精品解析：安徽颍上第一中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试卷

颖上一中2025-2026学年高一下学期开学考 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，共40分．在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 3. 已知且，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 和 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C D. 6. 已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 方程有两个不同根，分别是则 （ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 8. 已知在上是增函数，且在上有最小值，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 10. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的函数满足：，当时，，则（ ） A. 周期为4 B. 为偶函数 C. 在区间上是增函数 D. 函数的零点个数为2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. ___. 13. 若mx2－mx－1<0对于m∈[1，2]恒成立，则实数x的取值范围为________． 14. 已知函数，若函数在上具有单调性，并且最大值为3，则实数___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤） 15. 已知全集，集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16. 已知是定义在上的函数，若满足且． （1）求的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）求使成立的实数t的取值范围． 17. 已知函数，． （1）当函数不单调，求的取值范围； （2）当函数的最小值是关于的函数，求表达式． 18. 已知函数（）图象的两条相邻对称轴间的距离为. （1）求解析式； （2）先将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上恰有3个根（），求实数的取值范围和的值. 19. 若函数满足：对于任意正数，都有，，且，则称函数为“函数”． （1）若，判断函数是否为“函数”，并证明你的结论； （2）若函数为“函数”，且，求证：对任意（为正整数），都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 颖上一中2025-2026学年高一下学期开学考 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，共40分．在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，化简后利用基本不等式可求出其最小值 【详解】因为正数，满足， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：D 3. 已知且，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】令，利用奇函数的性质求解即可. 【详解】令， 因为，所以函数为奇函数， 由，得，所以， 所以. 故选：C. 4. 幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】分别代入的值，由幂函数性质判断函数增减性即可. 【详解】因为，， 所以当时，，由幂函数性质得，在上是减函数； 所以当时，，由幂函数性质得，在上是常函数； 所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数； 所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数； 故选：D. 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 6. 已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据开口向上，故需在区间上有最小值，且，从而得到不等式，求出答案. 【详解】要使函数在区间上有最大值或最小值， 由于开口向上， 故需函数在区间上有最小值，且． 该函数图像对称轴为直线，所以， 解得， 所以，且，即实数的取值范围为． 故选：B． 7. 已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果. 【详解】由题意得：为R上的增函数，且 当时，，， 当时，，， 方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上， 由，解得：. 所以. 故选：B 8. 已知在上是增函数，且在上有最小值，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，解出即可. 【详解】由题意有在上是增函数，所以，所以， 又在上有最小值，所以，所以，解得，所以的取值范围是， 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A求抽象函数定义域，由得即可判断，对于B判断是否是同一个函数只需判断定义域和对应关系即可，对于C由得，即即可判断，对于D消元法求函数解析式可判断. 【详解】对于A：由的定义域为，则，所以函数的定义域为，故A正确； 对于B：函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误； 对于C：由，所以，函数的值域为，故C正确； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数恒等变换公式逐个分析计算即可 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B，，所以B正确， 对于C， 所以C错误， 对于D，，所以D正确， 故选：BD 11. 定义在上的函数满足：，当时，，则（ ） A. 的周期为4 B. 