（舍去）． ∴的展开式的通项为． 当时，为有理项，故有理项共有6项． 故答案为：6. 题型八：展开式项系数和 【例8】．（25-26高二下·全国·单元测试）已知，若．则实数________． 【答案】1或 【分析】由展开式的通项求得常数项，即，利用赋值法，令，得，求解可得实数的值. 【详解】的展开式的通项为， 令，得其常数项为，所以. 令，得，即， 所以，所以或． 故答案为：或． 【举一反三】 1．（24-25高二下·重庆·月考）若，则的值是______. 【答案】0 【分析】首先对已知赋值，令，求得，令，求得的值，然后求得，从而求得结果． 【详解】令，则， 令，则， 又含的项为，所以， 所以. 故答案为：0. 2．（25-26高二上·北京·期末）若，则___________；___________． 【答案】 【分析】利用赋值法求解系数以及系数和； 【详解】令，代入得， 令，代入得， 代入，代入可得. 故答案为：①；② 3．（25-26高二上·北京·期末）若，则__________；__________.（用数字作答） 【答案】 【分析】令，利用赋值法可得出的值；分析可知当为奇数时，；当为偶数时，.结合赋值法可得出的值. 【详解】令，则， 的展开式通项为， 则， 故当为奇数时，；当为偶数时，. 所以 . 故答案为：；. 题型九：系数最值问题 【例9】．（24-25高二下·浙江杭州·月考）在的展开式中，有且仅有项前的系数最大，则实数的取值范围是__________ 【答案】. 【分析】讨论a的取值范围，结合题意，列出不等式组，求解即可得答案. 【详解】若展开式中有且仅有项的系数最大，不合题意， 当时，所以项的系数均为正数，则需满足， 即得； 当时，奇数项的系数均为正数，偶数项的系数均为负数， 则此时需满足，解得， 综合可得的取值范围是， 故答案为：. 【举一反三】 1．（24-25高二下·上海奉贤·期末）在的二项展开式中系数最大的项的系数是________（结果用数字表示） 【答案】20412 【分析】根据二项展开式得到第项系数为，再利用二项式系数最大项的求法得出的值即可求最大项的系数. 【详解】的展开式通项为，则系数为， 设第项系数最大，则 即，解得，又，所以， 所以最大项系数为第7项，最大系数为. 故答案为：20412. 2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知二项式的展开式中，第三项的二项式系数是第二项二项式系数的2倍，项的系数是 项系数的4倍，则展开式中系数最大的项是_______． 【答案】 【分析】根据二项式系数及项的系数的关系求出，由展开式通项公式列出不等式组得解. 【详解】由题意，，即，解得， 因为，， 所以，解得或（舍去）， 因为， 设第项系数最大，则， 即，解得， 因为为正整数，所以， 所以展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 3．（23-24高二下·吉林通化·月考）已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992.求 的展开式系数最大项是第___________项. 【答案】4 【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出展开式的通项公式，利用作商法推断系数的单调性求得答案. 【详解】依题意，，即，所以,解得； 展开式的通项公式，令， 当时，，由，解得， 则，即最大， 所以展开式系数最大项是第4项. 故答案为：4 题型十：奇次项和偶次项的系数之和 【例10】．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在的展开式中，x的奇次项的系数和为______． 【答案】511 【分析】利用赋值法，分别令，作差即可得解. 【详解】设， 令，则， 令，则， 两式相减可得，， 解得. 故答案为：511 【举一反三】 1．（22-23高二上·福建福州·期末）若，则________. 【答案】365 【分析】分别令，，然后两式相加可得. 【详解】令得①， 令得②， ①+②得，即. 故答案为：365 2．（23-24高二下·广东东莞·月考）已知，其中、、、…、是常数，则的值为__________. 【答案】64 【分析】由赋值法可知，，求值即可. 【详解】， 当时，， 当时，， . 故答案为：64 3．（23-24高二下·福建莆田·月考）已知，则的值是______. 【答案】 【分析】利用赋值法，分别令和，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案. 【详解】令，则，即 令，则， 即， 两式相加可得. 故答案为： 题型十一：三项展开式的系数问题 【例11】．（2025高二·全国·专题练习）的展开式中，的系数为______ 【答案】 【分析】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项， 则的系数为， 故的系数为. 故答案为：. 【举一反三】 1．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）的展开式中，的系数为______.（用数值作答） 【答案】 【分析】根据多项式乘积的性质即可求解． 【详解】由于表示5个因式的乘积， 故其中有2个因式取，2个因式取，剩余的一个因式取，可得含的项， 故展开式中含的项为，其系数为. 故答案为：． 2．（25-26高三上·上海·月考）的展开式中常数项是________．（用数值作答） 【答案】924 【分析】把三项变成两项再应用二项式展开式计算求解. 【详解】的展开式中常数项是. 故答案为：． 3．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为______． 【答案】1 【分析】利用三项式展开式原理，可得含的项为含的项的系数，即可求解参数. 【详解】由展开式中， 所以， 解得或（舍）． 故答案为： 题型十二：两个二项式相乘系数问题 【例12】．（25-26高三下·辽宁·开学考试）在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 【答案】 【分析】要计算的展开式中的系数，只需利用二项式定理分析两个二项式的展开式，组合得到的项即可得到的系数. 【详解】①取常数项得取项得，乘积系数为80； ②取项得取常数项得，乘积系数为. 将以上结果相加得. 故答案为： 【举一反三】 1．（25-26高二下·全国·课后作业）的展开式中的系数是________． 【答案】-3 【分析】法一：将与的展开式通项分别表示出来，再求解展开式中的系数即可 法二：与相乘，得到，再求解即可. 【详解】法一：（双通项法）的展开式的通项为，的展开式的通项为， 则的展开式的通项为，其中，．令， 得，于是的展开式中的系数等于. 法二：， 于是的展开式中的系数为． 故答案为：-3. 2．（25-26高三上·上海杨浦·期末）在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 【答案】 【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式中含的项即可得解. 【详解】由题意得的展开式的通项为， 而， 令，解得，不符合题意；令，解得， 所以含的项为， 所以展开式中含的项的系数为. 故答案为：. 3．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）展开式中含项的系数为_____ 【答案】20 【分析】应用两项乘积的二项式展开式计算求解系数即可. 【详解】展开式的通项公式为， ， 展开式的一般项为 由，得，符合题意； 展开式的一般项为 由，得(舍去)， 所以含项的系数为. 故答案为：20. 题型十三：两个二项式相乘求参数问题 【例12】．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为_________ 【答案】20 【分析】先由赋值法得到关于的方程求出，接着求出二项式展开式中含和的项即可求出展开式的常数项，进而得解. 【详解】令得，解得， 二项式的展开式的通项公式为，且， 所以当时，；当时，， 所以二项式展开式的常数项为． 故答案为：20 【举一反三】 1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知的展开式中各项系数的和是2，则展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【分析】代入，解出，再利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可. 【详解】令，得的展开式中各项系数的和为， 解得， 的展开式的通项为， 分别令，，可得展开式中的系数为. 故答案为： 2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知的展开式中所有项的系数和为1024，则含项的系数为______．（用数字作答） 【答案】300 【分析】由赋值法求出，再根据通项公式计算即可． 【详解】在中，令， 得，解得， 所以含的项为， 故答案为：300． 3．（2024·广西南宁·一模）已知（为常数）的展开式中所有项的系数和为32，则展开式中的系数为______．（用数字作答）． 【答案】15 【分析】代入，解出，再利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可. 【详解】令，则，即， 则对，有， 令，即，有，即有， 令，即，有，即有， 故展开式中的系数为15. 故答案为：15. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）的二项展开式中，第四项的系数是（    ） A． B．560 C．84 D． 【答案】A 【分析】根据二项式展开式直接求解即可． 【详解】根据二项式展开式，可知第四项为， 所以第四项的系数是． 2．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 【答案】B 【分析】先求出，再利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】由题知，，解得， 所以的展开式的通项为， 令，得，所以的系数为. 故选：B. 3．（25-26高二下·全国·单元测试）已知的展开式中的系数为25，则展开式中所有项的系数和为（   ） A． B．97 C．96 D． 【答案】C 【分析】法一：根据的展开式，得，则的系数为，解得．代回，利用赋值法，令，可得展开式中所有项的系数和；法二：写出的展开式的通项，由乘法分配律可得的系数为，解得．代回，利用赋值法，令，可得展开式中所有项的系数和. 【详解】法一：因为， 所以的系数为，由题意得，解得． 设，令，得． 即展开式中所有项的系数和为. 故选：C. 法二：的展开式的通项为. 由乘法分配律知，的展开式中含的项为. 所以展开式中的系数为， 所以，解得. 设， 令，得． 故选：C． 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为（   ） A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 【答案】C 【分析】先根据系数比列式计算得出，再应用系数为实数及系数最大得出即可求解. 【详解】． 由，得， 所以， 又， 据此可知当时系数为实数， 实数系数分别为， ，， ， ，， 经比较可知最大值为210，此时，对应第五项. 故选：C． 5．（25-26高二上·北京昌平·期末）若，则的值为（   ） A． B．32 C． D．255 【答案】D 【分析】使用赋值法求二项式展开后各项的系数和即可，令即可得，令即可得，进而可求的值. 【详解】令，即， 令，则，则. 故选：D. 6．（25-26高二上·甘肃武威·期末）已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 【答案】A 【分析】根据二项式系数和的特征得到，写出的展开式，即可得到能被整除，从而求出的取值，即可确定的值，再根据二项式系数的特征及展开式的通项分析可得. 【详解】， ， ， 则 ， 显然为正整数， 能被9整除， 又且能被9整除，能被9整除， ，则， 因为是满足条件的正整数的最小值，而满足条件的， 故取时，有最小值，所以， 所以， 的展开式中，二项式系数最大的项为第6项和第7项， 又的展开式的通项公式为 ， 展开式系数为，要使系数最小， 则系数须为负值（即为奇数），且其绝对值最大. 当为奇数时，在时取得最大值， 故系数最小的项为第项. 故选：A. 7．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过赋值和求解. 【详解】由题，当时，， 即①， 当时，， 即② ①②得， 所以， 故选：D. 二、多选题 8．（25-26高三上·河北衡水·期末）在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式的项数为6 B．二项式系数和为64 C．所有项的系数之和为2 D．展开式中第3项为 【答案】BD 【分析】由二项式展开的项数为，可判断A；求出二项式系数和为，可判断B；利用赋值法求出所有项的系数和，可判断C；求出第3项，可判断D. 【详解】对于A，因为，所以展开后共有7项，故A错误； 对于B，由题意可知二项式系数和为，故B正确； 对于C，令，则所有项的系数和，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：BD. 9．（25-26高二下·江西赣州）若，则下列选项正确的有（   ） A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为 C．奇数项的系数和为 D． 【答案】ABD 【分析】通过对二项式展开式中的赋予特殊值，结合二项式系数的性质，快速求出各项系数、系数和及特定系数和，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A：因为，因此，故A正确； 对于B：展开式中所有项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C：令，可得； 再令，可得， 将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为，故C错误； 对于D：令，则， 再令，可得， 所以，故D正确． 10．（25-26高二下·全国·课后作业）已知的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（   ） A．展开式的奇数项的二项式系数的和为256 B．展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含项的系数为45 【答案】BCD 【分析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等可知，由展开式的各项系数之和为1024可得，则二项式为，易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同，利用二项式系数的对称性判断A，B；根据通项判断C，D即可. 【详解】由的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等可知． 又展开式的各项系数之和为1024，即当时，，所以， 所以，其展开式的各二项式系数的和为， 则奇数项的二项式系数的和为，故A错误； 由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大， 因为与的系数均为1，所以展开式的各项的二项式系数与系数相同， 即第6项的各项的二项式系数相等且最大，故B正确； 若展开式中存在常数项，则展开式中存在的指数为0的项， 由通项， 可得当，即时，符合要求，故C正确； 由通项可得，当时，， 所以展开式中含项的系数为，故D正确． 故选：BCD 11．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于ABC，利用赋值法分别判断即可；对于D，对等式两边同时求导，再赋值即可求解判断. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于BC，令，则， 令，则， 则，，故B错误，C正确； 对于D，由两边同时求导可得： ， 令，则， 所以，故D错误. 故选：AC 三、填空题 12．（24-25高二下·内蒙古包头·期中）的展开式中的系数为______ 【答案】 【分析】原式可转化为，利用二项展开式通项公式分别求和的系数即可. 【详解】因为， 由二项展开式通项公式可得， 令解得，此时， 令解得，此时， 所以的展开式中的系数为， 故答案为： 13．（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知，则___________；___________. 【答案】 【分析】对式子的两边进行赋值，令，即可求得的值；令，可得到的值，结合的值即可求解. 【详解】令，则，即； 令，则； 所以. 故答案为：；. 14．（25-26高二下·辽宁·开学考试）若．则___________．（用数字作答） 【答案】4960 【分析】先求出的展开式的通项公式，进而得到的代数式，再结合组合数运算性质即可计算得解. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以由题可得． 15．（25-26高二上·江苏常州·期末）设被9除所得的余数为，则的展开式中的常数项为___________． 【答案】 【分析】由得出值，再根据的展开式通项列方程求解即可． 【详解】由于， 所以； 由于被9除所得的余数为8， 故即的展开式为， 当时，常数项为． 故答案为：． 四、解答题 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）求的展开式中： (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和． 【答案】(1)4096 (2)2048 (3)2048 (4)4096 (5)16777216 (6) 【分析】（1）利用二项式系数的性质即可求解； （2）利用二项式系数的性质即可求解； （3）利用二项式系数的性质即可求解； （4）令，得各项系数和； （5）令，得各项系数的绝对值和； （6）令，即可求解. 【详解】（1）各项二项式系数和为． （2）奇数项二项式系数和为. （3）偶数项二项式系数和为. （4），令，得各项系数和为4096． （5）令，得各项系数的绝对值和为. （6）令奇数项系数和为，偶数项系数和为． 令得；令得． ，． 所以奇数项系数和为 8390656 ，偶数项系数和为 −8386560. 17．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知的展开式中所有项的系数之和为729. (1)求； (2)求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示） (3)求的展开式中的系数.（结果用数字表示） 【答案】(1) (2)240 (3)140 【分析】（1）赋值得到关于的等式，进而求出结果. （2）先根据二项式定理求出通项，然后列出不等式，求解即可. （3）根据二项式定理求出所求项的系数. 【详解】（1）令，得，得. （2）的展开式的通项. 设第项的系数最大， 则整理得 解得，则， 所以展开式中各项系数的最大值为. （3）中没有项，的展开式中的系数为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为， 所以的系数为. 18．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知，其展开式中的第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值. 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）根据等差数列的概念和二项式系数的性质，求出参数值，进而求出展开式中二项式系数最大的项； （2）根据二项式的展开式，通过赋值法，先求出，再求出结果即可. 【详解】（1）由题意可知第2，3，4项的二项式系数依次为， 所以，即， 化简得，因为，解得， 当时，展开式有8项，可知展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项， 可知二项式展开式的第项为， 当时，， 当时，， 即二项式系数最大的项为和. （2）已知， 当时，得，即， 当时，， 即， 可得， 则. 19．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)10 (2)0 (3) 【分析】（1）由二项式系数的对称性，可知展开式的项数，即可得解； （2）分别赋值即可求解； （3）根据二项展开式的通项公式，得到二项展开式中项的系数的正负，化简得到，令，即可求解. 【详解】（1）因为的展开式中，只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式共项，其中第6项是唯一中间项， 所以. （2）由， 可令，得， 再令，可得， 所以. （3）二项展开式的通项为， 当时，展开式的项的系数为负； 当时，展开式的项的系数为正， 所以 令，可得， 即. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲：二项式定理 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点二　二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 知识点三：　二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性与最大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的； 当k>时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 【题型归纳】 题型一：二项式定理的正用、逆用 【例1】．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二下·江苏南京·期中）化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知等式，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 题型二：二项展开式的通项的应用 【例2】．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）二项式的展开式中常数项为（　　） A． B．540 C．15 D． 2．（25-26高三上·北京·月考）在的展开式中，求含的项为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 题型三：根据二项式展开式K项求值 【例3】．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知的展开式中第5项为常数项. (1)求的值； (2)求展开式中所有的无理项. 【举一反三】 1．（2025高二·全国·专题练习）已知在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值； (2)求展开式中有理项的个数，并指明是展开式的第几项． 2（22-23高二下·天津·期中）在的二项展开式中， (1)若，且第3项与第6项相等，求实数x的值； (2)若第5项系数是第3项系数的10倍，求n的值. 3．（2025·安徽黄山·一模）若二项式展开式中的常数项为160，则______． 题型四、求指定项的二项式系数 【例4】．（25-26高三上·四川德阳·月考）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________． 【举一反三】 1．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则______． 2．（24-25高二下·河南开封·月考）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是______________. 3．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中所有项的系数和为_________(用数字作答)． 题型五、二项式系数的增减性和最值问题 【例5】．（25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 【举一反三】 1．（25-26高三上·江西·月考）已知的展开式中二项式系数最大项仅为第4项，则其常数项为______________. 2．（24-25高二下·四川成都·月考）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是__________． 3．（24-25高二下·天津西青·月考）在的二项展开式中，第3､4项的二项式系数最大，则含项的系数为__________. 题型六：二项式系数和 【例6】．（24-25高二下·贵州遵义·月考）在的展开式中，所有的二项式系数之和为16，则所有项的系数之和为______． 【举一反三】 1．（25-26高三上·河北·月考）若的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为256，且常数项为a，则__________. 2．（2025高二·全国·专题练习）在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则二项式系数最大的项的系数为______． 3．（24-25高二下·北京通州·期末）已知的展开式的二项式系数和为128，则n=______；含有项的系数为______． 题型七：项的系数（有理项） 【例7】．（24-25高二下·安徽亳州·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数和为4096，则此二项式展开式中二项式系数之和是______. 【举一反三】 1．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知的展开式共有9项，则该展开式中含的项的系数为__________________. 2．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）的展开式中所有有理项的系数之和为________． 3．（24-25高二下·福建福州·期中）已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中有理项共有_____项． 题型八：展开式项系数和 【例8】．（25-26高二下·全国·单元测试）已知，若．则实数________． 【举一反三】 1．（24-25高二下·重庆·月考）若，则的值是______. 2．（25-26高二上·北京·期末）若，则___________；___________． 3．（25-26高二上·北京·期末）若，则__________；__________.（用数字作答） 题型九：系数最值问题 【例9】．（24-25高二下·浙江杭州·月考）在的展开式中，有且仅有项前的系数最大，则实数的取值范围是__________ 【举一反三】 1．（24-25高二下·上海奉贤·期末）在的二项展开式中系数最大的项的系数是________（结果用数字表示） 2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知二项式的展开式中，第三项的二项式系数是第二项二项式系数的2倍，项的系数是 项系数的4倍，则展开式中系数最大的项是_______． 3．（23-24高二下·吉林通化·月考）已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992.求 的展开式系数最大项是第___________项. 题型十：奇次项和偶次项的系数之和 【例10】．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在的展开式中，x的奇次项的系数和为______． 【举一反三】 1．（22-23高二上·福建福州·期末）若，则________. 2．（23-24高二下·广东东莞·月考）已知，其中、、、…、是常数，则的值为__________. 3．（23-24高二下·福建莆田·月考）已知，则的值是______. 题型十一：三项展开式的系数问题 【例11】．（2025高二·全国·专题练习）的展开式中，的系数为______ 【举一反三】 1．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）的展开式中，的系数为______.（用数值作答） 2．（25-26高三上·上海·月考）的展开式中常数项是________．（用数值作答） 3．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为______． 题型十二：两个二项式相乘系数问题 【例12】．（25-26高三下·辽宁·开学考试）在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 【举一反三】 1．（25-26高二下·全国·课后作业）的展开式中的系数是________． 2．（25-26高三上·上海杨浦·期末）在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 3．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）展开式中含项的系数为_____ 题型十三：两个二项式相乘求参数问题 【例12】．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为_________ 【举一反三】 1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知的展开式中各项系数的和是2，则展开式中的系数为______.（用数字作答） 2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知的展开式中所有项的系数和为1024，则含项的系数为______．（用数字作答） 3．（2024·广西南宁·一模）已知（为常数）的展开式中所有项的系数和为32，则展开式中的系数为______．（用数字作答）． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）的二项展开式中，第四项的系数是（    ） A． B．560 C．84 D． 2．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 3．（25-26高二下·全国·单元测试）已知的展开式中的系数为25，则展开式中所有项的系数和为（   ） A． B．97 C．96 D． 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为（   ） A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 5．（25-26高二上·北京昌平·期末）若，则的值为（   ） A． B．32 C． D．255 6．（25-26高二上·甘肃武威·期末）已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 7．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知，则 （    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高三上·河北衡水·期末）在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式的项数为6 B．二项式系数和为64 C．所有项的系数之和为2 D．展开式中第3项为 9．（25-26高二下·江西赣州）若，则下列选项正确的有（   ） A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为 C．奇数项的系数和为 D． 10．（25-26高二下·全国·课后作业）已知的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（   ） A．展开式的奇数项的二项式系数的和为256 B．展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含项的系数为45 11．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二下·内蒙古包头·期中）的展开式中的系数为______ 13．（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知，则___________；___________. 14．（25-26高二下·辽宁·开学考试）若．则___________．（用数字作答） 15．（25-26高二上·江苏常州·期末）设被9除所得的余数为，则的展开式中的常数项为___________． 四、解答题 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）求的展开式中： (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和． 17．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知的展开式中所有项的系数之和为729. (1)求； (2)求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示） (3)求的展开式中的系数.（结果用数字表示） 18．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知，其展开式中的第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值. 19．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $