20.1 勾股定理及其应用 同步作业 2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版新版初中数学 第20章 勾股定理 20.1《勾股定理及其应用》同步作业 作业说明： 本作业严格贴合人教版新版初中数学八年级下册教材内容，紧扣《勾股定理及其应用》核心知识点，适配贵州地区八年级学情与中考考向。作业采用复习巩固-综合应用-拓展训练三层递进设计，共18道规范题型，覆盖基础识记、方法应用、思维拓展全维度，既适合课堂同步练习，也可作为课后巩固作业。所有题目均不超八年级课标要求，配套精准答案与详细解析，可直接打印使用。 一、复习巩固（共6题，夯实基础，紧扣教材核心） 1. （选择题）在Rt△ABC中，∠C=90°，若两条直角边a=5，b=12，则斜边c的长为（ ） A. 7 B. 13 C. 17 D. 1. （选择题）在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=10，一条直角边a=6，则另一条直角边b的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 1. （填空题）等腰直角三角形的斜边长为8，则它的直角边长为_______（保留根号）。 1. （填空题）一根旗杆在离地面3m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，旗杆折断之前的高度为_______m。 1. （解答题）已知Rt△ABC中，∠C=90°，两边长分别为3和4，求第三边的长。 1. （解答题）如图，一架长5m的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，此时梯子底部B到墙根C的距离为3m。 （1）求梯子顶端A到地面的高度AC； （2）若梯子顶端A沿墙下滑1m到A’处，梯子底部B随之水平滑动到B’处，求BB’的长度。 二、综合应用（共6题，方法融合，提升应用能力） (第2题) (第3题) (第6题) 1. （选择题）在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=13，一条直角边AC=5，则斜边上的高CD的长为（ ） A. B. C. D. 1. （选择题）如图，在数轴上，点A表示的数为0，点B表示的数为2，过点B作BC⊥AB，且BC=3，以A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为（ ） A. B. C. 3 D. 4 1. （填空题）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D’处，重叠部分△AFC的面积为_______。 1. （填空题）某港口有两艘轮船同时出发，甲船以12海里/时的速度向正北方向航行，乙船以16海里/时的速度向正东方向航行，2小时后，两艘轮船相距_______海里。 1. （解答题）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，求BC的长。 1. （解答题）如图，某酒店的台阶高3m，水平总长度为4m，台阶的宽度为5m，现要在台阶上铺满地毯，已知每平方米地毯的价格为80元，求铺满整个台阶需要的总费用。 三、拓展训练（共6题，思维拓展，适配贵州中考拔高考向） (第1题) (第2题) (第3、5题“赵爽弦图”) 1. （选择题）如图，长方体的长为3，宽为2，高为1，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体表面爬到对角顶点G处，蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6 1. （选择题）“总统证法”是美国第20任总统加菲尔德提出的勾股定理证明方法，如图，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形，若直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，利用该图形的面积关系可验证的等式为（ ） A. a²+b²=c² B. (a+b)²=a²+2ab+b² C. (a-b)²=a²-2ab+b² D. a²-b²=(a+b)(a-b) 1. （填空题）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，若大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两条直角边的和为_______。 1. （填空题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D是斜边AB上的动点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为_______。 1. （解答题）如图，“赵爽弦图”在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，它们的直角边分别为a、b（a>b）。请利用该图形的面积关系，证明勾股定理（即证明a²+b²=c²）。 1. （解答题）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向120km的B处，正以20km/h的速度向北偏西60°的方向移动，台风影响范围为半径100km的圆形区域。 （1）A市是否会受到这次台风的影响？请通过计算说明； （2）若A市受到台风影响，求出受影响的持续时间。 参考答案与解析 一、复习巩固 1. 答案：B 解析：本题考查勾股定理的直接应用。在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得，故选B。 1. 答案：B 解析：本题考查勾股定理的基本变形。在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得，故选B。 1. 答案： 解析：本题考查等腰直角三角形与勾股定理的结合。设直角边长为，由勾股定理得，即，解得（边长为正，舍去负根）。 1. 答案：8 解析：本题考查勾股定理的简单实际应用。旗杆折断后，折断部分、剩余部分与地面构成直角三角形，直角边分别为3m和4m，由勾股定理得折断部分长度为m，因此旗杆折断前总高度为m。 1. 答案：5或 解析：本题考查勾股定理的分类讨论应用，易错点为忽略斜边的两种情况。 ① 当长为4的边为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得第三边长； ② 当长为4的边为斜边时，第三边为直角边，由勾股定理得第三边长； 综上，第三边的长为5或。 1. 答案：（1）4m；（2）1m 解析：本题考查勾股定理的经典实际应用，贴合教材例题。 （1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5m，BC=3m，由勾股定理得m； （2）由题意得m，m，在Rt△A’CB’中，由勾股定理得m，因此m。 二、综合应用 1. 答案：A 解析：本题考查勾股定理与面积法的综合应用。在Rt△ABC中，由勾股定理得；由三角形面积公式得，代入数据解得，故选A。 1. 答案：A 解析：本题考查勾股定理与数轴表示无理数的综合，贴合教材内容。在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3，由勾股定理得；由作图可知，因此点D表示的数为，故选A。 1. 答案：10 解析：本题考查矩形折叠与勾股定理的综合应用，贵州中考高频考点。由折叠性质得应为∠D'CA=∠DCA，由矩形对边平行得∠D'CA=∠BAC，因此∠DCA=∠BAC，得。设，则，在Rt△BCF中，由勾股定理得，化简解得，因此。 1. 答案：40 解析：本题考查勾股定理与航海问题的综合应用。2小时后，甲船航行距离为海里，乙船航行距离为海里，两船航行路线互相垂直，由勾股定理得两船相距海里。 1. 答案：14或4 解析：本题考查勾股定理与三角形高的综合，易错点为忽略三角形形状的分类讨论。 ① 当△ABC为锐角三角形时，高AD在三角形内部，在Rt△ABD中，在Rt△ACD中，因此； ② 当△ABC为钝角三角形时，高AD在三角形外部，同理得，，因此； 综上，BC的长为14或4。 1. 答案：2800元 解析：本题区别勾股定理与平移性质的应用。由平移性质可知，地毯的总长度为台阶竖直高度+水平总长度m，地毯宽度为5m，因此总面积㎡，总费用元。 三、拓展训练 1. 答案：A 解析：本题考查勾股定理与长方体表面最短路径问题，贵州中考高频拓展考点。将长方体表面展开，分三种情况计算路径长度： ① 展开前面+上面：路径长； ② 展开前面+右面：路径长； ③ 展开左面+上面：路径长； 比较得，因此最短路径长为，故选A。 1. 答案：A 解析：本题考查勾股定理的总统证法，贴合教材拓展内容。直角梯形的面积；同时，梯形面积=两个全等直角三角形面积+等腰直角三角形面积；联立等式化简得，故选A。 1. 答案：7 解析：本题考查赵爽弦图与勾股定理的综合应用。由题意得，大正方形边长为5，即；小正方形边长为1，即。将展开得，代入得；因此，得（边长为正，舍去负根）。 1. 答案：（或4.8） 解析：本题考查勾股定理与矩形性质、垂线段最短的综合应用。连接CD，由DE⊥AC、DF⊥BC、∠C=90°，得四边形CEDF是矩形，因此；由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD长度最小。在Rt△ABC中，由勾股定理得，由面积法得，解得，即EF的最小值为。 1. 答案：见解析 解析：本题考查勾股定理的面积法证明，贴合教材核心拓展内容。 证明：大正方形的面积可表示为； 同时，大正方形的面积=四个全等直角三角形的面积+中间小正方形的面积； 四个直角三角形的总面积； 中间小正方形的边长为，面积为； 因此可得等式：； 展开化简得：，勾股定理得证。 1. 答案：（1）A市会受到台风影响，计算见解析；（2）8小时 解析：本题考查勾股定理与台风影响问题的综合应用，适配贵州中考拔高考向。 （1）过点A作AC⊥台风移动路径BD于点C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=120km，因此km； 因为，所以A市会受到这次台风的影响。 （2）设台风中心移动到D处时A市开始受影响，移动到E处时结束影响，此时km； 在Rt△ACD中，由勾股定理得km，同理km，因此km； 台风速度为20km/h，因此受影响的持续时间小时。 2 学科网（北京）股份有限公司 $