为偶函数 C. 在区间上是增函数 D. 函数零点个数为2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意可得函数的奇偶性、对称性和图像变换可得函数是周期为4的奇函数.再根据函数与函数的图像的交点个数可得答案. 【详解】根据题意， ， 所以的周期为4，A正确； 由，为奇函数，B错误； 根据，则， 所以函数关于直线对称， 当时，，则在区间上是增函数， 在区间上是减函数， 根据周期性可知在区间上是增函数，在区间上是减函数，C错误； 画出函数和的图象，可得两函数图象有两个公共点， 则函数的零点个数为2，D正确. 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. ___. 【答案】##0.125 【解析】 【分析】根据三角函数诱导公式以及正弦二倍角公式求得结果. 【详解】. 故答案为：. 13. 若mx2－mx－1<0对于m∈[1，2]恒成立，则实数x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】把函数看成关于m的直线g（m）＝（x2－x）m－1，满足在区间m∈[1，2] 恒成立即可解决. 【详解】设g（m）＝mx2－mx－1＝（x2－x）m－1，其图象是直线，当m∈[1，2]时，其图象为一条线段， 则即 又必有成立， 只需，解得<x<， 故答案为：. 【点睛】函数转化和化归思想是解决本题的关键. 14. 已知函数，若函数在上具有单调性，并且最大值为3，则实数___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先讨论函数函数值正负及单调性得出函数的单调性，分函数在区间上单调递减与单调递增两种情况求解即可. 【详解】函数的定义域为， 当，即时，函数，且在区间上单调递增， 当，即，函数，且在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当函数在区间上单调递减时，则，解得， 此时函数的最大值为，解得，符合题意； 当函数在区间上单调递增时，则，解得， 此时函数的最大值为，解得，符合题意. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤） 15. 已知全集，集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入到集合，再结合交集的运算即可求解； （2）由题意得是集合的真子集，结合集合间的关系计算即可求出a的取值范围. 【小问1详解】 若，则，则有. 【小问2详解】 由“”是“”的充分不必要条件，得集合是集合的真子集， 即，解得， 故实数的取值范围是. 16. 已知是定义在上的函数，若满足且． （1）求的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）求使成立的实数t的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在上的单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可分析出在上为奇函数，将，，分别代入即可求得解析式； （2）根据解析式结合单调性定义：取值，作差，变形，定号，结论，即可得出结果； （3）根据奇偶性和单调性以及定义域列出不等式解出即可. 【小问1详解】 解：因为，且，所以为奇函数， 将代入可得， 即，所以，即， 因为，所以， 代入可得，解得， 故； 小问2详解】 函数在上单调递增，证明如下： 由（1）知，任取， 所以 因为，所以，， 所以，所以函数在上单调递增； 【小问3详解】 因为为奇函数，且在上单调递增， 所以，即， 根据单调性及定义域可得：， 解得：，即. 17. 已知函数，． （1）当函数不单调，求的取值范围； （2）当函数的最小值是关于的函数，求表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合二次函数的性质列不等式求解即可. （2）根据二次函数的对称轴及定区间，对分情况讨论，分别求出对应情况下最小值即可. 【小问1详解】 由函数， 可得该函数图象开口向上，对称轴为， 要使函数在不单调，可得，解得， 所以实数a的取值范围. 【小问2详解】 由（1）知，该函数图象开口向上，对称轴为， 当，即时，在单调递增，所以； 当，即时，在单调递减，在单调递增， 所以； 当，即时，在单调递减，所以， 综上，表达式为：. 18. 已知函数（）图象的两条相邻对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）先将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上恰有3个根（），求实数的取值范围和的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先化简的解析式，根据最小正周期可求，进而可得解析式；（2）根据图象变换先求出的解析式，先换元，再根据数形结合法可知方程在上有3个根时实数的取值范围，根据对称性可求出的值． 【小问1详解】 ． 设的最小正周期为. 因为两条相邻对称轴间的距离为， 所以，解得，故． 【小问2详解】 将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象，再将所得图象向左平移个单位长度， 得到的图象， 所以． 当时，，此时， 令，画出函数在上的图象，如图所示： 当时，，当时，， 结合图象可知，若方程在上有3个根， 则，即实数的取值范围为． 根据对称性可知，，， 即，，得，， 所以． 19. 若函数满足：对于任意正数，都有，，且，则称函数为“函数”． （1）若，判断函数是否为“函数”，并证明你的结论； （2）若函数为“函数”，且，求证：对任意（为正整数），都有． 【答案】（1）函数是“函数”，证明见详解. （2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义判断即可； （2）根据定义，令可得，对于任意的正整数和正数，都有，进而可得出结论. 【小问1详解】 函数是为“函数”，理由如下： 对于函数，当时，， 又，，故函数是“函数”. 【小问2详解】 函数为“函数”，故对于任意正数，都有，， 且， 令，得，即， 故对于任意的正整数和正数， 都有， 对任意（为正整数），可得，， 又，， 同理， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $