河北省唐山市2026届高三年级下学期第一次模拟演练数学试题

唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练 数学参考答案 一，选择题（单选）： 1~4.CBCA 5~8.CBBD 二.选择题（多选）： 9.AC 10.ABD 11.AD 三.填空题： 12.313.(-1,5)14.8√3π 四.解答题：（若有其他解法，请参照给分） 15.解： (1)证明：由于BC=PB=PC,D是BC的中点. 得BC⊥PD.又BC⊥PA.且PD∩PA=P,…2分 所以BC⊥平面APD,又BCC平面ABC,所以平面ABC⊥平面APD. ……4分 (2)由(1)知BC⊥平面APD,于是VP-C= SAPp XBC 5分 即：V,-c=号X号XADXPDXsin.∠ADPXBC- 3 得：sin∠ADP=1,∠ADP=90°. 所以PD⊥AD.………6分 以D为原点，DA,DB,DP所在直线分别为x轴，y轴，之轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),P(0,0W3), 所以PA=(1,0,一√3)，P克=(0,1，一√3).…8分 设平面PAB的法向量为m=(x,y,之)，则 (m·P才=0， x一√32=0， 所以 取m=(W3,√5,1).…10分 m·Pi=0, y-√3z=0. B 又P心=(0，-1，-3)，… ……11分 设PC与平面PAB所成的角为0，则 m惑瓷 12分 高三唐山数学参考答案第1页（共4页） 所以PC与平面PAB所成角的正弦值为√ 7· …13分 16.解： c_V3 (1)由题意得 a 2 得a=26,椭圆C:云+岁-1 +y2 …2分 a2=62+c2 所以A(-2b,0),B(0,b).… 3分 因为△AOB的面积是1，所以b=1, 则椭圆C的方程为：苦+y=1 5分 (2)由题可设直线l的方程为x-2y十t=0,M(x1,y),N(x2,y2) (x-2y+t=0, 苦+91 得2x2十2tx十t-4=0…6分 则z十x9=一6z4=,4 2 ……7分 所以x2十x=(x1十x2)2-2x1x2=4. 又因为A(-2,0),B(0,1), 所以|MA|2-|NB|2=(x1+2)2+y2-x-(y2-1) =(+2)++)-x好-+42》 4 …9分 4 =(红+2+}对--（2》 =(x+2)2+好-x-(x+2)2 =是[十22-x对]=号x+3=多（红十2》.…1分 若四边形ABNM为等腰梯形，则|MA2一|NB2=0 所以x1=0或x1=一2.…… …13分 当x1=0时，M(0,-1),N(2,0),所以|AB|=|MN|, 则四边形ABNM为平行四边形，不合题意； 当x1=-2时，M(-2,0),N(0,1), 则直线AB与直线MN重合，不合题意； 综上所述，不存在这样的直线1使得以A,B,N,M为顶点的四边形为等腰梯形.…15分 17.解： (1)证明：因为cos2A+cos2B=2cos2C, 高三唐山数学参考答案第2页（共4页） 所以1-2sin2A+1-2sin2B=2(1-2sin2C), 3分 整理得sin2A十sin2B=2sin2C,由正弦定理得：a2十b2=2c2.……6分 (2)由(1)得a2=2c2-0,由余弦定理得：cosA=+cad 2bc 8分 osA-2-名-京因为名-4，所以cos小--2A…10分 c √5 整理得sin cos A停sinA=-9,所以号in2A+停。 6 cos 2A=3 …12分 整理得sin(2A+)=-1. …14分 因为A∈(0，x),所以A=2 …………15分 18.解： 1）f(x)=x十ax1,x(0,十∞)，… 2分 由已知得：f(x)<0,即：a<x+是，解得a<2, …4分 所以当a≤2时，f(x)单调递减。…5分 (2)(i)g'(x)=lnx,g'(1)=0,f'(1)=a-2=0,解得a=2.…7分 (i)证明：当a=2时，f(x)在(0，十∞)上单调递减，且f(1)=0, 因为g'(x)-lnx,所以当x∈(0,1)时，g(x)单调递减， 当x∈(1，十∞)时，g(x)单调递增，且g(1)=0. 8分 当x1∈(1，十∞)时，f(x1)<0,g(x2)≥0，不符合题意，舍去；…9分 当x1=1时，f(x1)=0,所以g(x2)=0,即x2=1,可得x1·x2=1,符合题意； 10分 当x1∈(0,1)，x2∈(0,1)时，x1·x2<1,符合题意；…11分 当x∈(0,1)，x∈(1，+∞)时，∈(1，+∞)， e)-2）-24生ax-eo,. …………12分 令m0=nx-法ae0. M)=1-2十1D>0,所以m()单调递增. x(2x+1)2 …13分 因为m(1)=0,所以m()<0,得f)-g(）<0, 高三唐山数学参考答案第3页（共4页） 从而可得fx)<g(）】 14分 因为f(a)=g红)，所以g)<g(） …15分 因为xE(1,十6∞)时，g(x)单调递增，，∈(1，十∞)，所以a<,故·<1. 综上，x1·x2≤1.…17分 19.解： (1)设抽到的第j张奖券的金额为aj,j=1,2. 设A:a1=M,B:a1<M,C:甲获得最大金额奖励M. 注意到P(A)=,P(CA)=0,P(B)=",P(CB)= …3分 n n-1 P(C)=P(A)P(CIA)+P(B)P(CIB)=1 ……5分 (2)仍设C:甲获得最大金额奖励M, 若m=M,则P(C)=0,故只需考虑m<M的情况.…6分 设D:抽到的第i(i∈N",k<i≤n)张奖券金额为M, 由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额M的机会均等，则P(D,)= n ，…7分 只有当m是前i-1张奖券中的最大金额，甲才会保留第i张奖券，则P(CD,)=二 则PC=会PD)PcD)-,会PCD),g乌-冬名-片 =k+1 nithi-1 nithi-1 n i …10分 (1)若n=5,当k=2时，p=P(C)=号×（合+号+）-8 …12分 (i)由估值参考得习}≈1n冬，则p=p()≈名n是 ……13分 令f(x）=ln2,x>1,则f(x)=1-nx 当x=e时，f(x)=0. 当1<x<e时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x>e时，f(x)<0,f(x)单调递减， 因此，当x=e时，f(x)取得最大值f(e)= e …… …15分 此时-10≈36.8，不是整数 …16分 又p(36)=-0.36ln0.36≈0.3678，p(37)=-0.371n0.37≈0.3679， 所以力的最大值约为0.3679，此时=37.…………17分 高三唐山数学参考答案第4页（共4页）唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，使用0.5毫米黑色字迹签字笔，将答 案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 h 州 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 物 项是符合题目要求的 1.样本数据1,2,3,6,12,24的中位数为 A.8 B.6 C.4.5 D.3 2.之表示复数之的共轭复数，若之=3+4i,则|之十之= A.2-4i B.8-4i C.22-4i D.28-4i 3.已知全集U及其两个非空真子集M,N,则Cu(MUN)= A.0 B.M∩N C.(CuM)∩(CuN) D.(CM)U(CN) 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2=2,S,=35,则a8= 戡 A.11 B.9 C.8 D.5 5.某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4名同学被分配到甲、乙两个社区，每个 社区至少一名同学，则不同的分配方案有 A.6种 B.12种 C.14种 D.28种 高三唐山数学试卷第1页（共4页） 6.若x为锐角，且(2sinx一1)(W2cosx一1)>0，则x的取值范围是 A.(0,) B(,》 c.() D.(,) 7.等轴双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,以FF2为直径的圆O与双曲线C交于 M,N,P,Q四点.设四边形MNPQ的面积为S1,圆O的面积为S2,O为坐标原点，则 A.S=3 B =3 S22π S2π CS- n是= 8.已知cos acos B=cosa一cosB,M=cosa-cosB,N=cosa+cosB,则 AM的最小值为一 B.M的最大值为1 C.N的最小值为0 D.N的最大值为号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知an=2”,Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的有 A.{an}是等比数列 B.S =2-2 C侵)是递诚数列 D.{an}中存在连续三项成等差数列 10.若函数y=g(x)与函数f(x)=xe的图象关于y轴对称，则 A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)十g(x)为偶函数 C.f(x)与g(x)有相同的极值点 D.对任意的x∈R,都有f(x)十g(x)≥0 11.O为坐标原点，抛物线C:y2=4x的准线与x轴的交点为M,直线l与x轴交于点 N,与抛物线C交于A,B两点，满足OA⊥OB,作OD⊥I于D,则 A.N的横坐标是4 B.|NA|·INB|≤|ON2 C.直线MD斜率的最大值为号 D.当直线MA与C相切时，|BN=4AN| 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知f(x)=xx-2|,若f(x)=3,则x= 13.已知点A(1,1),B(5,3),若将A绕点A逆时针旋转90°得到AC,则点C的坐标为 高三唐山数学试卷第2页（共4页） 14.若一个棱长为2√2的正四面体可以绕其中心在一个封闭的圆锥形容器（容器壁厚度 忽略不计)内任意转动，则此圆锥体积的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 如图，在三棱锥P一ABC中，BC=PB=PC=2,BC⊥AP,D是BC的中点. (1)证明：平面ABC⊥平面APD; (2)若AD=1,三棱锥P-ABC的体积为号，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值， 16.(15分) 已知桶圆C手+芳=1(a>6>0)的离心率为，其左顶点为A,上顶点为B, △AOB的面积是1，其中O是原点，平行于AB的直线l与C交于M,N. (1)求C的方程； (2)是否存在这样的直线U,使以A,B,N,M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在， 求此时1的方程；若不存在，请说明理由. 高三唐山数学试卷第3页（共4页） 17.(15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos2A十cos2B=2cos2C. (1)证明：a2+b2=2c2; (2)若2=sin4,求A. c√3 18.(17分) 函数f(x)=alnx-x+是，g()=lnx一x十1 (1)若f(x)在(0，十∞)单调递减，求a的取值范围； (2)若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处有相同的切线， (i)求a的值； (i)若f(x1)=g(x2),证明：x1·x2≤1 19.(17分) 某销售公司为了激励员工，对销售冠军一一员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲 盒里，有（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M,但金额具体 是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意 就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而 停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励. (1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率； (2)若甲先抽取了k(k∈N*,且k<n)张奖券，记录下其中的最大金额为m,然后继 续抽取，若抽到奖券的金额小于m,就继续抽，当抽到第i(i∈N*,k<i≤n)张奖 券时，其金额大于m,则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则 保留第n张， (ⅰ)若n=5,当k=2时，求甲获得最大金额奖励M的概率p; (ⅱ)当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化. 若n=100,请估计p的最大值，并求此时k的值 （估值参考：当m≥100时，写}≈h名e2.72,0.36036≈-3678， 0.371n0.37≈-0.3679.) 高三唐山数学试卷第4页（共4页）