专题04 一元二次方程的解法和跟与系数的关系 同步培优讲义2025-2026学年八年级数学下册（浙教版）

专题04 一元二次方程的解法和跟与系数的关系 【题型1 因式分解法解一元二次方程】 3 【题型2 解一元二次方程—直接开平方法】 5 【题型3 解一元二次方程—配方法】 7 【题型4 配方法的应用】 9 【题型5 解一元二次方程—公式法】 11 【题型6 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 14 【题型7 根据一元二次方程根的情况求参数】 15 【题型8 换元法解一元二次方程】 17 【题型9 一元二次方程根与系数的关系】 19 【解答5题】 20 一元二次方程的解法 核心原则：解一元二次方程的本质是“降次”，将二次方程转化为一次方程，再求解；需根据方程的形式（如是否为完全平方、是否能因式分解）选择最简便的解法，所有解法最终都需检验（可口头检验，确保解代入方程左右相等）。 一、直接开平方法（最基础，适用于特殊形式方程） 1. 适用条件 方程可化为（）或（）的形式（不含一次项，或可化为完全平方形式）。 2. 解题步骤 ① 整理方程，化为或（、）； ② 两边同时开平方，注意“正负号”：若，则；若，则； ③ 解两个一次方程，得到方程的两个根； ④ 检验（可选，代入原方程，确保左右相等）。 二、配方法（通用解法，适用于所有一元二次方程，重点掌握） 1. 核心思路 将一元二次方程（）通过配方，转化为的形式，再用直接开平方法求解。 2. 解题步骤（以为例，） ① 移项：将常数项移到等式右边，得； ② 化二次项系数为1：两边同时除以二次项系数a，得； ③ 配方：在等式两边同时加上“一次项系数一半的平方”（即），左边化为完全平方形式，得； ④ 整理：左边化为，右边通分化简，得； ⑤ 开平方求解：分两种情况，若，则，解得；若，方程无实数根； ⑥ 检验（可选）。 三、公式法（通用解法，适用于所有一元二次方程，最常用） 1. 核心公式 对于一元二次方程的一般形式（），其解为： 补充：叫做一元二次方程根的判别式，用于判断方程根的情况： ① 当时，方程有两个不相等的实数根； ② 当时，方程有两个相等的实数根（）； ③ 当时，方程无实数根。 2. 解题步骤 ① 将方程化为一般形式，确定a、b、c的值（注意符号）； ② 计算判别式，判断方程根的情况； ③ 若，代入求根公式计算，得到两个根；若，直接说明方程无实数根； ④ 检验（可选）。 四、因式分解法（最简便，适用于可因式分解的方程） 1. 适用条件 方程化为一般形式后，左边的二次三项式（或单项式）能分解为两个一次因式的乘积，即的形式。 2. 核心原理 若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0（即或），将二次方程转化为两个一次方程求解。 3. 解题步骤 ① 将方程化为一般形式，移项使右边为0； ② 将左边的二次三项式（或单项式）因式分解，化为的形式； ③ 令每个因式等于0，得到两个一次方程：和； ④ 解两个一次方程，得到方程的两个根； ⑤ 检验（可选）。 核心：无需解出方程的根，即可通过方程的系数a、b、c，判断根的和与积，适用于快速检验根的正确性、求代数式的值、求未知系数等。 根与系数的关系（分两种情况） 1. 一般形式（核心，重点掌握） 对于一元二次方程（），若方程有两个实数根、（即），则： （两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数） （两根之积等于常数项与二次项系数的比） 2. 特殊形式 若方程化为二次项系数为1的形式：（即），则： ， （可快速记忆：两根之和是一次项系数的相反数，两根之积是常数项） 【题型1 因式分解法解一元二次方程】 【典例1】．运算能力：用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． （1）先移项，再提取公因式进行因式分解，从而求得方程的解； （2）先移项，再利用平方差公式进行因式分解，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：， ， ，即， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ， ∴或， 解得，． 【跟踪训练1】．已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义，先将已知根代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：∵方程的一个根是1， ∴将代入方程得， 解得， ∴原方程为， 将方程因式分解得， 解得，， ∴方程的另一个根是3． 【跟踪训练1】．等腰三角形两边长是方程的解，则这个等腰三角形的周长是（ ） A．10 B．8 C．8或10 D．16或6 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到可能的边长，再结合等腰三角形性质与三角形三边关系，筛选出符合条件的边长组合，进而计算周长确定答案． 【详解】解：解方程得，或， ①若腰长为2，底边长为4， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴此情况舍去； ②若腰长为4，底边长为2， ∵，，满足三角形三边关系， ∴该三角形的周长为， 综上，只有周长为10． 【点睛】注意分类讨论的思想． 【跟踪训练3】．解方程：． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 【题型2 解一元二次方程—直接开平方法】 【典例2】．方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题可采用直接开平方法或因式分解法求解一元二次方程，依据平方根的定义或因式分解的性质得出方程的解． 【详解】解：方法一：直接开平方法 移项，得 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数 则，即 故，． 方法二：因式分解法 将方程左边因式分解，得 则或 故，． 【跟踪训练1】．一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可利用直接开平方法，结合平方根的定义得出方程的解. 【详解】∵， ∴，即，. 【跟踪训练2】．方程的解正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用直接开方法解方程，即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 【跟踪训练3】．的解是___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法是解题关键，通过移项和开平方求解方程即可． 【详解】方程 ， 移项，得 ， 开平方，得 ，即或． 故答案为 ：或． 【题型3 解一元二次方程—配方法】 【典例3】．用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1，当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数；②加上一次项系数一半的平方，使其成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】（1）解： ∴， ∴，； （2）解： ∴， ∴，． 【跟踪训练1】．用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵一次项系数为2，其一半的平方为， ∴方程两边同时加1，得， ∴整理得． 故选：B． 【点睛】把常数项移项到等号右边，再在等号两边加上一次项系数一半的平方． 【跟踪训练2】．用配方法将方程进行配方得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，需遵循配方法步骤：移项、配方（等式两边加一次项系数一半的平方）、整理得到完全平方式，然后即可求解； 【详解】解：， ， ， ， 故选：C； 【跟踪训练3】．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果. 【详解】解：原方程为 . 移项得 . 方程两边同时加得 . 配方得 . 【题型4 配方法的应用】 【典例4】．不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键． 利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可． 【详解】解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 【跟踪训练1】．如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根及配方法求代数式的最小值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据“和美方程”的定义，将代入方程得到与的关系式，再代入所求表达式，通过配方法求最小值． 【详解】方程是“和美方程”， 是它的一个根， 将代入方程得：， 即， ， 配方得：， 由于， 当时，取得最小值， 故答案为：． 【跟踪训练2】．将一元二次方程化成的形式，则___________． 【答案】7 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键． 直接根据配方法的步骤解题即可． 【详解】解：方程移项得， 配方得， 即， ，， ． 故答案为：7． 【跟踪训练3】．阅读材料并解决问题： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 根据上面的材料请解决下面问题： 如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． (1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； (2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，围成的矩形鸡场的面积最大，面积是 【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方式、代数式求值等知识点，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）先运用完全平方公式配方，然后再根据完全平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：鸡场的长为， 则鸡场的面积：； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是， ∵，， ∴最大面积是符合题意． 故当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是． 【题型5 解一元二次方程—公式法】 【典例5】．用公式法解方程： 【答案】， 【分析】根据求根公式，代入系数解答即可． 【详解】解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 【点睛】注意：一元二次方程必须要化成一般形式． 【跟踪训练1】．解方程： 【答案】 ， 【分析】本题考查解一元二次方程公式法，解题关键在于掌握用求根公式解一元二次方程的方法.先确定，再根据公式，代入公式进行计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪训练2】．嘉嘉解一元二次方程的过程如下： 解：…① ，，，…② …③ 方程无实数根．…④ (1)嘉嘉解方程的方法是 ，他的求解过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 【答案】(1)公式法，② (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程是关键． （1）根据题意可得解方程的方法是公式法，根据一次项的系数与常数项错误可得答案； （2）先求解，再利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误； （2） 整理得，， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 【跟踪训练3】．运算能力用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法是关键．按照公式法解一元二次方程的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 这里，，． ∵， ∴，∴，． （2）解： 这里，，． ∵， ∴， ∴，． （3）解： 这里，，． ∵， ∴， ∴． 【题型6 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【典例6】．下列方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． 【答案】B 【分析】根据“判别式Δ等于0时，方程有两个相等的实数根”，分别计算各选项的判别式，即可得出答案． 【详解】解：A：， ，方程无实数根． B：， ，方程有两个相等的实数根． C：， ，方程有两个不相等的实数根． 【跟踪训练1】．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 求出根的判别式的值，再根据判别式的意义即可判断根的情况． 【详解】解：方程的判别式为， 则方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【跟踪训练2】．已知关于的一元二次方程，则该方程解的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个解 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：一元二次方程为， 则判别式， 又由于， 则，即， 因此，该一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【跟踪训练3】．若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用．根据确定方程是一元二次方程，再计算判别式判断符号即可得出根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，方程是一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 【题型7 根据一元二次方程根的情况求参数】 【典例7】．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式求解，一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于等于0，据此计算k的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 【跟踪训练1】．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，据此求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴ ∴，只有A选项的满足． 【跟踪训练2】．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】分类讨论：方程为一元一次方程或一元二次方程，结合一元一次方程根的性质和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ，即， ∵方程有实数根， ∴， 化简得， 解得， 即此时且； 当方程是一元一次方程时， ，即， 方程为， 解得，方程有实数根，符合题意； 综上，的取值范围是． 【跟踪训练3】．关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的值为_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由方程有两个不相等的实数根，可知判别式大于，据此建立不等式求出的取值范围，进而确定可取的值． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴可取的值为． 【题型8 换元法解一元二次方程】 【典例8】．已知a、b满足，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2 【答案】A 【分析】设，将等式变形为，解方程即可． 【详解】设， 由，得， 化简得， 解得， 即． 【跟踪训练1】．当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 【跟踪训练2】．若，则的值是________． 【答案】 【分析】通过换元法将设为，把原方程转化为一元二次方程求解，再根据平方数的非负性舍去负根即可． 【详解】解：设，根据平方数的非负性可知， 将代入原方程，可得： ， ， ， 解得或， 由，舍去，则， 故． 【跟踪训练3】．若关于的方程的解是，（，，为常数，），则关于的方程的解为________． 【答案】 或 /或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 通过变量替换，将第二个方程转化为第一个方程的形式，利用已知解求解． 【详解】解：设，则第二个方程化为，与第一个方程 形式相同． ∵方程的解为或， ∴或， 代入，得 或， 解得或． 故答案为：或． 【题型9 一元二次方程根与系数的关系】 【典例9】．已知一元二次方程有两个实数根，则的值等于_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∴． 【跟踪训练1】．若关于的一元二次方程的两个根分别为，，则______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义与根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题关键，先将已知根代入方程求出的值，再利用根与系数的关系计算的值即可. 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根分别为，， 将代入方程得：， 整理得：， 解得：， ， ， ． 【跟踪训练2】．已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（  ） A． B．3 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得到，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， 解得， 此时方程化为，，符合题意； 故. 【跟踪训练3】．已知，是方程的两个根，则的值为（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系． 通过根与系数的关系，直接计算表达式的值． 【详解】解：∵ 方程， ∴ ， ∴ ，， ∴ . 故选：C． 【解答5题】 1．用适当的方法解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）解：， ∴， ， ， ， ∴，． 2．已知关于的一元二次方程，其中分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； 【答案】为直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，一元二次方程根的判别式． 根据方程有两个相等的实数根得到，然后化简得到，即可证明． 【详解】答：为直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根 ． 为直角三角形 3．某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ (1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． (2)请写出用配方法解方程的正确过程． 【答案】(1)第③步，方程两边未同时加上 (2)见解析 【分析】（1）根据解方程的步骤分析判断即可； （2）利用配方法得出，解方程即可． 【详解】（1）解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了，错误原因是方程两边未同时加上． （2）解： 或 4．已知实数a，b，c，且． (1)若a，b，c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由求根公式法解得方程的根为，求的值．（一元二次方程的一般形式为，求根公式为：） (2)若，且，，求c的最小值． 【答案】(1) (2)c的最小值为2 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握一元二次方程的求根公式和根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程的求根公式得到，，，则可求出，从而可计算出的值； （2）变形已知条件得到，则，整理得，利用根的判别式的意义得到，解不等式得，从而得到c的最小值为2． 【详解】（1）解：∵用公式法解得方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵关于b的一元二次方程有实数解， ∴， 而， ∴， ∴， ∴c的最小值为2． 5．综合实践： 探究主题 一元二次方程根的判别式拓展探究 探究情境 在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过几道习题的解答，他说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．”请你结合所学知识，对小明的猜想进行探究． 实例验证 （1）解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想： ①当，时，例如，此方程的解是________； ②当，时，例如，此方程的解是________； 这两个实例可以验证小明的猜想________（填“正确”或“错误”）． 严谨证明 （2）小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 拓展延伸 （3）已知关于x的一元二次方程，其中m为整数，满足二次项系数和常数项异号，求m的值及方程的解． 【答案】（1）①；②；正确；（2）见解析；（3）时，；时， 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，根的判别式等知识； （1）根据因式分解法解方程，即可求解； （2）根据题意计算，即可得证； （3）根据一元二次方程的定义，以及m为整数，满足二次项系数和常数项异号，得出的值，进而解方程，即可求解． 【详解】解：（1）①当，时，例如， ∴， ∴或， ∴此方程的解是； ②当，时， 例如， ∴ ∴ ∴或， ∴此方程的解是； 这两个实例可以验证小明的猜想正确； 故答案为：；；正确． （2）解：小明的猜想正确， 证明：一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负）， ∴， 又∵ ∴。故这个方程一定有两个不相等的实数根. （3）依题意，且 解得，， 又∵m为整数， ∴或 当时，方程为，即 ∵， ∴ 解得： 当时，方程为 即 解得： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元二次方程的解法和跟与系数的关系 【题型1 因式分解法解一元二次方程】 3 【题型2 解一元二次方程—直接开平方法】 4 【题型3 解一元二次方程—配方法】 4 【题型4 配方法的应用】 4 【题型5 解一元二次方程—公式法】 5 【题型6 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 6 【题型7 根据一元二次方程根的情况求参数】 6 【题型8 换元法解一元二次方程】 7 【题型9 一元二次方程根与系数的关系】 7 【解答5题】 7 一元二次方程的解法 核心原则：解一元二次方程的本质是“降次”，将二次方程转化为一次方程，再求解；需根据方程的形式（如是否为完全平方、是否能因式分解）选择最简便的解法，所有解法最终都需检验（可口头检验，确保解代入方程左右相等）。 一、直接开平方法（最基础，适用于特殊形式方程） 1. 适用条件 方程可化为（）或（）的形式（不含一次项，或可化为完全平方形式）。 2. 解题步骤 ① 整理方程，化为或（、）； ② 两边同时开平方，注意“正负号”：若，则；若，则； ③ 解两个一次方程，得到方程的两个根； ④ 检验（可选，代入原方程，确保左右相等）。 二、配方法（通用解法，适用于所有一元二次方程，重点掌握） 1. 核心思路 将一元二次方程（）通过配方，转化为的形式，再用直接开平方法求解。 2. 解题步骤（以为例，） ① 移项：将常数项移到等式右边，得； ② 化二次项系数为1：两边同时除以二次项系数a，得； ③ 配方：在等式两边同时加上“一次项系数一半的平方”（即），左边化为完全平方形式，得； ④ 整理：左边化为，右边通分化简，得； ⑤ 开平方求解：分两种情况，若，则，解得；若，方程无实数根； ⑥ 检验（可选）。 三、公式法（通用解法，适用于所有一元二次方程，最常用） 1. 核心公式 对于一元二次方程的一般形式（），其解为： 补充：叫做一元二次方程根的判别式，用于判断方程根的情况： ① 当时，方程有两个不相等的实数根； ② 当时，方程有两个相等的实数根（）； ③ 当时，方程无实数根。 2. 解题步骤 ① 将方程化为一般形式，确定a、b、c的值（注意符号）； ② 计算判别式，判断方程根的情况； ③ 若，代入求根公式计算，得到两个根；若，直接说明方程无实数根； ④ 检验（可选）。 四、因式分解法（最简便，适用于可因式分解的方程） 1. 适用条件 方程化为一般形式后，左边的二次三项式（或单项式）能分解为两个一次因式的乘积，即的形式。 2. 核心原理 若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0（即或），将二次方程转化为两个一次方程求解。 3. 解题步骤 ① 将方程化为一般形式，移项使右边为0； ② 将左边的二次三项式（或单项式）因式分解，化为的形式； ③ 令每个因式等于0，得到两个一次方程：和； ④ 解两个一次方程，得到方程的两个根； ⑤ 检验（可选）。 核心：无需解出方程的根，即可通过方程的系数a、b、c，判断根的和与积，适用于快速检验根的正确性、求代数式的值、求未知系数等。 根与系数的关系（分两种情况） 1. 一般形式（核心，重点掌握） 对于一元二次方程（），若方程有两个实数根、（即），则： （两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数） （两根之积等于常数项与二次项系数的比） 2. 特殊形式 若方程化为二次项系数为1的形式：（即），则： ， （可快速记忆：两根之和是一次项系数的相反数，两根之积是常数项） 【题型1 因式分解法解一元二次方程】 【典例1】．运算能力：用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【跟踪训练1】．已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（　　） A． B．3 C． D．4 【跟踪训练1】．等腰三角形两边长是方程的解，则这个等腰三角形的周长是（ ） A．10 B．8 C．8或10 D．16或6 【跟踪训练3】．解方程：． 【题型2 解一元二次方程—直接开平方法】 【典例2】．方程的解是______． 【跟踪训练1】．一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【跟踪训练2】．方程的解正确的是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪训练3】．的解是___________． 【题型3 解一元二次方程—配方法】 【典例3】．用配方法解方程： (1)． (2)． 【跟踪训练1】．用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．用配方法将方程进行配方得到的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型4 配方法的应用】 【典例4】．不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【跟踪训练1】．如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为_____． 【跟踪训练2】．将一元二次方程化成的形式，则___________． 【跟踪训练3】．阅读材料并解决问题： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 根据上面的材料请解决下面问题： 如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． (1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； (2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【题型5 解一元二次方程—公式法】 【典例5】．用公式法解方程： 【跟踪训练1】．解方程： 【跟踪训练2】．嘉嘉解一元二次方程的过程如下： 解：…① ，，，…② …③ 方程无实数根．…④ (1)嘉嘉解方程的方法是 ，他的求解过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 【跟踪训练3】．运算能力用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【题型6 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【典例6】．下列方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． 【跟踪训练1】．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【跟踪训练2】．已知关于的一元二次方程，则该方程解的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个解 【跟踪训练3】．若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 【题型7 根据一元二次方程根的情况求参数】 【典例7】．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【跟踪训练1】．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【跟踪训练2】．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【跟踪训练3】．关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的值为_____． 【题型8 换元法解一元二次方程】 【典例8】．已知a、b满足，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2 【跟踪训练1】．当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 【跟踪训练2】．若，则的值是________． 【跟踪训练3】．若关于的方程的解是，（，，为常数，），则关于的方程的解为________． 【题型9 一元二次方程根与系数的关系】 【典例9】．已知一元二次方程有两个实数根，则的值等于_____． 【跟踪训练1】．若关于的一元二次方程的两个根分别为，，则______． 【跟踪训练2】．已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（  ） A． B．3 C．或 D． 【跟踪训练3】．已知，是方程的两个根，则的值为（   ） A．3 B． C． D．1 【解答5题】 1．用适当的方法解下列方程： (1)； (2) 2．已知关于的一元二次方程，其中分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； 3．某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ (1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． (2)请写出用配方法解方程的正确过程． 4．已知实数a，b，c，且． (1)若a，b，c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由求根公式法解得方程的根为，求的值．（一元二次方程的一般形式为，求根公式为：） (2)若，且，，求c的最小值． 5．综合实践： 探究主题 一元二次方程根的判别式拓展探究 探究情境 在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过几道习题的解答，他说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．”请你结合所学知识，对小明的猜想进行探究． 实例验证 （1）解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想： ①当，时，例如，此方程的解是________； ②当，时，例如，此方程的解是________； 这两个实例可以验证小明的猜想________（填“正确”或“错误”）． 严谨证明 （2）小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 拓展延伸 （3）已知关于x的一元二次方程，其中m为整数，满足二次项系数和常数项异号，求m的值及方程的解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $